第五章 二次函数（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材北师大版九年级上册

第五章 二次函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）下列关系中，是二次函数的是（     ） A．大米每千克4元，购买数量（kg）与所付钱数（元） B．圆的面积（）与半径（） C．矩形的面积为，两邻边长（）与（） D．气温（℃）随时间的变化 【答案】B 【详解】解：A选项，由题意得，不符合二次函数定义，不符合题意； B选项，由圆的面积公式得，符合二次函数定义，符合题意； C选项，由题意得，不符合二次函数定义，不符合题意； D选项，气温与时间无明确二次函数关系，不符合题意． 2．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）若点，，都在抛物线上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，， 当时，，当时，，∵，∴ ． 3．（2025·安徽·模拟预测）若抛物线与抛物线在同一个平面直角坐标系中且关于轴对称，则符合条件的、的值为（   ） A． B．， C． ， D．， 【答案】C 【详解】解：根据两抛物线关于轴对称，则它们的二次项系数、一次项系数、常数项均互为相反数， ∴解得：，故选：C． 4．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）二次函数的图像经过平面直角坐标系的四个象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，二次函数的图像开口向上，对称轴是直线，顶点为， 二次函数的图像经过平面内的四个象限，顶点在轴的下方，与轴的交点在负半轴， ，解得：，故选：C． 5．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴直线为，即对称轴在轴左侧，故C不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴直线为，即对称轴在轴右侧，故A符合题意，B、D不符合题意； 6．（2025·黑龙江佳木斯·二模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设y与x之间的函数解析式为，，得， 即y与x之间的函数表达式是； 由题意可得，， 即W与x之间的函数表达式是．故选：B． 7．（2022·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若抛物线y＝向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的值不可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【详解】解：设平移后的解析式为y＝﹣m， 将B点坐标代入，得4﹣m＝2，解得m＝2， 将D点坐标代入，得9﹣m＝1，解得m＝8， ∴y＝向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8，观察选项，只有选项A符合题意．故选：A． 8．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）已知函数的图象上有两个点，且两点不重合，有下列结论： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则．其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【详解】解：，对称轴为直线，开口向上， ①，，两点关于直线对称，不是抛物线对称轴，，，错误； ②，，两点关于直线对称，，，正确； ③，在对称轴右侧，随的增大而增大，，，，，错误；④，在对称轴左侧，随的增大而减小，，，，，正确，综上正确的是：②④． 9．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，∴，， ∵二次函数的对称轴为直线，∴，∴，∴，则结论①错误； 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴对于任意实数，都有，即，则结论②正确； 由二次函数的图象可知，当时，，∴，又∵，∴，则结论③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点，∴点、关于这个二次函数的对称轴对称， ∴，∴，则结论④错误；综上，正确的结论有②③． 10．（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（     ） A． B． C．或 D．以上都不正确 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上的一点，∴，解得，∴该抛物线的函数解析式为，； 的周长，且是定值，∴只需最小即可． 如图1，当点P在y轴上时，过点M作关于y轴对称的点，则，连接，与y轴的交点即为所求的点P． 设直线的解析式为，则，解得，∴该直线的解析式为． 在中，当时，，即，由轴对称的性质可得， ∴； 同理，如图2，当点P在x轴上时，过点M作关于x轴对称的点，则，连接，与x轴的交点即为所求的点 同理可得直线的解析式为，在中，时，，∴； 由轴对称的性质可得，∴； ∵，∴当点P的坐标为时，的周长最小． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是__________ 【答案】或 【详解】解：∵对称轴为直线，且该抛物线与轴的一个交点为， ∴该抛物线与轴的另一个交点为， ∵函数图象开口向下，∴不等式的解集是或． 12．（26-27九年级上·成都·单元复习）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在轴上；乙：当时，随的增大而减小；丙：该函数图象的形状与函数的图象相同．已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵函数图象的顶点在轴上，∴设二次函数的解析式为， ∵该函数图象的形状与的图象相同，∴， ∵当时，随的增大而减小，∴抛物线开口向上，∴，∴，且对称轴， ∴取，可得满足所有性质的二次函数为． 13．（2026·贵州遵义·校考一模）若一个函数的图象关于轴对称，则称这个函数为偶函数，如二次函数是偶函数．若二次函数是偶函数，则的值为___________． 【答案】3 【详解】∵二次函数是偶函数，∴二次函数的对称轴为轴， ∴，即：，即有：，故答案为：3． 14．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为___________． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， ∴取任何数时，抛物线与轴都有两个交点， 根据抛物线的性质的，此时抛物线开口大小固定，抛物线顶点纵坐标为负值， 当抛物线的顶点纵坐标越大时，阴影部分面积越小， ∴顶点纵坐标为， ∴顶点纵坐标可看作关于的二次函数，开口向下，顶点纵坐标为最大值， ∴此二次函数的顶点横坐标为，故答案为：． 15．（26-27九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，分别过点（、2、…、）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为__________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：，， ． 16．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线（a为常数）． （1）若该抛物线经过点，则_______； （2）若点，，，均在该二次函数的图象上，则______． 【答案】 1 2 【详解】解：（1）把点代入二次函数，得，解得． （2）∵点，在该二次函数的图象上，该抛物线的对称轴为直线， ∴，即，∴抛物线的解析式为． 又∵点，在该二次函数的图象上，∴， ，∴． 又∵点在该二次函数的图象上，∴，整理，得，∴． 17．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点为，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为，平移前后的两条抛物线相交于点，若为等边三角形，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：原抛物线配方得，∴顶点的坐标为， ∵抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到顶点， ∴顶点的坐标为，平移后抛物线解析式为， 联立两个抛物线方程，可得，整理得， ∵，两边同除以得，解得， 将代入，得，∴点坐标为， ∵，，∴（）， 如图所示，过点作于点，则为中点，坐标为， ， ∵是等边三角形，，∴， 又，∴， ∵，两边同除以得，解得（不符合题意，舍去）． 18．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在矩形中，，，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．二次函数的图象与矩形的边有交点，记函数在的范围内的最小值为，最大值为．若，则的值为_________． 【答案】或 【详解】解：由题意可知，顶点，顶点纵坐标恒为， 把代入；； 把代入；； ∵二次函数的图象与矩形的边有交点， ① 当，此时最大值，代入： 即在上，函数最小值， ∵抛物线开口向下，函数在的范围内的最小值出现在离对称轴更远的端点， ∴若，对称轴靠右，左端点更远， 当时，；；；∴；∵； 若，对称轴靠左，右端点更远， 当时，；；或 ∵；；，，∴或都符合题意； ② 当，对称轴在区间左侧，函数在随的增大而减小， 最大值在时取到，即，最小值在时取到，即， 代入得解得：，的值不在范围，舍去； ③ 当，对称轴在区间右侧，当时，随的增大而增大： 最大值在时取到，，最小值在时取到，， 代入得解得；的值不在范围，舍去； 综上：或． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（26-27安徽蚌埠九年级期中）已知二次函数． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：当时，，此时该函数的顶点坐标为； （2）解：， ∴当，即时，，∴该定点坐标为； （3）解：，∴该函数顶点纵坐标为， ，，∴当时，取得最大值，最大值为． 20．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求的值；(2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值． 【答案】(1)的值分别为(2)或2 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点， ，解得，即的值分别为； （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； ①当时，，则此时当时，函数值随自变量的增大而增大， 当时，有最大值3，，解得（舍去）或； ②当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； ③当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ，解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2． 21．（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … … … … (1)求二次函数的表达式，在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (2)当时分别求出函数的最大值和最小值． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为．请直接写出的值． 【答案】(1)二次函数的表达式为，图象如下所示． (2)当时，函数的最大值和最小值分别为和．(3)或． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式得： ，解得，二次函数的表达式为，图象略． （2）解：，当时，；当时，；当时，； 当时，函数的最大值和最小值分别为和． （3）解：将二次函数的图象向右平移个单位长度后的新抛物线解析式为，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为，对分类如下： ①当时，函数的最小值在时取得，即为，函数的最大值在时取得，即为，有，解得，舍去； ②当时，函数的最小值在时取得，即为，函数的最大值在时取得，即为，有，解得或（舍去）； ③当时，函数的最小值在时取得，即为，函数的最大值在时取得，即为，有，解得或（舍去）； ④当时，函数的最小值在时取得，即为，函数的最大值在时取得，即为，有，解得（舍去）； 综上，或． 22.（2026·广东深圳·三模）综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】(1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为________． ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为________． (2)【拓展与运用】①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么的最小值是多少？ 【答案】(1)解：描点、连线，图象如图所示： ①一次；；②二次； (2)①不会超出该路面范围；② 【详解】（1）解：①v与t之间的关系可以近似地用一次函数表示， 设，将点与点代入函数关系式中， 可得，解得，∴， ∴v与t的函数关系式为． ②y与t之间的关系可以近似地用二次函数，设， 将点，点，点代入函数关系式中， 可得，解得，∴， ∴y与t之间的函数关系式为． （2）解：①不会超出该路面范围， ∵当新能源汽车完全停车时，∴，即， ∴新能源汽车行走的最大距离为， ∵，∴不会超过路面范围； ②∵，设，由题意，得：，∴， ∴当时，d最大为；∴最小为． 23．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）小明同学学习二次函数后，对函数研究．在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题： (1)观察研究①方程的解为________． ②关于x的方程有四个实数根时a的取值范围是____ (2)综合应用：当函数的图象与直线也有三个交点时，求出b的值． 【答案】(1)或或；(2)或 【详解】（1）解：补充并观察图象可知：上顶点为，中间顶点为， ①方程的解为：或或； ②关于x的方程有四个实数根时，则a的取值范围是． 故答案为：或或；； （2）把点代入得，， 令，整理得，则，解得， ∴当函数的图象与直线有三个交点时，b的值为或； 24．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，抛物线与轴相交于点，且经过两点，连接． (1)求抛物线的解析式；(2)点为轴下方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标以及面积最大值；(3)抛物线顶点为，对称轴与轴的交点为，点为轴上一动点，请问是否存在点以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)时最大为： (3)或或或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且经过两点， ∴，解得：，即：； （2）解：连接，当时，，即：， 设，且， ∵，∴，∴， ， ， ∴， ∵∴开口向下，∴当时，最大为：，时，最大为：； （3）答：存在，理由如下：∵，∴， ∵，∴，∴， 当时，，即：，解得：，∴或； 当时，，即：，解得：，∴或 综上：或或或． 25．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）定义：用抛物线与x轴的两个公共点分别作为两条新抛物线的顶点，且新抛物线经过原抛物线的顶点，则称这两条新抛物线为一组“衍生对称抛物线”．如图1，抛物线，为抛物线C的“衍生对称抛物线”． (1)已知原抛物线的解析式为，请直接写出该抛物线的一组“衍生对称抛物线”． (2)若和为某抛物线的一组“衍生对称抛物线”，求证：． (3)如图2，抛物线与x轴的负半轴交于点A，抛物线是以A为顶点的抛物线L的“衍生对称抛物线”，B为抛物线上对称轴左侧的一点，过点B作轴，BE与抛物线L，抛物线从左往右依次交于点C，D，E，若，求点E的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线，求出与轴的交点坐标， 以及顶点坐标， 再以为顶点坐标，设抛物线解析式为，代入顶点坐标， 得到方程，解得，∴第一条衍生抛物线解析式： ， 再以为顶点坐标，设抛物线解析式为，代入顶点坐标， 得到方程，解得，∴第二条衍生抛物线解析式： ． (2)证明：由题意可知，， ． 每组“衍生对称抛物线”的顶点都在x轴上， ，，，． （3）解：如图所示，易求得点A的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 抛物线L，的对称轴分别为直线，直线． 抛物线L的顶点坐标为，易求得抛物线的解析式为． 设点B的横坐标为，则点D的横坐标为，． ，，点C的横坐标为． 点B与点C的纵坐标相同，， 整理得，解得或（舍去）， 点C的横坐标为，点E的横坐标为． 26．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．         (1)求抛物线的解析式；(2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，为第四象限抛物线上一点，连接，过点作分别交、轴于、两点，当为线段的中点时，求点的坐标． (4)如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：∵与轴交于、两点， ∴，解得，∴该抛物线的解析式为； （2）解：连接，当时，，则， ∵，∴，∴， ∵，∴点P在x轴的上方，如图，，过A作交于M，过作轴于N，则， ∴，，∴， ∴，∴，，∴，∴， 设直线的函数表达式为，将代入，得，解 得， ∴直线的函数表达式为， 解方程组得，，∴点P的坐标为； （3）解：设直线的函数表达式为，将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为，设，， ∵，∴直线的函数表达式为， 将D坐标代入，得，解得，∴， ∵为线段的中点时，∴，即， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得，∴直线的函数表达式为， ∵点N在直线上，∴，解得，，∴点D坐标为； （4）解：过A、G分别作y轴的平行线，过M、N分别作x轴的平行线，分别交两条平行线于E、F、I、J，则，∴四边形是矩形， ∵，∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点． ∴设，， ∵四边形为平行四边形，∴，，∴， ∵，∴，又，∴， ∴，∴，，，同理，， ∴，，∴，， ∴，∴，则，∴， ∵四边形为的面积为，∴由得 整理，得，解得，（舍去）， ∴，，∴点G坐标为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二次函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）下列关系中，是二次函数的是（     ） A．大米每千克4元，购买数量（kg）与所付钱数（元） B．圆的面积（）与半径（） C．矩形的面积为，两邻边长（）与（） D．气温（℃）随时间的变化 2．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）若点，，都在抛物线上，则（     ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·模拟预测）若抛物线与抛物线在同一个平面直角坐标系中且关于轴对称，则符合条件的、的值为（   ） A． B．， C． ， D．， 4．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）二次函数的图像经过平面直角坐标系的四个象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江佳木斯·二模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 7．（2022·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若抛物线y＝向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的值不可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 8．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）已知函数的图象上有两个点，且两点不重合，有下列结论： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则．其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 9．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 10．（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（     ） A． B． C．或 D．以上都不正确 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是__________ 12．（26-27九年级上·成都·单元复习）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在轴上；乙：当时，随的增大而减小；丙：该函数图象的形状与函数的图象相同．已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式：_________． 13．（2026·贵州遵义·校考一模）若一个函数的图象关于轴对称，则称这个函数为偶函数，如二次函数是偶函数．若二次函数是偶函数，则的值为___________． 14．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为___________． 15．（26-27九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，分别过点（、2、…、）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为__________． 16．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线（a为常数）． （1）若该抛物线经过点，则_______； （2）若点，，，均在该二次函数的图象上，则______． 17．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点为，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为，平移前后的两条抛物线相交于点，若为等边三角形，则m的值为______． 18．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在矩形中，，，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．二次函数的图象与矩形的边有交点，记函数在的范围内的最小值为，最大值为．若，则的值为_________． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（26-27安徽蚌埠九年级期中）已知二次函数．(1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标；(3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 20．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，．(1)求的值；(2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值． 21．（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … … … … (1)求二次函数的表达式，在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．(2)当时分别求出函数的最大值和最小值．(3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为．请直接写出的值． 22.（2026·广东深圳·三模）综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】(1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为________． ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为________． (2)【拓展与运用】①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么的最小值是多少？ 23．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）小明同学学习二次函数后，对函数研究．在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题： (1)观察研究①方程的解为________． ②关于x的方程有四个实数根时a的取值范围是____ (2)综合应用：当函数的图象与直线也有三个交点时，求出b的值． 24．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，抛物线与轴相交于点，且经过两点，连接． (1)求抛物线的解析式；(2)点为轴下方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标以及面积最大值；(3)抛物线顶点为，对称轴与轴的交点为，点为轴上一动点，请问是否存在点以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 25．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）定义：用抛物线与x轴的两个公共点分别作为两条新抛物线的顶点，且新抛物线经过原抛物线的顶点，则称这两条新抛物线为一组“衍生对称抛物线”．如图1，抛物线，为抛物线C的“衍生对称抛物线”． (1)已知原抛物线的解析式为，请直接写出该抛物线的一组“衍生对称抛物线”． (2)若和为某抛物线的一组“衍生对称抛物线”，求证：． (3)如图2，抛物线与x轴的负半轴交于点A，抛物线是以A为顶点的抛物线L的“衍生对称抛物线”，B为抛物线上对称轴左侧的一点，过点B作轴，BE与抛物线L，抛物线从左往右依次交于点C，D，E，若，求点E的横坐标． 26．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．         (1)求抛物线的解析式；(2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，为第四象限抛物线上一点，连接，过点作分别交、轴于、两点，当为线段的中点时，求点的坐标． (4)如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，直接写出点的坐标． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $