精品解析：江苏省海头高级中学2025-2026学年高一上学期12月学业水平质量监测数学试题

2025-2026学年度第一学期12月学业水平质量监测 高一数学试题 （共4页 满分150分 考试时间120分钟） 一、单项选择题（共8小题 满分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式得集合，然后由交集定义计算． 【详解】因为，， 所以. 故选：B． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断. 【详解】解：因为命题是全程量词命题， 所以其否定是存在量词命题，即， 故选：B 3. 函数的部分图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再取特殊值分析判断即可 【详解】函数的定义域为， 因为，所以为偶函数， 所以的图象关于轴对称，所以排除BC， 因为，所以排除D， 故选：A 4. 已知函数，若f(x)在(-∞，+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是（　　） A. (12，1] B. (12，+∞) C. [1，+∞） D. [1，2] 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得，函数在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上也是增函数，且有﹣12+2a×1≤（2a﹣1）×1﹣3a+6，从而可得一不等式组，解出即可． 【详解】因为函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数， 所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）上均单调递增， 且﹣12+2a×1≤（2a﹣1）×1﹣3a+6， 故有a≥1，2a-1＞0， -1+2 a×1≤(2a-1)×1-3a+6，解得1≤a≤2． 所以实数a的取值范围是[1，2]． 故选：D． 5. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（ ）（结果保留一位小数，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出的值，再根据两个等式相除可求得结果. 【详解】由题可得，两式相除可得， 则，， ∵，解得， 设天后金针菇失去的新鲜度为， 则，又， ∴，，，， 则， 故选：B. 6. 设函数，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及在上的单调性，再求解不等式即可. 【详解】函数中，对任意实数，， 即函数的定义域为R，， 即函数是偶函数，当时，，当且仅当时取等号， 有，则，显然在上都递减， 因此在上递减，在上递减， 而函数在上递减，从而函数在上递减，则在上递增， 不等式，于是， 两边平方整理得，解得， 所以不等式的解集. 故选：C 7. 已知，，，则实数的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中间变量法得到，利用构造函数法得到即可. 【详解】因为，， 所以，而，， 故我们构造指数函数，得到， 由指数函数性质得在上单调递减， 因为，所以，综上可得，故C正确. 故选：C 8. 已知函数（其中b是实数）中，y的取值范围是，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（ ） A. 16 B. 25 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据值域得，再利用韦达定理代入即可得到方程，解出即可. 【详解】因为y的取值范围是，则，且，解得， 因为不等式的解集为， 则令，即，两根， 则， 即，且判别式， 解得， 故选：A. 二、多项选择题（共3小题 满分18分） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数的最小值为 C. 已知，，则 D. 若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用特称命题的否定可判定A；利用基本不等式可排除B；利用奇偶性可判定C；由题意得出和4是方程的两根，且，利用根与系数的关系，得出，，代入，结合二次函数的性质即可判定. 【详解】对于A选项，因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“，使得”的否定是“，都有”，故A正确； 对于B选项，易知，故， 由基本不等式知，等号不成立，故B错误；  对于C选项，易知，令， 易知，即为奇函数， 所以，则，故C正确； D选项，关于x的不等式的解集为或， 所以和4是方程的两根，且， 由根与系数的关系知，， 所以，， 所以关于的不等式可化为， 令，对称轴，， 因为不等式的解集中仅有两个整数， 所以这两个整数是，或，， 当这两个整数是和时，则，解得； 当整数是和时，由于对称轴时，根据对称性可知，此时显然不符合题意， 综上，a的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由得到，利用基本不等式可判断选项A正确，选项B错误；利用可得选项C正确；根据，通过分离参数结合基本不等式可得选项D正确. 【详解】由得，， 由得，，整理得， 解得或（舍去），当且仅当时等号成立， 故的最小值为，选项A正确. 由得，，即， 解得（舍去），当且仅当时等号成立， 故的最小值为，选项B错误. 由得，，所以，解得，选项C正确. ， 当且仅当，即时等号成立，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决选项D的关键是根据把代数式等价变形为，利用基本不等式可得结果. 11. 设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合有，结合对数函数、二次函数的性质可得、，进而逐项判断正误. 【详解】对A，由解析式，可得大致图象如下，结合题设和图象知，A错， 令，可得或， 所以， 对B，由于当时，图象的对称轴为直线，所以，B对， 对C，当时，令，则，， 则，C错， 对D，由且，而在上单调递增， 所以，D对. 对CD方法二：当时，，所以，所以，C错误; 因为，所以，故， 又，所以， 因为函数在上单调递增， 故，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：画出函数图象，利用相关函数的性质确定零点的范围及相关参数的关系为关键. 三、填空题（共3小题 满分15分） 12. 函数的定义域是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不等于0,0指数幂的底数不等于0列不等式组求解x的取值集合. 【详解】由,得且. 函数的定义域是. 故答案为. 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法,函数的定义域,就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合,是基础题. 13. 十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】利用指数与对数的关系、对数的运算性质、换底公式运算即可得解. 【详解】解：由题意，，时，， ∴，， ∴ . 故答案为：2. 14. 已知函数设函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先将方程 变形为,根据数形结合思想,与必须有两个交点,即可求出的范围. 【详解】 函数有4个不同的零点，即为有4个不等实根，作出的图象， 可得时，与的图象有4个交点. 故答案为：． 【点睛】关键点睛：解题的关键在于把问题转化为即为有4个不等实根和根据分段函数作出的图像，难度属于中档题 四、解答题（共5大题 满分77分） 15. 计算： （1）求值： （2）已知：，求的值 【答案】（1）81 （2）10 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求出； （2）根据指数幂的运算性质和完全平方公式即可求出. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 因为， 所以， ， 所以. 16. 已知函数（且）. （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可求参数的值； （2）不等式等价于，参变分离后可求实数的取值范围. 【小问1详解】 解：函数为奇函数，则， 即 ， 则，即，. 【小问2详解】 解：，， ， ∴， ∴在恒成立即在恒成立， 在为增函数，故，. 17. 某地因地制宜发展生态农业，打造特色水果示范区，该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的函数关系为，且单株投入的年平均成本为元，若这种水果的销售价格为元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式； （2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）单株施肥量为千克时，单株年利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）分别讨论和时单株年利润的计算公式，由此可得的表达式； （2）分别讨论和时的最大值，由此确定出结果. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，，对称轴且开口向上， 又因为，所以由此二次函数性质可知时有最大值， 所以； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以； 显然， 所以单株施肥量为千克时，单株年利润最大，最大利润为元. 18. 若二次函数的最小值为，且. （1）求的解析式； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质即可利用待定系数法求解， （2）根据二次函数的单调性，即可分类讨论求解最值， （3）由分段函数的性质，结合的图象即可求解. 【小问1详解】 方法一：设， 因为，所以. 因为的最小值为-1，所以，且， 得，且. 因为， 所以，得对任意实数成立，所以. 由 解得或（舍）. 所以. 方法二：因为，所以的对称轴为. 又因为的最小值为-1， 故设， 所以，解得， 所以，即. 【小问2详解】 由题意得，对一切成立. 记，对称轴，开口向上， ①若，即，此时在单调递增， 则时，取最小值， 由无解. ②若，即， 则时，取最小值， 由，解得. ③若，即，此时在单调递减， 则时，取最小值， 由无解. 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 当时，由，得，解得舍. ①若， 则时，取最大值. ②若，则时，取最大值. ③若，则时，取最大值. 综上，的最大值 19. 定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数． （1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围； （3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值． 【答案】（1）任意,, 因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值． 【详解】（1）略 （2）. 因为是“距”增函数，所以恒成立， 因为,所以在上恒成立， 所以，解得，因为,所以. （3）因为，，且为“2距”增函数， 所以时，恒成立， 即时，恒成立， 所以， 当时，，即恒成立， 所以, 得; 当时，， 得恒成立， 所以,得, 综上所述，得. 又， 因为,所以， 当时，若，取最小值为； 当时，若，取最小值. 因为在R上是单调递增函数， 所以当，的最小值为；当时的最小值为， 即 . 【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期12月学业水平质量监测 高一数学试题 （共4页 满分150分 考试时间120分钟） 一、单项选择题（共8小题 满分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的部分图像大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若f(x)在(-∞，+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是（　　） A. (12，1] B. (12，+∞) C. [1，+∞） D. [1，2] 5. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（ ）（结果保留一位小数，） A. B. C. D. 6. 设函数，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则实数的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（其中b是实数）中，y的取值范围是，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（ ） A. 16 B. 25 C. 9 D. 8 二、多项选择题（共3小题 满分18分） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数的最小值为 C. 已知，，则 D. 若关于的不等式的解集为或，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 的最小值为 11. 设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题 满分15分） 12. 函数的定义域是_________. 13. 十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝_____． 14. 已知函数设函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是_______. 四、解答题（共5大题 满分77分） 15. 计算： （1）求值： （2）已知：，求的值 16. 已知函数（且）. （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 某地因地制宜发展生态农业，打造特色水果示范区，该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的函数关系为，且单株投入的年平均成本为元，若这种水果的销售价格为元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式； （2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 18. 若二次函数的最小值为，且. （1）求的解析式； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）求函数在区间上的最大值. 19. 定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数． （1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围； （3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $