精品解析：上海市复旦中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

上海市复旦中学2026学年第一学期高一数学 考生注意事项： 1．试卷满分120分，考试时间100分钟； 2．答题前，务必在答题纸上填写姓名，填涂准考证信息，作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（1-6题每题3分，7-12题每题4分，共42分） 1. 用符号“”或“”填空：______． 2. 已知集合，则A的真子集个数为__________． 3. 若，且，则___________ （填“”或“”） 4. 陈述句“且”的否定形式是________. 5. 已知集合，且，则__________． 6. 已知，，关于的不等式的解集为，则__________． 7. 已知，，，则的取值范围为__________． 8. 设集合，或，全集，若，则实数的取值范围为__________． 9. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______. 10. 对于任意的正数m，n，不等式 成立，则λ的最大值为__________ 11. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 25 12. 定义关于的新运算：，其中为非零常数．当时，求关于的不等式组的解集为__________． 二、选择题（第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，共14分） 13. 下列四个说法中，正确的有（ ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 14. 下列命题是假命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 对于给定的非空集合，定义集合 ， ，若，则称集合满足性质，则下列命题成立的是（ ） ①集合满足性质； ②集合满足性质； ③若集合满足性质且，，则； ④若集合，且，则． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 三、解答题（本大题共有4题，满分64分） 17. 已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 18. 已知关于的不等式． （1）当时，求不等式组的解集； （2）当时，求此不等式的解集． 19. 已知集合. （1）当时，求； （2）若集合为非空集合且，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 20. 设函数. （1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； （2）解关于的不等式； （3）当时，记不等式的解集为，集合.若对于任意正数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市复旦中学2026学年第一学期高一数学 考生注意事项： 1．试卷满分120分，考试时间100分钟； 2．答题前，务必在答题纸上填写姓名，填涂准考证信息，作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（1-6题每题3分，7-12题每题4分，共42分） 1. 用符号“”或“”填空：______． 【答案】 【解析】 【详解】不是整数，所以. 2. 已知集合，则A的真子集个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用子集个数的计算公式求得A的子集个数，再结合真子集的概念即可求解. 【详解】因为中有4个元素， 所以A的子集个数为， 而由真子集不含集合本身， 所以A的真子集个数为. 故答案为：. 3. 若，且，则___________ （填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】 作差后，利用，计算得到结果. 【详解】， ，， 即. 故答案为： 4. 陈述句“且”的否定形式是________. 【答案】或. 【解析】 【分析】利用陈述句的否定可得出结论. 【详解】由已知条件可知，陈述句且的否定形式为“或”. 故答案为：或. 5. 已知集合，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合关系列式计算求解. 【详解】集合，且， 当，所以，但是不符合集合互异性，舍； 当，所以舍或，经检验符合题意； 则． 6. 已知，，关于的不等式的解集为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】关于的不等式的解集为， 则关于的方程的解为，利用韦达定理求解即可. 【详解】关于的不等式的解集为， 则关于的方程的解为， 所以，即，所以. 7. 已知，，，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由于，所以，， 由于，所以. 8. 设集合，或，全集，若，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据列不等式求得的取值范围. 【详解】由于集合，或，且， 所以，解得， 所以的取值范围是. 9. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值三角不等式求出，再根据条件求出的范围. 【详解】由绝对值三角不等式，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式的解集为空集， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 10. 对于任意的正数m，n，不等式 成立，则λ的最大值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，转化为成立，利用，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【详解】因为都为正数，则不等式成立，即为成立， 又由， 当时，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 11. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据权方和不等式求解即可. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 12. 定义关于的新运算：，其中为非零常数．当时，求关于的不等式组的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得.则可将化为：，解出不等式组即可. 【详解】由题可知，即， 又， 即，解得， ， 整理得，解得或， 所以不等式组的解集为.. 二、选择题（第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，共14分） 13. 下列四个说法中，正确的有（ ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据空集的性质判断即可. 【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 14. 下列命题是假命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项验证即可求解. 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 15. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由， 因当且仅当，即时取等， 显然不能全都为0，故，则由可得； 反之，当时，必有成立. 故得“”是“”的充要条件. 16. 对于给定的非空集合，定义集合 ， ，若，则称集合满足性质，则下列命题成立的是（ ） ①集合满足性质； ②集合满足性质； ③若集合满足性质且，，则； ④若集合，且，则． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【详解】①计算得： ， ， ，满足性质， ①正确. ②计算得： ， ， ，不满足性质， ②错误. ③由互异性得且，结合，得. ，，计算得： ， 由逐一验证： ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，，而中均小于，均大于， 无公共元素，满足性质，因此满足性质的的取值为， 由于时不满足性质，所以命题③不成立. ④由，所有两元素差的绝对值都必须是中的元素， 求： ，该值属于.又，不可能等于， 故只能，解得. 求： 代入，，，则属于. 假设，即，此时，但不在中， 即会多出元素，与矛盾，因此不能等于，因此只能，解得. 验证：，，符合条件，此时， ④正确. 三、解答题（本大题共有4题，满分64分） 17. 已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）． （2）2 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不等实数根的条件，判别式 ，解不等式即可； （2）利用韦达定理 建立方程求解 ，并结合（1）的范围进行取舍. 【小问1详解】 关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式，解得． 【小问2详解】 由题意得：， 解得或， 由（1）得：， 则的值为2． 18. 已知关于的不等式． （1）当时，求不等式组的解集； （2）当时，求此不等式的解集． 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）当时，代入不等式组中，利用分式不等式与二次不等式的解法 解不等式组即可； （2）原不等式变形可以转化为，对的值进行分类讨论，求出不等式的解集即可得． 【小问1详解】 当时，不等式组为， 由，解得：， 又，解得：或， 综上所述，所以不等式组的解集为：. 【小问2详解】 根据题意，不等式：即， 则有， 又，所以，所以不等式可以变形为 又， ①当时，，即，所以不等式的解集为； ②当时，不等式为不成立，所以不等式的解集为空集； ③当时，，即，不等式的解集为． 19. 已知集合. （1）当时，求； （2）若集合为非空集合且，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，得到，结合集合交集，并集和补集的运算，即可求解； （2）根据题意，得到，列出不等式组，即可求解； （3）由，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得集合，因为， 所以，或， 则. 【小问2详解】 解：由集合为非空集合且，可得， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由集合，且， 当时，则满足，解得，此时满足； 当时，则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 20. 设函数. （1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； （2）解关于的不等式； （3）当时，记不等式的解集为，集合.若对于任意正数，求的最大值. 【答案】（1）； （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值； （2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集； （3）由题意在上有解，且，而区间关于对称，且区间长度为，进而只需保证得到参数的数量关系，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意取值条件. 【小问1详解】 由题设，又有且只有一个元素， 所以有且仅有一个根， 当时，，即，则，满足题设； 当时，，即，则，满足题设； 所以的取值集合为. 【小问2详解】 由题设，整理得， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 【小问3详解】 由，恒有，故， 且，故开口向上且，故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在y轴两侧， 因为，即在上有解，且， 又区间关于对称，且区间长度， 综上，只需保证，则，且，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题转化为在上有解，且，根据区间的特点得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $