专题10椭圆离心率的取值范围十类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆离心率取值范围，构建“通法归纳-题型精讲-压轴挑战”三阶训练体系，通过十类题型系统提炼从a,b,c关系到函数、不等式等跨模块解题方法，培养数学思维与问题转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心解法|明确不等式构建、椭圆有界性等核心策略|从离心率本质出发，关联椭圆定义与几何性质| |题型精讲|10类题型+30+变式|分类提炼临界关系、位置关系、三角函数等10种解法|按“概念关系→几何转化→代数工具”递进，形成知识网络| |压轴挑战|10道综合题|综合应用多模块方法，强化逻辑推理|对接高考压轴题命题趋势，提升复杂问题解决能力|

学科网（北京）股份有限公司 专题10椭圆离心率的取值范围十类综合题型（压轴题专项训练） 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 根据a,b，c的大小关系求取值范围 题型二 由临界关系求取值范围 题型三 由位置关系求取值范围 题型四 由题目条件求取值范围 题型五 与三角函数结合 题型六 椭圆的有界性 题型七 类比圆 题型八 建立函数关系求离心率 题型九 方程的实数根求离心率 题型十 基本不等式求最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 离心率取值范围问题是高中数学核心重难点，题型涵盖，椭圆的有界性，三角函数，基本不等式，正余弦定理等，解题需注意：一在求解离心率表达式的过程中考虑不等式，二椭圆自身的有界性，题目的条件，曲线间的位置关系等，均可作为不等式的参考部分. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据abc的大小关系求取值范围 典例精讲1 (25-26高二上·河南新乡·期末)已知，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上在轴右侧的一动点，且（为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】用表示出，结合三角形的存在性判断即可. 【详解】 因为，且， 所以， 又因为， 所以在三角形中， ， 即， 所以， 又因为的最大值为， 所以， 所以， 故离心率的范围为. 故答案为： 题型归纳 离心率的本质是，通过找出a,b,c之间的大小关系求解离心率 变式训练1-1 (25-26高二上·浙江杭州杭州第二中学·期末)已知为椭圆：上一点（不在椭圆长轴上），，分别为的左、右焦点，若的内切圆与相切于点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围为________. 【答案】 【分析】由圆的切线性质及椭圆的几何性质，结合三角形三边关系求离心率的范围. 【详解】若的内切圆与分别相切于，且位于第一象限， 所以，，，如下图示， 由， 且， 由三角形三边关系知，所以， 所以，而，故离心率范围为. 故答案为：    变式训练1-2 (23-24高二上·四川成都蓉城名校·期末)已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为______（写成集合或区间形式）． 【答案】 【分析】设P的坐标为，根据求出，故点P在以原点为圆心，为半径的圆M上，分圆M与直线AB相切和两种情况，求出离心率的取值范围. 【详解】直线AB方程为，设点P的坐标为， ，故， 所以点P在以原点为圆心，为半径的圆M上， ① 圆M与直线AB相切，则原点到直线的距离等于半径， ，即，， 方程两边同除以得，，解得， 故， ②若，，解得， 综上，的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】椭圆离心率是最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 变式训练1-3 (25-26高二上·江西南昌第十中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据得出，与联立得出即可求出. 【详解】由题意可知，， 设，则，， 因为，所以 ，则， 联立，得， 则，即，则解得， 故椭圆离心率的取值范围是. 故选：D 题型二、由临界关系求取值范围 典例精讲2. (25-26高二下·湖北黄冈中学等校·期中)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，易得为锐角，且；由正弦定理可得，进而求得；结合余弦函数性质得到；利用几何关系及二倍角公式求得，代入求得；结合可求得，即可求解. 【详解】记椭圆的上顶点为，，由，得，所以为锐角， 中，由正弦定理，知，所以， 易知，所以，且， 又， 所以，解得或（舍去）. 又，故，所以， 综上，椭圆的离心率的取值范围是. 题型归纳 角度边长等问题，可以寻找临界值，即找出最大与最小的情况，通过临界情况列出对应不等式 变式训练2-1 (25-26高二上·江苏常州田家炳高级中学·期末)已知是椭圆的左、右焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点分别是圆和椭圆上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题化为的最大值不小于，椭圆的性质知为椭圆短轴的端点时最大，结合已知求得椭圆的标准方程为，再由椭圆的定义转化求最大值. 【详解】若要满足椭圆上存在一点，使得，只需的最大值不小于即可， 在中，余弦定理得 ， 当且仅当，即此时为椭圆短轴的端点时，最大， 如图，不妨设点为短轴的上顶点时，最大， 设，则，所以， 因此当椭圆的离心率取得最小值时，， 故椭圆的标准方程为， 连接，则， 所以只需研究的最大值即可， 连接， 当且仅当三点共线（点在线段的延长线上）时，不等式取得等号， 所以的最大值，故的最大值是． 变式训练2-2 (24-25高二上·重庆巴蜀科学城中学·)已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，记，利用二倍角公式求得，根据构造齐次式即可求解. 【详解】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值， 要使椭圆上总存在点，使得，    只需满足，且， 记，则有，且， 所以，解得（舍去）或， 所以，即， 整理得，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据椭圆上的动点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，从而得解. 变式训练2-3 (25-26高二·广东深圳龙岗区布吉高级中学·期末)记动椭圆 的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为_________________． 【答案】 【分析】设的半焦距为，则易知的离心率也为，由椭圆的对称性易知，再讨论两个临界位置时的情况即可求得答案. 【详解】显然动椭圆的长半轴长为，设的半焦距为，则，且的离心率亦为， 由椭圆的对称性易知， ∴，即，    ①当点在上顶点位置时（临界位置一）， 在中，由余弦定理得：， ②当点的横坐标为的时（或对应的点）（临界位置二）， 满足条件的点有四个，不妨取，如图， ∴，则由椭圆定义可知， 在△中，由余弦定理的推论可知， ∴，解得，即， ∴的离心率的取值范围亦为， 故答案为：. 题型三、由位置关系关系求取值范围 典例精讲3 已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出点，然后由向量数量积得到的轨迹，应用在椭圆上则两个曲线有交点，再求离心率即可. 【详解】设点，则， 即，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即，则，则 则，即椭圆离心率， 故选：D. 题型归纳 椭圆与其他曲线结合时： 考虑几种曲线的位置关系，通过位置关系列出相应不等式。 变式训练3-1 (25-26高二上·天津五区县重点校·期中)设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由N在椭圆外部，则，根据椭圆的离心率公式，即可求得 ，根据椭圆的定义及三角形的性质结合，则 ，即可求得椭圆的离心率的取值范围． 【详解】因为点在椭圆的外部，所以，可得 ， 由椭圆的离心率， 又因为，且，， 要恒成立，即， 则椭圆离心率的取值范围是． 故选：D． 变式训练3-2 (23-24高二下·浙江名校协作体·适考)已知点是椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点（点在第一象限）．以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点．若，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可推得要使，只需，由此设直线方程，并联立椭圆方程，求出点的坐标，进而得到，令，，即可得到的不等关系，求得答案. 【详解】要使，只要，只要， 因为直线的斜率为， 即只要， 设直线方程为：， 联立，整理可得： 因为为方程的一个根， 故， 所以点， 可得， 由于，故， 令，可得， 可得，可得离心率， 所以离心率的取值范围是． 故选：B． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 变式训练3-3 已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】若四边形为矩形，则四边形为正方形，可得，根据椭圆性质可得，运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由题意可知：，，且， 若存在点，使得四边形为矩形，此时， 且，则四边形为正方形，可得， 则，可得，且，即， 可得，可得， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 题型四、由题目条件求取值范围 典例精讲4 已知直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程组，求得，得到，根据，求得，进而得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】如图所示，不妨设， 联立方程组，解得，则， 因为，所以，即， 可得，所以，所以， 故椭圆的离心率的取值范围是． 题型归纳 题目中给出条件时： 可按照给出条件列出不等式 变式训练4-1 (25-26高二·福建福州第一中学·)已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆在第一象限上的一个点，点与点关于原点对称，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得出是矩形，结合椭圆的定义和勾股定理求出，利用解不等式即可. 【详解】由点与点关于原点对称，结合椭圆的对称性可知，是平行四边形， 因为，所以是矩形， 所以， 因为，， 所以， 因为点是椭圆在第一象限上的一个点， 所以， 则，，， 因为，，所以， 则，即， 得，得， 得或（舍），即， 故椭圆的离心率的取值范围为. 故选：D 变式训练4-2 (25-26高二上·湖北武汉洪山高级中学等校·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对称性得到平行四边形为矩形，根据得到，求出，上存在关于坐标原点对称的两点，，使得，故，从而得到，得到答案. 【详解】由对称性可知，四边形为平行四边形， 因为，所以平行四边形为矩形， ，即， 由椭圆的定义可知，， 由勾股定理得，即， 故，， 由得， 故，，解得， 上存在关于坐标原点对称的两点，，使得，故， 所以，即，所以，解得， 所以离心率的取值范围是 故选：B 变式训练4-3 (25-26高二上·辽宁朝阳·期中)椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则，即， 所以线段的长度的最小值为. 故选：D. 题型五、与三角函数结合 典例精讲5 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由正弦定理可得，由两角和的正弦公式和倍角公式化简可得，结合的范围和余弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】设，则，由三角形的内角和为， 所以，在中，由正弦定理可得： ， 由可得：， 所以， 因为 ， 因为， 因为△F1PF2为锐角三角形，所以，解得：， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以 题型归纳 题目中涉及角度： 可以考虑通过正余弦定理，将边长转化为角度，利用三角函数求解最值 变式训练5-1 (24-25高二上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·月考)设为椭圆上一点，为焦点，，，，则椭圆离心率的最大值为___________. 【答案】/ 【分析】根据直角三角形的边角关系，用表示出，，结合三角函数的值域的求法和离心率的概念，可求离心率的最大值. 【详解】如图： 在中，，，所以，. 所以 . 又 ，所以. 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：在中，利用直角三角形的边角关系，可得，，所以椭圆离心率，再结合三角函数在给定区间上值域的求法可得离心率的最大值. 变式训练5-2 (23-24高二上·河南驻马店·)如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】根据题意，由离心率的定义分别表示出，即可得到，结合三角恒等变换化简，再由正弦型函数的值域，即可得到结果. 【详解】设，，则， 又，则，， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以，则， 所以，则的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是引入角度，从而得到，再利用三角恒等变换和三角函数的值域求出其最值. 变式训练5-3 (23-24高二上·河南部分重点中学·)已知点是椭圆上异于上下顶点的任意一点，为坐标原点，过点作圆的切线，切点分别为，若存在点使得，则椭圆离心率的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】先得到，设，，得到，从而得到不等式，求出离心率. 【详解】当时，由于为切点， 由勾股定理得， 又因为点在椭圆上，设，， 则， 因为，，所以， 故， 因此，即，， 又离心率，解出. 故答案为： 【点睛】求椭圆的离心率是(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 题型六、椭圆的有界性 典例精讲6 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用已知条件求出，再联立椭圆方程结合即可求出. 【详解】，故点位于线段的中点，设，则， ，又，，化简得， 又M为椭圆上一点，，联立得，即， 此方程有解，则，化简得，即恒成立， 方程的两个根为和， 又，，，解得. 则C的离心率的取值范围是. 题型归纳 椭圆为封闭曲线，椭圆上的点有界” 其中x,y坐标的范围受到长轴与短轴的影响。 变式训练6-1 记椭圆的左、右焦点分别为，其上存在两点构成的四边形满足，则离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如下图，由椭圆性质可知，，，结合推出四边形共圆，因为 关于轴对称，所以圆心必位于轴上，设圆心为，半径为，则圆的方程为，代入得，结合椭圆性质联立椭圆方程得出，由推出，联立方程推出，进而得出，从而得出答案. 【详解】    由椭圆的性质可知，，，. 因为，则，即四边形对角互补， 所以四边形共圆. 因为 关于轴对称，所以圆心必位于轴上， 设圆心为，半径为，则圆的方程为, 代入可得，. 联立， 已知该方程有两个实数解，即的纵坐标， 所以, 所以. 又因为， 所以. 令，， 则， . 又因为， 所以. 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：C. 变式训练6-2 (24-25高二上·吉林·期中)如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围. 【详解】 设， 因为， 又点为半椭圆上一点，所以， 所以 ， 因为存在， 所以， 即在上有解， 因为， 且， 所以在上有解， 即在上有解，所以 又因为， 所以， 即，解得， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，再代入计算相关向量数量积，转化为在上有解，从而得到不等式组，解出即可 变式训练6-3 (24-25高二上·安徽A10联盟·期中)已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________. 【答案】 【分析】根据已知条件列方程，求得的取值范围，由此列不等式，由此求得离心率的取值范围. 【详解】，即， ， 当且仅当时等号成立. ， 由于，所以当或时， 有最小值为， 所以，则，即， 即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点睛： 椭圆焦点和离心率的应用：通过利用椭圆的焦半径和离心率关系，结合椭圆上的点条件，推导出离心率的范围，这是解题的关键步骤. 不等式解的准确性：通过解不等式，得出离心率的范围，确保计算过程中的符号处理正确，是确保结论正确的关键. 题型七、类比圆 典例精讲7 记椭圆的焦点分别为，，点在直线上，若，则的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为圆心，为半径作圆，分析可知直线与圆存在交点，结合点到直线的距离公式运算即可. 【详解】设的半焦距为，，，. 如图所示，以为圆心，为半径作圆.    因为，所以， 则对于在圆且在轴上方的任意一点，均有， 又因为，所以点在圆上，而点在直线上， 则只需直线与圆存在交点， 而点到直线的距离，解得， 则的离心率， 又因为，所以的离心率的取值范围是. 故选：B. 题型归纳 1.涉及到90°角，垂直，向量数量积等于0等，可以考虑构造圆 2.根据直线与圆的位置关系，列出对应不等式。 变式训练7-1 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，点满足，若上存在点使得，则的离心率的取值范围为________． 【答案】 【分析】设点，根据平面向量的坐标运算可得出，根据可求出点的轨迹方程，求出，根据可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】设点，易知点，由题意可得， 所以，，即点， 由，得， 整理可得， 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 又因为点在椭圆上，则圆与椭圆有公共点， ， 当时，即当时，当时，； 故有，可得，解得； 当时，即当时，当时，， 故有，即，矛盾. 综上所述，椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 变式训练7-2 (24-25高二上·广东深圳罗湖区·期末)已知椭圆，设，若上存在3个不同的点使得 ，则的离心率的取值范围为_________． 【答案】 【分析】设，由题意，根据两点距离公式化简求解点的轨迹，作出图形，将圆的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和求出的取值范围，结合离心率的概念计算即可求解. 【详解】设，由，得， 整理得， 即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 因为椭圆与圆有3个不同的交点， 由椭圆，则. 结合图形可知，点是椭圆与圆的一个公共点. 由，消去，整理得， 易知，且为该方程的一个根， 由椭圆与圆有3个不同的交点， 则方程必有另一根，且在内. 设另一个根为（），且此根对应椭圆与圆的个公共点， 由韦达定理得，即，所以， 解得， 所以， 又，所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是先求解确定点的轨迹为圆，将条件转化为圆与椭圆需有3个不同的交点，联立方程组，利用韦达定理和根的范围求出的取值范围，结合计算即可. 变式训练7-3 (23-24高二上·江苏常州·期末)已知椭圆的离心率为，点，若椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据题意在轴右侧要存在两个点到的距离相等，不妨设轴上方椭圆上的点，由距离公式求出，然后转化为二次函数问题，即只需对称轴位于，从而可求解. 【详解】由题意知，在椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，由对称性知，在直线右侧要存在两个点到的距离相等， 不妨设轴上方椭圆上的点为，即，得， 所以，， 要满足题意，由二次函数的对称性可知需在内对于总能取到两个不同的的值，即等价于二次函数对称轴在的范围内即可， 所以，即，即，即， 化简得，即， 即，解得， 又因为，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要是设点并结合距离公式求出的表达式，再结合二次函数性质构建出关于系数的不等式，化简为，从而可求解. 题型八、建立函数关系求离心率 典例精讲8 已知点在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内一点在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由与，可设，设，利用点在椭圆上且点在椭圆内（在的延长线上），探求出的范围为，由勾股定理表达，法一建立离心率的函数关系，换元法求解值域即可；法二可结合的变化范围得到离心率的变化范围，再加以几何验证可得. 【详解】如图，，在中， 由，可设， 则，设，， 由在的延长线上，则， 由点在椭圆上，则， 又在椭圆内，则，可得， 在中，由，得， 可得， 法一：， 令，则， 可得， 所以， 再令，构造函数， 则在上单调递增， 因此的值域为，即. 法二：由，可得①； 且， 可得②； 故由①②可得，. 几何验证：当时，即，离心率； 当时，即，，离心率； 注意到，当时，即时，如图，此时点在椭圆内（不为界点）满足题意. 故选：A. 题型归纳 1.求解离心率表达式的过程可以通过形似类比函数 2.通过对应类型函数的单调性，求解最值。 变式训练8-1 已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，整理得，根据二次函数分析可得，进而求出离心率得取值范围. 【详解】由题意可设：， 则 令，则， 当，则， 可知的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，可知在上的最小值为， 则，整理得，解得，不合题意： 当，即时，可知在内的最小值为，符合题意； 综上所述：.可得椭圆的离心率. 故选：C. 变式训练8-2 (23-24高二上·山东济宁第一中学·)设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范围. 【详解】设，，由椭圆的定义可得，， 可设，可得，即有，① 由，可得，即为，② 由，可得，令，可得， 即有，由， 可得，即， 则时，取得最小值；或4时，取得最大值. 即有，得. 故选：C 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出，代入公式； ②根据条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围； ③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围. 变式训练8-3 (25-26高二上·河北衡水第二中学·调研)已知为椭圆上一点，为圆：上一点，且的最大值为6，则该椭圆离心率的最大值为________. 【答案】 【分析】求出圆的圆心、半径，利用圆的几何性质确定最大值条件，再利用两点间距离公式，借助一次函数性质求出最大值，进而求出离心率的最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 由，得的最大值为6等价于的最大值为4， 设，由，得，又，则， 整理得在上恒成立， 当时，显然不等式在时恒成立； 当，由在上， 因此，即在上恒成立， 令，由，得函数在上单调递减， 于是，解得，则， 综上，，解得， 所以椭圆的离心率的最大值为. 故答案为： 题型九、方程的实数根求离心率 典例精讲9 (25-26高二上·湖北孝感安陆第一高级中学等校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知求得，利用余弦定理可求得，结合，可得是方程的两根，利用判别式可求解. 【详解】和分别是向量和的单位向量， 因为，所以，又， 所以，所以， 因为为椭圆上的任意一点，有， 设，，则， 在三角形中，，且夹角. 由余弦定理：，即： 又， 所以，解得， 又，所以是方程的两根， 所以，所以，又因为， 所以，所以，所以，又， 所以的取值范围是. 故选：A. 题型归纳 求解离心率表达式的过程，若含有一元二次不等式或方程。可以通过一元二次方程有解列出对应不等式。 变式训练9-1 已知椭圆的上顶点为A，B、C在椭圆上，△ABC为等腰直角三角形，A为直角，若这样的△ABC有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【分析】设直线方程为，直线方程为，求出弦长，根据整理可得，由方程有唯一实数解可得，然后可得离心率. 【详解】由椭圆可知， 易知，直线与的斜率存在且不为0， 故可设直线方程为，直线方程为， 联立消元得， 解得， 同理，联立可解得， 由题知，， 所以，即， 整理得， 因为为上述方程的根， 所以，要使满足条件的△ABC有且只有一个，方程没有实数解，或者有两个相等的根. 当时，解得， 当时，解得，此时方程的根为1. 综上，. 所以，. 故答案为： 【点睛】求离心率的方法主要有： （1）定义法：根据题意求出a，c，然后由离心率公式直接求解； （2）齐次式法：根据题意或结合图形中的几何关系，求得的关系式，利用消去，然后两边同时除以转化为关于的方程或不等式即可求解. 变式训练9-2 (25-26高二·重庆长寿区·期末)设椭圆的中心为，右顶点为，若上存在一点满足，则的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用向量法解题，设，用和椭圆方程计算点横坐标，然后再根据点在上，根据点的横坐标取值范围求离心率的范围. 【详解】设，，，，， 由，得， 化简得， 联立椭圆方程为， 化简得， 代入， 化简得， 解得（舍），另一根为， 又因为点在上，，即， 代入， 得，解得， 又因为椭圆离心率，故. 故选：B 变式训练9-3 已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点P满足，求出点P的轨迹方程，再与椭圆方程联立解方程组，结合有3个点列出不等式求出离心率范围. 【详解】设，由，得，化简得， 即点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆有3个交点， 由消去得，即， 显然是方程的一个解，点是圆与椭圆的1个公共点，因此必为方程的另一个解， 则，解得，所以椭圆C的离心率. 故选：C 【点睛】关键点点睛：求出点的轨迹轨迹方程并解方程组是求出范围是关键. 题型十、基本不等式求最值 典例精讲10 已知圆的圆心为，半径为4，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当动圆与两定圆都内切时，结合椭圆定义、离心率公式得，当动圆与两定圆分别内切，外切时，结合椭圆定义、离心率公式得，注意到，由“乘1法”基本不等式即可求解. 【详解】设动圆半径为R，圆 ． （1）当动圆与两定圆都内切时，如图①，    则，故； （2）当动圆与两定圆分别内切，外切时， 如图②， 则，此时. ． 注意到，故 ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是通过得出，由此即可顺利得解. 题型归纳 求解离心表达式的过程如果出现加和与乘积为定值的情况，可以考虑基本不等式 变式训练10-1 (24-25高二上·四川广安加德学校·期末)从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，，离心率分别为，，内含于，椭圆上的任意一点M关于的极线为，若原点到直线的距离为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】根据定义写出极线的方程，由点到直线距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到，的关系，再利用基本不等式计算可得. 【详解】设，椭圆的方程：，椭圆方程：，， 则有①， 由极线的定义得直线的方程为，即， 又原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，， 则有， 因为椭圆的离心率在内，所以， 所以， 当且仅当，即时取等，此时， 所以的最大值为. 故答案为：. 变式训练10-2 (23-24高二上·安徽亳州涡阳县蔚华中学·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在点满足：，则的离心率的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由余弦定理结合基本不等式分析可知，当为椭圆短轴顶点时，最大，求出的最小值为，结合余弦函数的单调性可得出，求出的取值范围，可得出椭圆的离心率的取值范围，即可得解. 【详解】由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为余弦函数在上单调递减， 故当时，即当为椭圆短轴顶点时，最大， 因为椭圆上存在点满足：，则，可得， 所以，，故椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 变式训练10-3 (22-23高二上·河北唐山迁安·期中)已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件用表示出，再结合椭圆定义并借助均值不等式计算作答． 【详解】由题可得，， 又，则有， 由椭圆的定义知：， 当且仅当等号成立， 所以，则， 又椭圆的离心率小于1，所以椭圆的离心率的取值范围为， 故答案为：. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．法国著名的数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”．已知焦点在轴上的椭圆，为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由椭圆焦点位置确定的下限，再根据蒙日圆定义得蒙日圆方程，结合为锐角的条件分析直线与蒙日圆的位置关系，求得的范围，最后计算椭圆离心率的取值范围. 【详解】由椭圆的焦点在轴上，得. 直线都与椭圆相切， 直线所围成的矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆. 因恒为锐角，故点在蒙日圆外. 又在直线上， 因此直线与蒙日圆相离，即原点到直线的距离大于蒙日圆半径. 原点到直线的距离：，故，平方得，即. 结合，得. 椭圆离心率. 当时，，故，即. 故选：B 2．(23-24高二上·四川眉山仁寿县·)已知椭圆的两个焦点为，，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积记为，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，计算即可得到离心率范围. 【详解】连接，，由题意得，，， 又，所以四边形为矩形，故， 所以，故， 又，由勾股定理得， 即，则， 故，即， 故，， 解得， 又上存在关于坐标原点对称的两点，，使得， 故，所以，即， 所以，，解得， 综上，的离心率的取值范围是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 3．(23-24高二上·广东东莞南城开心实验学校·期中)已知的三个顶点都在椭圆：（）上，其中为左顶点，为上顶点，若以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知只需椭圆与圆有四个公共点，求出的关系得离心率的取值范围 【详解】由题意知的第三个顶点在以为圆心，以为半径的圆上，要使以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则需要满足椭圆与圆有四个公共点， 由 得， 所以或， 当时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当位于右顶点处满足条件； 当时，要满足椭圆与圆有两个不同交点，需要， 即，即，解得，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：要满足条件的三角形有3个，关键是将条件转化为椭圆与圆有四个公共点解决. 4．(23-24高二上·天津五校联考·期中)已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标法列得不等式，变形后求得离心率的取值. 【详解】设，则，，， ， 因为，所以，又， 所以时，取得最大值， 恒成立，则，变形得， 又，故解得. 故选：D. 5．(22-23高二下·重庆第八中学校·月考)设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【详解】如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在直角中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即，则，故， 所以， 所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解. 6．若椭圆上存在一点，使得函数图象上任意一点关于点的对称点仍在的图象上，且椭圆的长轴长大于2，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的对称中心，即可得到椭圆经过点，从而得到，再根据，即可得到关于离心率的不等式，解得即可. 【详解】因为， 所以的图象可由奇函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 所以的图象关于点对称， 所以椭圆经过点，则，即， 即， 所以，又因为，所以，解得， 又，所以，即. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是求出的对称中心，得到关于离心率的不等式，从而求出离心率的取值范围. 7．(25-26高二上·云南昆明官渡区第一中学教育集团·期中)已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为_____. 【答案】 【分析】设直线的方程为，，与椭圆联立并结合，可得即可求解. 【详解】延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，， 设直线的方程为，，联立， 整理得，则①，②， 由可得③，联立①②③消去可得， 则，即，所以， 所以离心率的取值范围为. 故答案为： 8．(24-25高二上·陕西西安临潼区华清中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】根据题意求出点的坐标，再联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出点坐标，根据，结合椭圆离心率与的关系求解. 【详解】设， 因为垂直于轴，所以代入椭圆方程， 得，所以， 设， 联立，消去整理得，， 所以，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 9．(25-26高二上·重庆第一中学校·)设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，椭圆上存在点使得成立，则椭圆的离心率的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据在椭圆内部、椭圆的定义列不等式，化简求得椭圆离心率的取值范围. 【详解】点在椭圆的内部，则， . 因为， 当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 由于椭圆上存在点使得成立， 所以， 综上所述，离心率的取值范围是. 故答案为： 【点睛】求解点和椭圆位置关系问题，如果点在椭圆上，则，如果在椭圆外，则，如果在椭圆内，则.要求椭圆的离心率的范围，可以考虑直接求得的范围，也可以先求的范围，再转化为的范围. 10．已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，得到，得到离心率. 【详解】连接，由题意得，， 又，所以四边形为矩形，故， 所以，故， 又，由勾股定理得， 即，， 故，即，故， 解得， 又上存在关于坐标原点对称的两点，使得，故， 所以，即，所以，，解得， 综上，的离心率的取值范围是.    故答案为： 【点睛】方法点睛：离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10椭圆离心率的取值范围十类综合题型（压轴题专项训 练) 目录 通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一根据a,b,c的大小关系求取值范围 题型二由临界关系求取值范围 题型三由位置关系求取值范围 题型四由题目条件求取值范围 题型五与三角函数结合 题型六椭圆的有界性 题型七类比圆 题型八建立函数关系求离心率 题型九方程的实数根求离心率 题型十基本不等式求最值 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 离心率取值范围问题是高中数学核心重难点，题型涵盖，椭圆的有界性，三角函数，基本不等式，正 余弦定理等，解题需注意：一在求解离心率表达式的过程中考虑不等式，二椭圆自身的有界性，题目的条 件，曲线间的位置关系等，均可作为不等式的参考部分 ◆ 夙题型精讲精讲典型题法，寿尖解题根基 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一、根据abc的大小关系求取值范围 典例箱进1(25-26高二上河南新乡，期末已知F'下，是椭圆C:X+广=1a>b>0的左、右焦点，M为 a2 b2 椭圆上在y轴右侧的一动点，且MF-MF|MOo为坐标原点)，则该椭圆离心率的取值范围为 题型归纳 离心率的本质是，通过找出a,b,c之间的大小关系求解离心率 变式训练11526高=上浙江杭州杭州第二中学·期末已知p为椭圆c:+兰=1a>b>0上一点(P a2 b2 不在椭圆长轴上)，F1,F2分别为C的左、右焦点，若△PF1F2的内切圆与F1F2相切于点Q,且 OQ=号(0为坐标原点)，则椭圆C的离心率的取值范围为 式训纸2四24感客惠较利吧配，E分别为钢M名+>h>0形 左、右焦点，A为右顶点，B为上顾点，若在线段AB上有且仅有一个点P使P立P时=号 则椭圆M 离心率的取值范围为（写成集合或区间形式）· 变式训练13526商二上江西南昌第十中学期末已知椭圆C:之+之=1a>b>0的左、右焦点分别为 F1,F2,若P,Q是C上关于原点对称的两点，若PF1⊥QF1成立，则椭圆离心率的取值范围是() A.11 B.1V2 D. 32 2’2 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、由临界关系求取值范围 典例精进2(2526高二下湖北黄冈中学等校：期中已知椭圆C:。+兰=1a>b>0的左、右焦点分别为 b2 5c F1-c,0,F,c,0,且b>c.若椭圆C上存在点P,使得△PF1F的外接圆直径为 则椭圆的离心率 2 的取值范围是() A 225 V5 V2 V225 5’2 2 5 5’2 21 5 题型归纳 角度边长等问题，可以寻找临界值，即找出最大与最小的情况，通过临界情况列出对应不等式 变式训练2125,26商=上江苏常州用家炳高级中学期末已知，卫，是椭园C:+y=10>1的左、 右焦点，且椭圆上存在一点P,使得∠F,PF,=2,若点M,N分别是圆D:X2+y-3P=3和椭圆C上的 3 动点，则当椭圆C的离心率取得最小值时，MN+NF,的最大值是（） A.4+3V3 B.4+2V3 c.3-3 D.3+23 变式训练2-2(24-25高二上重庆巴蜀科学城中学已知E,'F,是椭圆+-1a>b>0的左、右焦点， 若椭圆上总存在点p,使得an∠F,PF,=-26:则椭圆的离心率的取值范围为（） A. 0, 2 B 0 2 35 C. 0 V15 5 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训绣23526高二广东深圳龙岗区布吉商级中学期末利记动椭圆。：X+兰=1的左、右焦点分别为 62 R,F,若C上有在点M%使得∠E,ME,=骨且x的取值范国为-2》，则C的离心率的取值 范围为 题型三、由位置关系关系求取值范围 若等+岩=1a>b0的左、方焦点分别是F、F共中F,E小2c解圆 典例精进3己知椭圆c:兰+兰 存在一点A,满足A序·A正，=42，则椭圆的离心率的取值范围是(） [5 B. D. 65 0, U 1 0 6 5 6 6’5 题型归纳 椭圆与其他曲线结合时： 考虑几种曲线的位置关系，通过位置关系列出相应不等式。 变式训练3-12526高二上天津五区县重点校期中)设椭圆X+兰=1Q>b>0的左、右焦点分别为 a2 b2 F1-c,0,F2c,0,点N C,2 在椭圆的外部，点M是稀圆上的动点，满足MF+MNs引E,F恒 成立，则椭圆离心率e的取值范围是() A. B. V2 D. 0,2 V25 ,1 26 变式训练3-2(2324高二下浙江名校协作体适考已知点4是椭圆c:+兰=1a>b>0的左顶点，过点 a b2 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A且斜率为的直线与椭圆C交于另一点P(点P在第一象限).以原点O为圆心，OP为半径的圆在点 P处的切线与x轴交于点Q.若PA≥PQ,则椭圆C离心率的取值范围是() 02 2 0, 2 21 D. 变式认练B已知O:生cC专4岁O>b>0的医点为c的点，8 P作圆O的切线，切点为A,B,若存在点P,使得四边形OAPB为矩形，则椭圆C的离心率的取值范围是 题型四、由题目条件求取值范围 奥创箱进4马如直线文Y0圆C苦+10b>0A,B网京，ABa肠题，宽D 率的取值范围是() A. 6 B 7 7 42 0, 0 6 6 0,7 0 7 题型归纳 题目中给出条件时： 可按照给出条件列出不等式 变式训练41(25-26高二福建福州第一中学，)已知椭圆c: 兰+=1la>b>0的左、右焦点分别为 a b2 E,E,:点MX,y,是椭圆c在第一象限上的一个点，点N与点M关于原点对称，若MN=|E,F,且 MFs2NF则椭圆c的离心率的取值范围为() A. B. 0 2 C. D.25 3 2 2’3 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+6-1a>b>0的左、右 变式训练42(25：26高二上：湖北武汉洪山高级中学等校：期)已知椭圆c:丈+y 焦点分别为F,'F'p'Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ=|F,F'△PF,Q的面积 S≥6PQ,则椭圆C的离心率的取值范围是() A. 2V51 B. V22V5 25 D. 2V6 0 5 2 5 2’3 变式训练43(2526商二上辽宁朝阳期中)椭圆C:+号 意+长=1a>b>0的左、右焦点分别是FEg斜 率为1的直线过左焦点F1,交C于A,B两点，且△ABF2的内切圆的面积是π，若椭圆C的离心率的取值 11 范围是 3’2 线段AB的长度的最小值为() A.2 B.2V2 c.3V2 D.49/2 题型五、与三角函数结合 A股园：已服0兰卡a0,8>a的在有在在分网防风为指网P上在- 使∠PF2F1=2∠PF1F2,且△FPF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是() B V23 2’2 c.(2-1,3-1) D 2 0,2 题型归纳 题目中涉及角度： 可以考虑通过正余弦定理，将边长转化为角度，利用三角函数求解最值 6/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 空式训猴5.14：25商二上安微蚌弹国镇县毛钽厂实验中学月考设p为椭圆+兰=1(a>b>0)上一点， F1、F2为焦点，∠FPF2=90°，∠PFF2=0,0∈ 元元 12’3 则椭圆离心率的最大值为 使式训练5-223,24高上河南驻马店网图，椭圆C:。+岁1ab,>0C高+宇1乙有相丽 的焦点F1,F2,离心率分别为e1,e2,P为椭圆C1的上顶点，PF1与椭圆C2交于点B,若BF2⊥PF1,则 e2的最小值为 e 变式训练532324高三上河南部分重点中学)尼知点p是椭圆C:。+广-1(a>b>0)上异于上下顶点 a2'b2 的任意一点，O为坐标原点，过点P作圆O:x2+y=b的切线，切点分别为M,N,若存在点P使得 ∠MPN=90°，则椭圆离心率的最小值为 题型六、椭圆的有界性 典例精进6已知椭圆C:父+上=1 a 若1〈a>b>0》的左、右焦点分别为r,F,M为椭圆上一点若 MF1=2M亦'M京·H市，=0则C的离心率的取值范围是() .2 c层 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型归纳 椭圆为封闭曲线，椭圆上的点有界” 其中x,y坐标的范围受到长轴与短轴的影响。 变式训练61记椭圆。，X+y=1a>b>0的、日=F,F2’共上存在例点，N构成 的四边形MF1NF2满足∠MF1N+∠MF2N=π，则E离心率的最小值为() 1 B. c盟 2 变式训练622425高二上吉林期中如图，已知半椭圆C a 6=11x≥0与半稀圆 C2:齐tXx<0组成的线称为“果圆”，其中。=b+c2,>b≥之0果圆”写轴的交点分别为 A1,A,:与y轴的交点分别为B,B,点p为半椭圆C,上一点（不与A重合)，若存在PA,PA,=0则 半椭圆C1的离心率的取值范围为() y本 B. A 0 A. 引 B. c. 1V5-1 D. 5-12 2’2 23 度式训医6345高安管0夏男中吧随眼c之0>b>0PP上分别是 a2' 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 11 的左、右焦点E,F小2C,若稀圆上存在点P,满足PFPF可。，则椭圆C的离心率的取值范国为 题型七、类比圆 快例精进c之0>h≥0的焦分别为E瓦。武vx+0者 a2 ∠F,PF2=45°，则C的离心率的取值范围是() A0,3 B. 31 c.( 题型归纳 1.涉及到90°角，垂直，向量数量积等于0等，可以考虑构造圆 2.根据直线与圆的位置关系，列出对应不等式。 变式训练71已知椭圆T:兰+兰-1a>b>0的左、右焦点分别为RF:点p在上.点0满足 P克，=3P0若r上存在点p使得FQ·FQ=0:则r的离心率的取值范围为 变式训练7-224,25高二上广东深圳罗湖区期已知椭圆C:士+兰=10<b<2水设 4.b2 A 0,B1,0,若C上存在3个不同的点P使得PB=2PA,则C的离心率的取值 变式训练732324高二上江苏常州期末已知椭圆C:兰+兰-1(a>b>0的离心率为e点Tb,0 若椭圆C上存在四个不同的点到点T的距离相等，则e的取值范围为 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型八、建立函数关系求离心率 已知点n在以p’E为匠、石焦点的椭圆C:X+1a>h>0,稀圆内 延长线上，满足QF1⊥QP,若sin∠F1PQ= 则该椭圆离心率取值范围是() 13 A. 1V5 B V26 12 D V26 53 26 52 26 2 题型归纳 1.求解离心率表达式的过程可以通过形似类比函数 2.通过对应类型函数的单调性，求解最值。 变式练s1已知Q是椭圆M:+兰=1(0<b<3上的动点：若动点Q到定点p12,0的距离PQ1的最小 9b2 值为1，则椭圆M的离心率的取值范围是() 6 0 c. 0. 2 0, 变式训练8-2(23-24高二上山东济宁第一中学)设椭圆X+y 音+长=1la>b>0的左、右焦点分别为pP P是祸圆上-点，PF=APF3,FPF ,则椭圆离心率的取值范围为() A. V2 95 B. 15 2’3 2’9 c.V2 10 D. 15 2’4」 2'8 变式训练8325-26高二上河北衡水第二中学调所已知A为椭圆X+少=1a>1上一点，B为圆c: 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+y2-6x+5=0上一点，且AB的最大值为6，则该椭圆离心率的最大值为 题型九、方程的实数根求离心率 奥创精进92526商二上湖北孝感安陆第一高级中学等校期中已知椭圆C:父+兰=1a>b>0的左、 右焦点分别为F1,F,A为椭园C上一点，且月立. AF2 则椭圆离心率的取值范围是() 0,3 2 ,1 2 题型归纳 求解离心率表达式的过程，若含有一元二次不等式或方程。可以通过一元二次方程有解列出对应不等式。 变式训练9-1已知椭圆x +y=1(a>1)的上顶点为A,B、C在椭圆上，△ABC为等腰直角三角形，A为 直角，若这样的△ABC有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为 变式训练92526高二重庆长券区期末设椭圆C:兰+兰=10>b>0的中心为0右顶点为A,若C 上存在一点P满足PO⊥PA,则C的离心率的取值范围是() B. c.3, 21 D. 座式练93已知圆C:冬+名0<bc2A0B10 若椭圆C上存在3个不同的点P 满足PB=2PA,则椭圆C离心率的取值范围是() c.2, 2 D.( 3 1 3 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型十、基本不等式求最值 奥例精进10已知园0，的圆心为2,0半径为4，圆0，：X+y=r(0<r<2动圆M与圆0，园o,都 相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为e1,e2(e1>e2),则2e1+3e2的最 小值为() A. 5+2V6 B. 3 4 2 C.V2 D. 8 题型归纳 求解离心表达式的过程如果出现加和与乘积为定值的情况，可以考虑基本不等式 变式训练10-12425高二上四川广安加德学校期未)从椭圆C:丈+兰=1a>b>0外一点PX,y.向椭 a2 b2 圆引两条切线，切点分别为A,B则直线AB称作点p关于椭圆c的极线，其方程为XX+Yy=1现有 b2 a 如图所示的两个椭圆C1,C2,离心率分别为1，e2,C2内含于C1,椭圆C1上的任意一点M关于C2的极线 为1，若原点0到直线，的距离为1：则2e子-e的最大值为 M 签式鑫o232合爱意名华中学开肥两丽名+10h>0商、石 点分别为A、B,若E上存在点P满足：∠APB=2 ,则E的离心率的取值范围是 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练103223商上河北唐山迁安期中已知F:下分别是肠圆E:兰+片=1a>b>0的左.右 焦点，若在椭圆E上存在点M使得△MF,F,的面积等于2b'sin∠F,MF,:则椭圆E的离心率e的取 值范围为 同压轴桃战一克高障压热，突破思维上保 1.法国著名的数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”. 已知焦点在x轴上的椭圆C:丈+ 子=1O>0,AB为椭圆上任意两点，动点p在直线x+y+6=0上 3 ∠APB恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆C的离心率的取值范围为() A. V5 B. 2V5 D. 0, 0, 5 5 6,1 2V5 5,1 四川眉寿县已知椭圆C:×+兰1Q>b>0两个焦点为E”上，点P b2 上关于坐标原点对称的两点，OP=C,△PF2Q的面积记为S,且4S≥a,则C的离心率的取值范围为 () A. 19 2 3 2’2 0,2 c. 23 D 2’2 B公2A系系茶开实学已风人APC的个点都稻圆各±长手 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a>b>O)上，其中A为左顶点，B为上顶点，若以B为顶角的等腰三角形△ABC恰好有3个，则T的离心 率的取值范围为() A. B. 2 6 D 0, 3 3 0,2 高二E天津五校联考·期中)已知椭圆C:义+之=1Q>b>0?p是椭圆c上的点，1 F,c,0是椭圆c的左右焦点，若P克，·P序，s2aC恒成立，则椭圆c的离心率e的取值范围是(） A. 5-1,1 2 B.0,2-1 0,51 2 D.2-1,1 5.(2:23高=下重庆第八中学校：月考设椭圆C:X+少=1a>b>0)的右焦点为，椭圆C上的两点 A、B关于原点对称，且满足A·FB=0,FB≤FA≤3FB,则椭圆C的离心率的取值范围是() B V2V10 , 2 D. 2’4 /3-1,1 若椭圆C.X以=1a>b>0存在一点D'使得函数x三X+1图象上任意一点关于点D 2X-1 点仍在fx的图象上，且椭圆C的长轴长大于2，则C的离心率的取值范围是() A. 210 B. V210 6 D. 0 15 15 0,3 7.(2526高二上云南昆明官渡区第一中学教育集团，期中)已知F,'F,是椭圆E:￥+兰=1a>b>0的左 b2 右焦点，若E上存在不同两点A,B,使得F,A=V2F,B:则该椭圆的离心率的取值范围为一 8.(24-25高二上·陕西西安临潼区华清中学.月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 14/15 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。+火一11。b>0的左石焦点分别为E,E,’P为椭圆上一点（在轴上方），连结PE并延 椭圆于另一点0设p京=入EQ若PF,垂直于x辅，且椭圆C的离心率e∈号，2 求实数的取值 2’2 范围 9.(2526高二上重庆第一中学校设椭圆X+上=1的左右焦点分别为F,:F,焦距为2c点Qc a 在椭圆的内部，椭圆上存在点P使得PF+PQ<引F,F,成立，则椭圆的离心率的取值范围为 10.已知椭圆C:+广=1a>b>0的两个焦点为F,F:点p,QC上关于坐标原点对称的两点，且 a2'b2 PQ=E,F△PF,Q的面积S≥PQ口，则C的离心率的取值范围为 15/15