第二十九章 圆全章高频重点题型突破（五大高频+四大重难题型，专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以圆的概念性质为基础，通过基础到综合的题型分层，系统覆盖圆的核心考点，注重几何直观与推理意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|5类高频题型（含垂径定理、圆周角定理等应用）|聚焦圆的基本概念、位置关系及计算，以选择填空为主|从概念（弦、弧）到性质（垂径定理、圆周角定理）再到计算（弧长、扇形面积）的递进| |核心提升|4类重难题型（含圆与三角形综合、最值问题等）|强调知识综合应用，涉及动态几何与多知识点融合|在基础上拓展至圆与多边形综合、空间图形（圆锥）及数学建模，培养推理能力与应用意识|

第二十九章 圆全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 圆的概念（弦、弧、圆心角） 题型2 点与圆的位置关系 题型3 垂径定理及其推论 题型4 圆周角定理 题型5 弧长、扇形面积与圆锥侧面积 核心提升：重难题型归纳 题型1 圆与三角形综合 题型2 圆与四边形综合 题型3 圆中的最值问题 题型4 圆中的计算综合 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 圆的概念（弦、弧、圆心角） 1．下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 2．如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 4．如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． ◆题型2 点与圆的位置关系 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 2．如图，点B是圆内一个定点，且点B到圆上最近一点的距离为2，到圆上最远一点距离为8，则经过点B的弦的长度取值范围是（    ）    A． B． C． D． 3. 圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是___________． ◆题型3 垂径定理及其推论 1．如图，是的直径，弦，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是_____． 3．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______． 4．下列语句中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的序号是______． 5．如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． ◆题型4 圆周角定理 1．下列说法正确的是（   ） A．顶点在圆周上的角叫做圆周角 B．两边都和圆相交的角叫做圆周角 C．等于圆心角一半的角叫做圆周角 D．顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角 2．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形内接于，点B是劣弧的中点，，连接，则的度数为________． ◆题型5 弧长、扇形面积与圆锥侧面积 1．一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 2．一个扇形的半径是3，面积为，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 3．已知扇形的半径长为9，扇形的圆心角的度数为，则该扇形的面积是________． 4．已知台钟的时针长，从上午点到上午点，时针扫过的面积为________． 5．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号） .6．如图，已知圆锥的底面半径，母线长 (1)圆锥的高 cm．侧面展开扇形的圆心角 ° (2)求圆锥的全面积． 7．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为，求截面中有水部分弓形的面积． 8．如图，是的直径，弦于点E，连结． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． ◆题型1 圆与三角形综合 1．如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，若，求的长． ◆题型2 圆与四边形综合 1.如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动． (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． ◆题型3 圆中的最值问题 1．如图，在边长为的正方形中，、分别为边、的动点，且，点为的中点，点为边上的一动点，则的最小值为______． 2．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． ◆题型4 圆中的计算综合 1．如图是某影视城的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，，，且、与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 一、选择题 1．如图，点、为上两点，连接、，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接、，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 2．若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 3．如图，为的直径，、是上两点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，、、是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，的直径，弦于E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．判定命题“如果，那么”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是________． 7．下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 8．如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 9．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 10．如图，已知点，，在上，若，则 ______ 度． 11．如图，于E，，，则的半径为___________． 三、解答题 12．文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 13．如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 14．如图，点都在上，．求证：． 15．如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 16．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 17．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 18．如图，内接于，是的直径． (1)尺规作图：过点O作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设交于点M，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 圆的概念（弦、弧、圆心角） 题型2 点与圆的位置关系 题型3 垂径定理及其推论 题型4 圆周角定理 题型5 弧长、扇形面积与圆锥侧面积 核心提升：重难题型归纳 题型1 圆与三角形综合 题型2 圆与四边形综合 题型3 圆中的最值问题 题型4 圆中的计算综合 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 圆的概念（弦、弧、圆心角） 1.下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 2．如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得,,再根据题意得,即可得出答案． 【详解】解：∵在中， ∴,, 根据题意，得, ∴． 3．已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 4．如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的半径相等（等腰三角形的判定）是解题的关键． 先根据圆的半径相等得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵、是的半径， ∴， ∴（等腰三角形两底角相等）， ∵在中，， ∴， 故选：． 5．如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴ 6．如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦心距的关系，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等”进行判断即可 ． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等． ∴①若，则，所以，此说法正确； ②若，则，所以，此说法正确； ③若，则，所以，此说法正确； ④若，则O点到弦的距离相等，所以，此说法正确； ∴说法正确的是①②③④，共4个， 故选：D． 7．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． ◆题型2 点与圆的位置关系 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 2．如图，点B是圆内一个定点，且点B到圆上最近一点的距离为2，到圆上最远一点距离为8，则经过点B的弦的长度取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理、线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．当经过O、B时，线段的长度最长，当时，线段的长度最短，分别求解即可． 【详解】解：∵点B到圆上最近一点的距离为2，到圆上最远一点距离为8， ∴经过点B的弦最大时，是圆的直径，此时的最大值为， 当时，线段的长度最短， 如图，连接， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴． 故选：D． 3. 圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是___________． 【答案】．2 【分析】本题考查了利用点与圆的位置关系求半径，根据圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，得出直径为，即可求出该圆的半径， 【详解】解：∵圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6， ∴， 故答案为：2． ◆题型3 垂径定理及其推论 1．如图，是的直径，弦，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先根据垂径定理得，再根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵弦， ∴， 由圆周角定理得： 2． 已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是_____． 【答案】或 【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由，得到，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由求出EF的长即可． 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示， 过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC， ，， ∴F、分别为AB、CD的中点， ，， 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则；    当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得， 综上，弦AB与CD的距离为或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 3．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______． 【答案】 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 4.下列语句中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的序号是______． 【答案】①④ 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是掌握相关的圆的相关概念． 根据圆的基本性质，包括弦的定义、垂径定理、等弧的概念、圆的对称性以及弧长与圆心角和半径的关系，判断各语句的正确性． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，正确； ②平分弦的直径垂直于弦，需弦非直径，否则不一定垂直，错误； ③等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，错误； ④圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴，正确； ⑤弧长由圆心角和半径共同决定，半径不等时相等的圆心角所对弧长不一定相等，错误． 故答案为①④． 5．如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 【答案】米 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理，进行解答，连接，设圆的半径为，米根据勾股定理，则，即可． 【详解】连接， ∵， ∴米， 设圆的半径为， ∴米， 在中，， ∴，解得：， ∴的半径为米． ◆题型4 圆周角定理 1．下列说法正确的是（   ） A．顶点在圆周上的角叫做圆周角 B．两边都和圆相交的角叫做圆周角 C．等于圆心角一半的角叫做圆周角 D．顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定义，熟记圆周角定义是解决问题的关键． 根据圆周角定义：顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； B、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； C、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； D、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 3．如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据是直径得出，然后利用圆周角定理的推论得出，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】∵是的直径， ． ∵和都是所对的圆周角， ∴， ． 4．如图，四边形内接于，点B是劣弧的中点，，连接，则的度数为________． 【答案】35 【分析】首先利用圆内接四边形对角互补求出，然后利用等弧所对的圆周角相等求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴ ∵点B是劣弧的中点 ∴ ◆题型5 弧长、扇形面积与圆锥侧面积 1． 一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 根据题意，得， 则 解得或（不符合题意，舍去）， 扇形的半径是． 2．一个扇形的半径是3，面积为，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 【答案】． 【分析】将已知的半径和面积代入扇形面积公式，即可求解得到圆心角． 【详解】解：设该扇形的圆心角为，已知扇形半径，面积， 根据扇形面积公式，得，整理得，解得：， 即这个扇形的圆心角是． 3．已知扇形的半径长为9，扇形的圆心角的度数为，则该扇形的面积是________． 【答案】 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，其半径为， ∴ 4．已知台钟的时针长，从上午点到上午点，时针扫过的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算及时钟角度问题的综合应用，根据时针转动的时间求出扇形的圆心角是解题的关键． 时针扫过的面积为扇形面积，台钟的时针长，即扇形半径为，时针从上午点到上午点移动小时，时针小时转，即时针扫过的圆心角为，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：时针扫过的面积即为扇形面积，台钟的时针长，即扇形半径为， 从上午点到点，时针共走了小时， 时钟一圈为小时，对应，因此时针转过的圆心角为： ， ∴时针扫过的面积为． 故答案为：． 5．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号） 【答案】6 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离． 【详解】∵底面圆的半径为， ∴圆锥的底面周长为2×＝3， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n． ∴， 解得n＝90°， 如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程， ∵∠O=90°，OA′=OA=6， ∴AA′＝． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点． .6．如图，已知圆锥的底面半径，母线长 (1)圆锥的高 cm．侧面展开扇形的圆心角 ° (2)求圆锥的全面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用勾股定理求高；设侧面展开扇形的圆心角为，再根据扇形弧长等于底面周长列式求解； （2）分别求出圆锥底面面积和侧面积，再求和即可． 【详解】（1）解：由题可知，， ； 设侧面展开扇形的圆心角为，则， 又底面周长为， ，解得， 则侧面展开扇形的圆心角为； （2）解：圆锥底面积为， 圆锥的侧面积为， 所以圆锥的全面积为． 7．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为，求截面中有水部分弓形的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理、扇形及三角形的面积，掌握相关结论解答此题的关键．连接，作，由题意得：，，推出，求出即可求解； 【详解】解：连接，作，如图所示： 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴截面中有水部分弓形的面积 8．如图，是的直径，弦于点E，连结． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4π 【分析】本题主要考查了求扇形面积、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论； （2）根据圆周角定理求出，进而可得，根据正弦的定义求出，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径，弦， ∴， 在中，， ∴扇形（阴影部分）的面积， 答：阴影部分的面积为． ◆题型1 圆与三角形综合 1．如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵点为上一点，过点的切线交延长线于点， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，证明，，，进一步可得，可得，可证明； （2）连接，证明与是等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ◆题型2 圆与四边形综合 1.如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动． (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)存在，秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及割补法求三角形面积，本题关键在于设未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设运动秒钟后的面积为，利用割补法将的面积用含x的式子表式出来，列方程，解出x即可． （2）为半径的圆正好经过点即为，即，根据勾股定理将、分别用x表示出来，列方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：设运动秒钟后的面积为， 则，，，， ， ， ， ，解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． （2）假设运动开始后第秒时，满足条件，则：， ∵， ， ∴， 整理，得：，解得：， ∵， ∴运动开始后第秒时，点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上． ◆题型3 圆中的最值问题 1．如图，在边长为的正方形中，、分别为边、的动点，且，点为的中点，点为边上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长到点，使，连接，证得，当，，三点共线时，的值最小，证得点的轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ， 当，，三点共线时，的值最小， ∵，点为的中点，， ， ∴点的轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上， ∴圆外一点到圆上一点距离的最小值为， ， ， ， 的最小值是． 2．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． ◆题型4 圆中的计算综合 1．如图是某影视城的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，，，且、与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 【答案】 【分析】首先根据圆切线的性质，得出，然后根据四边形是矩形得出，进而得出，，再设半径为r，根据勾股定理，列出方程，即可解得半径，进而得解. 【详解】设其切点为F，连，交于点E ∵是的切线 ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴，． 设半径为r, 在中， ∴ ∵即 ∴ 答：圆弧形门的最高点离地面的高度为． 一、选择题 1．如图，点、为上两点，连接、，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接、，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可得平分，再根据，易得，利用三角形内角和定理求出，即可得出结果． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 【答案】A 【分析】判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，当时点在圆外，当时点在圆上，当时点在圆内； 【详解】的半径为，点到圆心的距离为， ， 点与的位置关系是点在圆外． 3．如图，为的直径，、是上两点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据同弧所对的圆周角相等可得：． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ． 4．如图，、、是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是上的点，且， ∴ 5．如图，的直径，弦于E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易知，由垂径定理得，由勾股定理得，所以． 【详解】解：连接， 是的直径，弦于E，， ， 在，，，， ， ． 二、填空题 6．判定命题“如果，那么”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】题中条件为，结论为，则只需找出满足且的一组即可． 【详解】解：当，时，，， 满足，但，不满足， ∴，可作为该命题的反例． 7．下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 【答案】①②③ 【详解】解：①只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，本命题缺少前提条件，故①不正确； ②平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，本命题缺少限制条件，故②不正确； ③能够完全重合的弧才是等弧，长度相等的弧不一定能完全重合，故③不正确； ④等弧可以完全重合，必在同圆或等圆中，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故④正确； ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故⑤正确． 综上所述，不正确的是①②③． 8．如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 9．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 10．如图，已知点，，在上，若，则 ______ 度． 【答案】． 【分析】由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 11．如图，于E，，，则的半径为___________． 【答案】10 【分析】连接，然后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， 即的半径为10． 【答案】 三、解答题 12．文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盆口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盆口的半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盆口半径的长为． 13．如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）可证明，则可证明； （2）先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 14．如图，点都在上，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查同圆中等弦、同弧所对圆周角相等，以及三角形全等的判定定理；利用即可证明． 【详解】证明：点都在上， ∵， ∴， ∴， 同理：， 在和中 ， ∴． 15．如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 16．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 17．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 18．如图，内接于，是的直径． (1)尺规作图：过点O作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设交于点M，求证：． 【答案】(1)如图，即为所求： (2)证明：是的直径， ， ， ， ， ． 【分析】（1）作交于点，根据平行线的判定可得，则即为所求； （2）由是的直径，得到，再根据平行线的性质得到，即，再根据垂径定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十九章圆全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1圆的概念（弦、弧、圆心角） 1.【答案】D 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合 弦的定义，故此选项错误，不符合题意： B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定 能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即 使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意： D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意. 故选：D 2.【答案】A 【详解】解：，在ABCD中， ∴.AD=CB=6,AB=DC=10, 根据题意，得AE=AD=6, .BE=AB-AE=10-6=4 3.【答案】B 【详解】解：：⊙0中最长的弦长为6cm, ∴.⊙0的直径的长为6cm, .⊙0的半径为3cm. 故选B. 4.【答案】D 【详解】解：：OM、ON是⊙O的半径， ..OM =ON. .∠M=∠N=50°（等腰三角形两底角相等）， 1/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,在△MON中，∠M+∠N+∠MON=180°， ∠M0N=180°-∠M-∠N=180°-50°-50°=80°， 故选：D 5.【答案】B 【详解】解：连接OD B 为 的直径， D AD=BD AB ⊙0 .AD=BD, .∠AOD=∠BOD=90°， 1 DCB=ZB0D2X90°=4 6.【答案】D 【详解】解：，在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量 相等，那么它们对应的其余各组量也相等。 ∴①若AB=BC,则AB=BC,所以，此说法正确： ②若∠AOB=∠BOC,则AB=BC,所以，此说法正确： ③若AB=BC,则∠AOB=∠BOC,所以，此说法正确： ④若∠AOB=∠BOC,则O点到弦AB、BC的距离相等，所以，此说法正确； .说法正确的是①②③④，共4个， 故选：D 7.【答案】D 【详解】解：：∠ACB=90°，∠A=20°， ∴.∠B=90°-∠A=70°， .CB=CD 2/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CDB=∠B=70°， ∴∠BCD=180°-70°-70°=40°， 弧BD的度数为40°， 故选：D ◆题型2点与圆的位置关系 1. 【答案】B 【详解】O0的半径r=10cm,点A到圆心O的距离OA=8cm, ..OA<r .点A在⊙0内. 2. 【答案】D 【详解】解：，点B到圆上最近一点的距离为2，到圆上最远一点距离为8， ∴经过点B的弦MN最大时，MN是圆的直径，此时MN的最大值为2+8=10， 当MN⊥OB时，线段MN的长度最短， 如图，连接OM, M 在RtOBM中，∠MB0=90,0M=10=5,B=5-2=3 ∴.MB=VOM2-OB2=4, .MN=2MB=8. .MN的最小值为8， 8≤MN≤10 故选：D 3.【答案】.2 【详解】解：，圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6， 3/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10-6=2, .2 故答案为：2 ◆题型3垂径定理及其推论 1.【答案】C 【详解】解：如图，连接OD, ,弦 B CD⊥AB .∠BOD=∠BOC=50°， 由圆周角定理得：∠BAD= ∠BOD=25° 2.【答案】55-6或53+6 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心0一侧时，如图1所示， 过O作OE⊥AB,交CD于点E,交AB于点F,连接OA,OC, AB//CD,.OE⊥CD. ∴F、E分别为AB、CD的中点， .AF-BF-1AB-8,CE-DE-iCD-5, 在RtACOE中，0C=10,CE=5, 根据勾股定理得：OE=VOC2-CE2=V102-52=5√3， 在RtAAOF中，OA=l0,AF=8, 根据勾股定理得：OF=√OA2-AF2=V102-82=6, 则EF=OE-OF=5V3-6: 4/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C D E B 图1 图2 当两条弦位于圆心0两侧时，如图2所示，同理可得EF=OE+0F=53+6, 综上，弦AB与CD的距离为5V3-6或5V3+6, 故答案为：55-6或53+6. 3.【答案】45° 【详解】解：由题意得：OC⊥AB,AB=4, 40-8-2, 0C=2, ..AC=OC, ∴.Rt△AOC是等腰直角三角形， ∠A0C=45°， 故答案为：45°」 4.【答案】①④ 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，正确： ②平分弦的直径垂直于弦，需弦非直径，否则不一定垂直，错误： ③等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，错误： ④圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴，正确： ⑤弧长由圆心角和半径共同决定，半径不等时相等的圆心角所对弧长不一定相等，错误. 故答案为①④. 5.【答案】4.1米 【详解】连接OB, OC⊥AB, 5/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=BD=7AB=4米， 设圆的半径为r, 0D=(-3.2)米， 在Rt△BOD中，OB2=OD2+BD2, 2=(-3.2)+42,解得：r=4.1, .⊙0的半径为4.1米. D ◆题型4圆周角定理 1.【答案】D 【详解】解：A、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； B、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意： C、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意： D、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法正确，符合题意： 故选：D 2.【答案】D 【详解】解：，∠AOB=60°， 1 ÷∠4CB=2∠10B=30° 3.【答案】C 【详解】，AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° :∠CAB和∠CDB都是BC所对的圆周角， .∠CAB=∠CDB=25°， .∠ABC=90°-∠CAB=65° 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.【答案】35 【详解】解：，四边形ABCD内接于⊙O,∠ADC=70° ∴.∠B=180°-∠D=110° ,点B是劣弧AC的中点 ∠AE∠C2I80-∠B)=3 ◆题型5弧长、扇形面积与圆锥侧面积 1.【答案】32 【详解】解：设扇形的半径为”， 60元r2 根据题意，得360 =3元， 则r2=18 解得r=32或r=-32(不符合题意，舍去)， ∴扇形的半径是3V2。 2.【答案】.240° 【详解】解：设该扇形的圆心角为n°，已知扇形半径”=3，面积S=6π， 根据扇形面积公式S是= 360,得6π=1m32 360， 整理得9nx=2160x,解得：n=240, 即这个扇形的圆心角是240° 3.【答案】27π 【详解】解：：扇形的圆心角为120°，其半径为9， ∴.S扇形三 x元x9'=x元x81=27元 120 360 3 4.【答案】27π 【详解】解：时针扫过的面积即为扇形面积，台钟的时针长9Cm,即扇形半径为9cm, 从上午6点到10点，时针共走了10-6=4小时， 7/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时钟一圈为12小时，对应360°，因此时针转过的圆心角为： 4 ×360°=120°. 12 120×π×92 ,时针扫过的面积为 =27πcm2. 360 故答案为：27π」 5.【答案】6V2 3 【详解】：底面圆的半径为2， “圆锥的底面周长为2元*2=3元 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n, ,nπ×6 .180 =3r, 解得n=90°， 如图，AA的长就是小虫所走的最短路程， ∠0=90°，OA=0A-6, .AA'=V62+62=6√2. 故答案为：6V2 6.【答案】（①）42,120 (②)16π(cm2） 【详解】(1)解：由题可知AM=BM=2(cm),OM⊥AB, 8/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.OM=VO-AM:=16-22=42(cm) 设侧面展开扇形BOC的圆心角为0：则8C=0×6=0a(c)。 又底面周长为2π×2=4π(cm), . 30π=4红，解得x=120 则侧面展开扇形BOC的圆心角为120°： (2)解：圆锥底面积为π×22=4π(cm2）, 圆锥的侧面积为S侧面=l=π×2×6=12π(cm2), 所以圆锥的全面积为4π+12π=16π(cm2）. 7【答案】华-65 【详解】解：连接OA,OB,作OE⊥AB,如图所示： B 由题意得：OE=12-6=6cm,OA=OB=12cm, ∴.∠OBE=30°，BE=VOB2-OE2=6N3cm, .'AB 2BE=12v3cm,ZBOE =60, ∴.∠AOB=2∠BOE=120° 1 .Sa4oB=7×AB×0E=36V3cm2, 2 S扇形AOB 3600x×122=14 120° 3cm2, ·截面中有水部分弓形的面积=S形4O8一S.40B= 4x-363cm2 8.【答案】(1)见解析 9117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)4π 【详解】(1)证明：：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, .BC=BD, ,∠A=∠BCD, ..OA=OC, .∠A=∠ACO, .∠ACO=∠BCD: (2)解：∠A=30°， .∠B0C=60°， ∴.∠A0C=120°， :AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, cB=03, 在RIACOE中，C0=CE =25 sin60° ∴.扇形04C (阴影部分)的面积= 120×π×(23)2 360 答：阴影部分的面积为4π 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1圆与三角形综合 1. 【答案】(1)证明：连接OC, D :点C为⊙O上一点，过点C的切线交BA延长线于点P, ∠0CP=90°，即∠0CA+∠PCA=90°， ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， 10/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠OCA+∠BC0=90°， ,∠BCO=∠PGA, ..PC=BC, ∠P=∠B, .OB=OC. .∠B=∠BCO=∠P, .∠P=∠PCA, ..AP=AC; (2)4 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接OD ,∠OCP=90° .∠P+∠POC=∠PCA+∠OCA=90°， :∠P=∠PCA, ∴.∠POC=∠OCA, ∴，AC=A0=CO, .△AC0是等边三角形， .∠A0C=60°， CD∥AB, ,L0CD=∠A0C=60°， 0C=0D= B=4, .△COD是等边三角形， .CD=C0=4 ◆题型2圆与四边形综合 1.【答案】(1)2秒或4秒 11/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)存在， (63-18)秒 【详解】(1)解：设运动x秒钟后△DPp的面积为28cm2, P=xcm,BP=(6-x)cm,BO=2xcm,co=(12-2x)cm, SABCD-S.ADP-S.CDO-S.BPQ=S.DPe C-ADAPCD-CQ-Q28. 2 72-x12x-6-小2x-×6x02-2)-=28, x2-6x+8=0,解得：x=2,x2=4 答：运动2秒或4秒后△DP2的面积为28cm2. (2)假设运动开始后第x秒时，满足条件，则：QP=QD, 0P2=PB2+B0=(6-x)2+(2x2, 0D2=0C2+CD2=12-2x)2+62, .(12-2x)2+62=(6-x)2+(2x)2, 整理，得：x2+36x-144=0,解得：x=-18±6V3, 0<6V13-18<6, :运动开始后第(63-18)秒时，点D恰好落在以点Q为圆心，PQ为半径的圆上. ◆题型3圆中的最值问题 1. 【答案】6W5-2 【详解】解：如图，延长CD到点G,使GD=CD,连接BM, G :四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADC=∠ABC=90°，BC=CD=6, 12/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GD =CD, ,AD是线段CG的垂直平分线， ..CN=GN. MN+CN =MN+GN, 当G,N,M三点共线时，MN+CN的值最小， ∠ABC=90°，点M为EF的中点，EF=4, BM EM -FM-2EF-2. 点M的轨迹在以B为圆心，2为半径的圆弧上， .圆外一点G到圆上一点M距离的最小值为GM=BG-BM=BG-2, .CD=GD=6. ..CG=CD+GD=12, ..BG=BC2+CG2=62+122=65, ∴.MN+CW的最小值是BG-2=6V5-2. 2.【答案】(1)120° (②)这根绳子的最短长度为6√3 【详解】(1)解：设∠ABC的度数为n, 底面圆的周长等于2π×2=”r×6 180· 解得n=120° (2)解：连接AC,过B作BD⊥AC于D, .CD=AD,AC=2AD,ZBDA=90 :由(1)得n=120° ∴.∠ABD=60° ∠BDA=90° 则∠DAB=30° 由AB=6, ∴BD=3, AD=V62-32=3V5, .AC=2AD=6V3 13/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即这根绳子的最短长度是6√3 B D ◆题型4圆中的计算综合 1. 【答案】520cm 【详解】设其切点为F,连OF,交AD于点E ,BC是⊙O的切线 ∴.OF⊥BC ,四边形ABCD是矩形 ∴.AD/IBC .OE⊥AD,EF=AB」 设⊙0半径为1， 在R10E中，4G=”-C-100 22 ∴.OE=r-20 :AE2+0E2=0A2即1002+(r-20)2=r2 ∴.r=260 260×2=520(cm) 答：圆弧形门的最高点离地面的高度为520cm 题型专练 高频重难特训 14/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.a=2,b=-2(答案不唯一) 7.①②③ 8.5 9.< 10.80 11.10 12.10cm 13.(1)证明：，BD=AC, .BD-AD=AC-AD .'AB=CD, .AB=CD: (2)证明：AD=AD, .∠B=∠C 又∠A=∠D,AB=CD, .△ABE兰ADCE(ASA)」 ∴.BE=CE. 14证明：点A,B,C,D都在⊙0上， .AD=CB. AD=CB, .∠ABD=∠CDB, 同理：∠A=∠C, 在△ABD和△CDB中 15117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABD=∠CDB ∠A=∠C AD=CB :.△ABD≌aCDB(AAS) 15.(1)60° (2)V5 16.(1)26° (2)8 17.(1):AB是⊙0的直径， ∴.∠ADB=90 又.OCIl BD .∠AEO=∠ADB=90°， 即OC⊥AD .AC=CD ∴.∠AOC=∠C0OD (2)10 18.(1)如图，0D即为所求： (2)证明：AB是⊙0的直径， ∴.∠ACB=90°， :OD∥BC, .∠AMO=∠ACB=90°， .OD⊥AC, .AM=CM 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17/17