第五章 二次函数 素养检测（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

第五章　《二次函数》素养检测 (满分：100分　　时间：90分钟) 班级：____________　　学号：____________　　姓名：____________　　分数：____________ 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的) 1．(2026春·宝安区校级月考)下列函数中，一定是关于x的二次函数的是(D) A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝2x－3 C．y＝x2－ D．y＝3x2＋x－2 2．函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(C) A． B． C． D． 3．已知关于x的二次函数y＝x2＋(b－3)x－b的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是(C) A．b<3 B．b>3 C．b≤0 D．b<0 4．(2025秋·越秀区校级月考)在函数y＝2x2＋4x－5的图象上有三点，A1(－2，y1)，A2(－1，y2)，A3(1，y3)，则下列各式中，正确的是(C) A．y1<y2<y3 B．y3<y2<y1 C．y2<y1<y3 D．y3<y1<y2 5．将抛物线y＝x2－4x＋3平移，使它平移后的顶点为(－2，4)，则需将该抛物线(C) A．先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度 6．(2025秋·惠城区校级月考)抛物线的对称轴为直线x＝3，其所对应的二次函数的最大值为－5，且与y＝x2的图象开口大小相同，则这条抛物线表达式为(B) A．y＝－(x＋3)2＋5 B．y＝－(x－3)2－5 C．y＝(x＋3)2＋5 D．y＝(x－3)2－5 7．(2025秋·宝安区校级月考)如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m。那么水位下降1 m时，水面的宽度为(B) A． m B．2 m C．(－4) m D．(2－4) m 8．(2025秋·广州校级期中)如图，已知抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋b交于A(－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋c>kx＋b的解集是(C) A．x<－3或x>1 B．x>－3或x<1 C．－3<x<1 D．－1<x<1 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 9．如果函数y＝(m－3)x|m-1|＋3x－1是二次函数，那么m的值为－1。 10．二次函数y＝x2－2x＋6的最小值是5。 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝ax2－2ax(a>0)和直线y2＝kx(k>0)交于点O和点A．如果点A的横坐标是3，那么关于x的不等式kx>ax2－2ax的解集是0<x<3。 　　　　　　　　　　　　 12．若二次函数y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个根为x1＝3，则另一个根为x2＝－1。 13．如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5 m，高度是4 m。若实心球落地点为M，则OM＝m。 三、解答题(本大题共7小题，共61分) 14．(6分)已知二次函数y＝x2＋4x－6，将二次函数的表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。 解：y＝x2＋4x＋4－6－4＝(x2＋4x＋4)－10 ＝(x＋2)2－10， ∵a＝1>0， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，－10)。 15．(6分)已知函数y＝x2＋2mx＋m－1(m为常数)，求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点。 证明：根据二次函数与一元二次方程的关系， 函数y＝x2＋2mx＋m－1的图象与x轴有两个公共点相当于一元二次方程x2＋2mx＋m－1＝0有两个不相等的实数根， 此方程中Δ＝(2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝4(m－)2＋3＞0， ∴不论m取何值，一元二次方程x2＋2mx＋m－1＝0总有两个不相等的实数根， 即不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点。 16．(6分)如图，用一段长40 m的篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园ABCD，设菜园的一边AB长为x m，菜园的面积为S m2，当x为何值时，围成的菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：∵AB＝CD＝x m， ∴BC＝(40－2x)m， 根据题意，得S＝x(40－2x)＝－2x2＋40x， ∵S＝－2x2＋40x＝－2(x－10)2＋200， ∴当x＝10时，S有最大值，S最大＝200， 即当x＝10时，围成的菜园的面积最大，最大面积是200 m2。 17．(9分)动画电影《疯狂动物城2》全球公映，某文创公司在影片热映期间推出一款成本价为每卷3元的角色贴纸投放市场，售价范围为4元至7元，经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量y(卷)与每卷售价x(元)满足函数关系y＝－100x＋1 400。 (1)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达1 800元？ (2)当每卷贴纸售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 解：(1)由题意得(x－3)(－100x＋1 400)＝1 800， 解得x1＝5，x2＝12 ∵4≤x≤7， ∴x＝5。 答：公司将该贴纸每卷售价定为5元时，每天销售该贴纸的利润可达1 800元。 (2)设每天获利w元， 则由题意得，w＝(x－3)(－100x＋1 400)＝－100x2＋1 700x－4 200， ∴对称轴为直线x＝8.5； 又∵－100<0，开口向下，且4≤x≤7， ∴由函数的性质可知，当x＝7 时，w取得最大值， 此时，wmax＝2 800。 答：当每卷贴纸售价为7元时，每天获利最大，最大利润为2 800元。 18．(10分)跳绳是一项促进学生体质健康发展的运动，可以发展学生的速度耐力、协调性、灵敏性等身体素质。如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，抛物线表达式的二次项系数为－0.1，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6 m，距地面均为1 m，以甲所在的地面的O点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系。 (1)求抛物线的函数表达式； (2)身高为1.63 m的小梦也想参加这个活动，她在距离甲1米的地方跳绳，请问她在跳绳时，头顶会碰到绳子吗？如果会碰到，她至少需要向乙移动多少米才不会碰到绳子(假定当绳甩到最高处时，学生双脚处于落地状态)? 解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝－0.1x2＋bx＋c， 由题意可知，点(0，1)和(6，1)都在该抛物线上， ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－0.1x2＋0.6x＋1。 (2)∵y＝－0.1x2＋0.6x＋1＝－0.1(x－3)2＋1.9， ∴当x＝1时，y＝－0.1(1－3)2＋1.9＝1.5，1.5＜1.63， ∴小梦头顶会碰到绳子。 令1.63＝－0.1x2＋0.6x＋1，解得x＝3±， ∴她至少需要向乙移动3－－1＝(2－) (m)才不会碰到绳子。 19．(12分)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2相交于A(－2，0)，B(3，m)两点，与x轴相交于另一点C。 (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A、B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标； (3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 解：(1)把B(3，m)代入y＝x＋2得：m＝3＋2＝5， ∴B(3，5)， 把A(－2，0)，B(3，5)代入y＝－x2＋bx＋c得： 解得 抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8； (2)设P(t，－t2＋2t＋8)，则E(t，t＋2)，D(t，0)， ∵PE＝2DE， ∴－t2＋2t＋8－(t＋2)＝2(t＋2)， 解得t＝1或t＝－2(此时P不在直线AB上方，舍去)； ∴P的坐标为(1，9)； (3)M的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)。 20．(12分)(2025·南山区三模)项目式学习 【问题情境】 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1 s充电1 km”。如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究。 【研究步骤】 如图2是该超级充电站的截面图，OA是安装充电桩的墙面，AB是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系。已知OA＝2.5 m，点B为AB所在抛物线的最高点，其坐标为(4，3.5)。 (1)求AB所在抛物线的函数表达式； 【问题解决】 如图2，点C是AB上干粉灭火器的安装点，CD是长度为41 cm的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点。已知干粉喷射点D距离地面3 m时，对地面的保护半径为2 m。对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域。安装点C可根据需要在AB所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同。 (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为3 m时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点(1，1)？请说明理由； (3)若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙OA的交点为(0，1.09)，请直接写出点D的横坐标。 解：(1)由题意，AB所在抛物线的顶点坐标为(4，3.5)， ∴设AB所在抛物线的表达式为y＝a(x－4)2＋3.5， 将点A(0，2.5)代入，得2.5＝a(0－4)2＋3.5， 解得a＝－， ∴AB所在抛物线的表达式为y＝－(x－4)2＋3.5，即y＝－x2＋x＋2.5。 (2)不能覆盖着火点(1，1)，理由如下，由题意，得yD＝3，yC＝3＋0.41＝3.41， 对于y＝－(x－4)2＋3.5，令y＝3.41，则3.41＝－(x－4)2＋3.5， 解得x＝5.2(5.2>4舍去)或x＝2.8，∴点C(2.8，3.41)，∴点D(2.8，3)， 设点D所在抛物线的表达式为y＝b(x－2.8)2＋3， ∵对地面的保护半径为2 m， ∴此抛物线与x轴的两个交点为(2.8－2，0)和(2.8＋2，0)，即(0.8，0)和(4.8，0)， 将(0.8，0)代入得0＝b(0.8－2.8)2＋3，解得b＝－，∴抛物线的表达式为y＝－(x－2.8)2＋3， 令x＝1，则y＝－(1－2.8)2＋3＝0.57<1， ∴点(1，1)在抛物线与x轴形成的区域的外侧，∴不能覆盖着火点(1，1)。 (3)点D的横坐标为。 学科网（北京）股份有限公司 $