精品解析：湖北荆州市东方红中学2026-2027学年 九年级上学期10月学情自测数学试题

九年级阶段教学诊断评估 （数学学科） 满分120分考试时间120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A．，因此不是最简二次根式，故A不符合题意； B．，因此不是最简二次根式，故B不符合题意； C．是最简二次根式，故C符合题意； D．，因此不是最简二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 式子在实数范围内有意义， ∴ 且， 解得， 解得， ∴ 的取值范围是． 3. 若一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，将代入方程求出m的值，再求解方程即可． 【详解】解：将代入方程得， ∴， ∴方程为， 化为， 故根为， 故选：B． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原方程二次项系数为1，移项后两边加一次项系数一半的平方即可完成配方． 【详解】解： ． 5. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 根据一次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴． 故选：D． 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，的长为4，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，以及，可得是等边三角形，进而在中可得，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，即可求得矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ∴， ， 矩形的面积是， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质判定，掌握矩形的性质是解题的关键． 7. 2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 8. 春节期间某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设每日票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设平均每天票房的增长率为x，分别表示出三天的票房，根据三天累计票房为亿元列方程即可． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， ∵第一天票房约为3亿元，增长率为， ∴第二天票房为亿元，第三天票房为亿元， ∵三天累计票房为亿元， ∴可列方程． 9. 随着我国新能源产业的高速发展，新能源汽车进入了千家万户．雷叔叔早晨先在充电站给汽车充电，然后驾车前往相距的工厂．汽车显示的可用里程数（单位：）与时间（单位：h）之间的关系如图所示．他到达工厂的时间是（ ） A. 上午 B. 上午 C. 上午 D. 上午 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象信息，先求出汽车的行驶速度，再求出行驶所需时间，最后求出总时长，即可求解． 【详解】解：由图象可知，当时充电结束，此时可用里程为，随后开始行驶，当时，， 汽车行驶速度为（）， 工厂相距， 行驶所需时间为（h）， 到达工厂时经过的总时间为（h）， 出发时间为早晨， 到达时间为上午． 10. 我国三国时期的数学家赵爽（公元2~3世纪）研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，如果大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值分别为（ ） A. 2，8 B. 3，8 C. 2，9 D. 3，9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， 解得：，负值舍去，． 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 二次函数的最小值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向直接判断即可．本题考查了二次函数的最值，解题关键是明确二次函数的最值为顶点纵坐标． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上，则最小值是2， 故答案为：2． 13. 二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于点C，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点B和点C的坐标，再利用勾股定理计算线段的长度． 【详解】解：当时，有方程， 因式分解得， 解得或， ∵A点在B点左侧， ∴B点坐标为， 当时，代入二次函数解析式得， ∴C点坐标为， 设原点为， ∵x轴与y轴垂直， ∴， 可得，， 由勾股定理得． 14. 已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点坐标，抛物线的对称轴为，抛物线和轴的一个交点为，则根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线和轴的一个交点坐标为， 则根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为， 则关于的一元二次方程的解为或， 故答案为：，． 15. 定义：关于的一元二次方程与为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式能取得的最大值是___________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式与性质，先根据同族二次方程的定义，将第二个方程转化为顶点式，通过比较系数求出a和b的值，再代入代数式求其最大值． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， 的最大值为2026， 即能取得的最大值为2026． 三、解答题（共9小题） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 计算下列各题： （1）解方程：； （2）用公式法解方程：． 【答案】（1）， （2）原方程无实数根 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴原方程无实数根． 18. 为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． （1）求钢丝绳的长度． （2）为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 【答案】（1）钢丝绳的长度为 （2）钢丝绳增加的长度为 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，， 答：钢丝绳的长度为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴钢丝绳增加的长度为， 答：钢丝绳增加的长度为． 19. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）求出即可证明； （2）根据根与系数的关系得出，，结合已知等式得出关于k的一元二次方程，解方程可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有两个实数根，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：，． 20. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）四边形ABCD的面积为 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键． （1）先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； （2）由菱形的性质可得，，，，，由直角三角形的性质和勾股定理可求，的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ，，，，， ，， ， ， ， （负值舍去）， ， 菱形的面积． 21. 在物理课中，小明学习到：在不考虑空气阻力的情况下，竖直上抛物体离地面的高度h（米）与时间t（秒）近似满足关系，其中是初始速度（米/秒），是初始高度（米）．小明将一个篮球从离地面2米处竖直上抛，球的初始速度为8米/秒． （1）写出篮球离地面高度h与时间t的函数关系式； （2）篮球经过多长时间达到最高点？最高点离地面多少米？ （3）经过多长时间篮球落地？（结果用含根号的式子表示即可） 【答案】（1） （2）篮球经过秒达到最高点，最高点离地面米 （3）经过秒篮球落地 【解析】 【分析】（1）把代入关系式，解答即可； （2）利用配方法把抛物线的关系式写成顶点式的形式，确定函数的最值即可； （3）令，求得方程的根，取正实数根即可． 【小问1详解】 解：根据题意，把代入，得 ． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， ， 有最大值，且当时，函数取得最大值，且最大值为， 故篮球经过秒达到最高点，最高点离地面米． 【小问3详解】 解：令，得， ， 或（时间不能为负，舍去）， 故， 故经过秒篮球落地． 22. 某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于50元，设每件商品的售价上涨元（为整数），每周的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？ 【答案】（1）；（2）售价为43元时，每周利润为2145元． 【解析】 【分析】（1）根据销售利润=每件的利润×销售数量，构建函数关系即可； （2）令得出方程，解方程即可解决问题． 【详解】（1）由题意得： ； （2）由题意得：， 解之得：或（不符合题意，舍去），   ∴售价=40+3=43元． 答：售价为43元时，每周利润为2145元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程等知识，解题的关键是搞清楚利润、售价、销售量之间的关系． 23. 如图，抛物线经过点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）判断点是否在函数图象上，并说明理由； （3）点是抛物线上一点，且当时，y的最大值为8，求的面积． 【答案】（1），，； （2）点不在在函数图象上，理由如下： 当时，， ∵， ∴点不在函数图象上； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式，再令即可求出C点坐标； （2）当时，，据此即可作出判断； （3）求出，得到,根据三角形面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴C点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可知二次函数的图象经过点， ∴ 解得， ， ∴当时，最大值为， ∵当时，y的最大值为8， ∴， 即， ∴, ∴， ∴的面积为． 24. 在平面直角坐标系中，如图，抛物线与轴交于，两点，且． （1）当，时，抛物线与轴交于点，作直线． ①求抛物线的解析式． ②如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标，若不存在，请说明理由． （2）若抛物线与轴交于两点，坐标分别为，，且，直接写出，，，的大小关系． 【答案】（1）；存在最大值，最大值是，点的坐标是 （2） 【解析】 【分析】（1）①设，把代入求解即可；②过点作轴于点，交线段于点．由等腰三角形的判定及性质，结合勾股定理得，由待定系数法求出直线的表达式为，当的值最大时，的值最大，设，则，表示出，利用二次函数图象的性质，即可求解； （2）由二次函数图象的平移得向下平移一个单位得到，结合图象，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴设， 把代入得， ， ∴抛物线的解析式为； 存在最大值． 如图所示，过点作轴于点，交线段于点， 令代入中得，， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得， ，解得， ∴直线的表达式为． ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴，即， ∴当的值最大时，的值最大． 设，则， ∴， ∵， ∴图象开口向下， 对称轴为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴的最大值为， 把代入中得，， ∴存在最大值，最大值是，点的坐标是； 【小问2详解】 解：由题意得，向下平移一个单位得到， 如图， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数有关线段长度的综合问题，二次函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点，待定系数法，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握待定系数法，能熟练利用等腰三角形的判定及性质，勾股定理找出线段长度的表达式及取得最值的条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段教学诊断评估 （数学学科） 满分120分考试时间120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 3. 若一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，的长为4，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 16 7. 2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 春节期间某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设每日票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 随着我国新能源产业的高速发展，新能源汽车进入了千家万户．雷叔叔早晨先在充电站给汽车充电，然后驾车前往相距的工厂．汽车显示的可用里程数（单位：）与时间（单位：h）之间的关系如图所示．他到达工厂的时间是（ ） A. 上午 B. 上午 C. 上午 D. 上午 10. 我国三国时期的数学家赵爽（公元2~3世纪）研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，如果大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值分别为（ ） A. 2，8 B. 3，8 C. 2，9 D. 3，9 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 计算：___________． 12. 二次函数的最小值是_______． 13. 二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于点C，则___________． 14. 已知二次函数的部分图象如图，则关于x的一元二次方程的解为_______． 15. 定义：关于的一元二次方程与为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式能取得的最大值是___________． 三、解答题（共9小题） 16. 计算：． 17. 计算下列各题： （1）解方程：； （2）用公式法解方程：． 18. 为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． （1）求钢丝绳的长度． （2）为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 19. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，，且，求k的值． 20. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 在物理课中，小明学习到：在不考虑空气阻力的情况下，竖直上抛物体离地面的高度h（米）与时间t（秒）近似满足关系，其中是初始速度（米/秒），是初始高度（米）．小明将一个篮球从离地面2米处竖直上抛，球的初始速度为8米/秒． （1）写出篮球离地面高度h与时间t的函数关系式； （2）篮球经过多长时间达到最高点？最高点离地面多少米？ （3）经过多长时间篮球落地？（结果用含根号的式子表示即可） 22. 某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于50元，设每件商品的售价上涨元（为整数），每周的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？ 23. 如图，抛物线经过点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）判断点是否在函数图象上，并说明理由； （3）点是抛物线上一点，且当时，y的最大值为8，求的面积． 24. 在平面直角坐标系中，如图，抛物线与轴交于，两点，且． （1）当，时，抛物线与轴交于点，作直线． ①求抛物线的解析式． ②如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标，若不存在，请说明理由． （2）若抛物线与轴交于两点，坐标分别为，，且，直接写出，，，的大小关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $