第五章 二次函数 单元质量检测题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第五章 二次函数 单元质量检测题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册（含答案） A卷（100分） 一、选择题（每题4分，共32分） 1．下列二次函数中，二次项系数是－3的是（　　） A．y＝3x2－2x＋5 B．y＝x2－3x＋2 C．y＝－3x2－x D．y＝x2－3 2．对于抛物线，以下说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 3．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 4．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）4题图 A． B． C． D．或 5．抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ） A． B． C． D．4 6．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　）6题图 A． B． C． D． 7．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： 0 1 3 3 4 3 0 下列说法错误的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 8．如图，点是抛物线的顶点．下列结论正确的是（　　）8题图 A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m ． 10．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，若，则　 　 （填“”“ ”或“” ． 11．二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 11题图 12题图 12．如图，是抛物线上两点，点为的中点，过作轴的垂线，交抛物线于点，．设两点的横坐标分别为．则的值为 ． 13. 将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 三、解答题(共48分) 14．（8分）已知二次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，A在B的右侧． （1）求点A，B，C的坐标； （2）直接写出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围． 15．（10分）已知二次函数，其中为常数． （1）若，求此函数图象的顶点坐标； （2）当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 16．(10分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． （1）求此抛物线的函数关系式； （2）在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l//y轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大值是多少？ 17．（10分）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超” ）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 18．（10分）已知抛物线，其对称轴交轴于点，将点向右平移1个单位得到点，点与点的横坐标相同，且点的纵坐标为，则点是抛物线的“派生点”，直线称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点，抛物线与其派生直线的公共点为，点为其派生直线上一点，求的值，并判断点是否在该抛物线上． B卷（20分） 一、填空题（每小题2分，共6分） 19．已知二次函数，当－2≤x≤3时，函数的最大值为 ． 20．抛物线与轴交于，两点，且，则的值为　　 ． 21．如图，直线与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧），若在抛物线L上存在定点P使，则点P到直线的最大距离为 ．21题图 二、解答题（4题6分，5题8分，共14分） 22．某商场销售A，B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元． （1）求A，B两种商品的销售单价； （2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A，B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A，B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 23．如图，二次函数（其中的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点． （1）若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上． （2）当时，二次函数的最大值为9，求的值． （3）连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请求出的最小值． 九年级数学（五）　第 6 页 （共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 26—27学年度九年级数学上册质量监测题参考答案 第五章 二次函数 一、选择题 1-8： C B D C B C C B 二、填空题 9.m<1； 10. <； 11.m≤9 12. 13. 或 三、解答题 14. 解：（1）令，则， 解得 ，， ∴， 令，则， ∴； （2）∵， ∴图像位于x轴下方， ∴x取值范围为． 15.解：（1），二次函数， ， 此函数图象的顶点坐标是； （2）二次函数， 该函数的对称轴为直线，图象开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ， 解得． 16.（1）解：抛物线经过、两点，且， ，， 将其分别代入抛物线解析式，得， 解得． 故此抛物线的函数关系式为：； （2）设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，， 把代入抛物线，得点的坐标为， 当点的坐标为时，有最大值，最大值为 17.解：（1）由题意，设每月产量的增长率是， ， 或（负值不合题意，舍去）． 答：每月产量的增长率为； （2）设该食品厂获利为元，应降价元， ． ， 当时，取得最大值，最大值为2205． 答：应降价9元，且最大利润为2205元． 18.解：（1）抛物线的解析式为， 对称轴为直线，即轴，， ， ， ， ， 设直线的表达式为， 将，代入得， ， 解得， 直线的表达式为，即其派生直线的表达式为； （2）将点、代入直线得，，， ，， 设抛物线解析式为， 则，，，，，， 由题可知直线解析式为， 则， 解得或（舍， 点在抛物线上， ，即， 解得， 抛物线解析式为， 当时，， 在抛物线上， ，， ， ，， ． B卷 一、填空题 14. 5 20. 1或3 21. 二、解答题 22.解：（1）设的销售单价为元,B的销售单价为元，则 ，解得， 答：的销售单价为元,B的销售单价为元； （2）种商品售价不低于种商品售价， ，解得，即， 设利润为，则 ， ， 在时能取到最大值，最大值为， 当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元． 23.解：（1）对于，当时，， 解得，， ，， 若，则，，， ，， 将点绕点顺时针旋转得到点， ，， ， 设直线， 则， 解得， 直线； 对于，当时，， ， 由可得对称轴为直线， 点关于二次函数图象对称轴的对称点为， 当时，， 点不在直线上； （2）由（1）可得，， 对称轴为直线， 当，即时， 抛物线中，，则抛物线开口向上， 当时，随着的增大而增大， 当时，函数取得最大值， ，整理得，， 解得或（舍去）； 当，即时，， 若，即时，此时离对称轴更远， 当时，函数取得最大值9， ， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 若时，即此时离对称轴更远， 当时，函数取得最大值， ，整理得，， 解得或，均不在范围内，故舍去； 当，即时， 当时，随着的增大而减小， 当时，函数取得最大值， ，整理得，解得或（舍去）； 综上：的值为或4； （3），， 同（1）可求 对于，对称轴为直线， 把代入可得，， 设直线，则， 解得， ， 设直线代入， 则， 解得， 直线， 当时，，， 当时，取得最小值为． 8 学科网（北京）股份有限公司 $