精品解析：上海南汇中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

南汇中学2026学年高一10月月考 一、填空题（每小题3分，共12题，共36分） 1. 设全集，集合，则______． 2. 若，则关于的不等式的解集为_________． 3. 不等式的解集是___________． 4. 用反证法证明命题：“若，则”时，应假设________. 5. 设为实数，关于的不等式的解集为，若，则的取值范围是_________． 6. 已知集合，，则__________. 7. 设集合，集合，且，则的值组成的集合是_________． 8. 若不等式的一个充分不必要条件为，则实数的取值范围是__________. 9. 若对任意都有，则实数的取值范围是_________． 10. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 11. 若关于x的不等式恰好有4个整数解，则实数的范围为_______． 12. 设集合，的子集满足，，这样的子集的个数为________． 二、选择题（每小题3分，共4题，共12分） 13. 已知，下列不等式中一定成立是（  ） A. B. C. D. 14. 已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 15. 已知集合，．则（ ） A. ⫋ B. ⫋ C. D. 16. 已知集合，集合，其中．若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为（ ） A. 取遍任意大于的实数 B. C. D. 三、解答题（8+8+10+12+14=52分） 17. 设全集，集合，集合，其中 （1）若，求 （2）若，求的取值范围． 18. （1）已知，比较与的大小并说明理由； （2）已知，，求的取值范围． 19. 设，是关于的方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 20. 已知集合． （1）若，，，求实数的值； （2）若且，，的子集个数为个，求实数的取值范围． 21. 已知集合中的元素均为正整数，其中且.若对任意，，都有，则称集合具有性质. （1）集合具有性质，求的最小值； （2）若集合具有性质，且中最小元素和最大元素分别为，求证：； （3）已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南汇中学2026学年高一10月月考 一、填空题（每小题3分，共12题，共36分） 1. 设全集，集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义可求. 【详解】由题设有， 故答案为： 2. 若，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 则不等式可化为， 所以不等式的解集为. 3. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式分式求解即可. 【详解】因为，所以，即，解得，所以不等式的解集是. 4. 用反证法证明命题：“若，则”时，应假设________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用反证法的概念直接求解. 【详解】用反证法证明命题“若，则”，应假设为“或”. 故答案为：或. 5. 设为实数，关于的不等式的解集为，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的否定关系，将 “2 不在解集内” 转化为 “x=2 代入后不等式不成立（代数式≥0）”，代入求解一元一次不等式即可得到参数范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为，且，所以时，，解得. 6. 已知集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域和值域，分别求解两个集合，再求并集. 【详解】， ，解得：， 即，， 所以. 故答案为： 7. 设集合，集合，且，则的值组成的集合是_________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 当时，，满足题意， 当时，，所以或，所以或， 故所求集合为. 8. 若不等式的一个充分不必要条件为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求解不等式，再根据充分不必要条件的性质得到关于的不等式，进而求出实数的取值范围. 【详解】由题意得，即，解得， 当时，不等式无解；当时，不等式的解集为， 不等式是不等式的充分不必要条件， 不等式的解集是不等式解集的真子集， 当时，不等式的解集为空集，不符合要求， 当时，不等式的解集为，需满足，解得. 实数的取值范围是. 故答案为：. 9. 若对任意都有，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，即当时，此时不等式为恒成立，符合题意； 当，即时，则有，解得. 综上所述：实数的取值范围是. 10. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，再根据一元二次方程性质与分式方程性质分类讨论即可得答案． 【详解】方程两边同时乘以得，即， ①当，即时，方程只有一个解； ②当其中一个解为增根时，方程也只有一个解， （i）若增根为0时，； （ii）若增根为1时，； 故k的值为或0或2，即的可能取值构成的集合为. 11. 若关于x的不等式恰好有4个整数解，则实数的范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意不等式恰好有4个整数解，且，从而首先得出，进一步化简得不等式的解集为，由此即可列出不等式组求解. 【详解】因为， 所以由题意当且仅当不等式恰好有4个整数解，且， 所以首先，解得， 又方程的根为，即或， 所以不等式的解集为， 因为，所以， 所以不等式的4个整数解只能是2，3，4，5， 所以， 又因为， 所以解得，即实数的范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是首先得出，由此即可顺利得解. 12. 设集合，的子集满足，，这样的子集的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求使成立的的子集的个数，以及的集合的个数，即可求解. 【详解】先求使成立的的子集的个数， 在中取出至少一个元素 的方式有7种，而集合的子集有个， 因此， 再扣除其中使的集合的个数，这些取法中均被取出，而集合的子集有个，因此, 从而满足条件的子集的个数为 二、选择题（每小题3分，共4题，共12分） 13. 已知，下列不等式中一定成立是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断ABC即可，利用不等式性质判断； 【详解】对A：当时不成立，故A错误； 对B：当时不成立，故B错误； 对C：当时不成立，故C错误； 对D：因为，所以，则，即成立，故D正确. 故选：D. 14. 已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可. 【详解】因为， 所以集合可以为：， 共8个， 故选：C. 15. 已知集合，．则（ ） A. ⫋ B. ⫋ C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】从中任取一个元素，一定是偶数，所以； 从中任取一个元素，则，所以. 所以. 16. 已知集合，集合，其中．若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为（ ） A. 取遍任意大于的实数 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的表示可知，计算和的区间长度差得到区间长度较长，最后由解得最终结果. 【详解】由题意知，，则的最小值为，最大值为， 所以，又因为， 所以，又集合表示的区间为一个闭区间， 则，化简可得，又， 解得. 故选：C. 三、解答题（8+8+10+12+14=52分） 17. 设全集，集合，集合，其中 （1）若，求 （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，得，解得， 所以， 当时，，， ， ，即. 【小问2详解】 若，分两种情况讨论， ①当时，有，解得，满足， ②当时，，即， 要满足，则或， 由，得，与无交集，无解， 由得，符合， 综上，的取值范围是. 18. （1）已知，比较与的大小并说明理由； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1），理由如下： ， 因为，所以，，即， 所以； （2） 【解析】 【详解】（1）略 （2）由，，可得，，可得，即的取值范围为. 19. 设，是关于的方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理得到两根之和与两根之积代入已知条件中求解即可. （2）由方程有两个不相等的正数根可得两根之和、两根之积及根的判别式均大于零，联立即可求出范围. 【小问1详解】 因为，是关于的方程的两个实数根， 所以，，解得 由韦达定理知，，. 所以，即， 解得或，均满足. 所以或. 【小问2详解】 由题意知，，即，解得， 所以或. 故实数的取值范围为或. 20. 已知集合． （1）若，，，求实数的值； （2）若且，，的子集个数为个，求实数的取值范围． 【答案】（1）或或 （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可求解； （2）先根据集合的子集个数得到该集合的元素个数，结合一元二次不等式的解法分类讨论即可求解． 【小问1详解】 由，， 当时，，则，即不等式无解， 所以，解得，符合题意； 当时，，则，即方程的两个根是和， 所以，即，解得，或，符合题意． 综上，实数的值为或或． 【小问2详解】 由的子集个数为个，即中恰好有个整数元素， 由，则， 由， 又， 当时，且，则，则， 要使中恰好有个整数元素，即，即，解得，符合题意； 当或时，，此时，不符合题意，舍去； 当时，且，则，此时，不符合题意，舍去； 当时，且，则，此时，即 中只有个元素，不符合题意，舍去； 当时，且，则，此时，即 中至少有个元素，不符合题意，舍去． 综上，实数的取值范围为． 21. 已知集合中的元素均为正整数，其中且.若对任意，，都有，则称集合具有性质. （1）集合具有性质，求的最小值； （2）若集合具有性质，且中最小元素和最大元素分别为，求证：； （3）已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】（1） （2） 由题设，且， 所以， 所以，得证. （3），理由如下： 由（2）知：， 同（2）证明得且，故，又， 所以在上恒成立， 当，取，则，故， 当，则，即. 综上，集合中元素个数的最大值为. 【解析】 【分析】（1）由性质定义列不等式组求参数范围，结合即可得最小值； （2）根据定义，进而有，应用累加法即可证结论； （3）首先应用放缩有求得，同理可得恒成立，假设得出矛盾，再讨论并应用基本不等式证恒成立，即可确定元素个数最大值. 【小问1详解】 由性质定义知：，且， 所以的最小值为6. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面入手： 第一问，根据性质定义列不等式组求参数范围； 第二问，根据定义得为关键，并用累加法计算即可； 第三问，应用放缩法确定，同理得到恒成立为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $