精品解析：辽宁大连市普兰店区2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试卷

2026—2027学年度第一学期学情调研 九年级数学练习 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三道大题，23道小题．满分120分．考试时长120分钟． 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 2. 将一元二次方程化成一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根． 5. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可解答． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 7. 如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的几何意义． 由点在反比例函数（）的图象上，得到即可求解． 【详解】解：点在反比例函数（）的图象上，且， ， 矩形的面积为2，故选B． 8. 如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（8-2x）cm，宽为（5-2x)cm，然后根据底面积是，即可列出方程． 【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm， 依题意得（8-2x）（5-2x）=18， 故选：B． 【点晴】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题意，正确理解题意，利用题目的数量关系列出方程． 9. 已知抛物线经过两点，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，先求得函数的对称轴为，再判断在对称轴右侧，从而判断出与的大小关系． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵，在对称轴右侧， ∴． 故选：C． 10. 如图，点、、、是正方形四条边(不含端点)上的点，设线段的长为，四边形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形ABCD的边长为m，然后确定出y与x、m是二次函数关系即可确定函数图像． 【详解】解：设正方形ABCD的边长为m，则m>0， ∵DＨ=x，DＨ=AＥ＝BF=CG ∴CG=x, CH=m-x, ∴ ∵四边形的面积为= ∴y= ∴y与x的函数图像是A; 故答案为A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据几何图形得出解析式是解答本题的关键． 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 12. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限的性质，得到比例系数大于0，列不等式求解的范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得 ． 13. 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 14. 在压力一定的情况下，压强与受力面积是反比例函数关系，某木块竖直放置在水平地面上，受力面积时，；若受力面积为，则它对地面的压强为_________． 【答案】 【解析】 【分析】与成反比例函数关系，先设出反比例函数解析式，代入已知条件求出定值，再代入所求受力面积计算压强． 【详解】解：∵压强与受力面积是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 即反比例函数解析式为， 当时，代入得． 15. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，分式的加法运算． 由根与系数的关系可求得和的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2）；； 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键， （1）利用配方法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 ∴ ∴； 【小问2详解】 ∴；. 17. 二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … （1）选取部分数据求这个二次函数的表达式； （2）在图中画出此二次函数的图象； （3）结合图象，直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】（1）二次函数的表达式为． （2）二次函数图象如下图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）任选抛物线上两点代入二次函数表达式中求解即可； （2）根据“五点描图法”将点描出来，再用平滑曲线连接即可； （3）结合二次函数图象，轴上方的二次函数图象为满足条件的部分． 【小问1详解】 解：将点分别代入中， 得，解得， ∴二次函数得表达式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知，当时． 18. 首届“东北超”话题不断，引爆全网，东北地区某旅行社顺势推出“跟着东北超去旅行”活动．月份，该活动的报名人数为人，随着“东北超”热度不断提升，月份，活动报名人数达到人．若每月报名人数的增长率相同，请求出该活动报名人数的月平均增长率． 【答案】该活动报名人数的月平均增长率为. 【解析】 【详解】解：设月平均增长率为， 则， ， 或（舍去）， 解得， 答：该活动报名人数的月平均增长率为． 19. 在力（单位：）的作用下，若物体会在力的方向上发生位移（单位：），则力所做的功（单位：）满足，当为定值时，与之间的函数关系如图所示． （1）当力为时，求所做的功； （2）写出关于的函数解析式； （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 【答案】（1） （2） （3）力大于 【解析】 【分析】（1）观察函数图象及即可求解； （2）由函数图象过点，即可求出函数关系式； （3）求出当位移为时的力，根据反比例函数的性质即可求出力的取值范围． 【小问1详解】 解：由函数图象知，函数图象过点， 即当力为时，位移为， 则所做的功； 【小问2详解】 解：由函数图象知，函数图象过点，， ∴； 【小问3详解】 解：当时，代入，得， 解得， 对于函数，当比例系数为正时，在第一象限内，函数值随自变量的增大而减小， 则当时，， 答：在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，力大于． 20. 综合与实践 如图，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度，最大宽度，图是桌面轮廓的俯视图，上方抛物线顶点到的距离为，下方抛物线顶点到的距离为，直线为竖直轮廓的对称轴，且．以所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请你直接写出点的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式． （2）如图，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移，将下方抛物线向上平移若干厘米，两条新抛物线相交于上的点，点，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得坐标；设上方抛物线的函数表达式为，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得平移后的抛物线函数表达式，令，求得，的坐标，进而求得的长． 【小问1详解】 解：上方抛物线顶点到的距离为，最大宽度， 顶点的坐标为． 设上方抛物线的函数表达式为．将点代入得： ， 解得：， 上方抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将上方抛物线向下平移后，所得抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得：，， ，， ． 21. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个根分别为，，若，求的值． 【答案】（1）证明：在方程中， ，，， ∴ . ∵， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式证明即可； （2）由根与系数的关系可得，又，再代入解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程的两个根分别为，， ， ， 即， ， 或， 解得或． 22. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点为反比例函数图象上一动点，连接，以，为邻边构造平行四边形． （1）求的值； （2）如图，过点作轴于点，若的边经过点时，求点坐标； （3）如图，当点在点左侧时，若的面积为，求点坐标． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意求得a的值，从而得点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数式中即可求解； （2）由题意得点B的坐标，求出直线的解析式，再与反比例函数解析式联立即可求解； （3）连接交于点D，分别过点A、Q作x轴的垂线，垂足分别为C、B，设，利用平行四边形的性质及面积关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴点在正比例函数的图象上， ∴， 即， 把代入中，得， 解得； 即k的值为4； 【小问2详解】 解：∵轴于点，且， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴直线的解析式的一次项系数为1， 设直线的解析式为，把代入得， 解得， 即直线的解析式为， 由（1）知反比例函数解析式为， 联立得，消去y，得， 解得（舍去）， 把代入，得， 则， 即点P的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，连接交于点D，分别过点A、Q作x轴的垂线，垂足分别为C、B，设，其中，， 则，消去m，得， 即①， ∵， ∴， 即， 整理得② 把②代入①，整理得， 解得， 而由得，， 当时，，此时； 当时，，不符合题意，舍去， 即点P的坐标为． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求，，三点的坐标； （2）如图，是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象，若图象的最大值与最小值的差为，求的取值范围； （3）如图，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，设点的纵坐标为，若的面积为，求面积的最大值． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 （2）当或时，图象的最大值与最小值的差为 （3）面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点性质求解； （2）利用二次函数的增减性，分类讨论两点在对称轴的同侧还是异侧从而求解； （3）分别过点向作垂线，垂足分别为点，过点作轴的垂线，交于点，根据已知条件求得的面积，得到，进一步证明，利用平行的两直线的值相等求出直线的表达式，联立二次函数表达式求出点的坐标，列出面积的表达式，利用二次函数的最值求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， 令，解得， ∴点的坐标为； ∵抛物线与轴交于，两点， ∴令，则， 解得 ， ∴点的坐标为，点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 情况1，当时，点在抛物线对称轴的左侧，随的增大而增大， ∴在点处取得最大值，在点处取得最小值， 将代入中， 解得（舍），， ∴； 情况2，当时，点在抛物线对称轴的左侧，随的增大而增大， ∴在点处取得最小值，在点处取得最大值， 此时点的坐标为，即； 情况3，当时，点在对称轴两侧， 则在顶点处取得最大值，则最小值为， 将代入中， 解得， ∴此时最小值在点处取得，或者在点关于对称轴对称时取得，即， ∴； 综上所述，当或时，图象的最大值与最小值的差为． 【小问3详解】 解：如图所示，分别过点向作垂线，垂足分别为点，过点作轴的垂线，交于点， ， 由题知，点到轴的距离为， ∵点在第四象限， ∴， 则， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； 设直线的表达式为， 将点分别代入中， ，解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴设直线的表达式为， 将点代入中，解得， ∴直线的表达式为； 联立，解得（舍），， 将代入，解得， ∴点的坐标为； 设点，则点的坐标为， 则， ∵， ∴， ∴面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期学情调研 九年级数学练习 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三道大题，23道小题．满分120分．考试时长120分钟． 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 2. 将一元二次方程化成一般形式是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 5. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 8. 如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 9. 已知抛物线经过两点，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，点、、、是正方形四条边(不含端点)上的点，设线段的长为，四边形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是(　　) A. B. C. D. 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根为_______． 12. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围为_________． 13. 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 14. 在压力一定的情况下，压强与受力面积是反比例函数关系，某木块竖直放置在水平地面上，受力面积时，；若受力面积为，则它对地面的压强为_________． 15. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为___________． 三．解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 17. 二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … （1）选取部分数据求这个二次函数的表达式； （2）在图中画出此二次函数的图象； （3）结合图象，直接写出当时，自变量的取值范围． 18. 首届“东北超”话题不断，引爆全网，东北地区某旅行社顺势推出“跟着东北超去旅行”活动．月份，该活动的报名人数为人，随着“东北超”热度不断提升，月份，活动报名人数达到人．若每月报名人数的增长率相同，请求出该活动报名人数的月平均增长率． 19. 在力（单位：）的作用下，若物体会在力的方向上发生位移（单位：），则力所做的功（单位：）满足，当为定值时，与之间的函数关系如图所示． （1）当力为时，求所做的功； （2）写出关于的函数解析式； （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 20. 综合与实践 如图，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度，最大宽度，图是桌面轮廓的俯视图，上方抛物线顶点到的距离为，下方抛物线顶点到的距离为，直线为竖直轮廓的对称轴，且．以所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请你直接写出点的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式． （2）如图，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移，将下方抛物线向上平移若干厘米，两条新抛物线相交于上的点，点，求的长． 21. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个根分别为，，若，求的值． 22. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点为反比例函数图象上一动点，连接，以，为邻边构造平行四边形． （1）求的值； （2）如图，过点作轴于点，若的边经过点时，求点坐标； （3）如图，当点在点左侧时，若的面积为，求点坐标． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求，，三点的坐标； （2）如图，是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象，若图象的最大值与最小值的差为，求的取值范围； （3）如图，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，设点的纵坐标为，若的面积为，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $