专题05 二次函数的存在性问题12大题型50题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北京版

专题07 二次函数存在性问题（12大题型50题） 基础·固本强基 题型1 二次函数中的直角三角形存在性问题 题型2 二次函数中的等腰三角形存在性问题 题型3 二次函数中等腰直角三角形存在性问题 题型4 二次函数中特殊角度的存在性问题 题型5 二次函数中平行四边形的存在性问题 题型6 二次函数中矩形的存在性问题 题型7 二次函数中菱形的存在性问题 题型8 二次函数中正方形的存在性问题 题型9 二次函数中相似三角形的存在性问题 题型10 二次函数中面积最值的存在性问题 提升·进阶突破 题型11 二次函数的存在性问题进阶练 拔高·压轴破难 题型12 二次函数的存在性问题压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数中的直角三角形存在性问题（共3小题） 【易错】直角顶点不确定，需分三类讨论；计算边长平方时符号易错，求出坐标后要检验三点能否构成三角形。 1．（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 2．（2025·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 题型2 二次函数中的等腰三角形存在性问题（共3小题） 【易错】等腰三角形顶点不确定，分三种腰的情况；解方程易产生增根，要验证三点不共线、边长为正。 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的表达式和线段的长； (2)在抛物线对称轴上找一点P，使为等腰三角形？直接写出点P的坐标． 5．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 6．（24-25九年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线l上的一个动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 题型3 二次函数中等腰直角三角形存在性问题（共3小题） 【易错】直角顶点与腰长都要分类；利用全等或斜率计算坐标，容易遗漏另一侧的点，不检验边长关系 7．（2025·四川达州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2025·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型4 二次函数中特殊角度的存在性问题（共3小题） 【易错】角可以在直线两侧，存在多解；构造辅助线转化角度时考虑不全，求得结果忘记回代验证 10．（2026·黑龙江·三模）如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 11．（24-25九年级下·河南郑州·期中）如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 12．（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型5 二次函数中平行四边形的存在性问题（共3小题） 【易错】不确定哪两点为对角线，分类不全；利用中点公式计算坐标，忽略点是否在抛物线上或限定范围内 13．（26-27九年级上·河南信阳·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)当时，函数的最小值为1，则a的值为______； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（26-27九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴、y轴分别交于点A、B、C． (1)求出点A、B、C的坐标？ (2)判断的形状并证明． (3)M为二次函数图象上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N构成的四边形是平行四边形时，求点N的坐标（直接写出答案）． 15．（26-27九年级上·四川绵阳·期中）如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接、，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为直线上方的抛物线上一点，过点Q作交于E，作轴于N，交于M，当的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值； (3)若点G在x轴上运动，在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使B、Q、P、G四点所构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出G点坐标，若不存在，说明理由． 题型6 二次函数中矩形的存在性问题（共3小题） 【易错】先按平行四边形分类，再加直角条件；计算斜率或勾股定理易算错，漏写点的位置情况 16．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点为，与轴交于点和点，连接， (1)求该抛物线的函数表达式． (2)平移线段，使点的对应点在轴上，点的对应点为点．当四边形为矩形时，请探索点是否在该抛物线上，并说明理由． 17．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 18．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且．点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在抛物线上，点在轴上． (1)求的值； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积； (3)在（）的条件下，矩形不动，将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接．若恰好平分矩形的面积，求的值． 题型7 二次函数中菱形的存在性问题（共3小题） 【易错】平行四边形基础上加邻边相等；分类讨论对角线容易漏情况，算出坐标不检验四边长度 19．（2026·安徽·模拟预测）如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 20．（2026·福建厦门·一模）已知二次函数：部分自变量的值与的值如下表． (1)直接写出该二次函数的对称轴； (2)若，当时，，求a的取值范围； (3)点，是该二次函数与轴的交点，点在该二次函数的对称轴上，当时，试问该二次函数上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有的坐标，若不存在，请说明理由． 21．（2026九年级下·海南海口·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 题型8 二次函数中正方形的存在性问题（共3小题） 【易错】同时满足邻边相等且夹角 90°；分类复杂易丢解，坐标运算符号出错，忽略点的范围限制 22．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点的坐标，若不存在，说明理由； (3)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为，记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，当四条直线围成的图形为正方形且正方形边长为2时，求点M的坐标． 23．（26-27九年级上·广东广州·期中）已知关于的二次函数，把二次函数图象向上平移个单位，得到新的函数的图象为抛物线，如图所示，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，． (1)当时，求新的函数与直线的交点坐标． (2)若四边形为正方形，求的值． 24．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段下方的抛物线上一动点，过点作，交于，当线段最长时，求此时的长度及点的坐标． (3)点为对称轴上的两个点，设这两个点纵坐标分别为、且，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形，若点的纵坐标为． ①用含的式子表示点的坐标：__________； ②当正方形的边与抛物线在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出的取值． 题型9 二次函数中相似三角形的存在性问题（共3小题） 【易错】相似对应顶点不固定，必须分类；比例式写反，求出点后不验证夹角与边长比例是否匹配 25．（2026·山东烟台·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（2026·陕西西安·三模）抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． (1)求出A，B，C三点的坐标； (2)作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值． 27．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交线段于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在点，使得与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型10 二次函数中面积最值的存在性问题（共3小题） 【易错】忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值；割补求面积时线段漏加绝对值，分类讨论不全 28．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的上方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 29．（26-27九年级上·天津南开·期中）如图，已知，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为．与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标； (3)若抛物线上有一动点，点在直线的下方，当的面积最大时，求点坐标和的最大面积． 30．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接．点P是抛物线在y轴右侧部分上的一个动点(不与点B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M，交直线于点N． (1)求A，B，C三点的坐标及直线的解析式； (2)设点P的横坐标为，用含m的式子表示线段的长，并求出的最大值； (3)是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出此时点P的坐标及最大面积． 提升·进阶突破 题型11 二次函数的存在性问题进阶练（共10小题） 31．（26-27九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 32．（26-27九年级上·黑龙江牡丹江·期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（为常数且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)若，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有________个； (2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求的值． 33．（26-27九年级上·上海虹口·期中）【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（26-27九年级上·广东汕头·期中）如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 35．（26-27九年级上·湖北武汉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 (1)直接写出、、三点的坐标 (2)如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 (3)若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 36．（26-27九年级上·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中有一正方形，正方形的边，分别在轴、轴的正半轴上，顶点的坐标为．抛物线（m为常数）的顶点为P． (1)当时，求抛物线的顶点P的坐标； (2)当抛物线经过原点时，求m的值； (3)当抛物线的顶点P落在正方形的内部时，求m的取值范围； (4)当时，直接写出抛物线与正方形的边的交点个数． 37．（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 39．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标； (2)若P是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点P的坐标． 40．（26-27九年级上·湖北荆州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点，连接．点为x轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为t． (1)________，________； (2)连接，当时，求t的值； (3)设以，，，为顶点的四边形的面积为， ①求关于t的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 拔高·压轴破难 题型12 二次函数的存在性问题压轴练（共10小题） 41．（26-27九年级上·重庆巴南·期中）已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点和B两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图①，点P是线段下方抛物线上的一动点，连接，点M是y轴上一动点，点N是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线向左平移一个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，连接，点Q是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 42．（26-27九年级上·湖北襄阳·期中）如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标． (2)点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ (3)若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 43．（2026·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求线段的长度； (3)当点在轴下方时，抛物线在点、点之间的部分（包括端点）记为图象，图象上最高点和最低点的纵坐标之差为时，求点的坐标； (4)以为对角线构造矩形，边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时，直接写出的值． 44．（2026·吉林·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，交y轴于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形的面积； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点E为抛物线上的一个动点，且横坐标为n，点F的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 45．（26-27九年级上·山东济宁·期中）如图1，已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．过点作，交抛物线于点． (1)此抛物线对称轴为______；______，______； (2)如图2，点是线段上一动点，连接，若平分，求点的坐标； (3)将抛物线图象沿轴正方向平移个单位得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①直接写出的值； ②如图3，在（2）的条件下，连接，点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交抛物线的图象于点，当点从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求的横坐标为的取值范围． 46．（26-27九年级上·重庆九龙坡·期中）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问中的点，得到新抛物线．点为新抛物线上的动点，连接、，若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 47．（26-27九年级上·安徽安庆·期中）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)设四边形PBOC的面积为，求的最大值； (2)连接，若的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点，当时，求点的坐标． 48．（26-27九年级上·山东东营·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过P作于点E，求的最大值． (3)在对称轴上是否存在点M，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 49．（26-27九年级上·上海闵行·期中）如图所示，抛物线的对称轴为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，直线与该抛物线交于D，E两点（点D在第二象限，点E在第四象限） (1)求该抛物线的解析式 (2)求D，E两点的坐标 (3)“笛卡尔爱心曲线”是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，如图所示，将抛物线在直线上方的图像沿翻折就会得到“心型线”，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接交于点G． ①当四边形是菱形时，求点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． 50．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与探究 如图（a），抛物线与轴交于点，直线经过点，与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图（b），过点作轴，垂足为，是线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴，垂足为交线段于点，连接． ①设点的横坐标为，当为何值时，的面积取得最大值？并求出这个最大值． ②已知为轴上的一点，为平面直角坐标系内的一点，当以点，，，为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数存在性问题（12大题型50题） 基础·固本强基 题型1 二次函数中的直角三角形存在性问题 题型2 二次函数中的等腰三角形存在性问题 题型3 二次函数中等腰直角三角形存在性问题 题型4 二次函数中特殊角度的存在性问题 题型5 二次函数中平行四边形的存在性问题 题型6 二次函数中矩形的存在性问题 题型7 二次函数中菱形的存在性问题 题型8 二次函数中正方形的存在性问题 题型9 二次函数中相似三角形的存在性问题 题型10 二次函数中面积最值的存在性问题 提升·进阶突破 题型11 二次函数的存在性问题进阶练 拔高·压轴破难 题型12 二次函数的存在性问题压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数中的直角三角形存在性问题（共3小题） 【易错】直角顶点不确定，需分三类讨论；计算边长平方时符号易错，求出坐标后要检验三点能否构成三角形。 1．（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． （3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ①当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ②当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 2．（2025·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，直线解析式为 (2) (3)存在，或或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 题型2 二次函数中的等腰三角形存在性问题（共3小题） 【易错】等腰三角形顶点不确定，分三种腰的情况；解方程易产生增根，要验证三点不共线、边长为正。 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的表达式和线段的长； (2)在抛物线对称轴上找一点P，使为等腰三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；； (2)或或． 【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）代入和，解方程组即可；令，求出点的坐标，利用两点间距离公式求解即可； （2）当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入可得， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； 令抛物线，则， ∴， ∴； （2）存在． 理由：∵， ∴设， ∵，， ∴，， ∵，为等腰三角形， ∴当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，或或． 5．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)；面积最大值为 (3)点M的坐标为，， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，两种种情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令得， ∴，， ∴， 令得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解方程得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）解：∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，、 ①当时， 如图所示有，， ②当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，． 6．（24-25九年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线l上的一个动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）直接将三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点； （3）由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①、②、③；可先设出点的坐标，然后用点纵坐标表示的三边长，再按上面的三种情况列式求解． 【详解】（1）解：将代入抛物线中， 得：， 解得：， 故抛物线的解析式：． （2）解：当P点在x轴上，P、A、B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短， 此时， 故； （3）解：如图所示：抛物线的对称轴为：， 设， 已知， 则：； ①若，则， 得：，解得：， ②若，则， 得：，解得：； ③若，则， 得：，解得：； 当时，三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的点，且坐标为或或或． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定、勾股定理、解方程等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解． 题型3 二次函数中等腰直角三角形存在性问题（共3小题） 【易错】直角顶点与腰长都要分类；利用全等或斜率计算坐标，容易遗漏另一侧的点，不检验边长关系 7．（2025·四川达州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解的函数表达式为 (2) (3)或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点， ∴，解得 ∴抛物线解的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为． ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，或（不合题意，舍去） ∴； （3）解：由②知，，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴， 若是等腰直角三角形，则有： ①当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去） ②当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设，，过点P作于点，过点A作于点N，则，证明，得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴． ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：存在． 设，， 如图①，图②，过点P作于点，过点A作于点N，则． ∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 解得，， ∴或． 9．（2025·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）把点， 点代入即可求解； （2）分当时和当时两种情况分析即可； 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）存在，理由： 令，则， 解得， ∴，， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，，解得， ∴，直线的解析式为， 设点E的坐标为，则，， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，即解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 题型4 二次函数中特殊角度的存在性问题（共3小题） 【易错】角可以在直线两侧，存在多解；构造辅助线转化角度时考虑不全，求得结果忘记回代验证 10．（2026·黑龙江·三模）如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在x轴上方时，取点，连接，可证明，推出，则点P在射线上，求出直线的解析式为，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可；当点P在x轴下方时，取点，连接，同理可证明点P在射线上，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点，连接， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时，取点，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 11．（24-25九年级下·河南郑州·期中）如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与不等式，求一次函数的关系式， 对于（1），将点，点代入顶点式，整理求出解即可； 对于（2），先求出交点B，P的坐标，再根据直线在抛物线上方时自变量的取值范围即为答案； 对于（3），分两种情况：点M在x轴下方时，此时与点P重合可得答案；点M在x轴上方时，先求出点P关于x轴的对称点的坐标，再求出直线的关系式，然后联立直线和抛物线的关系式，求出解即可. 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点． 设抛物线解析式为 ． 整理，得； （2）解：． 将化为顶点式，得． 点坐标为. 点的坐标为， 不等式的解集为； （3）解：存在． 由抛物线的对称性可知 故当点在x轴下方时，点与点重合，可得点坐标为． 如图所示，作点关于轴的对称点，点P的坐标为， 可得Q点坐标为. 设直线的解析式为． ∵点，， 直线的解析式为． 联立方程组可得 解得（舍）． 将代入， 得． 故的坐标为. 综合以上可得点M的坐标为或． 12．（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 题型5 二次函数中平行四边形的存在性问题（共3小题） 【易错】不确定哪两点为对角线，分类不全；利用中点公式计算坐标，忽略点是否在抛物线上或限定范围内 13．（26-27九年级上·河南信阳·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)当时，函数的最小值为1，则a的值为______； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)存在，或或 【分析】（1）先求出时x的值，再结合二次函数的性质作答即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 解得：， ∵， ∴对称轴为直线，y最小值为0， 要使函数的最小值为1，则或， 即或； （2）解：令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时， ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 14．（26-27九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴、y轴分别交于点A、B、C． (1)求出点A、B、C的坐标？ (2)判断的形状并证明． (3)M为二次函数图象上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N构成的四边形是平行四边形时，求点N的坐标（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)，，，． 【分析】（1）分别将代入二次函数解析式中求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点A、B、C的坐标； （2）由（1）得到边的长，利用勾股定理得到边的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）设，点在抛物线上，分类讨论：①当为平行四边形对角线时，②当为平行四边形的边，且点N在点C的右侧时，③当为平行四边形的边，且点N在点C的左侧时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、C两点， ∴，即． 解得， ∴． 将代入，得， 得B点的坐标为； ∴A，B，C三点的坐标分别为； （2）解：如图1，连接， ∵A，B，C三点的坐标分别为； ∴， 在中，， 由勾股定理得， 在中，， 由勾股定理得， 在中， ∵， ∴是直角三角形； （3）解：设，点在抛物线上， ①当为平行四边形对角线时，如图 ， 中点坐标为，即， 平行四边形对角线互相平分， 、中点也是， 在轴上，纵坐标为， 点纵坐标为， 把代入抛物线解析式： ， 整理得， 解得（即为点，舍去），， ， 由中点公式：， 解得， ； ②当为平行四边形的边，且点N在点C的右侧时，如图 有，此时， ， ，横坐标平移规律：到向右平移个单位， 向右平移个单位得到， ； ③当为平行四边形的边，且点N在点C的左侧时，如图， 此时点的中点与的中点重合， ∴ 解得， 把代入抛物线解析式， ， 整理得， 解得， ∴当， 根据平行四边形对角线中点相同， 当， ， 解得， ， 当， ， 解得， ， 综上所述，点的坐标为，，，． 15．（26-27九年级上·四川绵阳·期中）如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接、，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为直线上方的抛物线上一点，过点Q作交于E，作轴于N，交于M，当的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值； (3)若点G在x轴上运动，在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使B、Q、P、G四点所构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出G点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，L的最大值为 (3)点G的坐标为或或或 【分析】（1）首先求出，得到，然后求出，，然后利用待定系数法求解； （2）根据题意证明出是等腰直角三角形，表示出，然后得到，设，则，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设，，根据题意分三种情况讨论，分别利用平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∴ ∴，，即 将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵轴 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴的周长 ∵， ∴可得所在直线的表达式为 设，则 ∴ ∵ ∴当时，取得最大值2，L的最大值为， ∴将代入得，； （3）解：设， ∵，，平行四边形的对角线互相平分， ∴当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或（此时点G和点B重合，舍去） ∴点G的坐标为； 当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或 ∴点G的坐标为； 当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或 ∴点G的坐标为或； 综上所述，点G的坐标为或或或． 题型6 二次函数中矩形的存在性问题（共3小题） 【易错】先按平行四边形分类，再加直角条件；计算斜率或勾股定理易算错，漏写点的位置情况 16．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点为，与轴交于点和点，连接， (1)求该抛物线的函数表达式． (2)平移线段，使点的对应点在轴上，点的对应点为点．当四边形为矩形时，请探索点是否在该抛物线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：点不在该抛物线上，理由如下： 如图，连接， 设点的坐标为， 由平移的性质得：点的坐标为， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：， 此时点的坐标为， 当时，， ∴点不在该抛物线上． 【分析】（1）设该抛物线的函数表达式为，再把点代入，即可求解； （2）连接，设点的坐标为，由平移的性质得：点的坐标为，再由矩形的性质可得，可求出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴可设该抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）略 17．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 18．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且．点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在抛物线上，点在轴上． (1)求的值； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积； (3)在（）的条件下，矩形不动，将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接．若恰好平分矩形的面积，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)矩形的面积为； (3)的值为． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，二次函数的性质，平移规律等，掌握知识点的应用是解题关键． （）先求出点的坐标，由，可推出点坐标，将点坐标代入解析式可求出的值，即可写出抛物线的解析式； （）设点坐标为，用含的代数式表示出矩形的周长，利用二次函数的性质求出取其最大值时的值，即求出点的坐标，进一步可求出矩形的面积； （）连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半，依次求出直线，的解析式，再求出点的坐标，即可得出的值． 【详解】（1）解：在抛物线 中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点坐标为， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为， ∴点到对称轴的距离为， 由对称性可知， ∴矩形的周长， ∴当时，矩形周长取最大值， ∴此时， ∴，， ∴矩形的面积为； （3）解：如图，连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半， 由（）知，抛物线对称轴为，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ ， ∵， ∴将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接，则恰好平分矩形的面积， ∴的值为． 题型7 二次函数中菱形的存在性问题（共3小题） 【易错】平行四边形基础上加邻边相等；分类讨论对角线容易漏情况，算出坐标不检验四边长度 19．（2026·安徽·模拟预测）如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)； (2) (3)向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度 【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线一般式，解二元一次方程组求得、，即可得到抛物线函数表达式；将表达式配方为顶点式，直接写出顶点的坐标即可； （2）先用待定系数法求直线的解析式，设点横坐标为，用表示、的坐标，通过两点纵坐标差写出关于的二次函数，利用二次函数性质求出的最大值即可； （3）先确定最大时点、的坐标，设平移后顶点，则，根据的位置，分在轴上方、下方两种情况，依据菱形邻边相等列方程求、，舍去无解情况，根据顶点坐标的变化量即可确定抛物线的平移方式． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 化为顶点式，得， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为，代入、得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点的横坐标为，则，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，在取值内， ∴当时，； （3）解：由（2）当的长最大时，，点，点， 设平移后抛物线顶点，抛物线对称轴为直线，对称轴交轴于点， 根据的位置，可分两种情况讨论： ①如图，当点在轴上方时，四边形是菱形，则， ∴， 解得或， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； ∴的坐标为或， ∵抛物线的顶点为， ∴当的坐标为时，，，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度； 当的坐标为时，，，抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度； ②当点在轴下方时，四边形是菱形，则， ∴， 两边平方，得， 移项并整理，得， ∴此方程无实数根， 故此情况不成立； 综上，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，能使得以、、、为顶点的四边形是菱形． 20．（2026·福建厦门·一模）已知二次函数：部分自变量的值与的值如下表． (1)直接写出该二次函数的对称轴； (2)若，当时，，求a的取值范围； (3)点，是该二次函数与轴的交点，点在该二次函数的对称轴上，当时，试问该二次函数上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为菱形，若存在求出所有的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线 (2) (3)存在，点的坐标为，， 【分析】（1）根据二次函数图像对称性，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，可直接计算对称轴 （2）先写出二次函数交点式，代入点坐标，根据判断乘积符号，进而得到的取值范围； （3）先根据的值求出二次函数解析式，再分为菱形的边和为菱形的对角线两种情况，结合菱形的性质计算点坐标，验证是否在抛物线上得到结果 【详解】（1）解：由表格可知，二次函数图像经过点和，两点纵坐标相同， 因此两点关于对称轴对称.因此对称轴为直线. （2）解：设二次函数解析式为， 将，代入得 ，， 因此 ，即的取值范围是. （3）解：将展开得，因此 ， 解得 因此二次函数解析式为， 当时，， 解得： ∴点，，， ∵点在对称轴上，设，， 分情况讨论：情况1：为菱形的边 ， 与纵坐标相等，且， 解得或. 将代入解析式，得，得. 将代入解析式，得，得. 根据对称性，若，代入解析式得， 整理得， 判别式，无实根，此情况不存在符合条件的点. 情况2：为菱形的对角线时， 菱形对角线互相平分， 中点与中点重合，中点为， 因此 解得，. 将代入解析式，得， 因此，验证可得四边边长相等，满足菱形条件. 综上，存在符合条件的点，坐标为，，. 21．（2026九年级下·海南海口·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②存在，边长为或2 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）①根据题意求出点坐标，得到直线的解析式，设，则，进而可得即可；②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：， 故； （3）①当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴， 故线段的最大值为； ②存在； 由①知，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 题型8 二次函数中正方形的存在性问题（共3小题） 【易错】同时满足邻边相等且夹角 90°；分类复杂易丢解，坐标运算符号出错，忽略点的范围限制 22．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点的坐标，若不存在，说明理由； (3)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为，记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，当四条直线围成的图形为正方形且正方形边长为2时，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)点M的坐标为或． 【分析】（1）把，两点代入函数关系式，解方程组即可； （2）在轴下方抛物线上取点，设点的坐标为，则或，分两种情况：①时，不存在；当时，过点作轴于点，连接，，根据，则，利用三角函数求解； （3）对，在对称轴左右两侧，及都在左侧和都在右侧进行分类讨论，根据正方形的边长相等列对应关系式求解． 【详解】（1）解：把，两点代入函数关系式得， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，在轴下方抛物线上取点， 设点的坐标为，则或， 当时，是钝角，是锐角，故不能相等； 当时，过点作轴于点，连接，， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即 （3）解：， 抛物线的对称轴为直线，有最大值， 由题意可知，即， 当点，分布在对称轴左右两侧时，， 若点M是最低点， 此时最大值为，最小值是当时，的值，即， ， ， 解得，（舍去）， ； 若点N是最低点， 此时， 解得，（舍去）， ， ， ， ； 当点，都在对称轴左侧时，， 此时 整理得 ， ，， ， ， ，此时， 故不存在此种情况； 当点，都在对称轴右侧时，， 此时 整理得 ， ， ， ， ， 故不存在此种情况； 综上可知，点M的坐标为或． 23．（26-27九年级上·广东广州·期中）已知关于的二次函数，把二次函数图象向上平移个单位，得到新的函数的图象为抛物线，如图所示，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，． (1)当时，求新的函数与直线的交点坐标． (2)若四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)和 (2)5 【分析】（1）先求出平移后的函数解析式，再将、代入计算即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】（1）解：∵把二次函数图象向上平移个单位，得到新的函数的图象为抛物线， ∴抛物线的函数解析式为， 将、代入得， 解得：， 即新的函数与直线的交点坐标为和； （2）解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 24．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段下方的抛物线上一动点，过点作，交于，当线段最长时，求此时的长度及点的坐标． (3)点为对称轴上的两个点，设这两个点纵坐标分别为、且，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形，若点的纵坐标为． ①用含的式子表示点的坐标：__________； ②当正方形的边与抛物线在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出的取值． 【答案】(1) (2)， (3)①，；②或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，再求出直线的解析式，设点，表示出点的坐标，进而表示出的长，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）①根据旋转和正方形的性质解答即可；②分点在抛物线上或点在抛物线上或点在抛物线上三种情况，利用二次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵与轴交于点， ∴， 设直线为，把代入， 得， ∴， ∴直线的解析式为， 设点， ∵， ∴点纵坐标为， 把代入，得， ∴， ∴， ∴ 当时，取得最大值，最大值， 此时； （3）解：①∵抛物线的解析式， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为对称轴上的两个点，，点的纵坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，， ∵将线段绕点逆时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形， ∴，点和点的纵坐标相同，点和点的纵坐标相同， ∴点和点的横坐标为， ∴，； ②∵正方形的边与抛物线在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴点在抛物线上或点在抛物线上或点在抛物线上， 当点在抛物线上时，如图， 把点代入抛物线，得， 解得； 当点在抛物线上时，如图， 把点代入抛物线，得， 解得， 当时，，此时点在抛物线上，不符合题意； 当点在抛物线上时，如图， 把点代入抛物线，得， 解得； 综上，的取值为或． 题型9 二次函数中相似三角形的存在性问题（共3小题） 【易错】相似对应顶点不固定，必须分类；比例式写反，求出点后不验证夹角与边长比例是否匹配 25．（2026·山东烟台·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法，将抛物线与x轴、y轴交点坐标，代入抛物线表达式，即可求出； （2）先求出两直线的表达式，联立求出点Q的坐标，分的两部分以为底，则高相等，两部分面积比等于底边之比；过点P、点Q向x轴做垂线，将面积之比转换成，横坐标差值比；再将面积比分两种情况，分别求出点P坐标； （3）在y轴上取点，，所以，当N在y轴正半轴时，点N在上，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴负半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点A、C代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得，， ， 如图，过点P作轴交于点G，过点Q作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ，解得， ， 、所在两直线联立方程组，求交点Q坐标， ， 解得：， ， 分的面积为两部分， 以为底，高相等，两部分面积比等于底边之比， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得，， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点N，使得，理由如下： 在y轴上取点， 当N在y轴正半轴时，如图，     ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ； 当N在y轴负半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ,满足条件， 综上，N的坐标为或． 26．（2026·陕西西安·三模）抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． (1)求出A，B，C三点的坐标； (2)作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值． 【答案】(1)； (2)的值为或 【分析】（1）令和，分别求解即可； （2）分两种情况：和，分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， 当时，， ； （2）解：∵是直线与抛物线的交点， ①如图，若时，则， ， 解得：（舍去）或， ②如图，若时，过作轴于点， ， ，， ， 又， ， ， ∵， ，， ，， ， ， 解得：（舍去）或 综上，符合题意的的值为或． 27．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交线段于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在点，使得与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在．或 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得出方程组，求出解即可； （2）设点，再求出，分两种情况：当为直角时，可知与相似，则，即可得点、关于抛物线的对称轴对称，然后得出答案； 当为直角时，作轴，可得，则，再根据可得，即，求出答案即可． 【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得，， 故抛物线的函数表达式为； （2）解：存在．理由如下： 设点， 令， 解得或（舍去）， 故点，则． ①当为直角时， ∵与相似，则， ∴轴，则点、关于抛物线的对称轴对称． ∵抛物线的对称轴为， ∴点； ②当为直角时， 如图，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即 则， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 题型10 二次函数中面积最值的存在性问题（共3小题） 【易错】忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值；割补求面积时线段漏加绝对值，分类讨论不全 28．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的上方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)8 【分析】（1）先由一次函数解析式求出点A，B的坐标，再将点A，B的坐标代入二次函数解析式，解二元一次方程即可； （2）设，过P作y轴的平行线交直线于Q，则，则，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：直线中， 时，故； 时，故． 将、代入， 得， 解得； （2）解：由（1）可得：， 设， 过P作y轴的平行线交直线于Q，则， ∵P在直线上方， ∴， ∴， 当时，的面积最大，最大值为8． 29．（26-27九年级上·天津南开·期中）如图，已知，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为．与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标； (3)若抛物线上有一动点，点在直线的下方，当的面积最大时，求点坐标和的最大面积． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)当最小时点的坐标为 (3)点的坐标为，最大面积为 【分析】（1）利用待定系数法将点的坐标代入求解； （2）根据对称性将求的最小值转化为求的最小值，利用两点之间线段最短求解； （3）过点向轴作垂线，交于点，将点设出来，利用两点之间的距离求出的长度，再将的面积表示出来，利用二次函数的顶点式求出最值． 【详解】（1）解：分别将点，代入二次函数中， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意知，点关于对称轴对称， ∴， 则， 当三点共线时，取得最小值， 此时点为直线与抛物线对称轴的交点； 设直线的表达式为， 分别将，代入中， 得，解得， 直线的表达式为； 二次函数的对称轴为， 将代入，解得， 点的坐标为． （3）解：如图所示，过点向轴作垂线，交于点， ， 设点的坐标为，则点的横坐标为， 将代入，解得， ∴点的坐标为， ∵点在直线的下方， ∴， 则， ∴， ∴当时，取得最大值， 此时，， ∴点的坐标为，最大面积为． 30．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接．点P是抛物线在y轴右侧部分上的一个动点(不与点B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M，交直线于点N． (1)求A，B，C三点的坐标及直线的解析式； (2)设点P的横坐标为，用含m的式子表示线段的长，并求出的最大值； (3)是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出此时点P的坐标及最大面积． 【答案】(1)，，， (2)，最大值为1 (3)存在，，最大面积为1 【分析】（1）分别令，求出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）根据题意表示出点P坐标和点N坐标，表示出线段的长，再运用二次函数最值即可求得答案； （3）根据题意表示出，再运用二次函数最值即可求得答案； 【详解】（1）解：令得，解得， ∴， 令得，故， 设直线为， 把代入得， 解得， 故直线的解析式为． （2）解：根据题意可得，点P坐标为，点N坐标为， ∴， ∴当时最大，最大值为1． （3）解：把沿分割，其水平宽为， ∴． 由（2）知当时S最大，最大值为1， 此时点P的坐标为． 提升·进阶突破 题型11 二次函数的存在性问题进阶练（共10小题） 31．（26-27九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）由直线解析式求出A、B坐标，然后确定C点的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）设，如图：过点D作轴，交直线于点E，再求得得出方程，解出m值即可解答 （3）先求得抛物线的对称轴直线为，如图：设结合，分和两种情况，分别利用两点间距离公式列方程求得e的值即可解答． 【详解】（1）解：直线中，当，则；当，则， ∴， ∵点为的中点， ∴，将A和C代入抛物线中， ，解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：联立：，解得：或， ∴直线与抛物线交于点和， ∵点D是直线下方抛物线上的一点， 设， ∴， 如图：过点D作轴，交直线于点E， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点D的坐标为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴直线为， 设，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或； 如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或． 综上，点E的坐标为或或或． 32．（26-27九年级上·黑龙江牡丹江·期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（为常数且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)若，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有________个； (2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求的值． 【答案】(1)15 (2)或 【分析】（1）当时，，可得抛物线的顶点的坐标为，再求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当时，，结合图形即可求得“整数点”的个数； （2）先求得抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，再分三种情况，当时，当时，当时，分别根据勾股定理列出方程即可求解； 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， 结合图形可知，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有个； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 则，，， 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 此时方程无解； 综上，当或时，是直角三角形． 33．（26-27九年级上·上海虹口·期中）【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶 (3)P点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）将车宽转化为横坐标，将横坐标代入解析式求解，判断，即可解题； （3）因为三角形为等腰直角三角形，需分类讨论，再根据等腰直角三角形的性质和函数解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由图设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵车宽、高， ∴当时，， ∵，满足车顶部与隧道在竖直方向上的高度差至少为， ∴该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶． （3）存在， ∵M为与的交点， 则有，解得，， ∴， ∵三角形为等腰直角三角形，需分类讨论， ①当，时， ∵N为直线与对称轴的交点， ∴， 取点，，则， ∴，即， ∴点Q为与抛物线的交点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q为与的交点， 则有，解得（舍），， ∴， ∴； ②当，时，因为轴，所以该情况不存在； ③当，时， ∵， ∴轴， ∵， ∴Q点的纵坐标为5，则，解得（舍），， ∴ 综上，P点的坐标为或． 【点睛】此题考查用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和数形结合思想，能够将题干条件转化为数学知识解决问题是解题的关键． 34．（26-27九年级上·广东汕头·期中）如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 【答案】(1) (2)P点的坐标为，， (3) (4)存在，坐标为和 【分析】（1）利用待定系数法，解答即可； （2）设，根据题意，得，解绝对值方程即可； （3）过点P作轴交直线于点M，设，则， 且，则， 构造面积的二次函数，解答即可． （4）设，则，根据，确定点E的坐标，再利用平移的思想，确定点F的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴的两个交点为，， ， 解得， 函数表达式为：． （2）解：根据题意，点为抛物线上的一动点， 设， ，， ， 面积为8， ， 或， 或， 解得或， ∴或或． （3）解：与y轴交于点C， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴交直线于点M， 设，则， 且， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，面积最大，且最大值为． （4）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 为菱形， ， 设，则 ， 解得， 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故； 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故． 坐标为或， 35．（26-27九年级上·湖北武汉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 (1)直接写出、、三点的坐标 (2)如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 (3)若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或． 【分析】（1）求出时x的值和求出时y的值即可得到答案； （2）过点A作交于点H，过点H作轴于点G，证明，得到，可推出；求出直线的解析式为，再联立函数解析式求解即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 解得或， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，过点A作交于点H，过点H作轴于点G， ∴， ∴， ∴； 由（1）得， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得或， ∴点D的坐标为； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为或， 综上所述，点E的坐标为或或． 36．（26-27九年级上·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中有一正方形，正方形的边，分别在轴、轴的正半轴上，顶点的坐标为．抛物线（m为常数）的顶点为P． (1)当时，求抛物线的顶点P的坐标； (2)当抛物线经过原点时，求m的值； (3)当抛物线的顶点P落在正方形的内部时，求m的取值范围； (4)当时，直接写出抛物线与正方形的边的交点个数． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）将代入解析式，然后利用顶点式求出顶点坐标； （2）将原点坐标代入解析式，列出一元二次方程求解即可； （3）将二次函数解析式化成顶点式，然后根据顶点坐标以及正方形的性质列出不等式组，然后进行求解； （4）将代入解析式，然后利用顶点式求出顶点坐标，再利用正方形的边长确定函数值，进行比较即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点P的坐标为； （2）解：当抛物线经过原点时，将代入函数解析式，得， 解得或； （3）解：∵， ∴顶点P的坐标为， ∵四边形为正方形，且顶点的坐标为， ∴， 当抛物线的顶点P落在正方形的内部时， ， 解得； （4）解：当时，， 顶点坐标为，即顶点在正方形边上； 当时，， ∴抛物线与正方形边交于一点； 当时，， ∴抛物线与正方形边不相交； 当时，， 解得或， ∵， ∴， 即， ∴抛物线与正方形边交于一点； 综上，抛物线与正方形的边的交点个数为． 37．（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点，由待定系数法求出直线的解析式，根据，进而分两种情况：，；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 解得 抛物线的解析式为：． （2）解：存在，理由如下 抛物线与x轴交于A，B两点， ． 解得，． ． 设直线的解析式为：，将，，代入解析式得：，解得：． 直线的解析式为：， ， 当和相似有两种情形， 当时，如图 ． ． 设直线的解析式为，将，代入得 ，解得：． ∴直线的解析式为． ∴直线的解析式为． 联立解得：． ． ②当时，如图 ． ，，，， ，． ，解得． 设， 解得∶或 (舍去)． 则 ． 综上所述，或． 38．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线和坐标轴的交点求出坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）过点作轴，交于点，证明，得到等式，设，则，，将其代入等式整理得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，（点在点的右边）， 当时，解得， ， 抛物线与轴相交于点， 当时，解得， ， 设直线的解析式为， 将代入中， 有，解得， 直线的解析式为； （2）解：过点作轴，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 整理得， ， 则当时，线段有最大值为． 【点睛】本题考查了抛物线和坐标轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，二次函数最值，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 39．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标； (2)若P是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令列式求解即可得到答案； （2）先求出直线的函数解析式，利用二次函数把面积表示出来，根据二次函数的最值就可以求出点的坐标； 【详解】（1）解：当时，， ． 当时，， 解得：， ． （2）解：如图，过点P作轴于点N，交BC于点D， 则． ， ， ． 设直线对应的函数解析式为， 把分别代入，得， 解得， ∴直线对应的函数解析式为． 设， ， ∴当时，取最大值，即的面积最大，此时． 40．（26-27九年级上·湖北荆州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点，连接．点为x轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为t． (1)________，________； (2)连接，当时，求t的值； (3)设以，，，为顶点的四边形的面积为， ①求关于t的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)① ② 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，过点P作于点E，利用解答即可；②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点， 解得 该二次函数的解析式为； （2）解：如图所示，连， ，， ． ． ， ． ． ∴点P的纵坐标为4． ． 解得或． 由图可得． ． （3）解：①令，则， 解得，． ． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D， 则， ， ． ， 即，． 过点P作于点E，如图， 则． ． 综上，S关于t的函数解析式为． ②当时， ， ， 当时，S有最大值为， ． 当时，， ． 画出函数的大致图象，如图∶ 由图象可知∶当时，存在2个符合条件的点P． 拔高·压轴破难 题型12 二次函数的存在性问题压轴练（共10小题） 41．（26-27九年级上·重庆巴南·期中）已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点和B两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图①，点P是线段下方抛物线上的一动点，连接，点M是y轴上一动点，点N是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线向左平移一个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，连接，点Q是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)解：将原抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线的解析式为：， ∵，A向左平移1个单位得到， ∴， ∵， ∴，， ∵点Q是抛物线上一动点，且， ∴此时点Q的位置分情况讨论： 情况1：当点Q位于点下方时： 如图，过点C作交的延长线于点K，过点K作轴于点L， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（舍）或， ∴， 情况2：当点Q位于点上方时： 如图，作射线交新抛物线于点Q，使得，过点C作交于点R，过点R作轴交y轴于点T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（舍）或， 综上，Q点坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法将点C和点A代入即可求得抛物线解析式； （2）作轴交于H，设，先求出直线的解析式，再设，从而得到的表达式，由三角形面积公式得出其表达式，利用二次函数的最值得到此时点P的坐标，紧接着利用轴对称的性质得到，当、M、N、四点共线时，取最小值，利用勾股定理即可求得最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式，从而得到平移后的点的坐标，再根据点Q是抛物线上一动点，且，分情况讨论点Q的位置：当点Q位于点下方时，当点Q位于点上方时；利用全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质推导出相关点的坐标，进而利用待定系数法求一次函数后，联立新抛物线解析式即可得出点Q的坐标． 【详解】（1）解：将，代入抛物线， 得到：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，作轴交于H， ∵P是线段下方抛物线上的一动点， ∴设， 设直线的解析式为：， 将A，C两点坐标代入直线得到：， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 作点P关于y轴的对称点，点C关于抛物线对称轴的对称点， ∴，， ∴，， ∴， ∴当、M、N、四点共线时，取最小值， ∴， ∴的最小值为． （3）略 42．（26-27九年级上·湖北襄阳·期中）如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标． (2)点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ (3)若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点D的坐标为 (2)线段的长为，当时，四边形为平行四边形 (3)的面积最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质求出顶点D的坐标． （2）先求出点的坐标，抛物线的对称轴，再求出直线的函数关系式，表示出点、点、点的坐标，再由平行四边形的判定定理得，即可得的值． （3）过点作轴，交线段于点，设，则， 表示出，则，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， 解得：，， ∴抛物线解析式为 ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：在中，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设直线的函数关系式为， ， ， 解得， ， ∴直线的函数关系式为， ， 在中，当时，， ， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． （3）解：过点作轴，交线段于点， 设，则， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴二次函数的开口向下， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点的坐标为：， 故的面积最大值为，此时点的坐标为． 43．（2026·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求线段的长度； (3)当点在轴下方时，抛物线在点、点之间的部分（包括端点）记为图象，图象上最高点和最低点的纵坐标之差为时，求点的坐标； (4)以为对角线构造矩形，边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 (4)的值为或 【分析】（1）先由直线解析式求出点、点坐标，再用待定系数法求抛物线解析式． （2）由知点与点纵坐标相同，代入抛物线求出点坐标，即可求长． （3）抛物线开口向下，顶点为，点，分点在点左侧和右侧两种情况讨论图象的最高点与最低点，根据纵坐标之差为列方程求解． （4）由矩形构造可知其四个顶点为、、、，直线经过点，分，，三种情况，分别讨论它与矩形边的交点位置，利用面积比为列方程求． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得， 令，得， ，． 抛物线经过、两点， ，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：在轴上，， 点与点的纵坐标相同，均为． 令，得， 即， 解得，． ． ． （3）解：令，得， 即， ． ， 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 点在轴下方， 或． ①当时，图象对应自变量取值范围是， 抛物线在上随增大而增大， 最高点为，最低点为． 由题意：， 即， 解得． ， ． 此时． ②当时，图象对应自变量取值范围是，包含顶点， 最高点为顶点，纵坐标为． 点在轴下方，点在轴上， 最低点为，纵坐标为． 由题意：， 即， 解得． ， ． 此时． 综上，点的坐标为或． （4）解：四边形为矩形，为对角线，且轴， ，． 矩形面积． 当时，直线与边交于点， ． 由，得， 即， 解得． 当时，直线与边交于点， ，， ． 由，得， 得， 解得． 当时，直线不经过矩形内部，不符合题意． 综上，的值为或． 44．（2026·吉林·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，交y轴于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形的面积； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点E为抛物线上的一个动点，且横坐标为n，点F的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，把抛物线的解析式化为顶点式求出点P的坐标，再求出点A的坐标，根据列式求解即可； （3）根据等腰三角形的定义得到，则，据此建立方程求解即可； （4）根据题意可求出，，讨论n的取值范围，确定点E和点F的相对位置，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点． 将点、点的坐标分别代入，得， 解得 二次函数的表达式为． （2）解：如图①，连接． ， ， ，． 当时，得， 解得，， ， ， ． （3）解：∵点在对称轴上， ∴可设， 由（2）知，． 是以为底边的等腰三角形， ，则， ， 解得， ． （4）解：点为抛物线上的一个动点，且横坐标为， ． 点的横坐标为，且线段轴， 点，的纵坐标相等， ． 如图②，当时，，重合， 解得． 线段与抛物线有两个公共点， 不符合题意． 当时，，且，则在左侧．如图③， 此时，线段与抛物线有一个交点，不符合题意； 当时，，在左侧．如图④， 点关于直线的对称点的横坐标为． 当点与点重合或在点左侧时，线段与抛物线有两个公共点， ， 解得， ； 当时，，在右侧，如图⑤． 点关于直线的对称点的横坐标为． 当与重合或在点右侧时，线段与抛物线有两个公共点， ， 解得， 综上所述，或． 45．（26-27九年级上·山东济宁·期中）如图1，已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．过点作，交抛物线于点． (1)此抛物线对称轴为______；______，______； (2)如图2，点是线段上一动点，连接，若平分，求点的坐标； (3)将抛物线图象沿轴正方向平移个单位得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①直接写出的值； ②如图3，在（2）的条件下，连接，点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交抛物线的图象于点，当点从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求的横坐标为的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线；；． (2)． (3)①；②． 【分析】（1）把、代入，用待定系数法求出、，再由对称轴公式求对称轴； （2）在Rt中由勾股定理得；作于，由平分得，用面积法求； （3）①平移后开口向下，在上的最小值必在端点处取得，比较与（差为），由解方程求；②先求与直线，写出关于的二次函数，其开口向下、对称轴，从而确定递减范围，结合在线段上（）得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于、， ∴， ∴，， ∴对称轴为直线． （2）解：∵，， ∴，，，， 在Rt中，． 过作于． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①平移后，其图象开口向下，顶点横坐标为， ∴在上，的最小值在端点或处取得， ∵，， ∴， ∴最小值为， ∴，即， ∴， ∴或（舍去，）， ∴． ②由（2）得． ∵， ∴点的纵坐标为， 令，得， ∴（为点，舍）或， ∴． ∵， ∴． 设直线的解析式为，代入、，得，， ∴直线． ∵点在线段上， ∴（）， ∵过作轴的平行线交于点， ∴， ∵在上，（该二次式在处取最小值）， ∴点在点上方，， 其图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当点从左向右运动时，线段的长度逐渐减小，的取值范围为． 46．（26-27九年级上·重庆九龙坡·期中）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问中的点，得到新抛物线．点为新抛物线上的动点，连接、，若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点D的坐标为 (3)点M的坐标为或 【分析】（1）通过待定系数法将点B坐标代入即可求得b的值，从而得到抛物线表达式； （2）先求出直线的解析式，再求出点A的坐标，由，得到直线的解析式，设，则，得出的表达式，过点F作交于点G，设与的交点为H，直线与y轴交点P，利用平移的性质，平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质得出面积的表达式，当时，面积有最大值即可求出，最终可得到点D的坐标； （3）先求出平移后的抛物线解析式，点M是新抛物线上的动点，且，此时点M分情况讨论：点M在点D左侧，点M在点D右侧，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和勾股定理等即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵直线经过原点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线与x轴交原点和点A， ∴， 解得：，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴，点E在直线上，点D在抛物线上， 设，则， ∴， 如图，过点F作交于点G，设与的交点为H，直线与y轴交点P， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为，点D的坐标为． （3）解：设原拋物线向右平移m个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线解析式过点， ∴， 解得：，（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵点M是新抛物线上的动点，且， 此时点M分情况讨论： ①当点M在点D左侧时， ∵点O为原抛物线与x轴交点， 要使，则点M为新抛物线与x轴交点，即点， ∴， 令，则， ∴，（舍去）， ∴； ②当点M在点D右侧时， 如图，作，交新抛物线于点，过点D作轴交x轴于点Q，过点D作交于点N，连接交于点T，过点N作轴交x轴于点R， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，解得：， 即， 在中，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 47．（26-27九年级上·安徽安庆·期中）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)设四边形PBOC的面积为，求的最大值； (2)连接，若的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，过点作轴于点，设点，即可表示出，，，根据列出关于m的函数关系式，问题随之得解； （2）结合（1）中的结论，利用，即可作答； （3）根据，可得，利用已知的，结合三角形外角的定义可以证明，进而可证明，设，表示出，再在中，利用勾股定理求出n，问题得解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， ， 过点作轴于点，如图所示， 令，则， ， ， 为第四象限内抛物线上一点，设点， ，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，； （2）解：，， ，， ， 又， ∴当取大值，即时，也有最大值， 的最大值； （3）解：轴，轴， ， ， ， ， 又∵， ， ， ∵为第四象限内抛物线上一点，与轴交于点， ∴设， ∴，， ∵， ∴， 在中，有， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图形与性质，待定系数法，勾股定理等知识，问题的难点在第三小问，合理利用这一条件证明，是解答本题的关键． 48．（26-27九年级上·山东东营·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过P作于点E，求的最大值． (3)在对称轴上是否存在点M，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，此时点M的坐标为或． 【分析】（1）根据题意可得交点式，进而可得答案； （2）过点P作轴交于点H，求出，证明是等腰直角三角形，得到，则可证明是等腰直角三角形，得到，故当最大时，最大；求出直线解析式为，设，，则，则，据此可得答案； （3）设出点M的坐标，根据等腰三角形的定义可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于点H， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得，解得， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴此时最大为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线 设点M的坐标为， ∵，， ∴，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得，， ∴或； 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，此时点M的坐标为或． 49．（26-27九年级上·上海闵行·期中）如图所示，抛物线的对称轴为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，直线与该抛物线交于D，E两点（点D在第二象限，点E在第四象限） (1)求该抛物线的解析式 (2)求D，E两点的坐标 (3)“笛卡尔爱心曲线”是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，如图所示，将抛物线在直线上方的图像沿翻折就会得到“心型线”，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接交于点G． ①当四边形是菱形时，求点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)， (3)①；② 【分析】（1）先根据二次函数的对称轴可得，再将点代入二次函数的解析式可得，由此可得二次函数的解析式； （2）将抛物线表达式与直线联立求解可得点的坐标； （3）①设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点，先得出，再根据菱形的性质可得，，从而可得点的坐标，然后证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，最后与抛物线的解析式联立求解即可得； ②设直线交轴于点，过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，，再证出是等腰直角三角形，且，然后根据轴对称的性质可得，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 将点代入抛物线得：， ∴该抛物线的解析式． （2）联立，解得或， ∵抛物线与直线交于，两点（点D在第二象限，点E在第四象限）， ∴，． （3）解：①如图，设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点， 对于直线， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵四边形是菱形， ∴，， 由（2）已得：，， ∴，即， ∵轴， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∵点是上方的抛物线上的一动点，且，， ∴点的横坐标大于，且小于4， ∴点的坐标为． ②如图，设直线交轴于点，过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（1）可知，， ∵轴， ∴， ，关于直线对称， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值． 50．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与探究 如图（a），抛物线与轴交于点，直线经过点，与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图（b），过点作轴，垂足为，是线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴，垂足为交线段于点，连接． ①设点的横坐标为，当为何值时，的面积取得最大值？并求出这个最大值． ②已知为轴上的一点，为平面直角坐标系内的一点，当以点，，，为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①当时，面积的最大值为；②点N的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）①证明，得，将，，代入，求出，由此求出，根据二次函数的性质求出面积的最大值为． ②求出直线的表达式为，得到，由①知，得到轴，且．分三种情况分别求出点N的坐标． 【详解】（1）解：将点和代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）①∵轴，轴， ∴． ∵， ∴． ∴． 设点P的坐标为，则， ． ∵轴， ∴，． ∴． ∴． ∴ ． ∴当时，面积的最大值为． ②易求直线的表达式为． ∴点F的坐标为． ∴．由①知． ∴轴，且． Ⅰ． 如图（a），当四边形为正方形时，此时点M与点G重合，点N与点D重合， ∴点N的坐标为． Ⅱ． 如图（b），当四边形为正方形时，此时点N与点G重合，点M与点D重合， ∴．则．解得． ∴点N的坐标为． Ⅲ． 如图（c），当为对角线时，此时，由正方形的性质得． ∴． 解得． ∴点G的坐标为． ∴点M的坐标为，． ∴点N的坐标为． 综上，点N的坐标为或或． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $