精品解析：辽宁省锦州市实验学校2025-2026学年九年级上12月月考数学试题

2025-2026学年度上学期九年级模拟测试 数学 （本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟） 注意事项：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 不解方程，判断一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了根的判别式，一元二次方程的根的情况由判别式决定：当时，有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根． 通过计算判别式Δ的值来判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴． ∵， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 2. 在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，理解题意并列出分式方程是解决本题的关键． 根据白球的频率稳定在附近，可知白球的概率为，设红球数为x，利用概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设红球有x个，则总球数为个， ∵摸到白球的频率稳定在， ∴白球的概率为， ∴ 解得． 检验：当时，，故是原方程的解， 故红球有6个． 故选B． 3. 如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵长为10米，斜道长为30米， ∴根据题意得：， 故选：D 4. 如图，的顶点C的坐标为，以原点为位似中心，在第三象限将缩小得到，使与的面积比等于，则点C的对应点F的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似变换，掌握位似变换前后的坐标之间的关系是解题关键． 面积比是位似比的平方，从而得到位似比为，则以原点为位似中心作位似变换后，点F到坐标轴的距离是点C到坐标轴的距离的一半．结合点C的坐标和在第三象限，求出答案． 【详解】解：∵与的面积比等于， ∴与的位似比为， ∵以原点为位似中心， 又∵在第三象限，且点C的坐标为， ∴点F的坐标为，即F， 故选：C． 5. 把二次函数的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得抛物线的表达式为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，涉及知识点：二次函数图象平移的“左加右减、上加下减”法则．根据平移方向，对函数表达式中的自变量和常数项进行相应变换；解题关键是准确应用平移法则，易错点是混淆“左加右减”的操作对象（是对自变量x进行加减）．解题思路：先按“左加”处理向左平移1个单位，再按“下减”处理向下平移2个单位，得到新的抛物线表达式． 【详解】解：∵将二次函数向左平移1个单位，得； 再向下平移2个单位，得． ∴平移后的表达式为， 故选：B． 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 直接计算各点的纵坐标值，并比较大小． 【详解】解：∵点，，在二次函数的图象上， ∴，，． ∴， 即． 故选：A． 7. 如图，是菱形对角线的交点，，，连接．若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据题意可确定为等边三角形，得到，，再根据可确定四边形为矩形，接着过作交的延长线于，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：是菱形， ，， ， 为等边三角形， 垂直平分（等边三角形三线合一）， ， ， ，， ，且， 四边形为矩形， ，， ， 过作交的延长线于， ，， ， ， ， ， ． 故选：C． 8. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 此函数图象与直线有两个公共点 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．，故，即可判断A；抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，即可判断B；抛物线和x轴有两个交点，即可判断C；从函数图象看，抛物线和直线有两个交点，即可判断D． 【详解】解：A．从函数图象看，，故，故A错误，不符合题意； B．抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，故B错误，不符合题意； C．从函数图象看，抛物线和x轴有两个交点，故，故C错误，不符合题意； D．从函数图象看，抛物线和直线有两个交点，正确，符合题意， 故选：D． 9. 如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形板材的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 证明，利用相似三角形的对应高的比等于相似比列方程求解即可． 【详解】 四边形是正方形， ，，， ， 四边形是矩形， ， ，， ，， ， 设正方形的边长为，则， ， 解得， 正方形板材的边长为． 故选：B． 10. 如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5道小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数顶点式的性质，顶点坐标可直接从表达式读出． 【详解】解：二次函数顶点式为 ，顶点坐标为，比较给定函数，可得，，因此顶点坐标为． 故答案为：． 12. 如图，线段与相交于点，连接，，若，，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及其性质的应用，根据题意可证得，继而得到即可求解． 【详解】，（对顶角相等）， ， ，即， ． 故答案为：10． 13. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标， ∵二次函数与一次函数的图象相交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数图象与方程的关系，理解函数解析式就是方程，函数图象上点的坐标就是方程的解是本题的关键． 14. 如图，正方形，是边上一点，连接，将四边形沿翻折，点，的对应点分别为，，请你连接，，求________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，根据正方形的性质及对称性质即可解题；根据题意，则，根据，得，即可求解. 【详解】解：如图；连接，，， ∵正方形，是边上一点，连接，将四边形沿翻折，点，的对应点分别为， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 15. 如图，在等腰直角中，，，，，与交于点，求________． 【答案】 【解析】 【分析】作，垂足为G，由等腰直角三角形的性质可得，．根据，因此，通过外角性质和等量代换，可得，进一步可以证出．设，由等腰三角形和全等三角形的性质，依次表示出，和，最后根据正切函数的定义求解． 【详解】解：如图，作，垂足为G， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，外角的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理与锐角三角函数的定义，根据题意添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（本题共8道小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算： 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题涉及实数运算以及解一元二次方程的知识，熟练掌握特殊角的三角函数值以及因式分解法是关键． （1）移项、提取公因式，再根据因式分解解方程； （2）根据幂指数、二次根式、特殊角的三角函数化简求值． 【详解】（1）解方程：， 解： 或 ，； （2） ． 17. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子， ∴选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是． 18. 如图所示是消防员攀爬云梯到小颖家救援的场景．已知，，，米，米，点关于点的仰角为，求楼的高度．（要求：结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】楼的高度约为米． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．把所给线段整理到直角三角形中是解决本题的关键． 延长交于点后，可得直角三角形和矩形，那么．易得，那么根据的正弦值可得的长，加上的长即为的高度． 【详解】解：如图所示，延长交于点F， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，四边形是矩形． ∵米； ∴米． 由题意得：． ∵米， 米， （米）． 答：楼的高度约为米． 19. 【项目背景】 小美打算自主创业开一家花店，她了解到某种花卉近期销售单价与日销售量的市场规律保持不变． 【项目素材】 素材一：小美到附近A，B，C，D，E共5家花卉店对该种花卉的销售单价与日销售量情况作了市场调查．并记录了如下数据： 花店 销售单价（元） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 素材二：小美想购入进价为15元/盆的该种花卉并在当地市场进行销售． 素材三：设这种花卉的销售单价为x元，且不低于进货价销售，日销售量为y盆；每天销售利润为w元． 【项目任务】 任务一：请你将小美记录的数据整理后，分析数据的变化规律，直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）； 任务二：当每盆销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 任务三：考虑到花店新开业，为了吸引顾客，让利于民，小美打算在销售过程中每天获得400元的利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】任务一： 任务二：当销售单价定为30元时，每天获得的利润最大，最大利润是450元 任务三：销售单价应定为25元或35元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的确定，二次函数的应用及一元二次方程的解法． （1）先分析销售单价与日销售量的关系，判断为一次函数，选取两组数据代入，建立方程组求解k和b，进而求得函数关系式； （2）利润等于每盆利润乘以销售量，建立利润函数，将代入利润函数，得到二次函数表达式，利用二次函数顶点坐标公式求最大值及对应的单价即可； （3）令利润等于400元，建立方程，化简方程为标准二次方程形式，求解二次方程，得到符合条件的销售单价即可． 【详解】解：任务一：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 选取点和代入得： ，解得， ∴函数关系式为． 任务二：利润， 整理得：， 在二次函数中，，开口向下，顶点为最大值点， ∴顶点横坐标为， 代入得：， ∴当销售单价定为30元时，每天获得的利润最大，最大利润为450元． 任务三：令，则， 整理得：， 解得：，， ∴销售单价应定为25元或35元． 20. 【研究背景】 中国女排是国民心中当之无愧的骄傲！队员们以日复一日的刻苦训练夯实功底，将纯熟技能刻进肌肉记忆；赛场之上，她们敢拼敢打、永不言弃，用韧劲诠释体育力量．这份亮眼成绩从不是偶然，而是无数个日夜的汗水浇灌，如今姑娘们正全力以赴封闭集训，为新的赛事蓄力冲锋． 训练的排球场的长度为，球网在场地中央且高度为． 【建立模型】 已知某队员利用空闲时间在场地独自练习发球．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 【解决问题】 （1）若该队员第一次在处正上方2米发球，当排球运行至离的水平距离为6米时，到达最大竖直高度2.8米． ①求排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围） ②这次所发的球能否过网 （填“能”或“否”）； （2）该队员第二次发球时，保持排球运动过程中对应的抛物线的形状不变（不变），改变发球方式，使其函数关系式变为，发球点与球网的水平距离是．若排球飞过球网正上方时，竖直的高度超过，落地点与球网的水平距离小于．求出的取值范围． 【答案】（1）①函数关系式为；②能 （2）b的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，对题意得正确理解是解题的关键． （1）①根据题意判断出顶点坐标以及起始点坐标，结合两个坐标可通过顶点式求出函数表达式；②根据求出得函数表达式，判断当时，函数值是否超过球网的高度； （2）根据题意判断出，结合题意要求得出不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 ①解：根据题意水平距离为时，到达最大竖直高度， 即函数顶点坐标为， 故函数顶点式中，， 函数表达式为 将排球出手处点坐标代入上式， 得，解得， 所以函数关系式为． ②当时，函数值， ∵， 所以能过网． 【小问2详解】 解：因为抛物线形状不变，故， 函数表达式为， 根据题意要求： 发球点与球网的水平距离是．若排球飞过球网正上方时，竖直的高度超过， 即当时，函数值， 解得； 落地点与球网的水平距离小于，即时，， 故当时，函数值， 解得； 综上所述，b的取值范围为． 21. 如图，在中，在上方作，使，且，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，．求证：； （3）如图3，若，，延长交于点E．若，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：在中， ， ， ， ； （2） 证明：如图，过点作交延长线于， 则， ， ， 由（1）知， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理，结合即可求解； （2）过点作交延长线于，由题意可证，得到，进而得到，结合，得到，则，继而可证； （3）根据题意可求得，进而得到，结合，得到，过作交于，再利用直角三角形的性质求得，，，最后利用线段的和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， 又由（1）知， ， ，， ， ， ， ， 过作交于， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， ， ，， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … … （1）根据表中数据在给出的平面直角坐标系中直接描点画出该二次函数的图象； （2）设该二次函数的图象与轴交点分别为，（点在点的右侧），在轴上是否存在点，使得，如果存在，请直接写出点的纵坐标；若不存在，请说明理由； （3）将该二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，求出的值． 【答案】（1） 作图如下： （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查描点作图，二次函数图象的性质，二次函数图象的平移，二次函数最值的计算方法是关键． （1）根据题意描点、连线即可作图即可； （2）根据题意得到，设，由，则，再列式求解即可； （3）根据二次函数图象的平移得到平移后的函数解析式，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据表格可知，设， ，， ， ， 即，解得或， 所以点的纵坐标为或； 【小问3详解】 ∵二次函数的图象向右平移个单位长度后， ∴新函数为， ∴此时对称轴是直线，函数图象开口向上， ①当时，即， ∴当，取最大值为，当时，取最小值为， 又∵最大值与最小值的差为， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ②当时，即， ∴当，取最大值为，当时，取最小值为， 又∵最大值与最小值的差为， ∴． ∴或（不合题意，舍去）， ③当时，即， ∴当时，取最大值为； 当时，取最小值为， 又∵最大值与最小值的差为， ∴， ∴，不合题意． 综上，或． 23. 动态几何的魅力，在于“动”与“静”的巧妙交织：动点的运动虽会引发图形位置、大小或形状的改变，但总有固定点、定直线、恒定角度、不变比例或是特定轨迹等元素，始终保持不变．而破解这类问题的核心密钥，正是从瞬息万变的图形中，精准捕捉这些“不变量”——以它们为锚点建立模型，就能化繁为简，让复杂问题迎刃而解．现在，就让我们开启充满挑战的数学探索吧！ 已知：矩形中，，．如图1，为对角线上一动点，连接，作矩形，且使． （1）如图2，当运动到中点时，连接，求的长； （2）如图3，为的中点，为的中点．点在运动过程中，判断与的位置关系？并证明； （3）在点运动过程中，尝试探究点的运动轨迹．如图4，当时，通过计算直接写出面积的最大值． 【答案】（1） （2） 解：，证明如下： 连接，并延长到点使得，连接， 是中点, ， ， ， ， 由（1）知， ， ， 在中，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， 是中点，是的中点， 是的中位线， ， ； （3）的运动轨迹在直线上； 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，得到，代入已知即可求解； （2）连接，并延长到点使得，连接，先证得到，进而得到，可得，则，即，再由三角形中位线定理及平行的传递性即可证明； （3）连接，过作交于，先求得，进而可说明五点共圆，且为直径，得到，即的运动轨迹在直线上；设，接着可证，得到，求得，再由结合二次函数最值求解即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ， 为中点，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ，且， ， ，即， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，过作交于， 则四边形是矩形， ，， 由（1）可知， ， 又， , 在以为直径的圆上， 又为矩形， 在以为直径的圆上， 则五点共圆，且为直径， ， 故的运动轨迹在直线上； 设， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 又， ， ，即，解得， ， ， 当，即时，面积取得最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，圆周角定理，二次函数最值问题，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期九年级模拟测试 数学 （本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟） 注意事项：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 不解方程，判断一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 2. 在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 3. 如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4. 如图，的顶点C的坐标为，以原点为位似中心，在第三象限将缩小得到，使与的面积比等于，则点C的对应点F的坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 把二次函数的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得抛物线的表达式为（） A. B. C. D. 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是菱形对角线的交点，，，连接．若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 此函数图象与直线有两个公共点 9. 如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形板材的边长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5道小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标为________． 12. 如图，线段与相交于点，连接，，若，，，则________． 13. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为___________． 14. 如图，正方形，是边上一点，连接，将四边形沿翻折，点，的对应点分别为，，请你连接，，求________度． 15. 如图，在等腰直角中，，，，，与交于点，求________． 三、解答题（本题共8道小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算： 17. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 18. 如图所示是消防员攀爬云梯到小颖家救援的场景．已知，，，米，米，点关于点的仰角为，求楼的高度．（要求：结果保留整数．参考数据：，，） 19. 【项目背景】 小美打算自主创业开一家花店，她了解到某种花卉近期销售单价与日销售量的市场规律保持不变． 【项目素材】 素材一：小美到附近A，B，C，D，E共5家花卉店对该种花卉的销售单价与日销售量情况作了市场调查．并记录了如下数据： 花店 销售单价（元） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 素材二：小美想购入进价为15元/盆的该种花卉并在当地市场进行销售． 素材三：设这种花卉的销售单价为x元，且不低于进货价销售，日销售量为y盆；每天销售利润为w元． 【项目任务】 任务一：请你将小美记录的数据整理后，分析数据的变化规律，直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）； 任务二：当每盆销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 任务三：考虑到花店新开业，为了吸引顾客，让利于民，小美打算在销售过程中每天获得400元的利润，销售单价应定为多少元？ 20. 【研究背景】 中国女排是国民心中当之无愧的骄傲！队员们以日复一日的刻苦训练夯实功底，将纯熟技能刻进肌肉记忆；赛场之上，她们敢拼敢打、永不言弃，用韧劲诠释体育力量．这份亮眼成绩从不是偶然，而是无数个日夜的汗水浇灌，如今姑娘们正全力以赴封闭集训，为新的赛事蓄力冲锋． 训练的排球场的长度为，球网在场地中央且高度为． 【建立模型】 已知某队员利用空闲时间在场地独自练习发球．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 【解决问题】 （1）若该队员第一次在处正上方2米发球，当排球运行至离的水平距离为6米时，到达最大竖直高度2.8米． ①求排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围） ②这次所发的球能否过网 （填“能”或“否”）； （2）该队员第二次发球时，保持排球运动过程中对应的抛物线的形状不变（不变），改变发球方式，使其函数关系式变为，发球点与球网的水平距离是．若排球飞过球网正上方时，竖直的高度超过，落地点与球网的水平距离小于．求出的取值范围． 21. 如图，在中，在上方作，使，且，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，．求证：； （3）如图3，若，，延长交于点E．若，直接写出的长． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … … （1）根据表中数据在给出的平面直角坐标系中直接描点画出该二次函数的图象； （2）设该二次函数的图象与轴交点分别为，（点在点的右侧），在轴上是否存在点，使得，如果存在，请直接写出点的纵坐标；若不存在，请说明理由； （3）将该二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，求出的值． 23. 动态几何的魅力，在于“动”与“静”的巧妙交织：动点的运动虽会引发图形位置、大小或形状的改变，但总有固定点、定直线、恒定角度、不变比例或是特定轨迹等元素，始终保持不变．而破解这类问题的核心密钥，正是从瞬息万变的图形中，精准捕捉这些“不变量”——以它们为锚点建立模型，就能化繁为简，让复杂问题迎刃而解．现在，就让我们开启充满挑战的数学探索吧！ 已知：矩形中，，．如图1，为对角线上一动点，连接，作矩形，且使． （1）如图2，当运动到中点时，连接，求的长； （2）如图3，为的中点，为的中点．点在运动过程中，判断与的位置关系？并证明； （3）在点运动过程中，尝试探究点的运动轨迹．如图4，当时，通过计算直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $