重难点专题02 一元一次方程的实际应用（专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

重难点专题 一元一次方程的实际应用 重难点一 配套问题 可用列表梳理题目中的条件，写出等量关系，根据等量关系列出方程，解方程并检验作答。 1．（24-25六年级下·上海松江·期末）现有一个齿数为24的小齿轮要配一个合适齿数的大齿轮，使得这个齿轮组合可使小齿轮的转速从3500圈/分降到1000圈/分，那么这个大齿轮有 齿． 【答案】84 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设大齿轮有x齿，根据转动的路程等于齿数乘以转数建立方程求解即可． 【详解】解：设大齿轮有x齿， 由题意得，， 解得， ∴大齿轮有84齿， 故答案为：84． 2．（23-24六年级下·上海闵行·期末）某车间有27名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲零件16个或生产乙零件22个．某种仪器每套需甲种零件1个，乙种零件2个．若分配x名工人生产甲零件，其他工人生产乙零件，恰好使每天生产的零件配套．根据题意，可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找出等量关系是解题关键．根据题意可直接列出方程． 【详解】解：根据题意可知生产乙零件的工人有名， 根据题意有：． 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海·月考）自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有28名工人，每人一天平均能生产手套24个或米老鼠玩具16个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 【答案】应分配16名工人生产手套，则12名工人生产玩具． 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，得到手套和米老鼠玩具的等量关系是解决本题的关键． 设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具， 根据题意得，， 解得， ∴（名）， ∴应分配16名工人生产手套，则12名工人生产玩具． 4．（23-24六年级下·上海青浦·期末）一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 【答案】分配6名工人加工金属棒，12名工人加工卡扣 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣，由每个正方体有12条棱及8个顶点，且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出答案． 【详解】解：设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣， 由题意得： 解得： 答：应分配6名工人加工金属棒，12名工人加工卡扣． 5．（23-24六年级下·上海松江·期中）现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一张桌子配4张椅子，1立方米木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套．请问需要用多少立方米的木料做桌子？ 【答案】需要用50立方米的木料做桌子． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设需要用x立方米的木料做桌子，则用立方米的木料做椅子，根据制作的椅子总数是制作桌子总数的4倍，即可列出方程． 【详解】解：设需要用x立方米的木料做桌子，则用立方米的木料做椅子， 根据题意得：， 解得：． 答：需要用50立方米的木料做桌子． 重难点二 工程问题 基本数量关系为：工作量 = 工作效率 × 工作时间。 对于多人合作或分项任务，常通过统一单位“1”来表示总工作量，进而分析各部分所占比重。 1．（24-25六年级上·上海·期末）一项工程，甲单独做需8天完成，乙单独做需6天完成，现在甲先做3天，然后乙再加入，设此项工程共用x天完成，由题意得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据工程问题进行列方程即可 【详解】解：由题意可得方程为； 故选：A ． 2．（24-25六年级上·上海·期末）甲、乙两人共同加工零件270个，甲每小时加工零件10个，乙每小时加工零件15个，甲比乙多用2小时，求甲用了几小时．如果设甲用了x小时，那么可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程是实际应用，设甲用了x小时，则乙用了小时，根据甲、乙两人共同加工零件270个，甲每小时加工零件10个，乙每小时加工零件15个，列出方程即可． 【详解】解：设甲用了x小时，则乙用了小时， 根据题意：， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）甲、乙两个工程队安装排污管道，甲队单独安装需要4天完成，乙队单独安装需要8天完成．如果甲队先安装1天，剩下的管道由甲、乙两队合作完成，那么还需要几天才能安装完这些管道？设甲、乙两队合作x天完成安装，可列出方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程； 根据题意可得等量关系：甲的工作量+乙的工作量=总工作量，由等量关系可列出方程，解方程即可 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： 4．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的．已知甲队单独完成这项工程需40天，如果甲、乙两队先合作10天，接着甲队因故停工10天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)完成这项工程总共用了多少天？ (2)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【答案】(1)30天； (2)分配给甲队万元，分配给乙队万元，理由见解答 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设完成这项工程总共用了x天，则甲队工作了天，乙队工作了x天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）求出甲、乙两队的工程量，按完成工程的比例来分配即可． 【详解】（1）解∶甲队单独完成这项工程需40天，且甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的． 乙队单独完成这项工程需 (天)． 设完成这项工程总共用了x天，则甲队工作了天，乙队工作了x天， 根据题意得∶， 解得∶． 答∶完成这项工程总共用了30天； （2）分配给甲队万元，分配给乙队万元， 理由如下∶甲队完成的工程量为，乙队完成的工程量为． 该企业为了这项工程一共支付a万元的费用， 按照完成工程量的比例来分配，应该分配给甲队万元，乙队万元． 5．（24-25六年级下·上海·开学考试）某汽车厂修一批汽车，原来计划每天修3辆，改进技术后，每天实际能多修2辆，结果提前4天完成，这批汽车有多少辆？ 【答案】30辆 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设实际用了天，则由题意得：，解方程即可． 【详解】解：设实际用了天，则由题意得：， 解得：， ∴这批汽车有（辆）， 答：这批汽车有30辆． 6．（24-25六年级上·上海·期中）一个水池有甲、乙、丙三个水管，单开甲管6小时可以将空池注满；单开乙管4小时可以将空池注满；单开丙管12小时可以把满池的水放完；现在水池里有的水，开放乙、丙两管2小时后，三管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？ 【答案】1.25小时 【分析】考查了一元一次方程的应用，把这一水池水看作单位1，根据工作效率工作总量工作时间，可得甲、乙、丙的工作效率分别为、、，据此结合题意列方程求解即可． 【详解】解： 设再过小时后便可将水池注满水，依题意有 ， 解得． 答：三管齐开，再过1.25小时后便可将水池注满水． 7．（24-25六年级下·上海嘉定·期中）中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛： 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．（本题取3） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是_________； (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，工人甲承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请工人乙来帮忙，工人乙的工作效率是甲的，且在乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务．若修1米花坛可得到100元钱，则修完花坛后，工人甲和乙分别可以得到多少报酬？ 【答案】(1) (2)不省料，因为方案B与方案A的周长相等． (3)甲可以得到3600元，乙可以得到2400元． 【分析】本题考查的是圆的周长的计算，一元一次方程的应用． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可． （2）首先根据圆的周长公式：，求出直径是8米、和12米的圆的周长和，然后与图1进行比较． （3）因为圆的周长和直径成正比例，所以5个小圆的周长和等于直径20米的圆的周长．设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米，据此列方程解答． 【详解】（1）解：（米）， 答：修的花坛的周长是米． （2）解：， （米） （米）， （米）， 答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等． （3）解：综合前两问可得，花坛的总周长为，修完花坛共花费元， 设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米， ， 解得， ∴甲获得（元），乙获得元， 答：甲可以得到3600元，乙可以得到2400元． 重难点三 销售盈亏问题 基本数量关系：利润=售价－进价；利润率=；售价=进价×（1+利润率）=标价×折扣。 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）一件衣服以原件的出售是30元，则原价是（   ） A．12元 B．75元 C．57元 D．100元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据原价的等于30，列方程求解． 【详解】解：设原价是元， 根据题意得：， 解得：， 故选：B． 2．（23-24六年级下·上海松江·期末）一件商品，按标价八折销售盈利元，按标价六折销售亏损，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（　　） A．商品的利润不变 B．商品的成本不变 C．商品的售价不变 D．商品的销售量不变 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，含百分数的一元一次方程．标价为元，根据商品的成本不变列出方程解答即可． 【详解】解：设标价为元，则 成本价，成本价， 所以小明同学列方程：的依据是商品的成本不变． 故选：B． 3．（24-25六年级下·上海·阶段练习）一款衣服由于销售不畅，店家决定降价出售，如果打八八折出售，可盈利64元，如果打六折出售，会亏损20元，则这款衣服的成本价是 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款衣服的成本价是x元，则这款衣服的定价是元，根据打六折出售，会亏损20元建立方程求解即可． 【详解】解：设这款衣服的成本价是x元， 由题意得，， 解得， ∴这款衣服的成本价是元， 故答案为：． 4．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某商店经销一种商品，由于进货价降低了，使得利润率提高了十个百分点，那么这个商店原来经销这种商品所得利润率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设原进价为a元，这种商品原来的利润率为x，根据题意列方程得，，再解方程即可． 【详解】解：设原进价为a元，这种商品原来的利润率为x，根据题意列方程得， ， 解得． 故答案为： 5．（2025·上海奉贤·三模）某商品成本价元，商家以元价格售出，那么这件商品的盈利率为 ．（用百分数表示） 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这件商品的盈利率为x，根据“售价成本成本盈利率”，再根据“商品成本价元，商家以元价格售出”列出关于的一元一次方程，求解即可．正确理解题意，根据数量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这件商品的盈利率为， 依题意，得：， 解得：， ∴这件商品的盈利率为． 故答案为：． 6．（24-25六年级下·上海宝山·期末）一件商品，先以盈利的价格作为定价，后因季节原因又打对折出售，此时这件商品亏损了48元，求这件商品的进价． 【答案】这件商品的进价为240元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设这件商品的进价为x元，根据定价为，打对折出售，即打五折出售后价格为，最后根据这件商品亏损了48元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这件商品的进价为x元，根据题意得： ， 解得：， 答：这件商品的进价为240元． 7．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某人用320元买苹果树和枣树两种树苗共25棵．其中，苹果树苗每棵12元，枣树苗每棵14元．这个人分别买了上述两种树苗各多少棵？ 【答案】这个人购买苹果树苗15棵，枣树苗10棵 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设这个人购买苹果树苗棵，则购买枣树苗棵，根据用320元买苹果树和枣树两种树苗共25棵建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设这个人购买苹果树苗棵，则购买枣树苗棵， 由题意得：， 解得， 则， 答：这个人购买苹果树苗15棵，枣树苗10棵． 8．（24-25六年级上·上海·月考）参观上海科技馆的成人票、学生票分别为60元、45元．某天科技馆卖出成人票、学生票共1000张，票务收入51000元，问这两种票各卖多少张？ 【答案】成人票卖出张，学生票卖出张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设成人票卖出张，则学生票卖出张，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设成人票卖出张，则学生票卖出张， 由题意可得：， 解得：， ∴， ∴成人票卖出张，学生票卖出张． 9．（24-25六年级下·上海·期中）某超市实行优惠促销活动：如果一次购物不超过100元不给优惠；超过100元，而不超过300元时，按该次购物全额的九折优惠；如果超过300元，则其中300元按九折优惠，超过300元的部分按八折优惠． (1)如果小红购买物品标价是380元，则小红实际付款多少元？ (2)如果小美两次购物分别实际付款108元和318元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样物品，那么小丽的一次付款金额比小美的两次付款的总金额节省了百分之几？（结果精确到） 【答案】(1)小红实际共付款334元 (2)小丽的购买方法比小美节省了约 【分析】本题主要考查了百分数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式进行计算即可． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）设小美付款为318元的商品总价是元，根据题意列出方程，解方程求出，得出付款为318元的总价，然后求出另外一种商品的原价，最后列式求出结果即可． 【详解】（1）解：， 答：小红实际共付款334元； （2）解：设小美付款为318元的商品总价是元， ， 解得：， （元）， （元）， 小丽的购买方法比小美节省了约． 10．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某商店批进衬衫500件，每件进价为30元，准备加价出售，预计可盈利多少元？当这批衬衫售出后，决定将余下的按八折继续出售，这样，这批衬衫全部售出实际盈利多少元？ 【答案】加价出售，预计可盈利4500元；这批衬衫全部售出实际盈利4110元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出每件衬衫的售价为元，设加价出售，预计可盈利x元，依题意列出方程，解此方程求出x即可得出答案；当这批衬衫售出后，还余下件，设这批衬衫全部售出实际盈利y元，依题意列出方程，解此方程求出y即可得出答案； 【详解】解：每件衬衫进价为30元，加价出售， 则每件衬衫的售价为：（元） 设加价出售，预计可盈利x元， 依题意得：， 解得：， 答：加价出售，预计可盈利4500元． 当这批衬衫售出后，还余下（件）， 设这批衬衫全部售出实际盈利y元， 依题意得：， 解得：， 答：这批衬衫全部售出实际盈利4110元． 11．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）某商店进了两种不同的文具套装，其中类套装的进价为每套50元，类套装的进价为每套40元，总共进了40套，共花费1850元．问商店进了A类和B类文具套装各多少套？ 【答案】A类的文具套装25套，B类的文具套装15套 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程组是解题的关键．设商店进了50元的文具套装x套，40元的文具套装套，根据题意得出，求解即可得出答案． 【详解】解：设商店进了A类的文具套装x套，B类的文具套装套， 由题意得：， 解得：， 答：A类的文具套装25套，B类的文具套装15套． 12．（23-24六年级下·上海闵行·期中）某超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如下表： 商品 进价（元/件） 售价（元/件） 利润率 甲种 40 60 n 乙种 50 m 50% (1)以上表格中m，n的值分别为______、______； (2)若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ 【答案】(1)75， (2)该超市购进甲种商品90件，乙种商品50件． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用利润率，可求出的值；利用售价进价进价利润率，可求出的值； （2）设购进乙种商品件，则购进甲种商品件，利用总利润每件的销售利润销售数量，可列出关于的一元一次方程，解之可得出购进乙种商品的数量，再将其代入中，即可求出购进甲种商品的数量． 【详解】（1）解：根据题意得：； ． 故答案为：75，； （2）解：设购进乙种商品件，则购进甲种商品件， 根据题意得：， 解得：， （件． 答：该超市购进甲种商品90件，乙种商品50件． 重难点四 比赛积分问题 基本恒等式：比赛场数=胜场数+平场数+负场数；总积分=胜场积分+平场积分+负场积分 队参赛的单循环总场次= ；某队与其他队各赛一场，故每队比赛场次= 。 1．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中几个三分球？几个两分球？罚中几个球？（每罚中1球得1分） 【答案】这名篮球队员投中2个三分球，6个两分球？罚中2个球． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设投中x个三分球，则投中两分球个，罚中个，再根据一共得20分列出方程求解即可． 【详解】解：设投中x个三分球，则投中两分球个，罚中个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：这名篮球队员投中2个三分球，6个两分球，罚中2个球． 2．（23-24六年级下·上海·阶段练习）下表是赛季英超联赛37轮比赛过后的积分排行榜，请根据图表信息求出曼联队的获胜场次以及踢平的场次各为多少？（足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．） 积分榜 排名 球队 场次 积分 胜 平 负 1 切尔西 37 84 25 9 3 2 曼城 37 76 23 7 3 3 阿森纳 37 72 21 9 7 4 曼联 37 69 8 5 利物浦 37 62 18 8 11 【答案】曼联队的获胜场次为20场，踢平的场次为9场， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据总场次为，设获胜场次为场，踢平的场次为场，根据胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设曼联队的获胜场次为场，则 ∴踢平的场次为场， ∵胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分 ∴ 解得 ∴（场） 答：曼联队的获胜场次为20场，踢平的场次为9场， 3．（24-25六年级上·上海·期末）一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛? 【答案】这一天举行了32场单打比赛、36场双打比赛 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设这一天举行了场单打比赛，则举行了场双打比赛，根据题意列出一元一次方程并求解即可获得答案． 【详解】解：设这一天举行了场单打比赛，则举行了场双打比赛， 根据题意，可得 ， 解得 （场）， 所以 （场）． 答：这一天举行了32场单打比赛、36场双打比赛． 重难点五 方案选择问题 （1）确定优化目标（如最省钱/最省时/效率最高）与限制条件（如人数、总量）； （2）为每种方案写出核心指标（如总费用、总耗时、总产量）的代数； （3）令两种方案指标相等，解出临界点； （4）以为界，取小于或大于的代表值代入两方案比较，得到结论； （5）验证与作答。 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 【答案】(1)套餐每月需缴的费用：（元）；套餐每月需缴的费用：（元） (2)80分钟 (3)选择哪种套餐更合算 【分析】此题主要考查列代数式和求值，解一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出关系式． （1）根据两种通话套餐业务的计费方式表示即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）将分 别代入和求解后比较即可． 【详解】（1）解：套餐每月需缴的费用：（元）， 套餐每月需缴的费用：（元）； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：一个月内本地通话80分钟，两种套餐费用相同； （3）解：当时，套餐每月需缴的费用为：（元）， 当时，B套餐每月需缴的费用为：（元）， ∵， ∴选择哪种套餐更合算． 2．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： ①如果一次购物少于200元，则不予优惠； ②如果一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； ③如果一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠；小明两次去该超市购物；分别付款252元和554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他可比小明少付多少元？（请通过计算说明） 【答案】28元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．先根据题意分析清楚小明所付的252元和554元的实际价值是多少，然后再分别代入对应的优惠方案中求得其实际价值后再计算小亮所要购物的实际价值是多少，代入对应优惠方案中即可求解． 【详解】解：∵，， ∴小明付款252元所购的实际价值为元， ∵， ∴可设小明付款554元所购的实际价值设为x元，根据题意得： ， 解得：， ∴小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，实际价值为（元）， 即所付款数为（元）， 元， 答：他可比小明少付28元． 3．（2024六年级上·上海·专题练习）为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好教室消毒和师生的测温工作． (1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要元，已知一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的倍还贵元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格． (2)由于采购量大，厂家推出两种购买方案（如下表）： 购买方案 红外线测温枪 消毒剂 优惠 折 折 每购瓶消毒剂送支测温枪 折 折 无 若学校有个班级，计划每班配置支红外线测温枪和瓶消毒剂，则学校选择哪种购买方案的总费用更低？ 【答案】(1)一瓶消毒剂的价格为元，一支测温枪的价格为元； (2)学校选择种购买方案的总费用更低． 【分析】（）设一瓶消毒剂的价格为元，则一支测温枪的价格为元，根据题意可列出关于的一元一次方程，解出即可得出答案； （2）分别计算出两种方案所需费用，比较即可； 本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设一瓶消毒剂的价格为元，则一支测温枪的价格为元， 根据题意可得：， 解得：， ∴， 答：一瓶消毒剂的价格为元，一支测温枪的价格为元； （2）解：根据题意可知该学校需要支红外线测温枪和瓶消毒剂， 以方案购买时， ∵每购瓶消毒剂送支测温枪，（支）， ∴再购买支测温枪即可， ∴此购买方案的总费用为（元）； 以方案购买时，总费用为（元）； ∴以方案购买的费用高于以方案购买的费用， 答：学校选择种购买方案的总费用更低． 重难点六 数字问题 两位数的表示：十位数字为，个位数字为，则该数为（其中1≤≤9，0≤≤9）； 三位数的表示：百位数字为，十位为，个位为，则该数为（其中1≤≤9，0≤≤9，0≤≤9）； 连续整数：，，；连续偶数：2，，2；连续奇数：2，2+1，2。 1．（24-25六年级上·上海·期中）如图所示，一个的方格中，每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和都相等，则的值是（    ） 7 9 6 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设右下角的数字为，根据题意可列式求出，再由可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设右下角的数字为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 2．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）一个分数的分子与分母的和是52，经过约分后得，原来的分数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分数的约分，一元一次方程的应用，正确根据题意列出方程是解题的关键． 设原分数为，根据分子与分母的和为52，列出方程求解，再代入得到原分数． 【详解】设原分数的分子为，分母为（为正整数），则 故原分子为，原分母为 ，原分数为， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海长宁·期中）幻方历史悠久，是我国的传统游戏．幻方的游戏规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图是一个的幻方的一部分，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数加法的运算方法，一元一次方程的应用，以及幻方的特征和应用，首先根据图示，判断出它是一个三阶幻方，然后根据：三阶幻方的中心对称两数之和中间格的数，分别列方程求出、的值各是多少，再把求出的、的值相加即可． 【详解】解：根据图示，判断出它是一个三阶幻方， 由，可得：， 由，可得：， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知4个连续的偶数a、b、c、d，满足，则这四个偶数是 ． 【答案】100，102，104，106 【分析】本题主要考查了列一元一次方程的应用；解题的关键是准确表示出这四个数，正确列出方程来解答．首先用字母m来表示出这四个数，然后根据等式，列出方程求解即可解决问题． 【详解】解：、b、c、d是4个连续的偶数， 设最后一个数是， ， ， ， ， ， 故答案为：100，102，104，106． 5．（25-26六年级上·上海普陀·期中）已知一个数减去的差与3的积为，求这个数． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 设这个数为x，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个数为x，由题意可得： ． 所以这个数是． 6．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算、一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先分别求出三个“”所代表的数，再分别求出两个“”所代表的数，计算平均数即可得； （2）先分别求出三个“”所代表的数，再分别求出两个“”所代表的数，然后求出“”所代表的数，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 所以运算结果“”所代表的数为． （2） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 则运算结果“”所代表的数为， ∵运算结果“”所代表的数为2， ∴， 解得． 7．（25-26七年级上·上海虹口·期中）【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如表①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是______． 表① 【模型迁移】 （2）表②是显示部分式子的幻方，用含的式子表示． 表② （3）表③是显示部分式子的幻方，求的值． 表③ 【答案】（1）15；（2）；（3）18 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确的列出算式和方程是解题的关键： （1）（1）分析题意，确定答案即可；填入符合要求的数字即可； （2）根据题意可得，整理即可获得答案； （3）结合题意，先求得，进而计算出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1）将九个数填入到的方格内， 若使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是． 故答案为：15； 在图①中填入数字，如下图； 2 9 4 7 5 3 6 1 8 （2）根据题意，可得， 整理可得； （3）根据题意，可有， 整理，可得， 又因为， 所以． 重难点七 几何问题 根据几何图形的周长、面积、体积公式写出等量关系，进而列出方程，最后解方程并检验作答。 1．（24-25六年级下·上海金山·期末）一个长方形的周长是，长比宽多，那么长方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键；设长方形的长为 ，宽为 ，根据“矩形的周长是 ，长比宽多 ”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出结论． 【详解】解：设长方形的长为 ，宽为 ， 依题意得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 2．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）一个圆柱形容器的底面半径为，高，其中盛有一定量的水，液面高度为．现有一个圆柱形铁块，其底面半径为，高为．如图（1），将其水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没；如图（2）将其竖直放置于容器底部，发现铁块没有被完全淹没．则上述两种放置方法的液面高度差为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，圆柱体积的计算，先分别求出当圆柱水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没时，液面高度，竖直放置于容器底部，铁块没有被完全淹没是，液面高度，然后相减即可． 【详解】解：容器内液体的体积为：， 圆柱体的体积为：， 当圆柱水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没时，液面的高度为： ， 设竖直放置于容器底部，铁块没有被完全淹没是，液面高度为， ， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．（25-26六年级上·上海松江·月考）如图，把两个大小相同的长方形拼在一起，再把上面一个长方形平均分成2份，把下面一个长方形平均分成3份，若图中阴影部分的面积为，则整个图形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．先设下面长方形每份的面积为未知数，根据两个长方形面积相同及阴影部分面积列出方程，求解后计算整个图形的面积． 【详解】解：设下面长方形每份为，则下面长方形面积为，则上面长方形面积也为， 由于把上面一个长方形平均分成2份，则上面长方形每份为， 由题意得， 解得， 则整个图形的面积为． 故答案为：9． 4．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）阅读：出入相补原理：一个平面几何图形被分割成若干部分后，面积的总和保持不变．出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建．所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变．又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系． 解决问题：如图所示，一个阴影四边形，其外侧是边长为的正方形，求阴影部分面积是正方形面积的几分之几？ 【答案】阴影部分面积是正方形面积的 【分析】本题考查了割补法求面积，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合．通过移置可知，阴影部分的面积空白部分的面积中间长方形的面积，可求出中间长方形的面积为，设空白部分的面积为，根据题意列方程求出，进而求出阴影面积，即可求解． 【详解】解：通过移置可知，阴影部分的面积空白部分的面积中间长方形的面积， 中间长方形的面积为， 设空白部分的面积为，则阴影部分的面积为， 根据题意可得：， 解得：， 阴影部分的面积为， 阴影部分面积是正方形面积的． 重难点八 动点问题 位置表达：点的位置=起点+速度×时间；距离表达：AB=； 注意时间t≥0，速度为常数，解需落在对应的时间段内，出现负时间或不在范围内要舍去，并核验端点与临界时刻。 1．（24-25六年级上·上海·期末）点表示的数是，点表示的数是8，点从点出发，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，速度为每秒1个单位长度，都同时往轴正方向运动，运动 秒时，． 【答案】8或16 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离， 根据A，B两点表示的数求出，再设运动的时间是t，分两种情况讨论：并根据相遇前，后列出方程，求出解即可． 【详解】解：∵A，B两点表示的数为， ∴． 设运动的时间是t，可知，则点P，Q表示的数是， 当相遇前距离是4时，， 解得； 当相遇后距离是4时，， 解得． 所以运动8或16秒时，． 故答案为：8或16． 2．（25-26七年级上·上海·期中）如图，点在数轴上表示的数分别为，且．点为数轴上一点，且点表示的数为． (1)若，试求的值； (2)若，试求的值； (3)若点对应的数为，且点三点在数轴上同时向右运动，点的速度分别是4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设点运动的时间为秒，当点时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查数轴上两点之间距离的表示及绝对值方程，熟记数轴上两点之间距离表示方法及解绝对值方程的方法是解决问题的关键． （1）由非负数和为零的条件求得，，从而由得到，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，结合，列方程，分类讨论去绝对值求解即可得到答案； （3）根据题意，得到点三点经过秒后在数轴上对应的数为，结合得到方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ，，且， ，， 点在数轴上表示的数分别为，点表示的数为， ，， ， ， 则或， 解得； （2）解：由（1）知，，， ， ， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 综上所述，或； （3）解：设点运动的时间为秒， 点三点在数轴上对应的数是，且同时向右运动， 点三点经过秒后在数轴上对应的数为， ，， ， ， 则或， 解得． 3．（25-26六年级上·上海松江·期中）对于数轴上的三点，若其中一点到另一点的距离恰好是其到第三点距离的2倍，则称该点是另外两点的“倍距点”．例如，若数轴上点、、所表示的数分别为1、3、4，则点是点、的“倍距点”，如图所示： (1)在数轴上，若点表示的数为，点表示的数为3，数、1、7所对应的点分别为、、，则其中是点、的“倍距点”的是______． (2)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒（）．当点为点、的“倍距点”时，求的值． (3)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，点为数轴上的一个动点，且点在点右侧．若点、、中恰好有一个点是另外两个点的“倍距点”，求此时点表示的数． 【答案】(1)，； (2)或或； (3)表示的数是25或35或55． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求出、、三点到点A和点B的距离，再根据“倍距点”的定义判断即可； （2）运动t秒后点P表示的数为，用含t的式子表示出的长，再分和两种情况，分别建立方程求解即可； （3）分三种情况：当点A是点B与点P的“倍距点”时，则，当点B是点A与点P的“倍距点”时，则或，当点P是点A与点B的“倍距点”时，则，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ，，，， ∴， ∴其中是点、的“倍距点”的是，； （2）解：由题意得，运动t秒后点P表示的数为， ∴，， 当时，则， ∴或， 解方程得，解方程得； 当时，则， ∴或， 解方程得（舍去），解方程得； 综上所述，或或； （3）解：设点P表示的数为x， 当点A是点B与点P的“倍距点”时，则， ∴， 解得； 当点B是点A与点P的“倍距点”时，则或， ∴或， 解方程得，解方程得； 当点P是点A与点B的“倍距点”时，则， ∴， 解得； 综上所述，点P表示的数为25或35或55． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是和16，动点M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，点M的速度是2个单位长度/秒，N的速度是4个单位长度/秒，点M、点N分别与点B、点A重合时，停止运动． (1)若运动t秒钟时，点M、N重合，求t的值以及重合点在数轴上所表示的数； (2)若运动t秒钟时，点M、N之间距离为30，求t的值； (3)设点P是线段中点，点Q是线段中点，若运动t秒钟时点P、Q重合，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用时间=路程÷速度，可求出点M及点N到达终点所需时间．当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据点M、N重合，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中，即可求出重合点在数轴上所表示的数； （2）当时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据点M、N之间距离为30，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可；当时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据点M、N之间距离为30，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可； （3）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点P、Q重合，可列出关于t的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点P、Q重合，可列出关于t的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：（秒），（秒）． 当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：t的值为，重合点在数轴上所表示的数为； （2）当时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 解得：． 答：t的值为或； （3）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：． 答：t的值为． 5．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如图，数轴上有A，B，C三个点，A、B、C对应的数分别是，且满足，动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． (1)求a，b的值； (2)若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数． 【答案】(1)a的值是，b的值是； (2)或4 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出a，b的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用绝对值的非负性，可得出，，解之即可得出的值； （2）当运动时间为秒时，点P对应的数为，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解： ，， 解得：，， 答：a的值是，b的值是； （2）（秒） 当运动时间为秒时，点P对应的数为， 根据题意得， 即或， 解得：或， 当时，； 当时， 答：点P对应的数为或 重难点九 和差倍分与比例问题 基本公式：增长量=原有量×增长率；现有量=原有量+增长量 1．（23-24六年级下·上海闵行·期末）某学校今年艺术单项比赛共有人参加，比赛的人数比去年增加还多3人．则去年参加比赛的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设去年参赛的人数为x，再根据今年的比赛人数相等得出方程，求出解即可． 【详解】解：设去年参赛的人数为人， 则：， 解得：， 则去年参赛的人数为人． 故选：A． 2．（24-25六年级下·上海·阶段练习）河南“许昌人”遗址发现的微型鸟雕像入选了2020年度“世界十大考古发现”．这只鸟雕像的身长与身高的比是，身长比身高多0.9厘米，这只鸟雕像的身长是（   ）厘米 A．1.4 B．2.1 C．2.8 D．3.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意是解题的关键． 根据身长与身高的比，设身长为厘米，身高为厘米．由身长比身高多0.9厘米，可得方程，解得k后代入即可求出身长． 【详解】设比例系数为k，则身长为厘米，身高为厘米． 根据题意得： ， 解得：， 代入身长表达式：（厘米） 因此，这只鸟雕像的身长是2.1厘米． 故选：B． 3．（25-26六年级上·上海·期中）等候公共汽车的人整齐地排成一列，小明也在其中，他数了数人数，排在他前面的人数是总人数的，排在他后面的人数是总人数的，从前面数小明排在第 个． 【答案】 9 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解数量关系正确列式求解是关键． 设总人数为x，根据排在小明前面和后面的人数与总人数的关系，列出方程求解总人数，再计算小明前面的认识，确定小明的位置． 【详解】解：设总人数为x人，排在小明前面的人数为，后面的人数为，小明自己占1人， 因此有方程：， 计算 ， ∴， 移项得：， 合并同类项得， 解得：， 前面人数为， ∴小明排在第9个， 故答案为：9． 4．（25-26六年级上·上海松江·月考）列方程求解：一个数的减去，再加上，结果等于2，求这个数？ 【答案】这个数是． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．设这个数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为，由题意得： ， ， ， ， 答：这个数是． 5．（24-25六年级上·上海·期末）小郑今年岁，比妈妈的年龄小岁，几年后，小郑的年龄是妈妈的一半？ 【答案】年后，小郑的年龄是妈妈的一半 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解题的关键．设年后，小郑的年龄是妈妈的一半，根据题意得，即可求解． 【详解】解：设年后，小郑的年龄是妈妈的一半， 根据题意得： 答：年后，小郑的年龄是妈妈的一半． 6．（24-25六年级上·上海宝山·期末）在综合与实践课程中，小丽同学在学习完“你的膳食健康吗？”课程后，对顾村实验学校为学生提供的午餐有A、B两种套餐进行了调查研究．（每天只提供一种午餐） 套餐 主食（克） 肉类（克） 蔬菜类（克） 其它（克） A 160 95 120 125 B 200 70 140 90 为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量，一周内学生午餐主食摄入总量建议为880克．那么在一周里小丽同学应该选择A、B套餐各几天时，能达到控制主食摄入量的目的（说明：一周按5天计算） 【答案】在一周里小丽同学应该选择A套餐3天，B套餐2天时，能够达到控制主食摄入量的目的． 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题， 设在一周里小丽同学应该选择A套餐m天，则选择B套餐天，根据一周内学生午餐主食摄入总量建议为880克，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设在一周里小丽同学应该选择A套餐m天，则选择B套餐天， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：在一周里小丽同学应该选择A套餐3天，B套餐2天时． 重难点十 电费和水费问题 先识别是否为分段，看清是否有月固定费、污水处理费、附加费等，并将所有费用统一到同一单位，再用“临界量×对应单价”算出各档边界费用，比较已知总费用，判断落在第几档，再列方程解答。 1．（24-25八年级上·上海·单元测试）国家规定个人稿费的纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的纳税；超过4000元的按全部稿费的纳税．现某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？ 【答案】3800元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出正确的数量关系是解题的关键． 设这个人的稿费是x元，由共纳税420元，列出方程可求解． 【详解】解：设这个人的稿费是x元， 当时，可得， 解得元， 当时，可得：， 解得（舍去）， 答：这个人的稿费是3800元． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 【答案】(1)29，47.6 (2) (3)18 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际问题、列代数式等知识； （1）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用超过15公里的费用，代入数据计算即可； （2）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用，列出代数式即可； （3）根据打车的费用为54.8元，建立方程求得答案即可． 【详解】（1）解：路程是9公里，那么车费是：（元）， 路程是16公里，那么车费是：（元）， 故答案为：29，47.6； （2）解：∵， ∴出租车的费用（元）， 答：出租车的费用是元； （3）解：设小丽去外婆家的路程是x公里， ∵当，打车的费用， ∴，则，解得， 答：小丽去外婆家的路程是18公里． 3．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）小明家使用的是分时电表，按平时段和谷时段次日分别计费，现已知谷时段的电费单价比平时段的电费单价低元． 下列表格列出了某月电费单上的部分数据，请依据题目提供的信息计算平时段和谷时段的电价(要求写出解答过程)． 上月抄见表数 本月抄见表数 用电量(千瓦时) 单价(元) 金额(元) 平时段 1341 1624 谷时段 671 798 本月电费金额 210.73 本月应付电费大写 贰佰壹十元柒角叁分 【答案】平时段的电费单价为元，谷时段的电费单价为元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先求出平时段和谷时段的用电量，再设平时段的电费单价为元，则谷时段的电费单价为元，根据本月电费金额和“谷时段的电费单价比平时段的电费单价低元”列出方程求解即可．读懂题意，理解电费总金额的计算方式是解题的关键． 【详解】解：依题意得：小明家平时段用电量为：(千瓦时)， 谷时段用电量为：(千瓦时)， 设平时段的电费单价为元，则谷时段的电费单价为元， 则有， 解得：， ∴， 答：平时段的电费单价为元，谷时段的电费单价为元． 重难点十一 行程问题 基本关系：路程=速度×时间；顺速=静速±水速；逆速=水速±静速； 相遇与相背：相向用“路程和=全程”，相背用“路程和=初始距+新增距”； 追及：同向用“快路程－慢路程=初始距”； 环形跑道：同向追及一次=多跑1圈；反向相遇一次=合跑1圈。 1．（24-25六年级下·上海·开学考试）甲乙走同样长的路，如果他们的走和跑速度分别相等，甲前一半路程走，后一半路程跑，乙前一半时间跑，后一半时间走，则（   ） A．同时到 B．乙比甲先到 C．甲先到 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的运算，利用一元一次方程解决行程问题，解题的关键是理解题意． 利用特殊值法和方程式即可解答此题． 【详解】解：不妨假设走的速度为1，跑的速度为2，路程都为10， 甲的时间为：， 设乙的时间为，可得：， 解得 ∴乙比甲先到， 故选：B． 2．（23-24六年级下·上海青浦·期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过了x秒，巧巧追上淘淘，根据他们的路程差为米列方程求解即可． 【详解】解：设经过了x秒，巧巧追上淘淘 根据题意得， 解得， 此时巧巧走了米，，则巧巧在D处； 淘淘走了米，，则淘淘也在D处， 故经过60秒淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处， 故选：B． 3．（24-25六年级上·上海闵行·月考）君莲学校有一条400米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑5米，晶晶每秒钟跑3米．问：方向相同时，经过 秒第3次与晶晶相遇． 【答案】600 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解追及问题的解题思路是解题关键．由题意可知，第3次与晶晶相遇表示冬冬比晶晶多跑了3圈，列方程求解即可． 【详解】解：设经过秒第3次与晶晶相遇， 则， 解得：， 即经过秒第3次与晶晶相遇， 故答案为：600． 4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）小明和小丽家相距千米，有一天小明与小丽同时从各自家里出发，向对方家走去，小明家的狗和小明一起出发，小狗先跑去和小丽相遇，又立刻回头跑向小明，相遇后又立刻跑向小丽如此小狗一直在小明与小丽之间跑动．已知小明的速度是米分，小丽的速度是米分，小明家的狗的速度为米分，当小明与小丽相遇时，小狗一共跑了 米． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过分钟两人相遇，根据两人的速度之和时间小明和小美家的距离，即可得出一元一次方程，解之即可求得两人相遇时间，再利用路程速度时间，即可求出小狗跑的距离． 【详解】设经过分钟两人相遇， 依题意，得：， 解得：， 所以小狗跑的距离为米 故答案为：． 5．（24-25六年级下·上海·开学考试）小明有一份紧急通知送交小强，可小强去练习长跑去了，小明骑车赶到练习长跑的出发地，小强已经出发一个小时了，小明骑车追，现在知道环形公路全程35千米，小强长跑的速度是每小时15千米/小时，小明骑车的速度是25千米/小时，小明要找到小强至少需要多久？ 【答案】小明要找到小强至少需要小时 【分析】本题主要考查了一次方程的应用，理清题意，正确找出等量关系是解答本题的关键． 根据“路程速度时间”，可知小强一小时跑的路程为 15 千米，则剩下 20 千米，因为是环形公路，根据相遇问题解答即可． 【详解】解：设小明要找到小强至少需要小时， 根据题意得：， 解得． 答：小明要找到小强至少需要小时． 6．（24-25六年级上·上海·月考）列方程解决问题：已知、两地相距120千米，甲车的速度为每小时50千米，乙车的速度为每小时45千米．两车分别从、两地出发，相向而行，若甲车先行驶30分钟，那么乙车行驶几小时后与甲车相遇？ 【答案】乙车行驶1小时后与甲车相遇 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设乙车行驶小时后与甲车相遇，根据甲车的速度为每小时50千米，乙车的速度为每小时45千米，甲车先行驶30分钟，列出方程即可求解． 【详解】解：设乙车行驶小时后与甲车相遇， 根据题意可得，， 解得：， 答：乙车行驶1小时后与甲车相遇． 7．（24-25六年级上·上海·月考）A、B两地相距340千米，甲车从地出发开往地，每小时行驶72千米，甲车出发25分钟后，乙车从地出发开往地，每小时行驶48千米，两车相遇后，各自按原来的速度继续行驶，那么相遇后两车又相距120千米时，甲车从出发一共用了多长时间？ 【答案】甲车从出发一共用了． 【分析】本题是考查了一元一次方程运用，设甲车从出发一共用的时间为，依题意列出方程，求解即可，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设甲车从出发一共用的时间为，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：甲车从出发一共用了． 8．（24-25六年级上·上海闵行·期末）数学课上老师提出了这样一个问题： 运动员小丽，小明在400米长的环形跑道上练习长跑，已知小丽的速度为170米/分，小明的速度为250米/分． (1)如果两人同时由同一起点同向出发，求两人第一次相遇的时间． (2)老师对这个问题进一步展开研究，如果两人同时由同一起点同向出发，他认为既然可以算出第一次相遇的时间，那一定可以算出第二次，第三次……第a次（a为正整数）相遇的时间． ①用含有a的代数式表示出两人第a次相遇的时间； ②当两人恰好在起点处相遇，求a满足的条件． (3)小闵认为类比老师的研究方法，如果两人同时由同一起点反向出发，可以得到两人在起点处相遇和两人相遇次数的规律．请你找到这个规律，并说明理由． 【答案】(1)两人第一次相遇的时间为5分钟 (2)①分钟；②a一定要是8的倍数 (3)每经过42次相遇，两人相遇的地点为起点处，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设两人第一次相遇的时间为x分钟，根据两人相遇时，小明比小丽多走400米列出方程求解即可； （2）①根据二人速度不变，可知每次相遇后，下一次相遇的时间都为5分钟，则可求出第a次相遇的时间；②求出第a次相遇时两人的路程，再根据相遇点为起点，则路程一定要是400的倍数，据此求解即可； （3）根据两人相遇时，小明和小丽的路程之和为400米列出方程求出每次相遇后，下一次相遇的时间，进而求出第n次相遇时，两人的路程，再根据相遇点为起点，则路程一定要是400的倍数，据此求解即可． 【详解】（1）解：设两人第一次相遇的时间为x分钟， 由题意得，， 解得， 答：两人第一次相遇的时间为5分钟； （2）解：①由（1）可知出发5分钟时，两人第一次相遇，即出发5分钟小明比小丽多走400米，则第二次相遇时，小明比小丽多走800米，第三次相遇时，小明比小丽多走1200米，……第a次（a为正整数）相遇，小明比小丽多走米， ∴两人第a次相遇的时间分钟； ②由（2）7①可知，两人第a次相遇的时间的时间为分钟， ∴两人第a次相遇的时间为分钟， ∴两人第a次相遇时，小明的路程为米，小丽的路程为米， ∵两人恰好在起点处相遇， ∴小明和小丽所走的路程都要为400的整数倍， ∴都能被400整除， ∵，， ∴和一定要是整数， ∴a一定要是8的倍数； （3）解：每经过42次相遇，两人相遇的地点为起点处，理由如下： 设两人第一次相遇的时间为y分钟， 由题意得，， 解得， ∴两人第一次相遇的时间为分钟； ∵每一次相遇后到下一次相遇，二者的路程之和都为400米， ∴每一次相遇后到下一次相遇的时间都为分钟； ∴第n次相遇的时间为分钟， ∴第n次相遇时，小明的路程为米，小丽的路程为米， ∵两人恰好在起点处相遇， ∴和是400的整倍数， ∵， ∵都是整数， ∴n一定是42的倍数， ∴每经过42次相遇，两人相遇的地点为起点处． 重难点十二 古代问题 先翻译文言文，明确对象与单位，把题目中的已知条件转化成数学关系，再列出方程并解答。 1．（2025·上海宝山·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）《孙子算经》中记载了一个数学问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行，问：共有多少人，多少辆车？为解决此问题，设共有人，那么可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设共有人，由每3人共乘一车，则余两辆空车可知车辆数为辆，由每2人共乘一车，则余9人步行可知车辆数为辆，据此列出方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 3．（2025·上海静安·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人竿，多竿；每人竿，少竿．”则牧童有 人． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 根据总竿数相等列出方程，求出解即可. 【详解】解：设有牧童人，根据题意，得 ， 解得， 答：牧童有人． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿 斗． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设羊的主人赔斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗，根据题意，列出方程即可求解． 【详解】解：设羊的主人赔斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗， 根据题意得：， 解得， 所以羊的主人赔斗，牛的主人赔（斗）， 所以牛主人比羊主人多赔偿（斗）． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 一元一次方程的实际应用 重难点一 配套问题 可用列表梳理题目中的条件，写出等量关系，根据等量关系列出方程，解方程并检验作答。 1．（24-25六年级下·上海松江·期末）现有一个齿数为24的小齿轮要配一个合适齿数的大齿轮，使得这个齿轮组合可使小齿轮的转速从3500圈/分降到1000圈/分，那么这个大齿轮有 齿． 2．（23-24六年级下·上海闵行·期末）某车间有27名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲零件16个或生产乙零件22个．某种仪器每套需甲种零件1个，乙种零件2个．若分配x名工人生产甲零件，其他工人生产乙零件，恰好使每天生产的零件配套．根据题意，可列出方程为 ． 3．（24-25六年级上·上海·月考）自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有28名工人，每人一天平均能生产手套24个或米老鼠玩具16个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 4．（23-24六年级下·上海青浦·期末）一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 5．（23-24六年级下·上海松江·期中）现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一张桌子配4张椅子，1立方米木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套．请问需要用多少立方米的木料做桌子？ 重难点二 工程问题 基本数量关系为：工作量 = 工作效率 × 工作时间。 对于多人合作或分项任务，常通过统一单位“1”来表示总工作量，进而分析各部分所占比重。 1．（24-25六年级上·上海·期末）一项工程，甲单独做需8天完成，乙单独做需6天完成，现在甲先做3天，然后乙再加入，设此项工程共用x天完成，由题意得方程（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海·期末）甲、乙两人共同加工零件270个，甲每小时加工零件10个，乙每小时加工零件15个，甲比乙多用2小时，求甲用了几小时．如果设甲用了x小时，那么可列出方程为 ． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）甲、乙两个工程队安装排污管道，甲队单独安装需要4天完成，乙队单独安装需要8天完成．如果甲队先安装1天，剩下的管道由甲、乙两队合作完成，那么还需要几天才能安装完这些管道？设甲、乙两队合作x天完成安装，可列出方程： ． 4．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的．已知甲队单独完成这项工程需40天，如果甲、乙两队先合作10天，接着甲队因故停工10天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)完成这项工程总共用了多少天？ (2)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 5．（24-25六年级下·上海·开学考试）某汽车厂修一批汽车，原来计划每天修3辆，改进技术后，每天实际能多修2辆，结果提前4天完成，这批汽车有多少辆？ 6．（24-25六年级上·上海·期中）一个水池有甲、乙、丙三个水管，单开甲管6小时可以将空池注满；单开乙管4小时可以将空池注满；单开丙管12小时可以把满池的水放完；现在水池里有的水，开放乙、丙两管2小时后，三管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？ 7．（24-25六年级下·上海嘉定·期中）中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛： 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．（本题取3） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是_________； (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，工人甲承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请工人乙来帮忙，工人乙的工作效率是甲的，且在乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务．若修1米花坛可得到100元钱，则修完花坛后，工人甲和乙分别可以得到多少报酬？ 重难点三 销售盈亏问题 基本数量关系：利润=售价－进价；利润率=；售价=进价×（1+利润率）=标价×折扣。 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）一件衣服以原件的出售是30元，则原价是（   ） A．12元 B．75元 C．57元 D．100元 2．（23-24六年级下·上海松江·期末）一件商品，按标价八折销售盈利元，按标价六折销售亏损，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（　　） A．商品的利润不变 B．商品的成本不变 C．商品的售价不变 D．商品的销售量不变 3．（24-25六年级下·上海·阶段练习）一款衣服由于销售不畅，店家决定降价出售，如果打八八折出售，可盈利64元，如果打六折出售，会亏损20元，则这款衣服的成本价是 元． 4．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某商店经销一种商品，由于进货价降低了，使得利润率提高了十个百分点，那么这个商店原来经销这种商品所得利润率是 ． 5．（2025·上海奉贤·三模）某商品成本价元，商家以元价格售出，那么这件商品的盈利率为 ．（用百分数表示） 6．（24-25六年级下·上海宝山·期末）一件商品，先以盈利的价格作为定价，后因季节原因又打对折出售，此时这件商品亏损了48元，求这件商品的进价． 7．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某人用320元买苹果树和枣树两种树苗共25棵．其中，苹果树苗每棵12元，枣树苗每棵14元．这个人分别买了上述两种树苗各多少棵？ 8．（24-25六年级上·上海·月考）参观上海科技馆的成人票、学生票分别为60元、45元．某天科技馆卖出成人票、学生票共1000张，票务收入51000元，问这两种票各卖多少张？ 9．（24-25六年级下·上海·期中）某超市实行优惠促销活动：如果一次购物不超过100元不给优惠；超过100元，而不超过300元时，按该次购物全额的九折优惠；如果超过300元，则其中300元按九折优惠，超过300元的部分按八折优惠． (1)如果小红购买物品标价是380元，则小红实际付款多少元？ (2)如果小美两次购物分别实际付款108元和318元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样物品，那么小丽的一次付款金额比小美的两次付款的总金额节省了百分之几？（结果精确到） 10．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某商店批进衬衫500件，每件进价为30元，准备加价出售，预计可盈利多少元？当这批衬衫售出后，决定将余下的按八折继续出售，这样，这批衬衫全部售出实际盈利多少元？ 11．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）某商店进了两种不同的文具套装，其中类套装的进价为每套50元，类套装的进价为每套40元，总共进了40套，共花费1850元．问商店进了A类和B类文具套装各多少套？ 12．（23-24六年级下·上海闵行·期中）某超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如下表： 商品 进价（元/件） 售价（元/件） 利润率 甲种 40 60 n 乙种 50 m 50% (1)以上表格中m，n的值分别为______、______； (2)若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ 重难点四 比赛积分问题 基本恒等式：比赛场数=胜场数+平场数+负场数；总积分=胜场积分+平场积分+负场积分 队参赛的单循环总场次= ；某队与其他队各赛一场，故每队比赛场次= 。 1．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）一名篮球队员在一场比赛中投篮与罚篮共计15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍，问这名篮球队员投中几个三分球？几个两分球？罚中几个球？（每罚中1球得1分） 2．（23-24六年级下·上海·阶段练习）下表是赛季英超联赛37轮比赛过后的积分排行榜，请根据图表信息求出曼联队的获胜场次以及踢平的场次各为多少？（足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．） 积分榜 排名 球队 场次 积分 胜 平 负 1 切尔西 37 84 25 9 3 2 曼城 37 76 23 7 3 3 阿森纳 37 72 21 9 7 4 曼联 37 69 8 5 利物浦 37 62 18 8 11 3．（24-25六年级上·上海·期末）一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛? 重难点五 方案选择问题 （1）确定优化目标（如最省钱/最省时/效率最高）与限制条件（如人数、总量）； （2）为每种方案写出核心指标（如总费用、总耗时、总产量）的代数； （3）令两种方案指标相等，解出临界点； （4）以为界，取小于或大于的代表值代入两方案比较，得到结论； （5）验证与作答。 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 2．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： ①如果一次购物少于200元，则不予优惠； ②如果一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； ③如果一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠；小明两次去该超市购物；分别付款252元和554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他可比小明少付多少元？（请通过计算说明） 3．（2024六年级上·上海·专题练习）为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好教室消毒和师生的测温工作． (1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要元，已知一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的倍还贵元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格． (2)由于采购量大，厂家推出两种购买方案（如下表）： 购买方案 红外线测温枪 消毒剂 优惠 折 折 每购瓶消毒剂送支测温枪 折 折 无 若学校有个班级，计划每班配置支红外线测温枪和瓶消毒剂，则学校选择哪种购买方案的总费用更低？ 重难点六 数字问题 两位数的表示：十位数字为，个位数字为，则该数为（其中1≤≤9，0≤≤9）； 三位数的表示：百位数字为，十位为，个位为，则该数为（其中1≤≤9，0≤≤9，0≤≤9）； 连续整数：，，；连续偶数：2，，2；连续奇数：2，2+1，2。 1．（24-25六年级上·上海·期中）如图所示，一个的方格中，每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和都相等，则的值是（    ） 7 9 6 A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）一个分数的分子与分母的和是52，经过约分后得，原来的分数是 ． 3．（24-25六年级上·上海长宁·期中）幻方历史悠久，是我国的传统游戏．幻方的游戏规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图是一个的幻方的一部分，则的值是 ． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知4个连续的偶数a、b、c、d，满足，则这四个偶数是 ． 5．（25-26六年级上·上海普陀·期中）已知一个数减去的差与3的积为，求这个数． 6．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 7．（25-26七年级上·上海虹口·期中）【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如表①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是______． 表① 【模型迁移】 （2）表②是显示部分式子的幻方，用含的式子表示． 表② （3）表③是显示部分式子的幻方，求的值． 表③ 2 9 4 7 5 3 6 1 8 重难点七 几何问题 根据几何图形的周长、面积、体积公式写出等量关系，进而列出方程，最后解方程并检验作答。 1．（24-25六年级下·上海金山·期末）一个长方形的周长是，长比宽多，那么长方形的面积是 ． 2．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）一个圆柱形容器的底面半径为，高，其中盛有一定量的水，液面高度为．现有一个圆柱形铁块，其底面半径为，高为．如图（1），将其水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没；如图（2）将其竖直放置于容器底部，发现铁块没有被完全淹没．则上述两种放置方法的液面高度差为 ． 3．（25-26六年级上·上海松江·月考）如图，把两个大小相同的长方形拼在一起，再把上面一个长方形平均分成2份，把下面一个长方形平均分成3份，若图中阴影部分的面积为，则整个图形的面积为 ． 4．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）阅读：出入相补原理：一个平面几何图形被分割成若干部分后，面积的总和保持不变．出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建．所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变．又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系． 解决问题：如图所示，一个阴影四边形，其外侧是边长为的正方形，求阴影部分面积是正方形面积的几分之几？ 重难点八 动点问题 位置表达：点的位置=起点+速度×时间；距离表达：AB=； 注意时间t≥0，速度为常数，解需落在对应的时间段内，出现负时间或不在范围内要舍去，并核验端点与临界时刻。 1．（24-25六年级上·上海·期末）点表示的数是，点表示的数是8，点从点出发，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，速度为每秒1个单位长度，都同时往轴正方向运动，运动 秒时，． 2．（25-26七年级上·上海·期中）如图，点在数轴上表示的数分别为，且．点为数轴上一点，且点表示的数为． (1)若，试求的值； (2)若，试求的值； (3)若点对应的数为，且点三点在数轴上同时向右运动，点的速度分别是4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设点运动的时间为秒，当点时，求的值． 3．（25-26六年级上·上海松江·期中）对于数轴上的三点，若其中一点到另一点的距离恰好是其到第三点距离的2倍，则称该点是另外两点的“倍距点”．例如，若数轴上点、、所表示的数分别为1、3、4，则点是点、的“倍距点”，如图所示： (1)在数轴上，若点表示的数为，点表示的数为3，数、1、7所对应的点分别为、、，则其中是点、的“倍距点”的是______． (2)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒（）．当点为点、的“倍距点”时，求的值． (3)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，点为数轴上的一个动点，且点在点右侧．若点、、中恰好有一个点是另外两个点的“倍距点”，求此时点表示的数． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是和16，动点M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，点M的速度是2个单位长度/秒，N的速度是4个单位长度/秒，点M、点N分别与点B、点A重合时，停止运动． (1)若运动t秒钟时，点M、N重合，求t的值以及重合点在数轴上所表示的数； (2)若运动t秒钟时，点M、N之间距离为30，求t的值； (3)设点P是线段中点，点Q是线段中点，若运动t秒钟时点P、Q重合，求t的值． 5．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如图，数轴上有A，B，C三个点，A、B、C对应的数分别是，且满足，动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． (1)求a，b的值； (2)若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数． 重难点九 和差倍分与比例问题 基本公式：增长量=原有量×增长率；现有量=原有量+增长量 1．（23-24六年级下·上海闵行·期末）某学校今年艺术单项比赛共有人参加，比赛的人数比去年增加还多3人．则去年参加比赛的人数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海·阶段练习）河南“许昌人”遗址发现的微型鸟雕像入选了2020年度“世界十大考古发现”．这只鸟雕像的身长与身高的比是，身长比身高多0.9厘米，这只鸟雕像的身长是（   ）厘米 A．1.4 B．2.1 C．2.8 D．3.5 3．（25-26六年级上·上海·期中）等候公共汽车的人整齐地排成一列，小明也在其中，他数了数人数，排在他前面的人数是总人数的，排在他后面的人数是总人数的，从前面数小明排在第 个． 4．（25-26六年级上·上海松江·月考）列方程求解：一个数的减去，再加上，结果等于2，求这个数？ 5．（24-25六年级上·上海·期末）小郑今年岁，比妈妈的年龄小岁，几年后，小郑的年龄是妈妈的一半？ 6．（24-25六年级上·上海宝山·期末）在综合与实践课程中，小丽同学在学习完“你的膳食健康吗？”课程后，对顾村实验学校为学生提供的午餐有A、B两种套餐进行了调查研究．（每天只提供一种午餐） 套餐 主食（克） 肉类（克） 蔬菜类（克） 其它（克） A 160 95 120 125 B 200 70 140 90 为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量，一周内学生午餐主食摄入总量建议为880克．那么在一周里小丽同学应该选择A、B套餐各几天时，能达到控制主食摄入量的目的（说明：一周按5天计算） 重难点十 电费和水费问题 先识别是否为分段，看清是否有月固定费、污水处理费、附加费等，并将所有费用统一到同一单位，再用“临界量×对应单价”算出各档边界费用，比较已知总费用，判断落在第几档，再列方程解答。 1．（24-25八年级上·上海·单元测试）国家规定个人稿费的纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的纳税；超过4000元的按全部稿费的纳税．现某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？ 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 3．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）小明家使用的是分时电表，按平时段和谷时段次日分别计费，现已知谷时段的电费单价比平时段的电费单价低元． 下列表格列出了某月电费单上的部分数据，请依据题目提供的信息计算平时段和谷时段的电价(要求写出解答过程)． 上月抄见表数 本月抄见表数 用电量(千瓦时) 单价(元) 金额(元) 平时段 1341 1624 谷时段 671 798 本月电费金额 210.73 本月应付电费大写 贰佰壹十元柒角叁分 重难点十一 行程问题 基本关系：路程=速度×时间；顺速=静速±水速；逆速=水速±静速； 相遇与相背：相向用“路程和=全程”，相背用“路程和=初始距+新增距”； 追及：同向用“快路程－慢路程=初始距”； 环形跑道：同向追及一次=多跑1圈；反向相遇一次=合跑1圈。 1．（24-25六年级下·上海·开学考试）甲乙走同样长的路，如果他们的走和跑速度分别相等，甲前一半路程走，后一半路程跑，乙前一半时间跑，后一半时间走，则（   ） A．同时到 B．乙比甲先到 C．甲先到 D．不确定 2．（23-24六年级下·上海青浦·期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 3．（24-25六年级上·上海闵行·月考）君莲学校有一条400米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑5米，晶晶每秒钟跑3米．问：方向相同时，经过 秒第3次与晶晶相遇． 4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）小明和小丽家相距千米，有一天小明与小丽同时从各自家里出发，向对方家走去，小明家的狗和小明一起出发，小狗先跑去和小丽相遇，又立刻回头跑向小明，相遇后又立刻跑向小丽如此小狗一直在小明与小丽之间跑动．已知小明的速度是米分，小丽的速度是米分，小明家的狗的速度为米分，当小明与小丽相遇时，小狗一共跑了 米． 5．（24-25六年级下·上海·开学考试）小明有一份紧急通知送交小强，可小强去练习长跑去了，小明骑车赶到练习长跑的出发地，小强已经出发一个小时了，小明骑车追，现在知道环形公路全程35千米，小强长跑的速度是每小时15千米/小时，小明骑车的速度是25千米/小时，小明要找到小强至少需要多久？ 6．（24-25六年级上·上海·月考）列方程解决问题：已知、两地相距120千米，甲车的速度为每小时50千米，乙车的速度为每小时45千米．两车分别从、两地出发，相向而行，若甲车先行驶30分钟，那么乙车行驶几小时后与甲车相遇？ 7．（24-25六年级上·上海·月考）A、B两地相距340千米，甲车从地出发开往地，每小时行驶72千米，甲车出发25分钟后，乙车从地出发开往地，每小时行驶48千米，两车相遇后，各自按原来的速度继续行驶，那么相遇后两车又相距120千米时，甲车从出发一共用了多长时间？ 8．（24-25六年级上·上海闵行·期末）数学课上老师提出了这样一个问题： 运动员小丽，小明在400米长的环形跑道上练习长跑，已知小丽的速度为170米/分，小明的速度为250米/分． (1)如果两人同时由同一起点同向出发，求两人第一次相遇的时间． (2)老师对这个问题进一步展开研究，如果两人同时由同一起点同向出发，他认为既然可以算出第一次相遇的时间，那一定可以算出第二次，第三次……第a次（a为正整数）相遇的时间． ①用含有a的代数式表示出两人第a次相遇的时间； ②当两人恰好在起点处相遇，求a满足的条件． (3)小闵认为类比老师的研究方法，如果两人同时由同一起点反向出发，可以得到两人在起点处相遇和两人相遇次数的规律．请你找到这个规律，并说明理由． 重难点十二 古代问题 先翻译文言文，明确对象与单位，把题目中的已知条件转化成数学关系，再列出方程并解答。 1．（2025·上海宝山·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）《孙子算经》中记载了一个数学问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行，问：共有多少人，多少辆车？为解决此问题，设共有人，那么可列方程（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海静安·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人竿，多竿；每人竿，少竿．”则牧童有 人． 4．（24-25六年级上·上海闵行·期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿 斗． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $