精品解析：辽宁沈阳第四十三中学2026-2027学年九年级上学期学科素养实践数学试卷

2026年九年级（上）学科素养实践 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 如图，在中，，交于点O，添加下列条件后不能判定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 9 B. 5 C. 4 D. 3. 已知是一元二次方程 的两根，则等于（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，O为坐标原点，的顶点，，，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点是正方形对角线上一点，连接并延长，交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 8. 某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 10. 已知抛物线上某些点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 0 1 0 … 有以下几个结论： ①抛物线与轴的交点坐标是； ②抛物线的对称轴为直线； ③关于的方程的根为和； ④当时，的取值范围是． 其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元二次方程，则____． 12. 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 13. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 14. 已知中，，分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于；作直线交于点D，连接，平分，交于点E，，的面积为12，则的长为______． 15. 如图，矩形中，点F在线段上，连接．平分交于点E，过点E作，垂足为点N，交于点M．若，，则的面积为_________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程 （1）（公式法） （2） 17. 京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张． 请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B） 18. 我国2019年并网太阳能发电装机容量约为2.5亿kW，经过两年努力，我国2021年并网太阳能发电装机容量约为3.6亿kW，求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率． 19. 如图，在中，已知对角线和相交于点O， 过点A作于点E，延长到点F，使， 连接， ． （1）求证： 四边形是矩形； （2）若， ， ， 求的长． 20. 如图，要修建一个中间设有一道隔墙的矩形菜园，菜园一边靠墙，墙长18米，菜园另三边和中间隔墙共用33米长的篱笆搭建．为方便进出，在下方两个小矩形的边上各预留一个1.5米宽的门，门的位置不使用篱笆，设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． （1）用含x的代数式表示________，求面积S与x的函数关系式； （2）求当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 21. 如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B的左边）． （1）求A，B两点的坐标． （2）若点P在直线下方抛物线上，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，过点P作y轴的平行线交线段于点N，当时，求点P的横坐标． 22. 如图，在中，点，是的三等分点，且是等边三角形． （1）求的度数； （2）如图，点是边上一点，将射线绕点逆时针方向旋转交线段于点．取中点，连接，． ①求证：； ②求证：． （3）在（2）的条件下，延长到，使，连接．若，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式，并求出它的顶点C的坐标． （2）抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线介于点M，N之间的部分（包含M，N两点）为图象G．设M，N两点的水平距离为d，规定；记图象G上点的纵坐标的最大值与最小值的差为h． ①当，时，则d的值为； ②当，时，则m的值为； ③当直线过定点时，且，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级（上）学科素养实践 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 如图，在中，，交于点O，添加下列条件后不能判定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵，，∴是菱形，故本选项不符合题意； B、∵，∴，∵，∴是菱形，故本选项不符合题意； C、∵，∴，，∵，∴，∴是矩形，不能判定是菱形，故本选项符合题意； D、∵，，∴是菱形，故本选项不符合题意． 2. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 9 B. 5 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的值与根的关系是解题的关键．根据一元二次方程的判别式时，方程有两个相等的实数根，即可求解． 【详解】解：有两个相等的实数根， 故选：A． 3. 已知是一元二次方程 的两根，则等于（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握当是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 直接根据两根之和的公式可得答案． 【详解】解：是一元二次方程 的两根， ，故选：C． 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将向左平移2个单位，得， 再向下平移3个单位，得． 5. 如图，O为坐标原点，的顶点，，，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平行四边形的对边平行且相等． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点，，， ∴点的纵坐标为，， ∴点的横坐标为， ∴点D的坐标为． 6. 如图，点是正方形对角线上一点，连接并延长，交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，由推出，利用等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据平角定义求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A．，抛物线的开口向上，所以A选项正确，不符合题意； B．抛物线的对称轴为直线，所以B选项正确，不符合题意； C．抛物线的顶点坐标为，所以C选项正确，不符合题意； D．在对称轴左侧y随x的增大而减小，所以D选项错误，符合题意； 故选：D． 8. 某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据利润售价进价，由每降价元，每星期可多卖出件，可知每件售价降低元，每星期可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：每件降低元时，单件利润为元，每周销售量为件， 根据题意得. 9. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 10. 已知抛物线上某些点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 0 1 0 … 有以下几个结论： ①抛物线与轴的交点坐标是； ②抛物线的对称轴为直线； ③关于的方程的根为和； ④当时，的取值范围是． 其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用表格中的点坐标，根据抛物线的对称性逐一判断个结论的正误，统计正确结论的数量，选出对应选项． 【详解】解：∵和时的值均为， ∴抛物线的对称轴为直线，故②正确． ∵与关于直线对称，且时， ∴时，即抛物线与轴交点为，故①正确． ∵和时， ∴方程的根为和，故③正确． ∵抛物线顶点坐标为，且时， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是或，故④错误． 综上，正确的结论共个． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元二次方程，则____． 【答案】-1 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的定义得出，即可求出答案. 【详解】∵方程是关于的一元二次方程，∴，解得，故答案为－1. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键. 12. 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【解析】 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有8支． 13. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 14. 已知中，，分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于；作直线交于点D，连接，平分，交于点E，，的面积为12，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，由题意得，垂直平分，则，由角平分线性质得，根据的面积为12，列关于的式子，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得，垂直平分， ， 平分，，， ， 的面积为12， ，即， ． 15. 如图，矩形中，点F在线段上，连接．平分交于点E，过点E作，垂足为点N，交于点M．若，，则的面积为_________． 【答案】 24 【解析】 【分析】由矩形性质及角平分线性质证得，求出、长；通过建立方程求出长；再由求出长，进而求得面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴ ， ∴  ， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程 （1）（公式法） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， 即，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ∴，． 17. 京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张． 请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可． 【详解】画树状图为： 由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P(两张都是“红脸”)， 答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是． 【点睛】本题考查了概率的求法．用到的知识点为数状图和概率，概率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图． 18. 我国2019年并网太阳能发电装机容量约为2.5亿kW，经过两年努力，我国2021年并网太阳能发电装机容量约为3.6亿kW，求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率． 【答案】年均增长率为 【解析】 【详解】解：设我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为， 根据题意得：， ， ， ，， 增长率不能为负数， 不合题意，舍去， ． ∴年均增长率为． 19. 如图，在中，已知对角线和相交于点O， 过点A作于点E，延长到点F，使， 连接， ． （1）求证： 四边形是矩形； （2）若， ， ， 求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）求解，，，，证明，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， 点是的中点， ∴． 20. 如图，要修建一个中间设有一道隔墙的矩形菜园，菜园一边靠墙，墙长18米，菜园另三边和中间隔墙共用33米长的篱笆搭建．为方便进出，在下方两个小矩形的边上各预留一个1.5米宽的门，门的位置不使用篱笆，设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． （1）用含x的代数式表示________，求面积S与x的函数关系式； （2）求当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【答案】（1）， （2）当时，取最大值，最大值为108 【解析】 【分析】（1）根据篱笆总长列方程：三条竖直段（、中间隔墙、）各长米，水平段扣除两个1.5米宽的门后使用篱笆，总长33米，由此表示，再用矩形面积公式得与的关系． （2）将关于的二次函数配方为顶点式，结合确定的取值范围，在范围内求最大值． 【小问1详解】 解：篱笆用于、、中间隔墙和（扣除两个门）， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 墙长18米，， ，解得， 又， ，解得， ， ，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值108． 21. 如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B的左边）． （1）求A，B两点的坐标． （2）若点P在直线下方抛物线上，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，过点P作y轴的平行线交线段于点N，当时，求点P的横坐标． 【答案】（1） （2）P点横坐标为2或 【解析】 【分析】（1）联立两函数解析式，并求出对应的解即可得到答案； （2）设，则，，可得，，根据，可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：联立， 解得或， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为y轴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴点P的横坐标为2或． 22. 如图，在中，点，是的三等分点，且是等边三角形． （1）求的度数； （2）如图，点是边上一点，将射线绕点逆时针方向旋转交线段于点．取中点，连接，． ①求证：； ②求证：． （3）在（2）的条件下，延长到，使，连接．若，，求的长． 【答案】（1）； （2）①证明：由（1）得，，， ∵，点是的中点， ∴，， ∴， ∵将射线绕点逆时针方向旋转交线段于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ②如图，连接， 由（2）①得，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）由、为的三等分点且为等边三角形，得到相邻等腰三角形，利用三角形外角性质求出两个底角均为，再与等边三角形的角相加得． （2）①由是中点、是中点，用三角形中位线定理得，导出角相等；再结合旋转与导出夹角相等，用证明．②由全等得，又，判定为等边三角形；再由为中点得到等腰，利用外角与内角和推出． （）由且，得垂直平分，从而；再证（），将转化为；过作，利用直角三角形表示、，由勾股定理列方程求出，最后借助回代求． 【小问1详解】 解：∵点，是的三等分点，且是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、，过点作于， 由（1）（2）得，，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 当时，，此时，； 当时，，此时，． 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形及勾股定理与一元二次方程的应用，熟练掌握旋转背景下全等三角形的构造与证明、利用垂直平分线转化线段并结合勾股定理建立方程分类求解是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式，并求出它的顶点C的坐标． （2）抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线介于点M，N之间的部分（包含M，N两点）为图象G．设M，N两点的水平距离为d，规定；记图象G上点的纵坐标的最大值与最小值的差为h． ①当，时，则d的值为； ②当，时，则m的值为； ③当直线过定点时，且，求点M的坐标． 【答案】（1），顶点； （2）① ；② 或；③ 或． 【解析】 【分析】（1） 将两点坐标代入抛物线解析式，列二元一次方程组求出、，再配方求顶点坐标． （2）① 由确定左端点，判断顶点是否在图象上，由反推右端点，从而求． ② 由得，分顶点在上和不在上两种情况，由列方程求． ③ 利用、横坐标相同得轴，以为底将面积转化为，联立抛物线用一元二次方程根与系数关系表示，解出后求坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和， ， 解得，， 抛物线的函数表达式为， ， 顶点的坐标为． 【小问2详解】 ①解：当时，． 抛物线开口向下，顶点为最高点． 当顶点在图象上，． ，不符合题意， ∴顶点不在图象上， ， ． 即，整理得， 解得或（舍去）． ． ． ② 解：，， 当顶点在图象上时，即，， 此时，， 若时，，则， 解得或， ， ， 若时，，则， 解得或， ，， 当顶点不在图象上时， 若，图象在对称轴右侧，随x增大而减小， ， 由得，不满足，舍去， 若即，图象在对称轴左侧，随x增大而增大， ， 由得，不满足，舍去， 综上所述，或． ③ 解：由题意， 与横坐标相同，轴且． 设直线的解析式为， 联立解析式，得， ， 消去得， 设、的横坐标分别为、（），由一元二次方程根与系数关系：，，， 在直线上，以为底，、到直线的水平距离为高，， 、在两侧，， ， ， ， 则，当时， 方程为， ，， 的横坐标为，， ， 当时，方程为， ，， 的横坐标为，， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $