精品解析：湖北武汉市江夏区第一中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

初中部九年级数学上学期十月学业检测 一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如，其中、、是常数且的函数叫做二次函数，熟知二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】A、，不符合二次函数的定义，该选项错误； B、，不符合二次函数的定义，该选项错误； C、，是一次函数，该选项错误； D、，是二次函数，该选项正确． 故选：D． 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】A 【解析】 【详解】解：将方程移项，化为一元二次方程的一般形式为， ∵二次项系数为， ∴一次项系数为，常数项为． 3. 抛物线与相同的性质是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 有最低点 D. 对称轴是x轴 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质分析即可． 【详解】抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点； 故抛物线与相同的性质是对称轴都是轴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上；时，开口向下． 4. 用配方法解方程，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先移项，再配方，即方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， 故选C． 5. 点在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，进而得出离对称轴越远的点函数值越小，即可得解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 离对称轴越远的点函数值越小， ， ， 故选：C． 6. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算根的判别式，根据其符号判断方程根的情况． 【详解】解：在方程中，，，． ． 方程有两个不相等的实数根． 7. 某商品年售价为元/件，经过两年连续降价，年售价降为元/件．若年到年该商品平均每年降价的百分率相同，则该商品到年的售价将降为（ ）元/件？ A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设该商品平均每年降价的百分率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 则该商品到年的售价将降为（元/件）． 8. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 9. 若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，变形等式匹配目标方程形式，即可确定所求根． 【详解】解：将代入，得． 将等式两边同时除以，得． 整理得． 方程必有一根为． 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，……，依次进行下去，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键，根据二次函数性质可得出点  的坐标， 求得直线  为 ，联立方程求得  的坐标，即可求得  的坐标，同理求得  的坐标，即可求得  的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点  的坐标． 【详解】解：A的坐标为, 轴，根据对称性可得， 设直线解析式，代入得， 又因为，所以两直线k相等， 设解析式为，代入，得，， ∴， 则：， 与抛物线联立得， 解得或， ∴ 同理可得， ：，， 以此类推， … ， 所以， 故选B. 二．填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 函数是二次函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，自变量的最高次数为且二次项系数不为，据此列关系求解． 【详解】解： 是二次函数， 的次数为，即， 整理得，解得或， 二次项系数不能为， ，即， ． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】方程的根满足原方程，将代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴ 将代入原方程得：， 整理得，解得． 13. 某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小枝干，主干、枝干和小枝干共111根，设主干长出枝干的根数为，则方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． 根据题意找出等量关系即可列出方程，主干+支杆+小分支． 【详解】解：设主干长出枝干的根数为， 则， 故答案为：． 14. 若、是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和积以及根的定义得到、、，再变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴、、，即， ∴． 15. 如图，已知矩形，，，为边上一点，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，则当的值为______时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，求出，，由勾股定理求出，，分为两种情况：①当时，②当时，求出即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴，， 由勾股定理得：， 过作于， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ①当时，， 解得：，， ∵不符合题意，舍去； ②当时，， 解得：， 即当的值为或时，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 16. 如图，函数经过点，对称轴为直线；①；②；③；④若点、在抛物线上，则；⑤（m为任意实数），其中结论正确的有______． 【答案】①⑤##⑤① 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据函数图象可知二次函数与x轴有两个不同的交点，可判断①；二次函数开口向上，与y轴交于负半轴，可得，再由对称轴为直线，得到，据此可判断②；当时，，据此可判断③；当时，y随x增大而增大，据此可判断④；函数的最小值为，据此可判断⑤． 【详解】解：由函数图象可知二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴，故①正确； ∵二次函数开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵函数经过点， ∴函数经过点， ∴当时，， ∴，故③错误； ∵二次函数开口向上， ∴当时，y随x增大而增大， ∵， ∴，故④错误； ∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴函数的最小值为 ∴，即，故⑤正确； 故答案为：①⑤． 三．解答题：（共8题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） 方程无实数根 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴ ， ∴原方程无实数根． 18. 如图，已知，，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图所示，延长交于点，设与的交点为， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）根据角的关系得到，从而可利用证得； （2）延长交于点，设与的交点为，由全等得到，根据直角三角形两个锐角互余，得到，从而得到，再求得，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知的两边、的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？ （2）若，求的值． 【答案】（1）当时，是菱形 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）先得出，再根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）先得出，，再得出的取值范围，然后代入已知等式计算即可． 【小问1详解】 解：要使是菱形，则需， ∵、的长是关于的方程的两个实数根， ∴关于的方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴当时，是菱形． 【小问2详解】 解：∵、的长是关于的方程的两个实数根， ∴，， ∵、是的两边， ∴，即， 解得， 又∵， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：的值为． 20. 已知二次函数的图象如图所示． （1）该抛物线的顶点坐标是________； （2）当________时，的值随的增大而增大； （3）当，的取值范围是________； （4）若将该函数图象向下平移个单位后与坐标轴只有两个公共点，则的值为________． 【答案】（1）  （2）（或小于1） （3） （4）４或５ 【解析】 【分析】（1）因为二次函数顶点式为的顶点坐标是，所以直接对比给定解析式提取对应数值即可． （2）因为该二次函数开口向下，对称轴为顶点的横坐标，所以对称轴左侧的取值范围就是随增大而增大的区间． （3）先计算区间端点、对应的值，再结合抛物线顶点为最高点，即可确定． （4）首先写出平移后的函数解析式，因为函数与坐标轴有两个公共点，分两种情况讨论：第一种是抛物线顶点在轴上，此时与轴1个交点、与轴1个交点，共2个公共点；第二种是抛物线经过原点，此时与轴2个交点（其中一个是原点）、与轴交点也是原点，共2个公共点，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的顶点式为中， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线． ∴在对称轴左侧时，随的增大而增大． 【小问3详解】 解：已知对称轴为，且在范围 ∴顶点是抛物线最高点， ∴时，取最大值； 分别计算区间端点的函数值： 时，； 时，． ∵取不到，且抛物线开口向下，在区间内处取得区间最小值， ∴的取值范围是． 【小问4详解】 解：函数向下平移个单位后，解析式变为， 分两种情况满足“与坐标轴只有两个公共点”： ① 平移后抛物线顶点落在轴上： 此时顶点纵坐标为0， 即， 解得， 此时时，， ∴抛物线仅与轴切于点、过点，总共2个公共点； ② 平移后抛物线过原点，且保留原本与轴的1个交点、与轴正半轴的一个交点： 将代入平移后解析式，得，解得， 此时，，解得或， ∴抛物线与坐标轴交于和两个点． 综上，m的值为4或5． 21. 利用无刻度直尺完成下列作图． （1）在图中，过作，垂足为； （2）在图中，作的平分线； （3）在图中的内画一点，使，，的面积都相等； （4）在图中，找格点，使，这样的格点共有________个． 【答案】（1）如图所示，点即为所求 （2）如图所示，射线即为所求 （3）如图所示，点即为所求 （4） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义及格点的特征作图即可解答； （2）根据等腰三角形的性质以及格点的特征作图即可解答； （3）由题意可知点为的重心，则作出、两边的中线，中线的交点即为所求； （4）根据全等三角形的性质以及格点的特征作图，然后统计点的个数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 由图可知，使，这样的格点共有个 22. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． （1）用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． （2）当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ （3）如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 【答案】（1）； （2）当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． （3）55元件 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）①根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；②根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数； （2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 【小问1详解】 ①每件商品的利润为元， 故答案为：； ②每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； 【小问2详解】 设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 当时，售价为（元）． 答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件． 【小问3详解】 解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 23. 如图，中，，的边、分别交直线于点、（在的左边），； （1）如图，若，，当点与点重合时，的面积为________． （2）如图，若，，和的长度分别是方程的两根，求的长． （3）如图，若，、分别在点的两侧，，，直接写出的长________． 【答案】（1） （2）的长为3或4 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得，，可得，然后根据勾股定理求出，即可求解； （2）过点作使，连接，，证明，再证明，可得，再由和的长度分别是方程的两根，可得，则，，在中，利用勾股定理即可求解； （3）将绕点逆时针旋转到，连接，，过点作于点，，再证明，可得，由，，可得是等边三角形，可得，再由，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，当点与点重合时， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点作使，连接，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵和的长度分别是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得或， ∴的长为3或4． 【小问3详解】 解：将绕点逆时针旋转到，连接，，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧） （1）直接写出点，，的坐标； （2）为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； （3）如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 【答案】（1），， （2）点的坐标为 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）分别计算当时，的值，当时，的值，即可求解； （2）由条件可得点在轴下方，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，作轴于点，证明，可得，再可得直线的解析式，再联立二次函数，即可求解； （3）过点、作轴的垂线，过点、作轴的垂线，交于点、、、，可得是矩形，设，，由四边形为平行四边形，由平移可得，代入，可得，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧）， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵点为抛物线上一点，， ∴点在轴下方， 如图，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，作轴于点，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得，， 当时，点与点重合； 当时，； ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图，过点、作轴的垂线，过点、作轴的垂线，交于点、、、，则是矩形， ∵的对称轴为直线，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点， ∴设，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， 由平移可得，， 把代入得，， 整理得， ∴，，，，，， ∴，，，， ，， ∴ ， ∵四边形面积为， ∴，整理得，， 解得，， ∵， ∴， 当时，，， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中部九年级数学上学期十月学业检测 一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 3. 抛物线与相同的性质是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 有最低点 D. 对称轴是x轴 4. 用配方法解方程，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 点在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 某商品年售价为元/件，经过两年连续降价，年售价降为元/件．若年到年该商品平均每年降价的百分率相同，则该商品到年的售价将降为（ ）元/件？ A. B. C. D. 8. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，……，依次进行下去，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二．填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 函数是二次函数，则________． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值是________． 13. 某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小枝干，主干、枝干和小枝干共111根，设主干长出枝干的根数为，则方程为__________． 14. 若、是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是________． 15. 如图，已知矩形，，，为边上一点，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，则当的值为______时，是以为腰的等腰三角形． 16. 如图，函数经过点，对称轴为直线；①；②；③；④若点、在抛物线上，则；⑤（m为任意实数），其中结论正确的有______． 三．解答题：（共8题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知，，． （1）求证：． （2）求证：． 19. 已知的两边、的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？ （2）若，求的值． 20. 已知二次函数的图象如图所示． （1）该抛物线的顶点坐标是________； （2）当________时，的值随的增大而增大； （3）当，的取值范围是________； （4）若将该函数图象向下平移个单位后与坐标轴只有两个公共点，则的值为________． 21. 利用无刻度直尺完成下列作图． （1）在图中，过作，垂足为； （2）在图中，作的平分线； （3）在图中的内画一点，使，，的面积都相等； （4）在图中，找格点，使，这样的格点共有________个． 22. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． （1）用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． （2）当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？ （3）如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 23. 如图，中，，的边、分别交直线于点、（在的左边），； （1）如图，若，，当点与点重合时，的面积为________． （2）如图，若，，和的长度分别是方程的两根，求的长． （3）如图，若，、分别在点的两侧，，，直接写出的长________． 24. 如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧） （1）直接写出点，，的坐标； （2）为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； （3）如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $