精品解析：辽宁锦州市第八初级中学2026-2027学年上学期九年级10月阶段学情自测数学试卷

九年数学试卷 考试时间100分钟 试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题包括10道小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，每小题只有一个最符合题目要求的选项．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 2. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】需注意各特殊四边形判定定理的适用前提，逐一验证选项． 【详解】解：A、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误； B、 对角线相等的平行四边形是矩形，仅对角线相等的四边形无法判定为矩形，错误； C、 平行四边形的对边相等，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，错误； D、 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合菱形判定条件． 4. 给出下列各组线段，其中四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段的判断，准确分析判断是解题的关键． 判断四条线段是否成比例，可通过计算最小线段与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积来验证． 【详解】对于选项：线段长为，，，， ，，， 不成比例； 对于选项：线段长为，，，， ，，， 不成比例； 对于选项：线段长为，，，， 将线段从小到大排序为：，，，， ，，， 不成比例； 对于选项：线段长为，，，， 将线段从小到大排序为：，，，， ，，， 成比例． 故选． 5. 某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：每个站点到其余个站点各有1种去程车票，往返车票不同， 总车票数为，结合共56种往返车票， 得方程. 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形对角线互相平分且相等求出，的长，利用线段垂直平分线的性质得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴, ∵垂直平分线段， ∴． 7. 如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 8. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，取的中点，连接、，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正方形的性质和直角三角形的两个锐角互余得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴． 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式与根的情况的关系，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 10. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图知， 根据矩形得到， 根据勾股定理得到， 由作图知，垂直平分， 得到， 求得， 进而得出，最后由三角形中线的性质结合三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由作图知， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由作图知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点是的中点， ∴的面积． 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11. 如果，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，可设，（其中），再代入所求表达式计算． 【详解】解：， ∴可设，（其中）， ∴ 故答案为 ． 12. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 13. 如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，，则的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，，结合勾股定理计算得出，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴的坐标为． 14. 如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，点是对角线上的动点，的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，作于点，交于点， 则，当且仅当三点共线时取等， 而当时有最小值， 作于点，则四边形是矩形， 利用勾股定理可求出的长，即可得到答案． 【详解】解：作点关于的对称点，作于点，交于点， 则，当且仅当三点共线时取等， 而当时有最小值， 作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴（负值已舍去）， ∴， 即的最小值为． 15. 如图，正方形中，点E为边上一个动点，连接，以为对角线作正方形，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④若，那么正方形的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据正方形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短等知识点，对四个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，且为正方形的对角线， ∴，， ， ，， 对于①：设与交于点H，如图所示： ∵， ， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴，故①错误； 对于②：在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； 对于③：过点G作，交的延长线于点P，过点G作于点Q，过点F作于点M，作于点N，如图所示： 则， ∵， ∴四边形和四边形为矩形， 由①知， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 同理得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，故③正确； 对于④：正方形的周长为： ， ∴当最小时，正方形的周长最小， ∵点 E为边上一个动点， 又∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∴当点E与点D重合时，最小，且最小值为的长， ∵四边形为正方形， ∴， ∴正方形的周长最小值为，故④正确； 综上，正确的结论是③④． 三、计算题（本题包括4道小题，每小题5分，共20分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）先移项，再利用直接开平方法解一元二次方程即可； （4）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得，， 配方得，， 解得，即或， ，． 【小问2详解】 解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问3详解】 解：， 移项得，， 系数化为得，， 直接开平方得，， ∴，． 【小问4详解】 解：， ， ， ， 或， ∴，． 四、解答题（本题包括3道小题，17、18小题8分，19小题7分，共23分） 17. 阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1 因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2 求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： （1）用配方法将因式分解． （2）用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． （3）当________时，代数式有最大值，是________． 【答案】（1） （2）当时，有最小值，最小值为 （3）； 【解析】 【分析】（1）仿照例使用配方法进行因式分解即可； （2）模仿例使用配方法求代数式的最小值即可； （3）利用配方法求代数式的最大值即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，的值最大，最大值为． 18. 已知菱形中对角线、相交于点，点是线段的中点，过点作，交延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图所示，连接， 四边形是菱形， ，， ，， ， ，即， 在中，， ， ． 点F为中点， 点O为中点， 为中位线， 且， 点F是中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，可得四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得四边形是矩形； （2）求得，则可得，再求得，利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 点F为中点， ． 在中，． 19. 某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为． （1）请用含的代数式表示横向通车道的长； （2）求该停车场的每个停车位的宽． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据长比宽的2倍多表示出停车位的长，再结合图形中横向停车位的排列数量，加上通车道宽度相关的部分，得到横向通车道的长的表达式； （2）结合图形分别表示出整个停车场的长和宽，利用停车场面积为建立方程，并解方程，结合实际意义对根进行取舍，得到停车位的宽即可． 【小问1详解】 解：∵每个停车位的宽为，且长比宽的2倍多， ∴停车位的长为， 观察图形可得横向通车道的长为4个停车位的宽与两个停车位长的和， ∴横向通车道的长为； 【小问2详解】 解：由题意得： 整理得： 解得：，（舍去） 答：货运停车场的每个停车位的宽为． 五、解答题（本题包括4道小题，每小题8分，共32分） 20. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，F为上一点，且． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，从而得，由同角的补角相等得到，然后根据两角相等的两个三角形相似证明即可解答； （2）利用（1）的结论可得，代入数据计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， ， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长,为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【答案】（1）该款帐篷价格每次下降的百分率为 （2）该款帐篷每套可以涨价元或元 【解析】 【分析】（1）设每次下降的百分率为x，根据原价和两次降价后的价格列出一元二次方程求解即可； （2）设每套涨价y元，表示出单套盈利和月销售量，根据月销售利润列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该款帐篷价格每次下降的百分率为， ∵帐篷原价为每套300元，两次降价后为每套243元，且两次降价百分率相同， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该款帐篷价格每次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设该款帐篷每套涨价元， ∵每涨价10元，月销售量减少20套， ∴涨价元时，月销售量减少套， 此时单套盈利为元，月销售量为套， ∵月销售利润要达到9600元， ∴， 解得，，均符合实际意义， 答：该款帐篷每套可以涨价元或元． 22. 定义：若一个四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它的对角顶点的对角线，将这个对角分成的两个角中，有一个角为直角，则称这样的四边形为“双垂直四边形”．如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为“双垂直四边形”，记作“双垂直四边形”． （1）用分别含有和角的直角三角形纸板如图2摆放，再连接顶点得到如图所示的四个四边形，其中不是“双垂直四边形”的______（填序号）． （2）【性质探究】如图3，在“双垂直四边形”中，已知，，E为线段上一点，且，判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图4，双垂直四边形在平面直角坐标系中的位置如图，点B在x轴上，点C在y轴上，，，D为边上一动点，且，连接．将沿翻折，得到，若，请写出点E的坐标． 【答案】（1）③ （2），理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“双垂直四边形”的定义逐一分析判断即可； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得； （3）由（2）可知，，再结合折叠的性质证明四边形为正方形，易得；然后分点E在y轴左侧时和点E在y轴右侧时两种情况，作出辅助线，然后求解即可． 【小问1详解】 解：图2四种直角三角形纸板摆放中， 图①②④，四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它对角顶点的对角线，将这个对角分成的两个角中，有一个角为直角，均为“双垂直四边形”； 图③，四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它对角顶点的对角线，将这个对角分成的两个角中没有直角，不是“双垂直四边形”， ∴③符合题意． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴四边形为菱形， 又∵，即， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 当点E在y轴左侧时， 如图，过点E作于点M，过点E作，交延长线于点N， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴点E的坐标为， 当点E在y轴右侧时， 如图，过点E作于点M，交延长线于点M，过点E作于点N， ∵，， ∴， 同理可得，四边形为正方形， ∴， ∴点E的坐标为， 综上所述，点E的坐标为或． 23. 小丽同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究．如图1，在菱形中，连接对角线，在对角线上取动点P，在射线上取动点Q，连接，，，且使． （1）【初步探究】小丽同学发现：如图2，当，且P为对角线的中点时，线段与线段之间存在一定的数量关系，写出此时线段与线段之间的数量关系________； （2）【再次探究】小丽同学又发现：如图3，当，且P为对角线上任意一点时，线段与线段之间仍存在一定的数量关系，请写出这个数量关系，并帮助小丽同学给予证明； （3）【深入探究】小丽同学进一步发现：如图4，当，且P为对角线上任意一点，菱形边长为，当时，直接写出的值________． 【答案】（1） （2）． 证明如下：如图，延长至点，使，连接，， ∵菱形，， ，， 在和中， ， ， ， ∵菱形，， ∴菱形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在等腰直角三角形中， ∴， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得四边形是正方形，根据正方形的性质，即可求解； （2）延长至点，使，连接，，证明得出菱形是正方形，证明得出，，进而证明是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，等量代换即可得出结论； （3）仿照（2）的方法，延长至点，使，连接，，过点作于点，证明得出，，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，作交于点E，连接，可知，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，根据三线合一得到，可知，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：，理由如下， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∵为对角线的中点， ∴， ∵， ∴重合， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至点，使，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形 ∴，， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，同理可得 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， 又∵ ，， ， ， ∴ 又∵ ， ∴ ∴ ∴ 如图，作交于点E，连接，可知 ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵菱形边长为， ∴， ∴， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年数学试卷 考试时间100分钟 试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题包括10道小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，每小题只有一个最符合题目要求的选项．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4. 给出下列各组线段，其中四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 5. 某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，取的中点，连接、，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 10. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11. 如果，那么_________． 12. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 13. 如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，，则的坐标为________． 14. 如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，点是对角线上的动点，的最小值是________． 15. 如图，正方形中，点E为边上一个动点，连接，以为对角线作正方形，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④若，那么正方形的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、计算题（本题包括4道小题，每小题5分，共20分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 四、解答题（本题包括3道小题，17、18小题8分，19小题7分，共23分） 17. 阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1 因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2 求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： （1）用配方法将因式分解． （2）用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． （3）当________时，代数式有最大值，是________． 18. 已知菱形中对角线、相交于点，点是线段的中点，过点作，交延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求的长． 19. 某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为． （1）请用含的代数式表示横向通车道的长； （2）求该停车场的每个停车位的宽． 五、解答题（本题包括4道小题，每小题8分，共32分） 20. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，F为上一点，且． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 21. 近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长,为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 22. 定义：若一个四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它的对角顶点的对角线，将这个对角分成的两个角中，有一个角为直角，则称这样的四边形为“双垂直四边形”．如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为“双垂直四边形”，记作“双垂直四边形”． （1）用分别含有和角的直角三角形纸板如图2摆放，再连接顶点得到如图所示的四个四边形，其中不是“双垂直四边形”的______（填序号）． （2）【性质探究】如图3，在“双垂直四边形”中，已知，，E为线段上一点，且，判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图4，双垂直四边形在平面直角坐标系中的位置如图，点B在x轴上，点C在y轴上，，，D为边上一动点，且，连接．将沿翻折，得到，若，请写出点E的坐标． 23. 小丽同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究．如图1，在菱形中，连接对角线，在对角线上取动点P，在射线上取动点Q，连接，，，且使． （1）【初步探究】小丽同学发现：如图2，当，且P为对角线的中点时，线段与线段之间存在一定的数量关系，写出此时线段与线段之间的数量关系________； （2）【再次探究】小丽同学又发现：如图3，当，且P为对角线上任意一点时，线段与线段之间仍存在一定的数量关系，请写出这个数量关系，并帮助小丽同学给予证明； （3）【深入探究】小丽同学进一步发现：如图4，当，且P为对角线上任意一点，菱形边长为，当时，直接写出的值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $