专题07 阿波罗尼斯圆问题、卡西尼卵形线问题、曼哈顿距离、切比雪夫距离问题以及圆的其他新定义问题六种考法种考法（压轴题专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦圆的新定义问题六大考法，以“解题通法+题型模版”构建系统性方法体系，衔接经典轨迹与创新距离概念，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|2条核心原则|直接法求方程转化、图形特征转化为函数/距离问题|从定义本质出发，建立方程与图形的转化逻辑| |六大题型|每题型含1典例+3变式|题型模版（特征+方法），如阿波罗尼斯圆用直接法求轨迹|按“经典轨迹→创新距离→综合应用”递进，形成概念-推导-应用链条| |压轴挑战|14道综合题|跨章节融合（向量/三角/不等式），高难问题突破|深化知识联系，提升复杂问题解决能力|

专题07 阿波罗尼斯圆问题、卡西尼卵形线问题、曼哈顿距离、切比雪夫距离问题以及圆的其他新定义问题六种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、阿波罗尼斯圆问题 题型二、卡西尼卵形线问题 题型三、曼哈顿距离 题型四、切比雪夫距离问题 题型五、圆的其他新定义问题 题型六、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆的新定义问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕阿波罗尼斯圆问题、卡西尼卵形线问题 、曼哈顿距离、切比雪夫距离问题、圆的其他新定义问题、与其他章节融合六大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是利用直接法求出方程进而转化为圆的最值范围处理求解；二是利用方程研究图形，根据图形的特征转化为函数知识、曲线上点到点、线的距离最值等问题方法处理，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、阿波罗尼斯圆问题 典例1 阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆． 2.方法：利用直接法求出阿波罗尼斯圆的方程进而转化为圆的最值范围处理。 变式1-1（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法正确的是（  ） A．轨迹的方程为 B．面积最大值为 C．若，则的最大值为 D．在上存在点，使得 变式1-2（多选）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比为常数，且，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点到点与点的距离之比为，则（  ） A．点的轨迹方程为 B．点到直线距离的最小值为 C．点到圆上的点的最大距离为 D．若到直线的距离为的点至少有3个，则 变式1-3古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为 . 类型二、卡西尼卵形线问题 典例2 （多选）卡西尼线型，特别是卡西尼卵形线，在天文学和航天工程中有广泛的应用，最初是在研究土星及其卫星的运动规律时发现的，土星的环和某些卫星的轨道轨迹可以通过卡西尼卵形线来描述，这些卵形线是卫星围绕土星运动的轨迹.而在数学领域，卡西尼卵形线是解析几何中研究的重要曲线之一，我们把平面内与两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线.现已知平面内有一卵形线，则下列说法正确的是（  ） A．曲线过原点 B．曲线既是中心对称图形又是轴对称图形 C．曲线上点的横坐标的取值范围是 D．曲线上任意一点到原点距离的取值范围是 题型模版 1.特征：卡西尼线型，特别是卡西尼卵形线，在天文学和航天工程中有广泛的应用，最初是在研究土星及其卫星的运动规律时发现的，土星的环和某些卫星的轨道轨迹可以通过卡西尼卵形线来描述，这些卵形线是卫星围绕土星运动的轨迹.而在数学领域，卡西尼卵形线是解析几何中研究的重要曲线之一，我们把平面内与两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线. 2.方法：可转化为三角函数知识、曲线上点到点、线的距离最值等问题方法处理。 变式2-1（多选）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知平面直角坐标系中，，，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（  ） A．曲线C关于原点对称 B．点P的横坐标的取值范围为 C．面积的最大值为2 D．的取值范围为 变式2-2（多选）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（  ） A．曲线的方程是 B．曲线关于坐标轴对称 C．曲线与轴没有交点 D．的面积不大于 变式2-317世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知两定点，，动点满足，动点P的轨迹为曲线E，直线与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 (1)求曲线E的方程; (2)求的取值范围; (3)求证： 题型三、曼哈顿距离 典例3 在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为______；若为圆上任意一点，则最大值是______. 题型模版 1.特征：“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为： 2.方法：可转化为三角函数知识、圆上点到点、线的距离最值问题方法处理。 变式3-1“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 变式3-2（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（  ） A．若点，则 B．若对于三点，则“”当且仅当“点A在线段上” C．若点在圆上，点在直线上，则的最小值是 D．若点在圆上，点在直线上，则的最小值是 变式3-3出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为________ 题型四、切比雪夫距离问题 典例4 我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（  ） A． B．1 C．2 D． 题型模版 1.特征：我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.. 2.方法：利用图形的对称性可转化为函数知识、曲线上点到点、线的距离最值等问题方法处理。 变式4-1（多选）在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题，下列说法正确的是（  ） A.对任意三点，都有 B.已知点和直线则 C.到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； D.到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是矩形； 变式4-2（多选）在平面直角坐标系中，定义 为两点 的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（  ） A． B．则 C．O为坐标原点，动点R满足，则动点R在平面直角坐标系中所形成的图形是圆 D．已知点，直线，则 变式4-3在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作. (1)已知点和点，直线，求和. (2)已知圆和圆. ①若两圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系； ②若，圆与轴交于两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明：. 题型五、圆的其他新定义问题 典例5 曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个点在过原点的直线上，称该曲线族为“M族”，若曲线族是M族，且所有满足M族定义的直线的斜率的范围为__________． 题型模版 1.特征：给出新曲线的定义；需要识别符号，利用已学过的知识分析。 2.方法：可转化为不等式、函数、三角函数知识来研究曲线上点到点、线的距离最值问题。 变式5-1对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”：若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”：否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（  ） A．且 B． C． D． 变式5-2（多选）已知点，圆：（），定义直线：为点的“伴随线”，则下列结论正确的有（  ） A．若点在圆上，则点的“伴随线”与圆相切 B．若点在圆外，过点作两直线与圆分别相切于点，，则直线为点的“伴随线” C．若点在圆内，则点的“伴随线”与圆相交 D．若点，在圆上，它们的“伴随线”分别为，，且垂直，则 变式5-3设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论： ①函数的图象关于y轴对称； ②若，则； ③设函数，则的最大值为； ④设函数，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 题型六、与其他章节融合 典例6 （多选）已知点，圆：（），定义直线：为点的“伴随线”，则下列结论正确的有（  ） A．若点在圆上，则点的“伴随线”与圆相切 B．若点在圆外，过点作两直线与圆分别相切于点，，则直线为点的“伴随线” C．若点在圆内，则点的“伴随线”与圆相交 D．若点，在圆上，它们的“伴随线”分别为，，且垂直，则 题型模版 1.特征：常与平面向量、三角、不等式等章节融合。 2.方法：可转化为函数、基本不等式、三角函数等知识研究距离最值问题。 变式6-1已知，为圆上的两点，且，设为弦上一点，且，则的最大值为________. 变式6-2古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（）的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点，.点P满足，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心. (1)求圆M的方程； (2)若直线：（，）始终平分圆M的面积，写出的最小值. 变式6-3人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，求的最大值； (3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（  ） A． B． C． D． 3．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（  ）（参考数据：） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 4．平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是天文学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.已知曲线上的点到与的距离之积为2，则下列结论不正确的是（  ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．曲线围成的图形面积不超过 D．面积的最大值为1 5．已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 7．（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（  ） A．若点，则 B．若点，则在x轴上存在点P，使得 C．若点M在上，点N在直线上，则的值可以是4 D．若点，点P在直线上，则的最小值是2 8．（多选）在平面内，到两定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知曲线C上的动点P到两定点，的距离之积为，O为坐标原点，则（  ） A．C关于x轴和y轴均对称 B．的面积的最大值为 C．周长的最小值为6c D．的取值范围为 9．（多选）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线，和的方程分别是，和，则下列叙述正确的是（  ） A． B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2 C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32 D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2 10．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为 . 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 12．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知点，，则的最大值为 ． 13．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线，交轨迹于两点，记的面积为，求的最大值，以及取最大值时的直线方程. (3)设轨迹与轴正半轴的交点为，直线相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程. 14．曼哈顿距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场景，例如无人驾驶出租车行驶、物流配送等．在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图像处理和路径规划等问题．曼哈顿距离用于标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系内有两个点它们之间的曼哈顿距离 (1)已知点，求的值； (2)已知平面直角坐标系内一定点，动点满足，求动点围成的图形的面积： (3)已知空间直角坐标系内一定点，动点满足，若动点围成的几何体的体积是，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 阿波罗尼斯圆问题、卡西尼卵形线问题、曼哈顿距离、切比雪夫距离问题以及圆的其他新定义问题六种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、阿波罗尼斯圆问题 题型二、卡西尼卵形线问题 题型三、曼哈顿距离 题型四、切比雪夫距离问题 题型五、圆的其他新定义问题 题型六、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆的新定义问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕阿波罗尼斯圆问题、卡西尼卵形线问题 、曼哈顿距离、切比雪夫距离问题、圆的其他新定义问题、与其他章节融合六大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是利用直接法求出方程进而转化为圆的最值范围处理求解；二是利用方程研究图形，根据图形的特征转化为函数知识、曲线上点到点、线的距离最值等问题方法处理，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、阿波罗尼斯圆问题 典例1 阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设,因为，， 所以，化简可得， 所以曲线的圆心为，半径为. 因为对任意实数，直线：与曲线恒有公共点， 所以对任意实数，都有， 即任意实数恒成立. 因为,所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选:A. 题型模版 1.特征：阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆． 2.方法：利用直接法求出阿波罗尼斯圆的方程进而转化为圆的最值范围处理。 变式1-1（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法正确的是（  ） A．轨迹的方程为 B．面积最大值为 C．若，则的最大值为 D．在上存在点，使得 【答案】ABC 【解析】设，不与、重合， 由、，有，， ，即，化简得， 所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示， 对于A选项，由曲线的方程为，选项A正确； 对于B选项，由图可知，当时，点到直线的距离取最大值， 所以，，B对； 对于C选项，设，可得， 由题意可知，直线与圆有公共点，则， 解得，故的最大值为，C对； 对于D选项，设，由得， 化简得，因为， 所以上不存在点，使得，故D错误. 故选：ABC. 变式1-2（多选）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比为常数，且，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点到点与点的距离之比为，则（  ） A．点的轨迹方程为 B．点到直线距离的最小值为 C．点到圆上的点的最大距离为 D．若到直线的距离为的点至少有3个，则 【答案】ACD 【解析】设点坐标为，由题意可得， 化简可得，故A正确； 在圆上，其圆心坐标为，半径为， 故点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减半径，即为 ，故B错误； 点到圆上的点的最大距离为到的距离加两个半径，即为 ，故C正确； 若到直线的距离为的点至少有3个， 设圆心到直线的距离为，则， 即，可得，故D正确， 故选：ACD 变式1-3古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，则，， 因为， 所以， 所以，即， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 圆的圆心为，半径为， 又点为上一动点， 所以， 当且仅当点为线段与圆的交点，点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 类型二、卡西尼卵形线问题 典例2 （多选）卡西尼线型，特别是卡西尼卵形线，在天文学和航天工程中有广泛的应用，最初是在研究土星及其卫星的运动规律时发现的，土星的环和某些卫星的轨道轨迹可以通过卡西尼卵形线来描述，这些卵形线是卫星围绕土星运动的轨迹.而在数学领域，卡西尼卵形线是解析几何中研究的重要曲线之一，我们把平面内与两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线.现已知平面内有一卵形线，则下列说法正确的是（  ） A．曲线过原点 B．曲线既是中心对称图形又是轴对称图形 C．曲线上点的横坐标的取值范围是 D．曲线上任意一点到原点距离的取值范围是 【答案】BCD 【解析】对于A，不满足方程，A错误； 对于B，将，代入， 均为，В正确； 对于C，因为， 所以，即， 所以，所以，C正确； 对于D，设点在曲线上，有， 即， 所以， 因为，所以， 即，所以，D正确. 故选：BCD. 题型模版 1.特征：卡西尼线型，特别是卡西尼卵形线，在天文学和航天工程中有广泛的应用，最初是在研究土星及其卫星的运动规律时发现的，土星的环和某些卫星的轨道轨迹可以通过卡西尼卵形线来描述，这些卵形线是卫星围绕土星运动的轨迹.而在数学领域，卡西尼卵形线是解析几何中研究的重要曲线之一，我们把平面内与两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线. 2.方法：可转化为三角函数知识、曲线上点到点、线的距离最值等问题方法处理。 变式2-1（多选）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知平面直角坐标系中，，，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（  ） A．曲线C关于原点对称 B．点P的横坐标的取值范围为 C．面积的最大值为2 D．的取值范围为 【答案】ACD 【解析】设，由题意，变形得， 点代入有， 所以点为关于原点对称的点，也在曲线上，即曲线关于原点对称，A对， 曲线方程整理为， 令，则，此关于的方程有实数解， 则， 又，即方程有非负数解， 所以，解得，当时，，即和是曲线上的点， 所以横坐标范围是，B错， 选项C，曲线的方程整理为， 因此，解得， 时，，时,，即点在曲线上， 所以，C正确； 选项D，首先，当是中点时，，， 不妨设，则，， ，，解得， ，由对称性得， ，记，则，， 由对勾函数性质知函数在上单调递减，在上单调递增， 时，，时，， 所以，D正确． 故选：ACD． 变式2-2（多选）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（  ） A．曲线的方程是 B．曲线关于坐标轴对称 C．曲线与轴没有交点 D．的面积不大于 【答案】ABD 【解析】设，则， 则，所以A正确； 令代，则， 可知曲线关于轴对称， 令代，则， 可知曲线关于轴对称，所以B正确； 令，则，化简得，解得， 可知当时，，当时，或，当时，或， 可知与轴至少有2个交点，所以C不正确； 由三角形面积公式可知，因为在三角形中，所以， 且仅当，即时取等号，所以D正确； 故选：ABD. 变式2-317世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知两定点，，动点满足，动点P的轨迹为曲线E，直线与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 (1)求曲线E的方程; (2)求的取值范围; (3)求证： 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）由题意， 整理可得， 曲线E的方程为； （2）， 由曲线E的方程可知， ，即， 解得，， ， 的取值范围为； （3）设，，， 由题意可知， 则， ， 由题意可知， ， 由题意，， ， 由可知，， 则，， ， ， 题型三、曼哈顿距离 典例3 在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为______；若为圆上任意一点，则最大值是______. 【答案】 【分析】根据已知有，应用分类讨论去绝对值求出动点的轨迹，进而得到面积，数形结合判断最大对应点的位置，再应用点线距离公式、圆的性质求距离最大值. 【解析】由题设， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 所以点的轨迹所围成图形如下图示， 轨迹是边长为的正方形，故其面积为8， 由图及以上分析知，直线上的线段存在点到圆上点的距离最大， 由的圆心为，半径，则到的距离为， 而到的距离为，到的距离为，显然， 综上，线段上到圆上点的最大距离. 故答案为：8， 题型模版 1.特征：“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为： 2.方法：可转化为三角函数知识、圆上点到点、线的距离最值问题方法处理。 变式3-1“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点表示的长度，因为直线的方程为，所以，即， 当固定点时，为定值，此时为零时，最小，即与重合（平行于轴）时，最小，如图所示， 设，，则， ， 由三角函数知识可知，其中， 则其最大值是， 所以，故D正确. 故选：D.   变式3-2（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（  ） A．若点，则 B．若对于三点，则“”当且仅当“点A在线段上” C．若点在圆上，点在直线上，则的最小值是 D．若点在圆上，点在直线上，则的最小值是 【答案】AD 【解析】对于A选项：由定义可知，故A选项正确； 对于B选项：设点 则显 然，当点A在线段上时，，成立， 如图：过点作轴，过点作轴，且相交于点，过点A作与，过点作与， 由图可知， 显然此时点不在线段上，故B选项不正确； 对于C，D选项： 当时， 想要最小，点到直线距离最小时取得， 过原点作直线交圆于， 如图： 设，则 设点，则， 又当 ①当时，由 ②当时，由 又； 的最小值为：.故C选项错误， D选项正确. 故选：AD 变式3-3出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为________ 【答案】 【解析】由题意可知，的轨迹关于轴对称，也关于轴对称． 当时，， 即 画出此函数的图象，并结合对称性可得点的轨迹是如图所示的六边形． 由图可知，的最小值为图中点到直线的距离． 故答案为： 题型四、切比雪夫距离问题 典例4 我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（  ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】过点作垂直于已知直线，垂足为，此时线段最短. 又直线的斜率为，则， 所以直线的方程为，即， 联立方程，解得，所以点的坐标是， 又，所以点的切比雪夫距离， 故选：C. 题型模版 1.特征：我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.. 2.方法：利用图形的对称性可转化为函数知识、曲线上点到点、线的距离最值等问题方法处理。 变式4-1（多选）在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题，下列说法正确的是（  ） A.对任意三点，都有 B.已知点和直线则 C.到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； D.到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是矩形； 【答案】ABC 【解析】A 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则； 若，或，对调，可得； 若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，    由矩形或矩形，； 则对任意的三点，，，都有，故①正确； B设点是直线上一点，且， 可得，， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，无最值； 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确； C、D由题，到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足，即或，显然点的轨迹为正方形，故C正确,D不正确； 故选：ABC 变式4-2（多选）在平面直角坐标系中，定义 为两点 的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（  ） A． B．则 C．O为坐标原点，动点R满足，则动点R在平面直角坐标系中所形成的图形是圆 D．已知点，直线，则 【答案】ABD 【解析】由题知，故A正确； 对于B，， 故B正确； 对于C，设，且，所以， 则等号至少有一个成立，∴动点R的轨迹为如下正方形，故C错误；    对于D， 设， 则， 当，即时，，则此时最小值为 当，即或时，，无最小值， 综上，故D正确． 故选：ABD． 变式4-3在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作. (1)已知点和点，直线，求和. (2)已知圆和圆. ①若两圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系； ②若，圆与轴交于两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明：. 【答案】(1)3，； (2)①圆与圆相切；②证明见解析 【解析】（1）. 设上任意一点为， 则. 当时，； 当时，， 所以的最小值为2，故. （2）①由题可知圆的标准方程为，所以圆心为，半径.由圆的方程知圆心为，半径. . 当，即时，由，解得，所以. 此时，所以圆与圆相切（答“内切”也对）. 当，即时，由，解得，所以. 此时，所以圆与圆相切. ②因为都在轴上，所以， 所以，得或（舍去）. 此时圆，令，解得或， 因为点在圆外，所以. 由题意设直线的方程为. 由可得， 当，即时， 有. ， 因为，所以， 所以直线与关于轴对称，即关于直线对称， 由对称性知. 题型五、圆的其他新定义问题 典例5 曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个点在过原点的直线上，称该曲线族为“M族”，若曲线族是M族，且所有满足M族定义的直线的斜率的范围为__________． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系求得直线的斜率的取值范围，结合直线与双曲线的位置关系列出关于的不等式，由此求得离心率的取值范围. 【解析】设直线的方程为，即， 表示圆心为，半径为的圆， 依题意可知圆心到直线的距离， 整理得，所以， 故答案为： 题型模版 1.特征：给出新曲线的定义；需要识别符号，利用已学过的知识分析。 2.方法：可转化为不等式、函数、三角函数知识来研究曲线上点到点、线的距离最值问题。 变式5-1对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”：若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”：否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（  ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义先求出、与圆相切，再求出、与圆相离时实数的范围，结合“平行相交”的定义即可得到答案. 【解析】依题意，直线与平行， 则，解得或， 当时，直线与直线重合，舍去；当时，，符合题意. 由圆可得其标准方程为， 由与圆相切，可得， 由与圆相切，可得， 当、与圆都相离时，则， 故当直线、与圆的位置关系是“平行相交”时，实数应满足， 故实数的取值范围是且. 故选：A. 变式5-2（多选）已知点，圆：（），定义直线：为点的“伴随线”，则下列结论正确的有（  ） A．若点在圆上，则点的“伴随线”与圆相切 B．若点在圆外，过点作两直线与圆分别相切于点，，则直线为点的“伴随线” C．若点在圆内，则点的“伴随线”与圆相交 D．若点，在圆上，它们的“伴随线”分别为，，且垂直，则 【答案】ABD 【分析】选项A：利用点到直线的距离公式可得“伴随线”与圆是否相切； 选项B：设，，可得直线及的方程，把点代入可得直线的方程，从而可判断出B的正确与否； 选项C：利用点到直线的距离公式可得“伴随线”与圆是否相交； 选项D：设，，易得直线及的方程，由垂直可得，从而可求出． 【解析】选项A：当点在圆上时，，圆心到的距离， 点的“伴随线”与圆相切，故A正确； 选项B：设，，则圆在点，处的切线方程分别为： ，． 因为点在这两条切线上，所以，， 所以点，都在直线上， 所以直线的方程为，故B正确； 选项C：当点在圆内时，，圆心到的距离， “伴随线”与圆不相交，故C错误； 选项D：设，，易知：，：， 因为，垂直，所以， 所以，即， 所以，故D正确． 故选：ABD． 变式5-3设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论： ①函数的图象关于y轴对称； ②若，则； ③设函数，则的最大值为； ④设函数，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【解析】圆的圆心在轴上，设圆与的另一个交点为， 设，当点不与点重合时，直线的方程为， 联立，解得，所以点纵坐标为，此时点， 当点与点重合时，点的纵坐标也满足，所以， 对任意的，，所以的定义域为， 对于命题①，因为，所以是偶函数，故①正确； 对于命题②，在区间上单调递增， 所以当时，若，则，所以②错误， 对于命题③，，因为，当时，， 当时，，又，当且仅当，即时取等号， 所以，故③正确， 对于命题④，，令， 则，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若，即时，， 即当时，的最小值为，所以④错误， 故答案为：①③. 题型六、与其他章节融合 典例6 （多选）已知点，圆：（），定义直线：为点的“伴随线”，则下列结论正确的有（  ） A．若点在圆上，则点的“伴随线”与圆相切 B．若点在圆外，过点作两直线与圆分别相切于点，，则直线为点的“伴随线” C．若点在圆内，则点的“伴随线”与圆相交 D．若点，在圆上，它们的“伴随线”分别为，，且垂直，则 【答案】ABD 【分析】选项A：利用点到直线的距离公式可得“伴随线”与圆是否相切； 选项B：设，，可得直线及的方程，把点代入可得直线的方程，从而可判断出B的正确与否； 选项C：利用点到直线的距离公式可得“伴随线”与圆是否相交； 选项D：设，，易得直线及的方程，由垂直可得，从而可求出． 【解析】选项A：当点在圆上时，，圆心到的距离， 点的“伴随线”与圆相切，故A正确； 选项B：设，，则圆在点，处的切线方程分别为： ，． 因为点在这两条切线上，所以，， 所以点，都在直线上， 所以直线的方程为，故B正确； 选项C：当点在圆内时，，圆心到的距离， “伴随线”与圆不相交，故C错误； 选项D：设，，易知：，：， 因为，垂直，所以， 所以，即， 所以，故D正确． 故选：ABD． 题型模版 1.特征：常与平面向量、三角、不等式等章节融合。 2.方法：可转化为函数、基本不等式、三角函数等知识研究距离最值问题。 变式6-1已知，为圆上的两点，且，设为弦上一点，且，则的最大值为________. 【答案】 【解析】根据题意，把，，的坐标，分别代入，， ，方程组两式平方相加得， ， 即 ，，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆.，即 ，表达式的几何意义可以理解为到直线的距离的倍. 而的最大值是圆上一点到直线最大距离的倍，所以圆心到直线的距离， 圆上一点到直线的最大距离为，故的最大值为 变式6-2古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（）的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点，.点P满足，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心. (1)求圆M的方程； (2)若直线：（，）始终平分圆M的面积，写出的最小值. 【答案】(1)； (2)20 【解析】（1）设，由，得，化简得. （2）直线过圆心，则,即., 由,可得， 由基本不等式得：, 当且仅当,即时等号成立. 所以. 所以的最小值是20. 变式6-3人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，求的最大值； (3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)存在，和 【解析】（1）由题可得， ， ； （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形，    其中. 即点在正方形的边上运动，， 可知：当最大时，取到最小值， 相应的有最大值， ①点与点重合时，则， 可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则， 因为，所以的最大值为； （3）易知，设， 则， 当时，，则，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立， 当且仅当时等号成立， 综上，满足条件的直线有且只有两条，和. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】设点，则由可得，， 两边取平方，， 化简得：，即， 依题意，其圆心在直线上，可得， 故. 故选：B 2．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得，以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，从而得点在以为圆心，为半径的圆上，即可求解. 【解析】因为，则， 所以， 又，所以， 以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，则，设， 所以，整理得到， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，故到距离的最大值为， 则三角形面积的最大值为. 3．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（  ）（参考数据：） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 【答案】B 【解析】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动，其中三点共线， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：B. 4．平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是天文学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.已知曲线上的点到与的距离之积为2，则下列结论不正确的是（  ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．曲线围成的图形面积不超过 D．面积的最大值为1 【答案】A 【解析】设，由题意，， 即，化简得， 即曲线的方程为，故A错误； 对于B，将点代入曲线的方程得： ，即， 所以曲线关于轴对称，故B正确； 对于C，由， 得，解得， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以曲线围成的图形面积不超过，故C正确； 对于D，由C选项知，面积的最大值为，故D正确. 故选：A. 5．已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，由，得，因此点在以原点为圆心，1为半径的圆及内部， 设，由，得，点在以 为顶点的正方形及内部，当且仅当点与之一重合时，， 所以. 故选：D 6．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，此时，交点为. 当时，由，斜率为， 由，斜率为，， 综上，. 又， 直线恒过， ，直线恒过， 若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为， 即，则有. 又，易知O、Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， . 所以， 又， 所以， 如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立 即最小值为. 故选：A.    7．（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（  ） A．若点，则 B．若点，则在x轴上存在点P，使得 C．若点M在上，点N在直线上，则的值可以是4 D．若点，点P在直线上，则的最小值是2 【答案】ACD 【解析】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，如图所示，取，，则，C正确． 对于D，作轴，交直线于，过作，垂足为， 如图所示： 由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则， 当与重合时，，于是， 因此，D正确． 故选：ACD. 8．（多选）在平面内，到两定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知曲线C上的动点P到两定点，的距离之积为，O为坐标原点，则（  ） A．C关于x轴和y轴均对称 B．的面积的最大值为 C．周长的最小值为6c D．的取值范围为 【答案】ACD 【解析】设，因为在平面直角坐标系中，，，动点满足， 所以， 化简得， 对于A，将换成可得，将换成可得， 所以C关于x轴和y轴均对称，故A正确； 对于B，设，则， 所以，故，则， 故面积的最大值为，故B不正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时，周长的最小值为6c，故C正确； 对于D，，所以， 由，可得，所以，所以， 故的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线，和的方程分别是，和，则下列叙述正确的是（  ） A． B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2 C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32 D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2 【答案】ACD 【解析】A：，对； B：令直线上任意点为，则， 所以，当时的最小值为1，错； C：令，则， 当，则；当，则； 当，则；当，则； 所以轨迹为上述四条直线围成的封闭曲线上，如下图正方形， 所以的轨迹围成图形的面积是，对； D：令，则， 当时，（舍）； 当时，（舍）； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 若的轨迹如下图示， 所以的轨迹与直线围成的封闭图形面积为，对. 故选：ACD 10．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为 . 【答案】6 【解析】因为点是直线：上的动点，要使最小，则，此时， 所以，由方程组，解得，， 所以，，两点之间的切比雪夫距离为6. 故答案为：6 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 故答案为： 12．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知点，，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】设，由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 13．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线，交轨迹于两点，记的面积为，求的最大值，以及取最大值时的直线方程. (3)设轨迹与轴正半轴的交点为，直线相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程. 【答案】(1)；(2)，；(3)证明见解析， 【解析】（1）设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点的轨迹的方程为. （2）由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 设，因为，则，即. 所以，， 因为，所以. 此时，，即，所以直线的方程为：. （3），设， 联立消得， 则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立解得， 则， 所以，所以点在定直线上. 14．曼哈顿距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场景，例如无人驾驶出租车行驶、物流配送等．在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图像处理和路径规划等问题．曼哈顿距离用于标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系内有两个点它们之间的曼哈顿距离 (1)已知点，求的值； (2)已知平面直角坐标系内一定点，动点满足，求动点围成的图形的面积： (3)已知空间直角坐标系内一定点，动点满足，若动点围成的几何体的体积是，求的值． 【答案】(1)5；(2)8；(3) 【解析】（1）． （2）设， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以动点围成的图形是正方形，边长为，面积为8． （3）动点围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形， 其体积为． 证明如下： 不妨将平移到，处，设， 若，则， 当时，即， 设， 由，得 所以四点共面， 所以当时，在边长为的等边三角形内部（含边界）， 同理可知等边三角形内部任意一点，均满足． 所以满足方程的点， 构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）、 由对称性可知，围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形． 故该几何体体积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $