辽宁锦州市第八初级中学2026-2027学年上学期九年级10月阶段学情自测数学试卷

九年数学试卷 考试时间100分钟 试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题包括10道小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，每小题只有一个最符合题目要求的选项．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4. 给出下列各组线段，其中四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 5. 某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，取的中点，连接、，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 10. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11. 如果，那么_________． 12. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 13. 如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，，则的坐标为________． 14. 如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，点是对角线上的动点，的最小值是________． 15. 如图，正方形中，点E为边上一个动点，连接，以为对角线作正方形，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④若，那么正方形的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、计算题（本题包括4道小题，每小题5分，共20分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 四、解答题（本题包括3道小题，17、18小题8分，19小题7分，共23分） 17. 阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1 因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2 求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： （1）用配方法将因式分解． （2）用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． （3）当________时，代数式有最大值，是________． 18. 已知菱形中对角线、相交于点，点是线段的中点，过点作，交延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求的长． 19. 某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为． （1）请用含的代数式表示横向通车道的长； （2）求该停车场的每个停车位的宽． 五、解答题（本题包括4道小题，每小题8分，共32分） 20. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，F为上一点，且． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 21. 近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长,为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 22. 定义：若一个四边形中有一个内角为直角，且连接该直角顶点与它的对角顶点的对角线，将这个对角分成的两个角中，有一个角为直角，则称这样的四边形为“双垂直四边形”．如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为“双垂直四边形”，记作“双垂直四边形”． （1）用分别含有和角的直角三角形纸板如图2摆放，再连接顶点得到如图所示的四个四边形，其中不是“双垂直四边形”的______（填序号）． （2）【性质探究】如图3，在“双垂直四边形”中，已知，，E为线段上一点，且，判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图4，双垂直四边形在平面直角坐标系中的位置如图，点B在x轴上，点C在y轴上，，，D为边上一动点，且，连接．将沿翻折，得到，若，请写出点E的坐标． 23. 小丽同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究．如图1，在菱形中，连接对角线，在对角线上取动点P，在射线上取动点Q，连接，，，且使． （1）【初步探究】小丽同学发现：如图2，当，且P为对角线的中点时，线段与线段之间存在一定的数量关系，写出此时线段与线段之间的数量关系________； （2）【再次探究】小丽同学又发现：如图3，当，且P为对角线上任意一点时，线段与线段之间仍存在一定的数量关系，请写出这个数量关系，并帮助小丽同学给予证明； （3）【深入探究】小丽同学进一步发现：如图4，当，且P为对角线上任意一点，菱形边长为，当时，直接写出的值________． 九年数学试卷 考试时间100分钟 试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题包括10道小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，每小题只有一个最符合题目要求的选项．） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】③④ 三、计算题（本题包括4道小题，每小题5分，共20分） 【16题答案】 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 四、解答题（本题包括3道小题，17、18小题8分，19小题7分，共23分） 【17题答案】 【答案】（1） （2）当时，有最小值，最小值为 （3）； 【18题答案】 【答案】（1）证明：如图所示，连接， 四边形是菱形， ，， ，， ， ，即， 在中，， ， ． 点F为中点， 点O为中点， 为中位线， 且， 点F是中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形． （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 五、解答题（本题包括4道小题，每小题8分，共32分） 【20题答案】 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ； （2） 【21题答案】 【答案】（1）该款帐篷价格每次下降的百分率为 （2）该款帐篷每套可以涨价元或元 【22题答案】 【答案】（1）③ （2），理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）或 【23题答案】 【答案】（1） （2）． 证明如下：如图，延长至点，使，连接，， ∵菱形，， ，， 在和中， ， ， ， ∵菱形，， ∴菱形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在等腰直角三角形中， ∴， ； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $