专题05 一元一次方程的应用（题型专练）数学新教材沪教版五四制六年级上册

专题05 一元一次方程的应用 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程的应用 题型一、配套问题（重点） 题型二、工程问题（难点） 题型三、比赛积分 题型四、数字问题 题型五、日历问题 题型六、古代问题 题型七、销售盈亏问题 题型八、几何问题（重难点） 题型九、动点问题（重难点） 题型十、和差倍问题 题型十一、费用计算问题（重难点） 题型十二、比赛积分问题 题型十三、方案选择问题（难点） 题型十四、行程问题（难点） 题型十五、其他问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程的应用 ◆题型一、配套问题 1．某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将配套关系转化为螺母总数量是螺钉总数量2倍的等量关系，据此列方程． 【详解】解：∵生产螺钉的工人数为人， ∴生产螺母的工人数为人， ∴每天生产螺钉总数为个，生产螺母总数为个． ∵1个螺钉配2个螺母，即螺母总数量是螺钉总数量的2倍， ∴． 2．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）某车间12位木工师傅制作方凳零件，每位师傅一天可以制作45个凳面或者60条凳腿，1个凳面可以和4条凳腿配套组装成一个方凳，那么安排几位师傅制作凳面，几位师傅制作凳腿能够使得每天生产的凳面和凳腿恰好配套？ 【答案】安排3位师傅制作凳面，安排9位师傅制作凳腿能够使得每天生产的凳面和凳腿恰好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设安排x位师傅制作凳面，则安排位师傅制作凳腿，则一共制作凳面个，制作凳腿个，再根据1个凳面可以和4条凳腿配套组装成一个方凳建立方程求解即可． 【详解】解：设安排x位师傅制作凳面，则安排位师傅制作凳腿 由题意得，， 解得， ∴， 答：安排3位师傅制作凳面，安排9位师傅制作凳腿能够使得每天生产的凳面和凳腿恰好配套． 3．（24-25六年级上·上海·阶段检测）自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有28名工人，每人一天平均能生产手套24个或米老鼠玩具16个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 【答案】应分配16名工人生产手套，则12名工人生产玩具． 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，得到手套和米老鼠玩具的等量关系是解决本题的关键． 设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具， 根据题意得，， 解得， ∴（名）， ∴应分配16名工人生产手套，则12名工人生产玩具． ◆题型二、工程问题 4．（25-26六年级上·上海静安·期末）完成某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再加入合作，直至完成这项工程，求甲、乙合作完成这项工程所用的时间；若设甲、乙合作完成此项工程一共用x天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C．1 D．1 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题，列一元一次方程，根据各工作量之和等于总量，列出方程即可． 【详解】解：设甲、乙合作完成此项工程一共用x天，由题意，得：； 故选A． 5．（25-26六年级上·上海普陀·期末）一项工程由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，如果两人合作天后，剩下部分由乙单独完成，乙还需做_____天． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设乙还要单独做天才能完成任务，根据甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，可知甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据两人合作天后，剩下部分由乙单独工作天完成任务，列方程求解． 【详解】解：设乙还要单独做天才能完成任务， 根据题意可得：， 解方程可得：， 答：乙还需要天才能完成任务． 故答案为：． 6．（24-25六年级上·上海·阶段检测）一条公路需要8人用40天才能修完．照此进度，如果增加2人，那么修完这条公路需要________天． 【答案】32 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 根据工作总量不变，利用工作总量等于人数乘以天数的关系求解． 【详解】解：设修完这条公路需要x天． 由题意，工作总量为． 增加2人后，人数为10人， ∴， 解得． 故答案为：32． 7．（25-26六年级上·上海虹口·期末）甲、乙两个工程队修一条公路，甲队单独做需要8天完成，乙队单独做完需要的时间比甲多，如果甲乙两队先合作2天，剩下的由乙队单独完成，求乙队还需要做几天才可以修完这条公路． 【答案】7天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设乙队还需要做x天才可以修完这条公路，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设乙队还需要做x天才可以修完这条公路， 根据题意得，甲队每天可完成总工程量的，乙队每天可完成总工程量的， 则， 解得， 答：乙队还需要做7天才可以修完这条公路． ◆题型三、比赛积分 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对（     ）题． A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】根据“最终成绩答对的题得的分答错的题扣的分”列式求解． 【详解】解：设小华答对道题，则不答或答错道题， 由题意列式为： ， ， ， ， ； ∴小华答对道题． 9．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）为全面提升学生的安全防范意识与应急处置能力，筑牢校园安全防线，靖江市某中学组织安全意识知识竞赛，试题共20题，评分规则是答对一题得10分，不答或答错一题扣5分，聪聪得了125分，他答对了______题． 【答案】15 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设聪聪答对了题，则不答或答错的题数为题，再根据聪聪得了125分建立方程求解即可． 【详解】解：设聪聪答对了题，则不答或答错的题数为题， 根据题意，得． 解得， ∴他答对了15题， 故答案为：15． ◆题型四、数字问题 10．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，把正整数1、2、3、4、…、按照一定规律排列，并用一个正方形框在其中上下、左右移动，且始终框住4个数，那么被框住的四个数字之和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设最小的数值为，根据被框住的4个数之和等于，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设最小的数值为，则其它三个数值分别为：，由题意，得： ， 当，解得，符合题意； 当，解得，但是第8行最后一个数，不符合题意， 当，解得，符合题意； 当，解得，符合题意； 故选：B． 11．（25-26六年级上·上海松江·期末）中国古代“洛书”记载的三阶幻方，是世界上最早的组合数学实例之一，其“每行、每列、对角线三数之和相等”的规律，蕴含着对称与均衡的数学美．在三阶幻方中，每行、每列及两条对角线上的三个数之和相等（该和称为幻和）．现有如图三阶幻方，其中所有数均为整数，则表中字母n的值为______． 10 5 8 4 7 【答案】3 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；利用幻和相等，建立方程求解即可． 【详解】解：设幻和为S，第二行第二列数为，第三行第二列数为，第三行第三列数为， 由第一行得，即； 由第二行得，即； 由右上到左下对角线得，即， 由得， 由第三列得，即，代入， 得，即， 由第二列得，代入得，即， 由左上到右下对角线得，代入，， 得， 又， 所以， 解得， 则， 验证幻和，所有行、列、对角线之和均为，符合条件； 故答案为：． 12．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则的值为______． 【答案】或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列方程是解题的关键． 根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，再由已经填写的数即可求解． 【详解】解：∵，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2， ∴， ∴， ∴内圈上空缺的数为：， 当外圈空缺数为时，则，解得， 则； 当外圈空缺数为时，则，解得， 则； 即的值为或． 故答案为：或． 13．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）一个两位数，个位上的数字是6，如果把十位上的数字与个位上的数字对换，那么新的两位数比原来的两位数大18，那么这个原来的两位数是___________． 【答案】46 【分析】本题涉及两位数的表示方法，两位数的数值十位数字个位数字． 设十位数字为，根据新两位数比原两位数大18列方程求解． 【详解】解：设十位数字为，则原两位数，新两位数为， 根据题意得方程， 化简得，解得， 故原两位数为． 故答案为：46． ◆题型五、日历问题 14．（25-26六年级上·上海长宁·期末）在月历表中，用如图所示的“”型框任意框出表中四个数，这四个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程解决月历表中数字的规律，通过设未知数表示出型框内四个数的和，再结合选项验证求解． 【详解】解：设型框中左上角的数为，可知框内另外三个数为、、． 则四个数的和为：． 接下来分别验证选项： 对于选项A：令，解得，验证的位置，符合条件． 对于选项B：令，解得，不是整数，不符合日期为正整数的要求． 对于选项C：令，解得，不是整数，不符合日期为正整数的要求． 对于选项D：令，解得，不是整数，不符合日期为正整数的要求． 故选：A． 15．（25-26六年级上·上海·期末）小明在某月的日历上圈出了三个数，并求出了它们的和为34，则这三个数在日历中的排位位置可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据各选项中三个数的位置，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设， A、由图可知：，，解得；不符合题意； B、由图可知：，，解得；符合题意； C、由图可知：，，解得；不符合题意； D、由图可知：，，解得；不符合题意； 故选B． 16．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在2026年1月的日历表中用“H字框”圈出5，7，12，13，14，19，21七个数，它们的和为91，若将“H字框”在图中换个位置另圈出七个数，则它们的和不可能是（     ） A．63 B．84 C．98 D．106 【答案】D 【分析】设中间数为，则七个数分别为、，、、、，，其和为，即和一定是的倍数，并结合中间数的位置解答． 【详解】解：设“H字框”中间的数为，则框出的七个数分别为、，、、、，， ∴七个数的和为， 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(日历中的数必须是整数，不合理)； 所以，只有对应的方程解不符合实际，因此和不可能是． 17．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数，若移动“十”字形状后所得五个数之和为120，那么该“十”字形状中正中间的数为__________． 【答案】24 【分析】设中间的数字为，则上面数字为，下面数字为，左边数字为，右边数字为，列出方程运算求解即可． 【详解】解：设中间的数字为，则上面数字为，下面数字为，左边数字为，右边数字为， 即：， 解得：． ◆题型六、古代问题 18．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住总人数不变的等量关系列方程． 【详解】解：设车有辆． 每车坐3人且两车空时，总人数为． 每车坐2人且9人无车坐时，总人数为． 由总人数相等得． 19．（25-26七年级下·吉林长春·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 【答案】(1)， (2)5，37 【分析】（1）甲：每人5竿多12竿时总数为，每人8竿少3竿时总数为，根据竹竿总数相等列方程即可；乙：每人5竿多12竿时人数为，每人8竿少3竿时人数为，根据人数相等列方程即可； （2）解（1）中所列方程即可求解． 【详解】（1）解：甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程； （2）解：解，得， 解，得． 所以牧童有5人，竹竿有37竿． 20．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 【答案】尺 【分析】设木头长x尺，根据“不同测量方法中绳长不变”列方程求解即可． 【详解】解：设木头长x尺， 根据题意，得， 解得， 答：木头长尺． 21．（25-26七年级下·福建泉州·期中）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 【答案】8个 【详解】解：设有x个牧童， 依题意得：， 解得． 经检验，符合题意． 答：共有8个牧童． ◆题型七、销售盈亏问题 22．（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）临近圣诞节，某商场计划用3800元购进两种装饰灯共120只，甲灯每只25元，乙灯每只45元，求甲灯购进多少只？设购进甲灯x只，根据题意可列出的方程为：________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设购进甲灯只，则购进乙灯只，根据进货款恰好为3800元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设购进甲灯只，则购进乙灯只， 由题意得： 故答案为：． 23．（24-25六年级上·上海·阶段检测）一家商店将某种服装按成本提高后标价，又以标价的9折卖出，结果每件服装仍可获利7元，则这种服装每件的成本价是___________元． 【答案】200 【分析】此题重点考查一元一次方程应用，正确地用代数式表示这种服装每件的售价是解题的关键．设这种服装每件的成本价是元，根据题意列出一元一次方程，求出的值即可． 【详解】解：这种服装每件的成本价是元， 根据题意，得， 解得． 即：这种服装每件的成本价是200元． 故答案为：200． 24．（24-25六年级上·上海·阶段检测）参观上海科技馆的成人票、学生票分别为60元、45元．某天科技馆卖出成人票、学生票共1000张，票务收入51000元，问这两种票各卖多少张？ 【答案】成人票卖出张，学生票卖出张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设成人票卖出张，则学生票卖出张，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设成人票卖出张，则学生票卖出张， 由题意可得：， 解得：， ∴， ∴成人票卖出张，学生票卖出张． ◆题型八、几何问题 25．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）如图，把两个大小相同的长方形拼在一起，再把上面一个长方形平均分成2份，把下面一个长方形平均分成3份，若图中阴影部分的面积为，则整个图形的面积为______． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．先设下面长方形每份的面积为未知数，根据两个长方形面积相同及阴影部分面积列出方程，求解后计算整个图形的面积． 【详解】解：设下面长方形每份为，则下面长方形面积为，则上面长方形面积也为， 由于把上面一个长方形平均分成2份，则上面长方形每份为， 由题意得， 解得， 则整个图形的面积为． 故答案为：9． 26．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）如图1，点A，O，B依次在直线上；如图2，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒．当时，两射线的旋转时间为____________秒． 【答案】24或48或96 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算等知识，学会分类讨论是解决本题的关键． 分四种情况讨论：①当和在上方时，且在左侧时；②当和在上方时，且在右侧时；③当和在下方时，且在右侧时；④当和在下方时，且在左侧时，画图求解即可． 【详解】解：由题意可知，当和在上方时，，， 当和在下方时，，， ①如图，当和在上方时，且在左侧时，此时， ， 解得：； ②如图，当和在上方时，且在右侧时，此时， ， 解得：； ③如图，当和在下方时，且在右侧时，此时， 解得：； ④如图，当和在下方时，且在左侧时，此时， 解得：（舍去）； 综上所述，当时，t的值为24或48或96． 故答案为：24或48或96． 27．（24-25六年级上·上海·阶段检测）对数轴上的点、，我们把点与点两点之间的距离记作，例如，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点两点之间的距离为．已知点为数轴原点，点表示的数是，点表示的数为． (1)__________，__________； (2)点在数轴上表示的数为，当满足时，求的值． 【答案】(1) ， (2) 或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）利用两点之间的距离公式求出值即可； （2）利用两点之间的距离公式列出方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点为数轴原点，点表示的数为，点表示的数为， ∴；； 故答案为：，； （2）∵点表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴， ∵， ∴ ∴或， 解得：或， 即：的值为或． 28．（25-26六年级上·上海普陀·期末）某小区有一块正方形空地，现将该空地分成三块长方形（如图所示）区域，分别种上三种不同花草，经测量，，通过计算发现长方形的面积与长方形的面积相等．求长方形的面积． 【答案】长方形的面积为． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设正方形的边长为，则，根据“长方形的面积与长方形的面积相等”列方程求得，进一步计算求解，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 由题意得：， 解得：， ∴，， ∴长方形的面积为， 答：长方形的面积为． 29．（25-26六年级上·上海普陀·期末）利用数轴和绝对值的知识我们可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算也有密切关联，借助对数轴的研究，可以迁移到角度的研究． 【观察】已知数轴上有两点． （1）如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为；如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为_____________． 【归纳】（2）由此小华得出结论：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点之间的距离_____________． （3）若点表示的数是，点表示的数是，，则，得_____________． 【迁移】小华根据数轴的定义结合圆规设计了一种“曲形数轴”用来解决角度问题．如图，标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位长度．例如：射线表示，射线表示，则可以得到． （4）若射线表示，射线表示，则_____________（用含，的式子表示）； 【应用】如图，已知，，，射线，同时绕点以秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒； （5）当秒时，_____________ （6）当时，求出的值． 【答案】（）；（）；（）或；（）；（）；（）当时，的值为或． 【分析】本题考查了数轴，两点间距离，角的和差倍分运算，一元一次方程等知识，利用数形结合建立方程求解是解题的关键． （）根据数轴上两点，表示的数可求解； （）根据题意可得，两点之间的距离； （）解绝对值方程即可求解； （）利用角的和差即可求解； （）当秒时，，然后通过角度和差求解即可； （）分两种情况：重合前，重合后，分别求解即可． 【详解】解：（）点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为， 故答案为：； （）若点表示的数是，点表示的数是， 则与两点之间的距离， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）∵射线表示，射线表示， ∴， 故答案为：； （）∵，，，射线，同时绕点以秒的速度顺时针旋转， 当秒时，， ∴， 故答案为：； （）由题意得：， 重合前，， ∵， ∴， 解得：； 重合后，， ∵， ∴， 解得：； 综上可得：当时，的值为或． ◆题型九、动点问题 30．（25-26六年级上·上海·期末）已知在数轴上对应的点为，数轴上点、在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点向左移动2个单位到点处，将点向右移动1个单位到点处，此时点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是________． 【答案】 2或 【分析】本题考查数轴上的点表示的数及点对应的线段之间的和差、倍数关系、一元一次方程的解法，掌握数轴上点对应的线段之间的和差、倍数关系是解题关键，注意分类讨论的应用．设点所对应的数是，，则点所对应的数是，根据点到点的距离等于点到点的距离的一半，列出方程，求解即可． 【详解】解：设点所对应的数是，，则点所对应的数是． 点所对应的数是，点所对应的数是． 点到点的距离为， 点到点的距离为． ∵点到点的距离等于点到点的距离的一半， ∴． ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得，但不在范围内，舍去． 综上，点所对应的数是或． 故答案为：或． 31．（25-26六年级上·上海·期末）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足． (1)直接写出两点表示的数； (2)动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，分别为的中点． ①当时，求t的值； ②当t取何值或何范围时，取最小值？请求出这个最小值以及t的取值或取值范围； ③若在两点各添加一块挡板，在O点添加一块减速板，两动点在之间来回运动．遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒．若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板处．当时，直接写出t的值． 【答案】(1)点表示的数为15，点表示的数为 (2)①或；②当时，取最小值；③或或或 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决数轴动点问题、两点间的距离等内容，熟练掌握分类讨论是解题的关键． （1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可； （2）①先用表示出动点、、、，再表示出和，依题意建立方程求解即可； ②由题可得，即可得解； ③根据点运动方向和速度，分类讨论，分别表示出和的长度，建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ，， 点表示的数为15，点表示的数为； （2）解：①由题意知；， 分别为的中点， 点表示的点为，点表示的点为 ， 则， 解得：或； ②， 时，取最小值． 即当时，取最小值． ③当时，点向左运动，点向右运动，， 则， 解得（成立）； 当时，点向左运动，点向左运动，且点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，， 则， 解得（成立）； 当时，点向右运动，点向左运动，且点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，， 方程无解； 当时，点向左运动，点向右运动，且点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，， 则， 方程无解； 当时，点向右运动，点向右运动，且点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，， 则， 解得； 当时，点运动，点在点处静止， 当时，点在点处静止，此时，符合题意， 综上，或或或． 32．（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示16，我们称点和点在数轴上相距26个长度单位．动点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．点运动到点时停止，此时点也随之停止．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等 【答案】(1) (2)4 (3)的值为、或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． （1）由路程、速度、时间三者关系分两段求出各段时间，再相加求出总时间为即可； （2）根据相遇时、的时间相等列方程求解即可； （3）分四种情况讨论：动点在上，动点在上；动点在上，动点在上③动点在上，动点在；动点在上，动点在上，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：点P从到O用时，到用时； 点从C到B用时，B到O用时 ∴、两点相遇在线段上处，设， 则， 解得， 故相遇点所对应的数是； （3）解：、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等有种可能： ①动点在上，动点在上，则：，解得：， ②动点在上，动点在上，则：，解得：， ③动点在上，动点在上，则：，解得：， ④动点在上，动点在上，则：，解得：， ∵点运动到点时停止，用时， ∴舍去； 综上所述：的值为、或． 33．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示20，点表示36，我们称点和点在“折线数轴”上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点从点出发，以2个长度单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1个长度单位秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动． (1)当点运动3秒时，点在“折线数轴”上表示的数是____________；当点运动10秒时，点在“折线数轴”上表示的数是____________； (2)动点从点运动至点需要____________秒？ (3)P、Q两点经过几秒相遇？相遇时，相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，设运动的时间为秒．当为何值时，P、O两点在“折线数轴”上相距的长度单位与Q、B两点在“折线数轴”上相距的长度单位相等．（直接写出结果）． 【答案】(1)；26 (2)46 (3)P、Q两点在秒相遇，相遇点所对应的数是 (4)的值为4或13或22或34或42 【分析】（1）分别根据点P运动3秒时和点Q运动10秒时进行计算即可； （2）根据路程除以速度等于时间，可得答案； （3）先计算说明P、Q两点相遇在于处，再根据相遇时P，Q的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案； （4）根据P，Q在不同位置时进行分类，由于与的长度相等，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：当点P运动3秒时：P在段，3秒移动单位， ∴位置为； 当点Q运动10秒时，Q在段，10秒移动单位， ∴位置为， 故答案为：，26； （2）解：由题意得：，，， ， 故答案为：46； （3）解：当点P运动到点O时，时间为秒， 此时点Q运动了个单位， ∴此时点Q在上， ∴P、Q两点相遇在于处，设， 则， 解得， 则． 答：P、Q两点在秒相遇，相遇点所对应的数是； （4）解：P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有5种可能： ①动点在上，动点在上，则：， 解得：； ②动点在上，动点在上，则：， 解得：； ③动点在上，动点在上，则：， 解得：； ④动点在上，动点在上，则：， 解得：； ⑤动点在上，动点在点上，则：， 解得：． 综上所述：的值为4或13或22或34或42． 【点睛】本题考查了点在数轴的运动，一元一次方程的应用，进行分类讨论计算是解题的关键． ◆题型十、和差倍问题 34．（25-26六年级上·上海·阶段检测）新华书店新进一种畅销书若干本，第一天售出总数的，第二天售出剩下的，结果书店还有210本，请问书店新进这种畅销书_____本． 【答案】560 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，准确找出等量关系是解题的关键． 设新进书的总数为x本，根据第一天售出总数的，第二天售出剩下的，列出方程求解． 【详解】解：设新华书店新进这种畅销书x本． ， 故答案为：560． 35．（24-25六年级上·上海·阶段检测）某学校三年共购买计算机1400台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量是去年的2倍．前年这个学校购买的计算机有______台． 【答案】200 【分析】设前年购买的数量为x台，则去年购买的数量为台，今年购买的数量为台，根据“三年共购买计算机1400台，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设前年购买的数量为x台，则去年购买的数量为台，今年购买的数量为台，根据题意得： ， 解得：， 答：前年这个学校购买的计算机有200台． 故答案为：200 36．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）小创和小新各有一些碧根果，小创对小新说：“我的碧根果的数量比你的碧根果的数量的2倍多2个”．后来小创吃了28个，小新吃了2个，此时小新发现，他的碧根果的数量比小创碧根果的数量的2倍多2个．原来小创有___________个碧根果． 【答案】 【分析】设原来小新的碧根果数量为未知数，根据变化后的数量关系列一元一次方程求解即可； 【详解】解：设小新原来有个碧根果，则小创原来有个碧根果； 小创吃个后剩余碧根果数量为个，小新吃个后剩余碧根果数量为个， 根据题意列方程得：， 展开并整理方程得：， 解得， 因此小创原来的碧根果数量为（个）； 37．（25-26六年级上·上海松江·期末）小海去商场采购一些文具用品，回来后小海和妈妈的对话如下． 请根据上述内容求出钢笔的单价． 【答案】每支钢笔的单价为元 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解实际问题，在解答时根据题意等量关系建立方程是解题的关键．设每支钢笔的单价为x元，则每副三角板的单价为元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每支钢笔的单价为x元，则每副三角板的单价为元 依题意可列方程 解得 答：每支钢笔的单价为元． 38．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1850元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的2倍，魔方、数独棋的进价和标价如下表： 魔方 数独棋 进价（元／个） 6 25 标价（元／个） 10 40 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)该商店购进魔方100个，数独棋50个 (2)450元 【分析】本题考查一元一次方程的应用和利润计算． （1）设数独棋数量为未知数，根据总进价列方程求解． （2）先计算打折后的售价，再计算总售价和总进价的差得到利润． 【详解】（1）解：设数独棋购进个，则魔方购进个 根据题意，得 解得： 则魔方购进（个） 答：该商店购进魔方个，数独棋个 （2）解：魔方售价为（元/个）， 数独棋售价为（元/个）， 总售价为（元）， ∴获利为（元）， 答：该商店共获利450元． ◆题型十一、费用计算问题 39．（22-23七年级上·浙江温州·期中）下表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算） 打车方式 出租车 3千米以内8元；超过3千米的部分元/千米 滴滴快车 路程：元 /千米；时间：元/分钟 说明 打车的平均车速千米/时 假设乘坐8千米，耗时：分钟；出租车收费：元；滴滴快车收费：元． 为了提升市场竞争力，出租车公司推出行驶里程超过千米立减元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付______元． 【答案】或 【分析】分两种情况进行分析：（1）没有超过千米；（2）超过享受优惠；分别计算即可． 【详解】解：设此次的路程为千米， 若此次路程没有超过千米， 则， 解得：千米， 则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需支付元； 若此次路程超过千米， 则， 解得：千米， 则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需支付元； 综上：若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付元或元， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用－分段收费问题，读懂题意，列出方程是解本题的关键． 40．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每月用水量 收费 不超过的部分 2元/ 超过但不超过的部分 4元/ 超过的部分 6元/ (1)已知小亮家去年10月份共用水，则他家去年10月份应缴水费是多少？ (2)若小亮家去年11、12月份共用水，（12月份用水量超过11月份用水量，且11月用水量超过），共交水费76元，则小亮家11、12月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)42元 (2)他家去年11月用水量是，12月用水量是， 【分析】（1）用水，分三部分计算，不超过的部分按2元/，超过但不超过的部分按4元/，超过的部分按6元/，把三部分的费用求和即可． （2）由题意得，小亮家11月份用水量超过但不超过，12 月份用水量超过．设小亮家11月份用水量是．根据题意列方程求出x值，则可得11月份用水量，进而可得12月用水量． 本题考查了有理数混合运算的实际应用，以及列一元一次方程解应用题．理解题意，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解： （元）． 答：他家去年10月份应缴水费是42元． （2）解：由题意得，小亮家11月份用水量超过但不超过，12 月份用水量超过．设小亮家11月份用水量是，由题意可得； 解得． ∴． 答：他家去年11月用水量是，12月用水量是． 41．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准(元/度) (1)若小明家月用电量为度，则他们家月的电费是___________元． (2)若小明家月缴的电费元，则该月小明家用电量是多少？ 【答案】(1) (2)度 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用． （1）根据10月用电量为230度，进行列式计算，即可作答． （2）电费元超过度时的电费元，故用电量在第三档，设月用电量为度，列方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意，(元) ∴10月的电费是120元； 故答案为：120． （2）解：设月用电量为度 当时，电费为(元) 用电量超过度 依题意得 答：月用电量为度． 42．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4元吨，自来水为3元吨，污水处理费为1元／吨． 第二阶梯（14吨用水量吨）：水费为6元吨，自来水为5元吨，污水处理费为1元／吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元吨，自来水为10元吨，污水处理费为1元／吨． 素材3 如某用户2025年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定各种费用 已知某用户2025年12月份用水19吨，求该用户12月份的各种费用（自来水费、污水处理费、水费） 任务2 确定水费 设某用户2025年11月用水a吨，用含a的代数式表示a位于不同的阶梯时，相应的水费． 收费方式 11月用水量吨 水费元 第一阶梯 ①______元 第二阶梯 ②______元 第三阶梯 ③______元 任务3 确定用水量 如果该用户2025年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费210元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 【答案】任务1：自来水费67元，污水处理费19元，水费86元；任务2：①；②；③；任务3：5月份用水吨，6月份用水吨 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程求解是关键． 任务1：根据某用户用水19吨，在第二阶段，进行求解即可； 任务2：分为三种阶梯分别求解即可； 任务3：设5月用水量为吨，则6月用水量为吨，由6月份用水量超过5月份用水量可分为两种情况求解即可． 【详解】解：任务1：∵某用户用水19吨， ∴自来水费为： 元； 污水处理费：元； 水费： 元； 任务2：∵某用户用水a吨， ∴当用水量处于第一阶梯时，水费为； 当用水量处于第二阶梯时，水费为 ； 当用水量处于第三阶梯时，水费为 ， 故答案为：，，； 任务3：设5月用水量为吨，则6月用水量为吨， 由题意得，， ∴， ∴5月用水量在第一阶段或第二阶段，6月用水量在第三阶段， 当5月用水量在第一阶段时，水费为 解得（不符合题意，舍去）； 当5月用水量在第二阶段时，水费为 解得， ∴5月用水量：吨，6月用水量：吨． ◆题型十二、比赛积分问题 43．（24-25六年级上·上海金山·期末）预备年级组织数学计算知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 听听 欢欢 乐乐 (1)由表格知，答对一题得________分，答错一题扣________分． (2)乐乐得了分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)小华说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1) (2)16道题 (3) 解：小华不可能得分，理由如下： 假设小华得分，设他答对题，则答错题， 列方程：， ， ， ， ∵不是整数，不符合题数为整数的实际情况， ∴小华不可能得分． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、有理数的运算，熟练掌握“得分规则（答对得分答错扣分总得分）”并建立方程是解题的关键． （1）通过听听全对的得分求答对一题的分数，再结合欢欢的得分算答错一题的扣分． （2）设乐乐答对题数为未知数，根据“答对得分答错扣分总得分”列方程求解． （3）假设小华得分分，设答对题数为未知数，列方程后判断解是否为整数且符合题数范围． 【详解】（1）解：∵听听答对题得分， ∴答对一题得分：分， 设答错一题扣分，欢欢答对题、答错题得分， 则， 解得， 故答案为：，； （2）解：设乐乐答对题，则答错题， 根据题意得， 解得， ∴他答对了道题； （3）略 44．（24-25六年级上·上海·期末）一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛? 【答案】这一天举行了32场单打比赛、36场双打比赛 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设这一天举行了场单打比赛，则举行了场双打比赛，根据题意列出一元一次方程并求解即可获得答案． 【详解】解：设这一天举行了场单打比赛，则举行了场双打比赛， 根据题意，可得 ， 解得 （场）， 所以 （场）． 答：这一天举行了32场单打比赛、36场双打比赛． 45．（25-26七年级下·福建泉州·期末）2026年6月，被誉为 “小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 【答案】这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场 【分析】设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场．根据总积分为18分列方程求解即可． 【详解】解：设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场． 根据题意得： 解得： 答：这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场 ◆题型十三、方案选择问题 46．（25-26六年级上·上海静安·期末）小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 【答案】(1)230；8 (2)方式二更优惠 (3)点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 【分析】本题考查了一元一次方程应用题中的方案选择类问题，解题的关键是列出每种方案费用的表达式． （1）依题意，直接求解即可； （2）根据两种付款方式计算出付款，再比较即可得解； （3）根据、、、四种情况求出两种方式付款，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵菜品总价270元，其中锅底40元， ∴其余菜品（元）， 又每次最多用3张100元代金券，270元最多用2张代金券，每张代金券80元， 所以代金券花费元， 剩余（元）需现场支付， 方式一总付款为（元）； 方式二总付款为224元，则有：， 解得：， 故答案为：230；8； （2）解：方式一付款： ∵菜品总价285元，最多用2张代金券， ∴代金券花费（元），剩余（元）， ∴总付款（元）； 方式二付款： ∵菜品价格为（元），打8折后：（元）， ∴总付款（元）， ∴， 所以方式二更优惠； （3）解：设菜品总价为元（含40元锅底），其余菜品为元．分情况讨论： 情况1： 方式一无法使用代金券，付款元； 方式二付款元； 根据题意可得方程：， 解得：； 情况2： 方式一用1张代金券，付款元； 方式二付款元． 根据题意得方程：； 解得： ； 情况3： 方式一用2张代金券，付款元． 方式二付款元． 根据题意得方程， 解得 ； 情况4： 方式一用3张代金券，付款元， 方式二付款元， 根据题意得方程： 解得：． 综上，点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 47．（25-26六年级上·上海金山·期末）某校六年级学生正在制定“上海一日游计划”，经过调查，上海某旅游景点团体票团购价格如下表．如果该校六年级1班和2班共102人去游玩（其中1班人数大于40但不足50），经计算，如果两个班都以班为单位购买团体票，则一共应付1365元． 购票数量 张 张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 (1)求该校六年级1班和2班的人数． (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？ (3)如果六年级1班单独组织游玩，作为组织者，选择你认为最合适的购票方案，并说明理由． 【答案】(1)该校六年级1班有47人，六年级2班有55人 (2)两班联合购票能省345元 (3)六年级1班选择购买51张票最合适，理由： 六年级1班有47人，若按实际人数购票，购票单价为15元/张． 购票费用是：（元） 若购买51张票，单价为12元/张． 购票费用是：（元） 比较两种方案： 答：六年级1班选择购买51张票最合适，因为更省钱． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设该校六年级1班有x人，那么六年级2班有人，根据题意建立一元一次方程求解即可； （2）用以班为单位的费用减去两个班联合起来的费用即可； （3）计算购买51张票的费用与原来费用比较即可解决问题． 【详解】（1）解：设该校六年级1班有x人，那么六年级2班有人． 根据题意，可列方程 整理得， 解得 六年级2班的人数是（人） 答：该校六年级1班有47人，六年级2班有55人． （2）解：两班联合购票，总人数为102人，超过100人，因此购票单价为10元/张． 团体购票总费用：（元） 节省金额：（元） 答：两班联合购票能省345元． （3）略 48．（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 【答案】(1)套餐每月需缴的费用：（元）；套餐每月需缴的费用：（元） (2)80分钟 (3)选择哪种套餐更合算 【分析】此题主要考查列代数式和求值，解一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出关系式． （1）根据两种通话套餐业务的计费方式表示即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）将分 别代入和求解后比较即可． 【详解】（1）解：套餐每月需缴的费用：（元）， 套餐每月需缴的费用：（元）； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：一个月内本地通话80分钟，两种套餐费用相同； （3）解：当时，套餐每月需缴的费用为：（元）， 当时，B套餐每月需缴的费用为：（元）， ∵， ∴选择哪种套餐更合算． ◆题型十四、行程问题 49．（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）甲、乙两车从相距78千米的两地同时相向出发，甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度比甲车每小时慢20千米，甲在中途爆胎，原地停留了0.2小时修车，乙车速度不变．问两车发车多久后相遇？ 【答案】0.9小时 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设两车发车小时后相遇，根据两车路程之和为78千米列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设两车发车小时后相遇， 则 解得， 答：两车发车小时后相遇． 50．（24-25六年级上·上海·阶段检测）小明、小杰分别站在边长为12的正方形道路的顶点A、B处，他们同时各以每秒3米和每秒1米的速度开始沿着正方形道路运动，运动时间为t．（注意：题中“两人的距离”都是指在正方形边上的路径长） (1)如图1所示，如果小明、小杰相向运动，当他们第一次相遇，t为多少秒？ (2)如图2所示，如果小明、小杰沿着正方形道路顺时针行走，当他们第二次相距4米，t为多少秒？ (3)若按照（2）的运动方式，他们第三次相遇时均停止运动，那么在他们停止之前，当他们相距3米，t为多少秒？（直接写出答案，不必写出计算过程） 【答案】(1)如果小明、小杰相向运动，当他们第一次相遇，t为秒； (2)如果小明、小杰沿着正方形道路顺时针行走，当他们第二次相距4米，t为秒； (3)或或或或． 【分析】此题考查了有理数的混合运算和一元一次方程的应用，根据题意正确列式和列方程是解题的关键． （1）相遇的路程和为列方程，解方程即可； （2）根据小明、小杰沿着正方形道路顺时针行走，他们第二次相距4米时，列方程并解方程即可； （3）分5种情况列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， 答：如果小明、小杰相向运动，当他们第一次相遇，t为秒； （2）由题意可得，， 解得， 答：如果小明、小杰沿着正方形道路顺时针行走，当他们第二次相距4米，t为秒； （3）若两人第3次相遇，则（秒） 第1次相遇前，小明在小杰后面3米时，（秒） 第1次相遇后，小明在小杰前面3米时，（秒） 第2次相遇前，小明在小杰后面3米时，（秒） 第2次相遇后，小明在小杰前面3米时，（秒） 第3次相遇前，小明在小杰后面3米时，（秒） 综上可知， 或或或或． 51．（25-26六年级上·上海金山·期末）以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是________（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车________（填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为，，两列火车的长度不计，高铁比动车早到，求A，B两地之间的距离． (3)在（2）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距． 【答案】(1)同，早 (2) (3)小时或小时或小时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据车票信息即可求解； （2）设高铁所用时间为，则动车所用时间为，根据题意列出方程，求解即可； （3）设高铁出发小时，则动车出发小时，根据两车相距，分三种情况讨论，分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据车票信息可知，动车和高铁都是从A地到B地；所以两车同向行； 动车出发时间为，高铁出发时间为，所以动车比高铁发车早； 故答案为：同，早； （2）设高铁所用时间为， 由图可知，动车早出发，则动车所用时间为， 根据题意，得，解得， ， 答：A，B两地之间的距离； （3）设高铁出发小时，则动车出发小时， 第一种情况，相遇前两车相距， ，解得， 第二种情况，相遇后两车相距， ，解得， 第三种情况，高铁到达B地后，两车相距， ，解得， 答：高铁出发小时或小时或小时后两车相距． ◆题型十五、其他问题 52．（22-23七年级上·全国·期末）按如图所示的程序计算： (1)当输入的时，输出的结果是多少？ (2)当输入的时，输出的结果是多少？ (3)若开始输入的为正数，且最后输出的结果为，则输入的的所有可能的值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）将代入代数式，判断是否大于，大于直接输出，否则重复计算即可求解； （2）将代入，，判断是否大于，大于直接输出，否则重复计算即可求解； （3）根据题意分情况讨论，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，不输出 ，所以输出的结果是 （2）解：当时，，不输出， ，不输出， 所以输出的结果是 （3）解：如果第一次输入值后结果大于，输出结果为，则： ， 解得：， 如果前几次的结果都小于，最后一次输出结果为，那么在最后一次输出结果时的值为，输出结果为时的值为： ， 解得：， 依此类推，， 解得：， ∴开始输入的x的所有可能的值为或或． 53．（25-26七年级下·吉林·期末）推进生态文明建设是践行绿色可持续发展的核心举措．我国明确提出：力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．为积极响应低碳发展理念，我们可以通过节约资源、绿色出行等方式减少（备注：为二氧化碳）排放，也可以借助植树造林，利用植物的光合作用吸收，最终实现排放与吸收的动态平衡，助力绿色生态发展．生活中的用电、用水、交通出行都会产生碳排放，各项碳排放量核算公式如下： 家居用电的排放量耗电量； 家用自来水排放量自来水使用量； 乘公交车的排放量行驶距离； 驾私家车的排放量行驶距离． (1)清越家某月的家居用电和家用自来水两项共产生排放，已知该月耗电量与自来水使用量的数值之和为105，求清越家该月的耗电量与自来水使用量分别是多少？ (2)清越想为我国“碳中和”的实现贡献自己的力量，她决定上下学时由乘坐私家车改为乘公交车．已知清越每天上下学的往返距离共为（乘坐私家车或公交车路程不变），与乘坐私家车相比，每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量______________； (3)树木通过光合作用吸收，将其转化为氧气和有机物，中和碳排放．已知一棵树一年大约吸收．若清越决定在2025—2026学年均乘公交车上下学，已知该学年到校时间共193天，那么她减少的碳排放量大约相当于种植了______________棵树（精确到个位）． 【答案】(1)清越家该月的耗电量为，自来水使用量为 (2) (3) 【分析】（1）根据题意找出等量关系，列一元一次方程即可求解； （2）用每千米减少的碳排放量每天上下学的往返距离即可求解； （3）用整个学年减少的总碳排放量一棵树一年吸收的量即可求解． 【详解】（1）解：设清越家该月的耗电量为，自来水使用量为， 由题意得，， 解得，， 则自来水使用量为， 答：清越家该月的耗电量为，自来水使用量为； （2）解：每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量； （3）解：她减少的碳排放量大约相当于种植了． 54．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）古琴在我国的历史非常悠久，是所有乐器中最早的．古琴最初只有五根弦，发出的五音是中国传统音乐理论中的基本音阶，包括宫、徵、商、羽、角．其发声弦的弦长是通过“三分损益法”计算得出，具体方法如下： 假设基本音“宫”的发声弦长是， “宫”经“三分损一”得“徵”，即，则“徵”音的发声弦长是； “徵”经“三分益一”得“商”，即，则“商”音的发声弦长是； “商”经“三分损一”得“羽”；“羽”经“三分益一”得“角”． (1)按照上面的假设，“羽”音的发声弦长是 ； (2)小明想要制作一个古琴，需要五根发声弦，每根发声弦分别能获得“宫徵商羽角”的音阶，五根发声弦的长度总和为，求该古琴中“宫”的发声弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意直接列式计算即可得到“羽”音的弦长； （2）设“宫”的发声弦长为未知数，依次表示出五个音的弦长，根据总长度列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：已知“商”音的发声弦长为72，“商”经“三分损一”得“羽”， 因此“羽”音的发声弦长为； （2）解：设该古琴中“宫”的发声弦长为， 则“徵”音的发声弦长为， “商”音的发声弦长为， “羽”音的发声弦长为， “角”音的发声弦长为， 根据五根发声弦总长度为，列方程得： 解得， 答：该古琴中“宫”的发声弦长为． 综合攻坚·知能拔高 （25-26七年级上·福建福州·阶段检测）伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵的文物-------莱茵德纸草书．这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作．书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是．这个数是______． 【答案】 【分析】设所求数为，根据题目描述的总和条件列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设这个数为，根据题意列方程得 ， 方程两边同时乘以分母的最小公倍数去分母，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为，得 ． （25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）某项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要的天数比甲多．原计划由乙单独完成这项工程，实际上乙工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙合作完成，若完成此项工程甲工作的总天数是乙工作总天数的，则实际完成这项工程甲、乙各施工多少天？ 【答案】甲施工10天，乙施工15天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设实际完成这项工程乙施工x天，依题意列出一元一次方程，求出x的值，即可解答． 【详解】解：设实际完成这项工程乙施工x天，依题意，得 ， ， 解得， ∴（天）， 答：实际完成这项工程甲施工10天，乙施工15天． （25-26六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： “k类关联点”问题 素材一 在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别是a、b，那么A、B两点的距离． 素材二 对于数轴上的三点A、B和C，如果（k为正整数），那么称点C是点A、B的“k类关联点”． 例如：如图，数轴上的点A、B、C所表示的数分别是1、3、5，因为，所以点C是点A、B的“2类关联点”．    问题 解决 任务一 已知点A表示的数是，点B表示的数是2，下列各数1、4、6所对应的点分别是、和，其中点_________是点A、B的“3类关联点”． 任务二 已知点A表示的数是，点B表示的数是，点C为数轴上一个点，如果点C是点A、B的“4类关联点”，求点C表示的数． 任务三 已知点A表示的数是1，点B表示的数是0，点C表示的数是m，如果点C是点A、B的“k类关联点”，且，求所有满足条件的m的倒数之和． 【答案】任务一：和；任务二：6或；任务三：58 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、倒数等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质分别求出，，，，，的值，再根据“3类关联点”的定义即可得； （2）设点表示的数为，先求出，再根据点是点、的“4类关联点”建立方程，解方程即可得； （3）先求出，则可得，再根据为正整数可得的所有可能的取值为连续整数（不含0和1），据此求和即可得． 【详解】解：任务一：∵点表示的数是，点表示的数是2，数1、4、6所对应的点分别是、和， ∴，，， ，，， ∴，，， ∴点和是点、的“3类关联点”， 故答案为：和． 任务二：设点表示的数为， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∵点是点、的“4类关联点”， ∴， ∴，即或， 解得或， 所以点表示的数为6或． 任务三：∵点表示的数是1，点表示的数是0，点表示的数是， ∴，， ∵点是点、的“类关联点”， ∴，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵为正整数， ∴也是整数， ∴的所有可能的取值为连续整数（不含0和1）， ∴所有满足条件的的倒数之和为 ． （25-26六年级上·上海崇明·期末）某水果店用1000元购进苹果、金桔两种水果共140千克，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 苹果 6 9 金桔 8 12 (1)求该水果店这两种水果各购进多少千克？ (2)如果该水果店按表中售价销售完这两种水果，不计损耗，获得的利润是多少元？ 【答案】(1)苹果有60千克，金桔有80千克 (2)500元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设购进苹果千克，根据水果店用1000元购进苹果、金桔两种水果共140千克，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于两种水果的利润之和，列式计算即可． 【详解】（1）解：设购进苹果千克，则购进金桔千克， 由题意得，， 解得； ； 答：苹果有60千克，金桔有80千克； （2）解：元 答：获得利润500元． （25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．武汉经开区的新型网约车“萝卜快跑”的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若逸轩乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若子怡两次乘坐新型网约车，第一次行车里程为18公里，第二次行车里程为8公里，发现第一次行车时间是第二次的两倍且所付车费比第二次多元，则子怡第一次乘坐网约车的行车时间为多少分钟？ (3)正贤和明哲各自乘坐新型网约车，正贤比明哲的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差________分钟． 【答案】(1)55元 (2)22分钟 (3)24或30 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据车费计算规则列式求解即可； （2）设子怡第一次乘坐网约车的行车时间为x分钟，则子怡第二次乘坐网约车的行车时间为分钟，分别表示出两次乘坐网约车的车费，再根据第一次所付车费比第二次多元建立方程求解即可； （3）设这两辆新型网约车的行车时长相差y分钟，分“两人都没有远途费”和“两人都有远途费”两种情况，分别根据费用差列方程求解即可． 【详解】（1）解：元， 答：需付车费55元； （2）解：设子怡第一次乘坐网约车的行车时间为x分钟，则子怡第二次乘坐网约车的行车时间为分钟， 由题意得，， 解得， 答：子怡第一次乘坐网约车的行车时间为22分钟； （3）解：设这两辆新型网约车的行车时长相差y分钟， 当都没有远途费时，则， 解得； 当都有远途费时，则， 解得； 综上所述，这两辆新型网约车的行车时长相差24分钟或30分钟． （25-26七年级下·吉林长春·期末）数学活动：自己动手做一根杆秤 背景 杆秤是中国独立发明的度量物体质量的衡器，是我国古代劳动人民的智慧结晶．一起来了解它的原理并制作一根杆秤． 探究原理 如图，使用杆秤时将重物放在秤钩上，用手提起B处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出重物的质量．其中秤钩质量克，秤砣质量克，重物质量克，秤纽与秤钩的水平距离为x厘米，秤纽与零刻线的水平距离为y厘米，秤砣与零刻线的水平距离为z厘米，根据杠杆平衡条件可得：．    杆秤制作 (1)选材：小组成员找来四种材料，最适合用来制作秤杆的是（     ） A．一根粗细相同的木棒  B．一根可伸缩塑料吸管  C．一根细铁丝  D．一根橡胶软管 (2)制作：①选取（1）材料作秤杆，在秤杆一端选取两点分别刻槽A和槽B，（点A在点B右侧）使得，在槽B处系上绳子作为秤纽，将秤钩固定在槽A处． ②用细线系一个的砝码作秤砣；手提秤纽，若A端向上倾斜，则应将秤砣向 （选填“左”或“右”）移动，使秤杆平衡，如图所示，在秤砣的位置标零刻线，此时，求秤钩的质量．    ③在秤钩处挂500克砝码，手提秤纽，并调节秤砣的位置使秤杆平衡，此时，标记秤砣细线在秤杆上的位置M，并记为500克，，在零刻线到位置M之间均匀地画上49条刻度线，零刻度线左侧第1条刻度线表示10克，第2条刻度线表示20克，以此类推… 杆秤使用 (3)用做好的杆秤称量一个鸡蛋的质量．当秤杆在水平位置平衡时，秤杆上秤砣的挂绳在第6条刻度线，则此鸡蛋的质量为 克． 误差分析 (4)秤砣经过长时间的使用（因为生锈脱落、磕碰等各种原因），其质量会变轻，此时称重就会产生误差．当质量为180克的重物时，杆秤平衡时读数为190克，则此时这块秤砣现在的质量为 克． 【答案】(1)A (2)右，10克 (3)60 (4) 【分析】（1）根据制作秤杆的基本要求即可解答； （2）根据秤杆的原理和题中公式即可求解； （3）根据（2）③中的要求和题意即可解答； （4）设此时秤砣质量为克，根据杠杆平衡公式求解即可； 【详解】（1）解：制作秤杆需要材料硬度适中、不易变形，能保持形状稳定： A. 粗细均匀的木棒满足要求； B. 可伸缩塑料吸管长度会变化，导致刻度不准； C. 细铁丝易弯折变形； D. 橡胶软管柔软无法保持直杆状态； 因此选A． （2）解：方向判断：支点是秤纽B，A（挂秤钩端）在B右侧，A端向上倾斜说明左侧（秤砣侧）力矩更大，需要减小秤砣的力臂，因此应将秤砣向右移动； 求秤钩质量：标零刻线时不挂重物，则，秤砣在零刻线，， 代入题目给的杠杆公式：， 代入，，， 得：， 解得， 即秤钩的质量为10克； （3）解：根由题意：对应，均匀刻度下，零刻线左侧每1条刻度对应，因此第6条刻度对应质量为， 故此鸡蛋的质量为60克； （4）解：实际重物克，读数克，对应， 设此时秤砣质量为克， 则， 解得：（克）． 试卷第1页（共3页） 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程的应用 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程的应用 题型一、配套问题（重点） 题型二、工程问题（难点） 题型三、比赛积分 题型四、数字问题 题型五、日历问题 题型六、古代问题 题型七、销售盈亏问题 题型八、几何问题（重难点） 题型九、动点问题（重难点） 题型十、和差倍问题 题型十一、费用计算问题（重难点） 题型十二、比赛积分问题 题型十三、方案选择问题（难点） 题型十四、行程问题（难点） 题型十五、其他问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程的应用 ◆题型一、配套问题 1．某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）某车间12位木工师傅制作方凳零件，每位师傅一天可以制作45个凳面或者60条凳腿，1个凳面可以和4条凳腿配套组装成一个方凳，那么安排几位师傅制作凳面，几位师傅制作凳腿能够使得每天生产的凳面和凳腿恰好配套？ 3．（24-25六年级上·上海·阶段检测）自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有28名工人，每人一天平均能生产手套24个或米老鼠玩具16个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ ◆题型二、工程问题 4．（25-26六年级上·上海静安·期末）完成某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再加入合作，直至完成这项工程，求甲、乙合作完成这项工程所用的时间；若设甲、乙合作完成此项工程一共用x天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C．1 D．1 5．（25-26六年级上·上海普陀·期末）一项工程由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，如果两人合作天后，剩下部分由乙单独完成，乙还需做_____天． 6．（24-25六年级上·上海·阶段检测）一条公路需要8人用40天才能修完．照此进度，如果增加2人，那么修完这条公路需要________天． 7．（25-26六年级上·上海虹口·期末）甲、乙两个工程队修一条公路，甲队单独做需要8天完成，乙队单独做完需要的时间比甲多，如果甲乙两队先合作2天，剩下的由乙队单独完成，求乙队还需要做几天才可以修完这条公路． ◆题型三、比赛积分 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对（     ）题． A．20 B．21 C．22 D．23 9．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）为全面提升学生的安全防范意识与应急处置能力，筑牢校园安全防线，靖江市某中学组织安全意识知识竞赛，试题共20题，评分规则是答对一题得10分，不答或答错一题扣5分，聪聪得了125分，他答对了______题． ◆题型四、数字问题 10．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，把正整数1、2、3、4、…、按照一定规律排列，并用一个正方形框在其中上下、左右移动，且始终框住4个数，那么被框住的四个数字之和不可能是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26六年级上·上海松江·期末）中国古代“洛书”记载的三阶幻方，是世界上最早的组合数学实例之一，其“每行、每列、对角线三数之和相等”的规律，蕴含着对称与均衡的数学美．在三阶幻方中，每行、每列及两条对角线上的三个数之和相等（该和称为幻和）．现有如图三阶幻方，其中所有数均为整数，则表中字母n的值为______． 10 5 8 4 7 12．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则的值为______． 13．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）一个两位数，个位上的数字是6，如果把十位上的数字与个位上的数字对换，那么新的两位数比原来的两位数大18，那么这个原来的两位数是___________． ◆题型五、日历问题 14．（25-26六年级上·上海长宁·期末）在月历表中，用如图所示的“”型框任意框出表中四个数，这四个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26六年级上·上海·期末）小明在某月的日历上圈出了三个数，并求出了它们的和为34，则这三个数在日历中的排位位置可能的是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在2026年1月的日历表中用“H字框”圈出5，7，12，13，14，19，21七个数，它们的和为91，若将“H字框”在图中换个位置另圈出七个数，则它们的和不可能是（     ） A．63 B．84 C．98 D．106 17．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数，若移动“十”字形状后所得五个数之和为120，那么该“十”字形状中正中间的数为__________． ◆题型六、古代问题 18．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级下·吉林长春·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 20．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 21．（25-26七年级下·福建泉州·期中）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ ◆题型七、销售盈亏问题 22．（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）临近圣诞节，某商场计划用3800元购进两种装饰灯共120只，甲灯每只25元，乙灯每只45元，求甲灯购进多少只？设购进甲灯x只，根据题意可列出的方程为：________． 23．（24-25六年级上·上海·阶段检测）一家商店将某种服装按成本提高后标价，又以标价的9折卖出，结果每件服装仍可获利7元，则这种服装每件的成本价是___________元． 24．（24-25六年级上·上海·阶段检测）参观上海科技馆的成人票、学生票分别为60元、45元．某天科技馆卖出成人票、学生票共1000张，票务收入51000元，问这两种票各卖多少张？ ◆题型八、几何问题 25．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）如图，把两个大小相同的长方形拼在一起，再把上面一个长方形平均分成2份，把下面一个长方形平均分成3份，若图中阴影部分的面积为，则整个图形的面积为______． 26．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）如图1，点A，O，B依次在直线上；如图2，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒．当时，两射线的旋转时间为____________秒． 27．（24-25六年级上·上海·阶段检测）对数轴上的点、，我们把点与点两点之间的距离记作，例如，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点两点之间的距离为．已知点为数轴原点，点表示的数是，点表示的数为． (1)__________，__________； (2)点在数轴上表示的数为，当满足时，求的值． 28．（25-26六年级上·上海普陀·期末）某小区有一块正方形空地，现将该空地分成三块长方形（如图所示）区域，分别种上三种不同花草，经测量，，通过计算发现长方形的面积与长方形的面积相等．求长方形的面积． 29．（25-26六年级上·上海普陀·期末）利用数轴和绝对值的知识我们可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算也有密切关联，借助对数轴的研究，可以迁移到角度的研究． 【观察】已知数轴上有两点． （1）如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为；如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为_____________． 【归纳】（2）由此小华得出结论：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点之间的距离_____________． （3）若点表示的数是，点表示的数是，，则，得_____________． 【迁移】小华根据数轴的定义结合圆规设计了一种“曲形数轴”用来解决角度问题．如图，标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位长度．例如：射线表示，射线表示，则可以得到． （4）若射线表示，射线表示，则_____________（用含，的式子表示）； 【应用】如图，已知，，，射线，同时绕点以秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒； （5）当秒时，_____________ （6）当时，求出的值． ◆题型九、动点问题 30．（25-26六年级上·上海·期末）已知在数轴上对应的点为，数轴上点、在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点向左移动2个单位到点处，将点向右移动1个单位到点处，此时点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是________． 31．（25-26六年级上·上海·期末）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足． (1)直接写出两点表示的数； (2)动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，分别为的中点． ①当时，求t的值； ②当t取何值或何范围时，取最小值？请求出这个最小值以及t的取值或取值范围； ③若在两点各添加一块挡板，在O点添加一块减速板，两动点在之间来回运动．遇到挡板，就原速度返回，遇到减速板，速度就减少2个单位长度每秒．若速度没超过2个单位长度每秒，就停在减速板处．当时，直接写出t的值． 32．（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示16，我们称点和点在数轴上相距26个长度单位．动点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．点运动到点时停止，此时点也随之停止．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点需要多少时间？ (2)、两点相遇时，求出相遇点所对应的数是多少； (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等 33．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示20，点表示36，我们称点和点在“折线数轴”上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点从点出发，以2个长度单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1个长度单位秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动． (1)当点运动3秒时，点在“折线数轴”上表示的数是____________；当点运动10秒时，点在“折线数轴”上表示的数是____________； (2)动点从点运动至点需要____________秒？ (3)P、Q两点经过几秒相遇？相遇时，相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，设运动的时间为秒．当为何值时，P、O两点在“折线数轴”上相距的长度单位与Q、B两点在“折线数轴”上相距的长度单位相等．（直接写出结果）． ◆题型十、和差倍问题 34．（25-26六年级上·上海·阶段检测）新华书店新进一种畅销书若干本，第一天售出总数的，第二天售出剩下的，结果书店还有210本，请问书店新进这种畅销书_____本． 35．（24-25六年级上·上海·阶段检测）某学校三年共购买计算机1400台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量是去年的2倍．前年这个学校购买的计算机有______台． 36．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）小创和小新各有一些碧根果，小创对小新说：“我的碧根果的数量比你的碧根果的数量的2倍多2个”．后来小创吃了28个，小新吃了2个，此时小新发现，他的碧根果的数量比小创碧根果的数量的2倍多2个．原来小创有___________个碧根果． 37．（25-26六年级上·上海松江·期末）小海去商场采购一些文具用品，回来后小海和妈妈的对话如下． 请根据上述内容求出钢笔的单价． 38．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1850元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的2倍，魔方、数独棋的进价和标价如下表： 魔方 数独棋 进价（元／个） 6 25 标价（元／个） 10 40 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ ◆题型十一、费用计算问题 39．（22-23七年级上·浙江温州·期中）下表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算） 打车方式 出租车 3千米以内8元；超过3千米的部分元/千米 滴滴快车 路程：元 /千米；时间：元/分钟 说明 打车的平均车速千米/时 假设乘坐8千米，耗时：分钟；出租车收费：元；滴滴快车收费：元． 为了提升市场竞争力，出租车公司推出行驶里程超过千米立减元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付______元． 40．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）某地居民用水收费标准如下表： 家庭每月用水量 收费 不超过的部分 2元/ 超过但不超过的部分 4元/ 超过的部分 6元/ (1)已知小亮家去年10月份共用水，则他家去年10月份应缴水费是多少？ (2)若小亮家去年11、12月份共用水，（12月份用水量超过11月份用水量，且11月用水量超过），共交水费76元，则小亮家11、12月份各用水多少立方米？ 41．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准(元/度) (1)若小明家月用电量为度，则他们家月的电费是___________元． (2)若小明家月缴的电费元，则该月小明家用电量是多少？ 42．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4元吨，自来水为3元吨，污水处理费为1元／吨． 第二阶梯（14吨用水量吨）：水费为6元吨，自来水为5元吨，污水处理费为1元／吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元吨，自来水为10元吨，污水处理费为1元／吨． 素材3 如某用户2025年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定各种费用 已知某用户2025年12月份用水19吨，求该用户12月份的各种费用（自来水费、污水处理费、水费） 任务2 确定水费 设某用户2025年11月用水a吨，用含a的代数式表示a位于不同的阶梯时，相应的水费． 收费方式 11月用水量吨 水费元 第一阶梯 ①______元 第二阶梯 ②______元 第三阶梯 ③______元 任务3 确定用水量 如果该用户2025年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费210元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ ◆题型十二、比赛积分问题 43．（24-25六年级上·上海金山·期末）预备年级组织数学计算知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 听听 欢欢 乐乐 (1)由表格知，答对一题得________分，答错一题扣________分． (2)乐乐得了分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)小华说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 44．（24-25六年级上·上海·期末）一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛? 45．（25-26七年级下·福建泉州·期末）2026年6月，被誉为 “小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ ◆题型十三、方案选择问题 46．（25-26六年级上·上海静安·期末）小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 47．（25-26六年级上·上海金山·期末）某校六年级学生正在制定“上海一日游计划”，经过调查，上海某旅游景点团体票团购价格如下表．如果该校六年级1班和2班共102人去游玩（其中1班人数大于40但不足50），经计算，如果两个班都以班为单位购买团体票，则一共应付1365元． 购票数量 张 张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 (1)求该校六年级1班和2班的人数． (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？ (3)如果六年级1班单独组织游玩，作为组织者，选择你认为最合适的购票方案，并说明理由． 48．（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． ◆题型十四、行程问题 49．（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）甲、乙两车从相距78千米的两地同时相向出发，甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度比甲车每小时慢20千米，甲在中途爆胎，原地停留了0.2小时修车，乙车速度不变．问两车发车多久后相遇？ 50．（24-25六年级上·上海·阶段检测）小明、小杰分别站在边长为12的正方形道路的顶点A、B处，他们同时各以每秒3米和每秒1米的速度开始沿着正方形道路运动，运动时间为t．（注意：题中“两人的距离”都是指在正方形边上的路径长） (1)如图1所示，如果小明、小杰相向运动，当他们第一次相遇，t为多少秒？ (2)如图2所示，如果小明、小杰沿着正方形道路顺时针行走，当他们第二次相距4米，t为多少秒？ (3)若按照（2）的运动方式，他们第三次相遇时均停止运动，那么在他们停止之前，当他们相距3米，t为多少秒？（直接写出答案，不必写出计算过程） 51．（25-26六年级上·上海金山·期末）以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是________（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车________（填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为，，两列火车的长度不计，高铁比动车早到，求A，B两地之间的距离． (3)在（2）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距． ◆题型十五、其他问题 52．（22-23七年级上·全国·期末）按如图所示的程序计算： (1)当输入的时，输出的结果是多少？ (2)当输入的时，输出的结果是多少？ (3)若开始输入的为正数，且最后输出的结果为，则输入的的所有可能的值为多少？ 53．（25-26七年级下·吉林·期末）推进生态文明建设是践行绿色可持续发展的核心举措．我国明确提出：力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．为积极响应低碳发展理念，我们可以通过节约资源、绿色出行等方式减少（备注：为二氧化碳）排放，也可以借助植树造林，利用植物的光合作用吸收，最终实现排放与吸收的动态平衡，助力绿色生态发展．生活中的用电、用水、交通出行都会产生碳排放，各项碳排放量核算公式如下： 家居用电的排放量耗电量； 家用自来水排放量自来水使用量； 乘公交车的排放量行驶距离； 驾私家车的排放量行驶距离． (1)清越家某月的家居用电和家用自来水两项共产生排放，已知该月耗电量与自来水使用量的数值之和为105，求清越家该月的耗电量与自来水使用量分别是多少？ (2)清越想为我国“碳中和”的实现贡献自己的力量，她决定上下学时由乘坐私家车改为乘公交车．已知清越每天上下学的往返距离共为（乘坐私家车或公交车路程不变），与乘坐私家车相比，每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量______________； (3)树木通过光合作用吸收，将其转化为氧气和有机物，中和碳排放．已知一棵树一年大约吸收．若清越决定在2025—2026学年均乘公交车上下学，已知该学年到校时间共193天，那么她减少的碳排放量大约相当于种植了______________棵树（精确到个位）． 54．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）古琴在我国的历史非常悠久，是所有乐器中最早的．古琴最初只有五根弦，发出的五音是中国传统音乐理论中的基本音阶，包括宫、徵、商、羽、角．其发声弦的弦长是通过“三分损益法”计算得出，具体方法如下： 假设基本音“宫”的发声弦长是， “宫”经“三分损一”得“徵”，即，则“徵”音的发声弦长是； “徵”经“三分益一”得“商”，即，则“商”音的发声弦长是； “商”经“三分损一”得“羽”；“羽”经“三分益一”得“角”． (1)按照上面的假设，“羽”音的发声弦长是 ； (2)小明想要制作一个古琴，需要五根发声弦，每根发声弦分别能获得“宫徵商羽角”的音阶，五根发声弦的长度总和为，求该古琴中“宫”的发声弦长． 综合攻坚·知能拔高 （25-26七年级上·福建福州·阶段检测）伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵的文物-------莱茵德纸草书．这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作．书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是．这个数是______． （25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）某项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要的天数比甲多．原计划由乙单独完成这项工程，实际上乙工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙合作完成，若完成此项工程甲工作的总天数是乙工作总天数的，则实际完成这项工程甲、乙各施工多少天？ （25-26六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： “k类关联点”问题 素材一 在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别是a、b，那么A、B两点的距离． 素材二 对于数轴上的三点A、B和C，如果（k为正整数），那么称点C是点A、B的“k类关联点”． 例如：如图，数轴上的点A、B、C所表示的数分别是1、3、5，因为，所以点C是点A、B的“2类关联点”．    问题 解决 任务一 已知点A表示的数是，点B表示的数是2，下列各数1、4、6所对应的点分别是、和，其中点_________是点A、B的“3类关联点”． 任务二 已知点A表示的数是，点B表示的数是，点C为数轴上一个点，如果点C是点A、B的“4类关联点”，求点C表示的数． 任务三 已知点A表示的数是1，点B表示的数是0，点C表示的数是m，如果点C是点A、B的“k类关联点”，且，求所有满足条件的m的倒数之和． （25-26六年级上·上海崇明·期末）某水果店用1000元购进苹果、金桔两种水果共140千克，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 苹果 6 9 金桔 8 12 (1)求该水果店这两种水果各购进多少千克？ (2)如果该水果店按表中售价销售完这两种水果，不计损耗，获得的利润是多少元？ （25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．武汉经开区的新型网约车“萝卜快跑”的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若逸轩乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若子怡两次乘坐新型网约车，第一次行车里程为18公里，第二次行车里程为8公里，发现第一次行车时间是第二次的两倍且所付车费比第二次多元，则子怡第一次乘坐网约车的行车时间为多少分钟？ (3)正贤和明哲各自乘坐新型网约车，正贤比明哲的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差________分钟． （25-26七年级下·吉林长春·期末）数学活动：自己动手做一根杆秤 背景 杆秤是中国独立发明的度量物体质量的衡器，是我国古代劳动人民的智慧结晶．一起来了解它的原理并制作一根杆秤． 探究原理 如图，使用杆秤时将重物放在秤钩上，用手提起B处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出重物的质量．其中秤钩质量克，秤砣质量克，重物质量克，秤纽与秤钩的水平距离为x厘米，秤纽与零刻线的水平距离为y厘米，秤砣与零刻线的水平距离为z厘米，根据杠杆平衡条件可得：．    杆秤制作 (1)选材：小组成员找来四种材料，最适合用来制作秤杆的是（     ） A．一根粗细相同的木棒  B．一根可伸缩塑料吸管  C．一根细铁丝  D．一根橡胶软管 (2)制作：①选取（1）材料作秤杆，在秤杆一端选取两点分别刻槽A和槽B，（点A在点B右侧）使得，在槽B处系上绳子作为秤纽，将秤钩固定在槽A处． ②用细线系一个的砝码作秤砣；手提秤纽，若A端向上倾斜，则应将秤砣向 （选填“左”或“右”）移动，使秤杆平衡，如图所示，在秤砣的位置标零刻线，此时，求秤钩的质量．    ③在秤钩处挂500克砝码，手提秤纽，并调节秤砣的位置使秤杆平衡，此时，标记秤砣细线在秤杆上的位置M，并记为500克，，在零刻线到位置M之间均匀地画上49条刻度线，零刻度线左侧第1条刻度线表示10克，第2条刻度线表示20克，以此类推… 杆秤使用 (3)用做好的杆秤称量一个鸡蛋的质量．当秤杆在水平位置平衡时，秤杆上秤砣的挂绳在第6条刻度线，则此鸡蛋的质量为 克． 误差分析 (4)秤砣经过长时间的使用（因为生锈脱落、磕碰等各种原因），其质量会变轻，此时称重就会产生误差．当质量为180克的重物时，杆秤平衡时读数为190克，则此时这块秤砣现在的质量为 克． 试卷第1页（共3页） 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $