培优13 圆心角（4大题型）数学新教材人教版九年级上册

培优13 圆心角 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.圆心角的概念：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 2.圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧相等、劣弧相等。 即：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等。简称“知一推二”。 二 解题步骤 第一步：找弧，确定题目中涉及的是哪条弧，明确弧的两个端点； 第二步：连半径，连接圆心与弧的两个端点，构造圆心角； 第三步：转化，利用“弧相等⇔圆心角相等⇔弦相等”的等价关系，在弧、角、弦三者之间互相转化； 第四步：结合其他定理，根据题目条件，结合圆周角定理、垂径定理、等腰三角形性质、勾股定理等进行计算或证明； 第五步：得出结论，求出角度、弦长或弧长，或完成证明。 题型分析 题型1：圆心角概念辨析及简单运算问题 【例1】 （26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 变式1-1 （2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 变式1-2 （25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 题型2：利用弧、弦、圆心角关系求解问题 【例2】 （26-27九年级上·北京·课后作业）如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，． 点C是弧的中点， ， ． ， ， ， ∴弧的长． 变式2-1 （26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）在同一个圆中，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：如图，作的中点，连接、． ， ． ． 在中，， ，即． 变式2-2 （26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）在中，，与交于点、，与交于点、，与交于点、，若，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：连接，如图 在中，， 弦， 圆心到弦的距离相等，即点到的距离相等， 点是的内心 平分，平分， ， ， ， ， ． 题型3：利用弧、弦、圆心角关系求证问题 【例3】 （2026·河北沧州·一模）已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 【答案】C 【详解】解：如图1， ∵是ABC的外接圆，且， ∴， ∴，即为的平分线，故嘉嘉说的对； 在图2中，连接，如下图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴，即为的平分线，故淇淇说的也对． 综上所述，嘉嘉和淇淇说的都对． 变式3-1 （26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ∵D、E分别是的中点，是的半径， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ，即 变式3-2 （24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是半圆的直径，是半圆弧的中点，和均内接于半圆，分别连结、交于点、．若是的中点，给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【详解】解：①∵点是的中点， ， ∴，故①正确； ②∵是半圆的直径， ， ， 是半圆弧的中点， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③如图，连接， ∵点是的中点，是半圆弧的中点， ∴， ∵， ， ∴，故③错误； ④如图，连接， ∵是半圆弧的中点， ∴垂直平分， ∴， 在中，根据勾股定理：， ∴，故④正确； 综上所述：正确结论的序号有①②④， 故答案为：①②④． 题型4：求圆弧的度数问题 【例4】 （2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 变式4-1 （2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．连接，若，则_________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵， ， ， ， ∴的度数为， ∵， ， ∴的度数为， ， ， 故答案为：． 变式4-2 （2024·北京·三模）如图，为等边三角形，点O在过点A且平行于的直线上运动，以的高为半径的分别交线段、于点E、F，则所对的圆周角的度数__________ 【答案】 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵点O在过点A且平行于的直线上运动， ∴， 作关于直线的对称点，在圆上，连接，， 则， ∴，， ∴， ∴B，A，G三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴所对的圆周角的度数是， 故答案为：． 解题技巧 1.“弧弦角”转化法：这是本专题最核心的方法。看到等弧想等角、等弦；看到等角想等弧、等弦；看到等弦想等弧、等角； 2.连半径构造等腰三角形：圆的两条半径相等，连接圆心与弦的端点，自然形成等腰三角形，利用等边对等角转化角度； 3.弧中点：弧的中点将弧分成相等的两部分，对应相等的圆心角和弦，且弧中点与圆心的连线垂直平分弦（垂径推论）； 4.直径是特殊弦：直径所对的圆周角是直角，遇到直径优先考虑构造直角三角形； 归纳总结 一、重点 1.弧、弦、圆心角关系定理的内容与“知一推二”的应用：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角三者之间的等价转化是本专题的核心； 2.圆心角与圆周角的倍半关系：同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半，这是求角度、求弧度数的关键桥梁； 3.弧的度数与圆心角度数的对应关系：弧的度数等于它所对圆心角的度数，这是连接“弧”与“角”的量化纽带； 4.直径所对圆周角为直角的应用：遇到直径，优先构造直角三角形，结合勾股定理计算； 5.等弧的判定与应用：证明两条弧相等是证明等弦、等角的重要中间环节。 二、难点 1.弧、弦、圆心角三者之间的灵活转化：在复杂图形中，准确识别哪条弧对哪个角、哪条弦，需要较强的图形分析能力； 2.“同圆或等圆”前提条件的把握：等弧对等弦对等圆心角的定理必须在同圆或等圆中成立，跨圆比较时容易出错； 3.优弧与劣弧的区分：一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），题目中说的弧到底是优弧还是劣弧，需要根据语境判断； 4.多知识点综合应用：本专题常与垂径定理、圆周角定理、切线性质、全等三角形、相似三角形等结合，需要打通知识网络； 三、易错点 1.忽略“同圆或等圆”的前提：认为只要弧长相等，所对的弦就相等，忽略了不同半径的圆中，弧长相等但弦不一定相等； 2.混淆圆心角和圆周角：求弧的度数时，把圆周角直接当成圆心角，忘记乘2或除以2； 3.“平分弦的直径垂直于弦”误用：忽略了被平分的弦不能是直径这个前提，两条直径互相平分但不一定垂直； 4.等弧概念理解错误：认为“长度相等的弧是等弧”，实际上等弧必须是在同圆或等圆中能够完全重合的弧； 5.过三点画圆的条件：认为“过任意三点都能画一个圆”，忽略了三点必须不在同一直线上。 四、数学思想 1.转化与化归思想：将弧的问题转化为圆心角的问题，将圆心角的问题转化为圆周角的问题，将弦的问题转化为弧或角的问题。弧、弦、圆心角三者之间的灵活转化是本专题最核心的数学思想。 2.数形结合思想：通过图形直观识别弧、弦、角之间的位置关系，再用定量的角度、长度计算来解决问题。圆的对称性是数形结合的重要体现。 3.方程思想：求半径、求角度时，常设未知数，利用勾股定理、三角形内角和定理、等腰三角形性质等建立方程求解。 4.对称思想：圆是轴对称图形，也是中心对称图形。等弧对等弦、等弧对等角都源于圆的对称性。弧的中点、弦的垂直平分线都是对称性的体现。 5.建模思想：从实际问题（如圆形进度条、量角器读数、扇形旋转等）中抽象出圆的几何模型，用弧、弦、圆心角的关系解决实际问题。 同步测评 1．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴，解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 2．（2026·河北唐山·二模）如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【详解】解：设圆的半径为，线段为圆的一条弦， 当时，进度越大，圆心角越大，弦长越长， 此时若，则，甲的观点在此范围内成立； 当时，进度越大，弦所对的劣弧圆心角越小，弦长越短， 此时若，则，乙的观点在此范围内成立； 例如取，此时，但，甲、乙的观点均不成立； 则甲、乙的结果合在一起也不正确． 3．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）下列说法①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等．正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧，故①不正确； 在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，故②正确； 等弧对应的圆心角相等，故③正确； 过不在同一直线上的三点可以画一个圆，故④不正确； 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故⑤不正确； 故正确的有②③，共2个， 4．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． 5．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，四边形内接于的半径为，则弦的长为（     ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：连接，如图所示： 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，则， 的半径为， ． 6．（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）在同圆中，圆心角，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵在同圆中，弧长与所对圆心角成正比， 又∵， ∴， 故选：A． 7．（2026·浙江宁波·二模）如图，为的直径，弦于点，是弧上一点，，的延长线交于点，连结，，下列结论正确的是（     ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即选项D正确； 若平分，则，由已知条件无法证明，故选项A错误； 根据垂径定理可得，不能证明，故选项B错误； 由已知条件无法证明，故选项C错误； 8．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 9．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 10．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，为的直径，点C，D在上，且．若，则的大小为_________． 【答案】22 【详解】解：∵为的直径， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·山西阳泉·期末）如图，在中，为直径，弦，，的度数为______． 【答案】 【详解】解：弦， ， 则， ， ， 则在中，由三角形内角和定理可得， 所对的圆心角为， 则由圆周角定理可得， 故答案为：． 12．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，点、、、在半径为的上，若，，则的长为______（结果保留）． 【答案】 【详解】解：∵，圆周角和圆心角所对的弧为， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵的半径为， ∴的长为：． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 【答案】1 【详解】 解：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：1 14．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）在中，有两条弦和，若，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：取的中点，连接，，如图： ∵是的中点， ∴， ∴，， 在中，， ∵， ∴，即． ∴， ∴，即． 15．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，则______（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：连接，，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 17．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________． 【答案】70 【详解】解：连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴的度数为， 故答案为：． 18．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，，，，所对的圆心角为．分别在，线段和上选取点，，．要使得线段，，之和最短，此时的值为__________． 【答案】 【详解】解：如图，假设点即为所求点，分别作点关于、的对称点、，连接，，，，，，，过点作于， 由对称性可知，当且仅当、、、在一条直线上时，，即为最短距离， 由对称性可知， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，取最小值，取最小值， 如图，作所在圆的圆心，连接，，取中点记为，连接， ∵， ∴，即点在上时，取得最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵所对的圆心角为，即，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 19．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，，点为的内心，连接，以为圆心，长为半径作，交边于点，．若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，作于点M，作于点N，连接，设与圆交于点F，则， ∵，， ∴， ∵点为的内心， ∴，，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为∶． 20．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，是的一条弦，，垂足为交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵是的一条弦，，∴由垂径定理得，，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数； （2）解：设的半径长，则， ∴， 由勾股定理得，，即，解得，， ∴的半径长为． 21．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在中，半径为． (1)如图，若为上一个点（不与，重合），且，若为弦的中点，为弦的中点，连结，求的长． (2)如图，若，为直径，连结，点为弦的中点，点为弦的中点，连结． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②求的长． 【答案】(1)；(2)见详解 【详解】（1）解：连接，如图1， 因为的度数为， 所以， 因为， 所以为等腰直角三角形， 所以， 因为为弦的中点，为弦的中点， 所以． （2）①四边形是菱形． 因为， 所以， 因为， 所以为等边三角形， 所以， 所以四边形是菱形 解：如图2，取中点，连接，，连接交与点，      所以， 因为，为菱形且 所以， 所以， 所以， 因为菱形， 所以， 所以， 在中，． 22．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， ， ∴的度数为； （2）解：过点作于点，则， 在中，， ， ， ， ∴在中，， ． 23．（2026·山西·中考真题）如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． 【答案】扇形（即阴影部分）的面积为 【详解】解：连接． 与相切于点． ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． 24．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，则的半径为_______． 【答案】(1)见详解；(2)的半径为． 【详解】（1）证明：， ， 即， ． （2）解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， ∵，， ， ∵ 是中线，即， ∴过点， 设，， 中，， 中，， ，， ， ， 代入，解得， 即的半径为． 25．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． (1)若，则的度数为 ； (2)若点 是线段上的动点，则线段 的长度取值范围是 ； (3)求的长． 【答案】(1)，；(2)；；(3)． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴， 过作，交于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长度取值范围是，即； （3）解：由得，如问图， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴，即的长为． 26．（2024·吉林长春·一模）在等边中，，以A为圆心，2为半径画的．    (1)【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明） (2)【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由． (3)【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ． 【答案】(1)；(2)见详解；(3) 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）存在，理由： ∵是等边三角形， ∴，． ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当顺时针旋转时，如图，作于H，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 由（2）得：， ∴； 当逆时针旋转时，如图，作于H，    同理可求． 综上可知，的长为． 故答案为：． 27．（26-27九年级上·吉林·阶段检测）如图，，是上的两点，，，是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是上的点，直接写出的最大值为________． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ，是的中点， ， 又， 和均为等边三角形， ，， ， 四边形是菱形 （2）解：如图，连接交于点E，延长交于点D，此时取最大值． ， ，， 由（1）知四边形是菱形， ，， ，， ， ． 即的最大值为． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优13 圆心角 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.圆心角的概念：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 2.圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧相等、劣弧相等。 即：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等。简称“知一推二”。 二 解题步骤 第一步：找弧，确定题目中涉及的是哪条弧，明确弧的两个端点； 第二步：连半径，连接圆心与弧的两个端点，构造圆心角； 第三步：转化，利用“弧相等⇔圆心角相等⇔弦相等”的等价关系，在弧、角、弦三者之间互相转化； 第四步：结合其他定理，根据题目条件，结合圆周角定理、垂径定理、等腰三角形性质、勾股定理等进行计算或证明； 第五步：得出结论，求出角度、弦长或弧长，或完成证明。 题型分析 题型1：圆心角概念辨析及简单运算问题 【例1】 （26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 变式1-1 （2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 变式1-2 （25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 题型2：利用弧、弦、圆心角关系求解问题 【例2】 （26-27九年级上·北京·课后作业）如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 变式2-1 （26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）在同一个圆中，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 变式2-2 （26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）在中，，与交于点、，与交于点、，与交于点、，若，则的度数为________． 题型3：利用弧、弦、圆心角关系求证问题 【例3】 （2026·河北沧州·一模）已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 变式3-1 （26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 变式3-2 （24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是半圆的直径，是半圆弧的中点，和均内接于半圆，分别连结、交于点、．若是的中点，给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 题型4：求圆弧的度数问题 【例4】 （2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 变式4-1 （2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．连接，若，则_________． 变式4-2 （2024·北京·三模）如图，为等边三角形，点O在过点A且平行于的直线上运动，以的高为半径的分别交线段、于点E、F，则所对的圆周角的度数__________ 解题技巧 1.“弧弦角”转化法：这是本专题最核心的方法。看到等弧想等角、等弦；看到等角想等弧、等弦；看到等弦想等弧、等角； 2.连半径构造等腰三角形：圆的两条半径相等，连接圆心与弦的端点，自然形成等腰三角形，利用等边对等角转化角度； 3.弧中点：弧的中点将弧分成相等的两部分，对应相等的圆心角和弦，且弧中点与圆心的连线垂直平分弦（垂径推论）； 4.直径是特殊弦：直径所对的圆周角是直角，遇到直径优先考虑构造直角三角形； 归纳总结 一、重点 1.弧、弦、圆心角关系定理的内容与“知一推二”的应用：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角三者之间的等价转化是本专题的核心； 2.圆心角与圆周角的倍半关系：同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半，这是求角度、求弧度数的关键桥梁； 3.弧的度数与圆心角度数的对应关系：弧的度数等于它所对圆心角的度数，这是连接“弧”与“角”的量化纽带； 4.直径所对圆周角为直角的应用：遇到直径，优先构造直角三角形，结合勾股定理计算； 5.等弧的判定与应用：证明两条弧相等是证明等弦、等角的重要中间环节。 二、难点 1.弧、弦、圆心角三者之间的灵活转化：在复杂图形中，准确识别哪条弧对哪个角、哪条弦，需要较强的图形分析能力； 2.“同圆或等圆”前提条件的把握：等弧对等弦对等圆心角的定理必须在同圆或等圆中成立，跨圆比较时容易出错； 3.优弧与劣弧的区分：一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），题目中说的弧到底是优弧还是劣弧，需要根据语境判断； 4.多知识点综合应用：本专题常与垂径定理、圆周角定理、切线性质、全等三角形、相似三角形等结合，需要打通知识网络； 三、易错点 1.忽略“同圆或等圆”的前提：认为只要弧长相等，所对的弦就相等，忽略了不同半径的圆中，弧长相等但弦不一定相等； 2.混淆圆心角和圆周角：求弧的度数时，把圆周角直接当成圆心角，忘记乘2或除以2； 3.“平分弦的直径垂直于弦”误用：忽略了被平分的弦不能是直径这个前提，两条直径互相平分但不一定垂直； 4.等弧概念理解错误：认为“长度相等的弧是等弧”，实际上等弧必须是在同圆或等圆中能够完全重合的弧； 5.过三点画圆的条件：认为“过任意三点都能画一个圆”，忽略了三点必须不在同一直线上。 四、数学思想 1.转化与化归思想：将弧的问题转化为圆心角的问题，将圆心角的问题转化为圆周角的问题，将弦的问题转化为弧或角的问题。弧、弦、圆心角三者之间的灵活转化是本专题最核心的数学思想。 2.数形结合思想：通过图形直观识别弧、弦、角之间的位置关系，再用定量的角度、长度计算来解决问题。圆的对称性是数形结合的重要体现。 3.方程思想：求半径、求角度时，常设未知数，利用勾股定理、三角形内角和定理、等腰三角形性质等建立方程求解。 4.对称思想：圆是轴对称图形，也是中心对称图形。等弧对等弦、等弧对等角都源于圆的对称性。弧的中点、弦的垂直平分线都是对称性的体现。 5.建模思想：从实际问题（如圆形进度条、量角器读数、扇形旋转等）中抽象出圆的几何模型，用弧、弦、圆心角的关系解决实际问题。 同步测评 1．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（2026·河北唐山·二模）如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 3．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）下列说法①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等．正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 5．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，四边形内接于的半径为，则弦的长为（     ） A．3 B． C． D．4 6．（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）在同圆中，圆心角，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 7．（2026·浙江宁波·二模）如图，为的直径，弦于点，是弧上一点，，的延长线交于点，连结，，下列结论正确的是（     ） A．平分 B． C． D． 8．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，为的直径，点C，D在上，且．若，则的大小为_________． 11．（25-26九年级上·山西阳泉·期末）如图，在中，为直径，弦，，的度数为______． 12．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，点、、、在半径为的上，若，，则的长为______（结果保留）． 13．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 14．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）在中，有两条弦和，若，则__________．（填“”“”或“”） 15．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，则______（填“>”“<”或“=”）． 16．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______． 17．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________． 18．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，，，，所对的圆心角为．分别在，线段和上选取点，，．要使得线段，，之和最短，此时的值为__________． 19．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，，点为的内心，连接，以为圆心，长为半径作，交边于点，．若，则的长为______． 20．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，是的一条弦，，垂足为交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 21．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在中，半径为． (1)如图，若为上一个点（不与，重合），且，若为弦的中点，为弦的中点，连结，求的长． (2)如图，若，为直径，连结，点为弦的中点，点为弦的中点，连结． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②求的长． 22．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 23．（2026·山西·中考真题）如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． 24．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，则的半径为_______． 25．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． (1)若，则的度数为 ； (2)若点 是线段上的动点，则线段 的长度取值范围是 ； (3)求的长． 26．（2024·吉林长春·一模）在等边中，，以A为圆心，2为半径画的．    (1)【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明） (2)【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由． (3)【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ． 27．（26-27九年级上·吉林·阶段检测）如图，，是上的两点，，，是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是上的点，直接写出的最大值为________． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $