专题07 角（题型专练）数学新教材沪教版五四制六年级上册

专题07 角 常考题型·精准突破 考点一 角的概念与基础运算 题型1 角的概念理解 题型2 角的表示方法 题型3 角的分类 题型4 角的单位与角度制 题型5 角度的四则运算（重） 题型6 角的度数大小比较 考点二 角度计算与综合应用 题型7 钟面角（难） 题型8 方向角的表示 题型9 与方向角有关的计算题（难） 题型10 几何图形中角度计算问题（高频） 题型11 三角板中角度计算问题 题型12 角平分线的有关计算（重） 题型13 角n等分线的有关计算 题型14 求一个角的余角 题型15 求一个角的补角 题型16 与余角、补角有关的计算 题型17 同（等）角的余（补）角相等的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 角的概念与基础运算 ◆题型1角的概念理解 1．下列正确的个数为（    ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．⑤线段上有无数个点；⑥两点之间线段最短； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了角的定义及性质，线段的性质，紧扣角的定义和线段的性质即可作答． 【详解】解：（1）有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故①错误； （2）角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形，故②正确； （3）两条射线，它们的端点重合时，可以形成角，故③正确； （4）角的大小与边的长短无关，故④错误； （5）线段上有无数个点，故⑤正确； （6）两点之间线段最短，故⑥正确； 正确的个数为4个， 故选：C． 2．下列关于角的说法中，正确的个数为（  ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查角的知识，首先正确理解角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，注意不要忽略“公共端点”，还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致；然后结合角的定义的理解，对选项进行一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：角是由有公共端点的两条射线所构成的图形，故②③正确①错误； 角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故④错误． 故选C． 3．如图，点在线段上．下列说法：①在直线上以为端点的线段共有6条；②若，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为；③图中小于平角的角有10个．其中说法正确的是____． 【答案】① 【分析】本题主要考查了线段的条数问题，几何图形中角的计算，角的定义，根据两点确定一条线段可判断①；根据两条射线和顶点A组成一个角可求出以A为顶点的所有小于平角的角，再根据角的和差关系求出这些角的度数之和可判断②；根据角的定义可判断③． 【详解】解：①在直线上以为端点的线段有，共6条，原说法正确； ②则以A为顶点的所有小于平角的角有， ∵， ∴ ，原说法错误； ③图中小于平角的角有，，，共12个，原说法错误； 故答案为：①． ◆题型2角的表示方法 4．下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； B、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； C、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； D、图中的，不能用表示，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 【详解】解：、因为顶点处有四个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处只有一个角，所以这个角能用，，表示，故本选项正确； 、因为顶点处有三个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处有两个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 故选：． 6．如图所示的图形中有______个小于平角的角，写出以为一边的所有角：______． 【答案】 7 ，，， 【分析】本题考查了角的表示及分类熟练掌握角的表示及分类是解答本题的关键．根据角的表示方法及角的分类，即可得到答案． 【详解】题图中小于平角的角有，，，，，，，共7个；其中以为一边的角有，，，． 故答案为：7； ，，，． ◆题型3角的分类 7．下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法、周角和平角的定义以及射线，熟练掌握相关概念是解题关键．根据角的表示方法、周角和平角的定义以及射线的概念逐个判断即可得． 【详解】解：第1个图形：表示应该是，则原描述错误； 第2个图形：射线绕点旋转一周形成，符合周角的定义，则原描述正确； 第3个图形：的两边在同一直线上且方向相反，符合平角的定义，则原描述正确； 第4个图形：射线是从点出发向点方向延伸的线，周角是角的一种概念，射线不是周角，则原描述错误； 综上，对于图形的描述正确的有2个， 故选：B． 8．下列说法正确的是（    ） A．两点的距离就是连接两点的线段 B．两点之间，直线最短 C．射线和射线是两条射线 D．两个锐角的和一定是锐角 【答案】C 【分析】本题考查两点间的距离，线段的性质，射线的定义，角的和差与分类，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两点的距离就是连接两点的线段的长度，故原说法错误； B、两点之间，线段最短，故原说法错误； C、射线和射线是两条射线，说法正确； D、两个锐角的和可能是锐角，直角或钝角，故原说法错误； 故选C． 9．给出下列判断： ①锐角的补角一定是钝角； ②一个角的补角一定大于这个角； ③如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； ④锐角和钝角一定互补． 其中正确的有______个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了余角补角的定义，同（等）角的余（补）角相等，角的分类等知识点，熟练掌握余角、补角、锐角、钝角的定义和性质是解题的关键． 要判断两角的关系，可根据：两角互余，和为，两角互补，和为，对各选项逐项分析判断即可． 【详解】解：①锐角的补角一定是钝角，正确； ②一个角的补角一定大于这个角，不正确； ③如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，正确； ④的角与的角满足一个是锐角一个是钝角，但是不互补，故不正确； 故其中正确的有：，共个， 故答案为：2． ◆题型4角的单位与角度制 10．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键． 利用度分秒之间的进率逐个分析选项即可． 【详解】解：A．，原计算正确，故此选项符合题意； B．，原计算错误，故此选项不符合题意； C．，原计算错误，故此选项不符合题意； D．，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 11．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查度、分、秒的换算，熟练掌握，是解题关键．将度、分、秒分别对应相加，再遵循满进的规则进行进位运算即可得答案． 【详解】解： ． 故答案为： 12．计算：_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握，． 根据度分秒的减法，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． ◆题型5角度的四则运算 13．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角板中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键．利用，表示的度数，再用，即可得解． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选：A． 14．若，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，熟知互为补角的定义是解题的关键．如果两个角的和为，那么这两个角互为补角；由此计算即可． 【详解】解：若， 则的补角为， 故选：D． 15．计算：_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了度、分、秒的计算，首先利用除以5，再把余数乘以60化成分，加到上再除以5，再把余数乘以60加到上，再除以5即可． 【详解】解： ． 故答案为：． ◆题型6角的度数大小比较 16．已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将转化为度的形式再与，比较，注意：，． 【详解】解：， ∵， ∴， 只有选项B符合． 故选：B． 17．如果，那么这两个角中较大的一个是___________． 【答案】 【分析】本题考查了角度的换算与比较，掌握角度的换算方法是解题的关键． 根据，将换算成以度为单位的角，再与比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为： ． 18．已知的余角是，的补角是，则和的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查余角和补角的知识以及角的大小比较及角度的换算，需根据余角与补角的定义来解答；首先根据互余两角之和为，互补两角之和为，由此求出和的值，再根据角度制换算，比较即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 考点二 角度计算与综合应用 ◆题型7钟面角 19．从如图所显示的时刻开始，经过分钟后时钟的时针与分针所成夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了钟面角，得到时针与分针之间的夹角是解题的关键． 根据分针每分钟转了，时针每分钟转了即可求解； 【详解】解：分针每分钟转了， 时针每小时转了， 时针每分钟转了， 图中显示的时刻为，当经过分钟后时间为， 此时时针所形成的角度为：， 分针所形成的角度为：， 则分针与时针所形成的角度为：， 故选：D 20．同一天中，从8点到8点10分，时针转了________度． 【答案】5 【分析】本题考查了求时针转过的角度，理解时针1小时转30度，1分钟转0.5度是解题的关键． 由时针每分钟转动0.5度，10分钟转动5度即可得出答案． 【详解】解：时针转动角度为度/分钟分钟度． 故答案为． 21．钟表上的时间是时，时针与分针的夹角为__________度． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角．解题的关键是掌握钟面角的计算方法：利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数．根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：钟面平均分成12份，每份30度， 时，时针指向和的中间，分针指向，则时针与分针相距份， 夹角为（度）， 故答案为：． ◆题型8方向角的表示 22．如图，射线表示的方向是（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】A 【分析】本题考查了方向角的概念，根据方向角的概念，射线表示的方向是北偏东，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据方向角的概念，射线表示的方向是北偏东， 故选：． 23．、两个城市的位置如图所示，那么射线表示的方向是（   ） A．东偏南 B．南偏东 C．南偏东 D．东偏南 【答案】C 【分析】此题主要考查了方向角．根据方向角的定义即可解答． 【详解】解：由题意知，， ∴射线表示的方向是南偏东， 故选：C． 24．如图，的方向是北偏西方向，平分，则的方向是___方向． 【答案】北偏东 【分析】本题考查方向角、角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解方向角的概念，学会用方向角描述位置． 根据方向角的定义和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：方向是北偏西方向， ， 平分， ， ， ∴的方向是北偏东方向． 故答案为：北偏东． ◆题型9与方向角有关的计算题 25．如图，是北偏西方向的一条射线，，则表示的方位角是（   ） A．北偏东 B．西偏北 C．北偏东 D．东偏北 【答案】A 【分析】本题考查了方位角，由题意可得，，求出，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：，， ∴， 故表示的方位角是北偏东， 故选：A． 26．如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（   ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】B 【分析】本题考查方位角，根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解． 【详解】解：过点作的平行线，交延长线于点 观察可知， ， ， 与平行 ， ， 灯塔在灯塔北偏西． 故选：B． 27．周末，小明和爸爸去海边游玩，他们站在海边的灯塔处（如图），小明用望远镜观测到远处有两艘轮船和，爸爸用测角仪测得轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏西的方向，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了方位角的概念、角度的和差计算，解题的关键是正确理解方位角． 根据的度数等于平角减去轮船的方位角求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． ◆题型10几何图形中角度计算问题 28．如图，已知，，与互余，平分，则的度数为 （        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的余角的度数，角平分线的定义，根据余角的定义求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 29．如图，已知，射线平分，若，那么的大小为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线、几何图形中角度计算等知识，首先根据角平分线的定义确定的度数，再由求解即可． 【详解】解：因为，射线平分， 所以， 因为， 所以． 故答案为：． 30．如图，已知，是内部的一条射线，． (1)求的度数； (2)若射线平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的数量关系，角平分线的有关计算： （1）根据可得，由此可解； （2）由角平分线的定义得，结合（1）中结论即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：平分，， ， 由（1）得， ． ◆题型11三角板中角度计算问题 31．利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中的角的运算，根据一副三角板中的角度有、、、，进行角度运算即可得答案． 【详解】解：一副三角尺的角有、、、， A．，可以画出，不符合题意； B．不能由这些角的和或差求出，不能画出，符合题意； C．可利用三角尺直接画出，不符合题意； D．，可以画出，不符合题意； 故选：B． 32．一副三角尺在下列摆放方式中，一定能确定与两角互余的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的定义，同角的余角相等，三角板中角度的特点，度数之和为90度的两个角互余，据此根据同角的余角相等，平角的定义和三角板中角度的特点逐一判断即可． 【详解】解：A、根据同角的余角相等可得，但不一定有，故不能确定与两角互余，不符合题意； B、根据三角板中角度的特点可得，则，故与两角不互余，不符合题意； C、根据平角的定义和三角板中角度的特点可得，故可以确定与两角互余，符合题意； D、根据平角的定义可得，故与两角不互余，不符合题意； 故选：C． 33．如图，将两个直角三角形纸片叠放在一起，使两个直角顶点重合于点．如果，那么_____°． 【答案】 【分析】本题考查角的计算．根据两个直角三角形的直角顶点重合，，从而可推出，，结合两个式子即可求出的度数． 【详解】解：∵两个直角三角形的直角顶点重合，且， ∴，， ∴, 故答案为：． ◆题型12角平分线的有关计算 34．下列说法中，正确的是（    ） A．角的平分线是一条直线 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，直线最短 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义、两点之间距离的定义、线段的性质和补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质． 根据角平分线的定义、两点之间距离的定义、线段的性质、补角的性质逐项分析，即可解答． 【详解】解： 角的平分线是一条射线，不是直线， A错误； 两点之间的距离是连接两点的线段的长度，不是线段本身， B错误； 两点之间，线段最短，不是直线， C错误； 同角的补角相等，这是补角的性质， D正确． 故选D． 35．如图，是的平分线，，，那么____________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 36．如图，已知点是直线上一点，是以为顶点的一条射线，平分，在的内部作一条射线． (1)图中与互余的角是_____； (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)和 (2) ，理由如下： 由（1）得， ∴， ∴ ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角的度数，正确理清角之间的关系是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，根据题意可得，则，再由余角的定义可得答案； （2）根据（1）所求求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中与互余的角是和； （2）略 ◆题型13角n等分线的有关计算 37．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 38．如图，已知，平分，且，则的度数为______． 【答案】20 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的和差计算，正确运用角平分线推理论证进行角度的和差计算是解题的关键．根据角平分线的定义求出的度数，根据可求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵，平分，且， ∴，， ∴， 故答案为：20． 39．如图，，，，则的度数为________° 【答案】76 【分析】本题考查了角的计算，先根据求出的度数，然后根据计算即可． 【详解】解∶∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为∶76． ◆题型14求一个角的余角 40．如图，，则图中互余的角共有（    ） A．2对 B．4对 C．3对 D．5对 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角，解题的关键是掌握余角的定义． 根据余角的定义进行求解即可． 【详解】解：互余的角有：，，，， 共有4对， 故选：B． 41．如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 根据余角的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，， ∴，， ∴， 综上，图中互余的角共有4对， 故选：C． 42．已知，那么的余角等于_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，根据度数之和为90度的两个角互余列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角， 故答案为：． ◆题型15求一个角的补角 43．已知，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是补角，掌握互为补角的两角之和为度是关键． 【详解】解：的补角为：， 故选：B． 44．若，则的补角为_____． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的补角，根据和为180度的两个角互为补角，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 45．如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 【答案】(1)， (2)， (3)北偏东 【分析】本题考查了余角和补角，方向角，角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知易得∶ ，从而可得，，再根据余角定义即可解答； （2）根据已知易得∶ ，再根据等式的性质可得．然后利用平角定义可得．从而可得，再根据平角定义可得，最后根据补角定义即可解答； （3）利用角的和差关系可得∶ ，然后根据方向角的定义，即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ，， 图中与互余的角是，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ ， ， ， ， ， ， 图中与互补的角是，， 故答案为∶ ，； （3）解：，， ， 点在点的北偏东方向． 故答案为∶北偏东． ◆题型16与余角、补角有关的计算 46．下列说法错误的是（    ） A．角与角互为余角 B．如果，那么和互补 C．两个角互补，如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角 D．一个角的补角比这个角的余角大90° 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于余角和补角的定义，能够正确理解互余是指两角之和为90度，互补是指两角之和为180度的性质． 分别根据互余和互补的性质进行解答即可． 【详解】解：角与角互为余角，说法正确，故本选项不符合题意； B． 如果，那么和互余，原说法错误，故本选项符合题意． C． 两个角互补，如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角，说法正确，故本选项不符合题意； D．一个角的补角比这个角的余角大，说法正确，故本选项不符合题意； 故选B 47．如图，，是直角，点B、O、D在同一直线上，则________． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角的定义和角的计算；弄清各个角之间的关系是关键． 先求出，再由邻补角关系求出的度数． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 48．一个角的余角比它的补角的少，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数为 【分析】本题主要考查余角、补角的计算，一元一次方程的运用，掌握一元一次方程解几何问题是解题的关键．根据题意，设这个角的度数为，则这个角的余角度数为，这个角的补角度数为，根据数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的余角为，这个角的补角为， 则， 解得，． 答：这个角的度数为． ◆题型17同（等）角的余（补）角相等的应用 49．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互补的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键． 根据同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A、图中，与互余，故本选项不符合题意； B、图中，不一定互补，故本选项错误； C、图中，互为补角，故本选项正确； D、图中，不是互补关系，故本选项错误． 故选：C． 50．如图，已知，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了同角的余角相等，根据同角的余角相等即可求解，掌握同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 51．如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________． (2)若，求的度数． (3)猜想：与之间的数量关系为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等求解即可； （2）由图得，求的度数即可； （3）根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．小明同学在课堂学习时发现自己忘带量角器，只有一副三角尺，那么他利用这副三角尺可以画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角尺能直接画出、、、等角度，通过加减组合可得到的整数倍的角度.是的倍数且可由和相加得到，而其他选项不是的倍数，无法画出． 本题考查了三角板的画图，熟练掌握三角板的构成元素是解题的关键． 【详解】解：∵三角尺可画出的角度均为的整数倍， ∵，为整数，且， ∴可以画出； ∵、、除以均不为整数， ∴无法画出． 故选：B． 2．给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查余角和补角，根据两个角的度数和为90度，两个角互为余角，两个角的度数和为180度时，两个角互为补角，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则，即互余；故①说法正确； 两个角的度数和为180度时，两个角互为补角；故②说法错误； 若，，则；故③说法正确； 若的余角为，则，故它的补角为；故④说法正确； 故选D． 3．下列说法中正确的是（    ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．两条射线组成的图形叫做角 C．如果，那么点B是线段的中点 D．一个锐角的补角一定比这个锐角的余角大 【答案】D 【分析】本题考查了线段的定义，角的定义，补角与余角，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、连接两点的线段是图形，而两点间的距离是该线段的长度，故该选项不符合题意； B、角是由两条有公共端点的射线组成的图形，选项未指定公共端点，故该选项不符合题意； C、当点B不在线段上时，不能推出B是的中点，故该选项不符合题意； D、设锐角为，补角为，余角为，，即补角一定大于余角，故该选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 4．将两把三角尺如下图所示摆放，若射线为的平分线，射线为的平分线，则______°． 【答案】45 【分析】利用三角板角的特征和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵，射线为的平分线， ∴， ∵，射线为的平分线， ∴， ∴． 5．已知的度数是度数的，且的补角比的余角的3倍大 ，则______． 【答案】70 【分析】本题考查了补角、余角的定义，一元一次方程的应用，关键是掌握补角、余角的定义； 【详解】解：设的度数为，则的度数为，根据补角的定义，的补角为；根据余角的定义，的余角为， 由题意列方程： 去括号得： 合并同类项得： 移项得： 解得： 则 故答案为：70. 6．下午是欣欣放学回家的时间，钟面上时针与分针的夹角是________． 【答案】75 【分析】本题主要考查了钟面角，明确钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为是解题的关键． 根据钟表上的角度我们知道一圈有12大格，每个大格的角度为，再利用钟表表盘的特征解答即可． 【详解】解：∵3点30分，时针和分针中间相差个大格， ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴时，分针与时针的夹角是． 故答案为：． 7．如图，为内一条射线，，，在内部，在外部，，那么的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查角的和差运算，关键是通过设中间角建立表达式，再消去中间量得到最终结果． 【详解】解：设． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 因此． 故答案为：． 三、解答题 8．已知小明的家在学校南偏东方向．如图，射线分别表示东、南、西、北方向，射线表示北偏东方向．如果点表示学校，画出从学校到小明家方向的射线． 【答案】如图，射线即为所求， 【分析】本题考查方位角的概念，方位角的作图方法．通过明确方向基准，确定角度关系绘制射线是解题的关键． 根据射线表示正南方向，射线表示正东方向，“南偏东”是指从正南方向（射线）向东（射线）偏转，绘制射线． 【详解】解：以点为顶点，以射线为始边，向正东方向作一个的角，这个角的终边即为射线，即为从学校到小明家的方向． 9．如图，已知，是内的一条射线，． (1)的度数是_____________度； (2)先画出的平分线，再求出的度数是_____________度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角的运算，角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，则，求出度数即可； （）先画出的平分线，所以，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是____________； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)40 (2)的度数为 (3) 解：，理由如下， 令，，则， ， ， ，即， ． ，， ， ． 【分析】（1）先根据余角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据计算即可； （2）根据以及角平分线的定义即可求解； （3）令，，则，根据，由两角互余得到，进而即可得到与满足的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； 故答案为：40； （2）解：，平分， ， ， ， ， ， ， ； （3）略 【点睛】本题考查了角平分线的意义，角度互补和互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是解题关键． 11．数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． (1)请在图1中画出的平分线（请在答题纸上作答，不需写出作法）； (2)若，求出的度数； (3)若，则的度数为 ；（用含有α的代数式表示）； (4)在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2．若，则的度数为 ； (5)如图1，若，若射线从位置绕点O以每秒的速度顺时针向方向旋转，同时射线从位置绕点O以每秒的速度逆时针向方向旋转，当旋转至时，均停止转动．设运动时间为t秒（）．在旋转过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 解：如图所示为所求： (2) (3) (4) (5)存在，当秒或秒时， 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）利用量角器即可作图； （2）先求出的度数，再利用求出的度数即可； （3）同理（2）计算即可； （4）先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可； （5）先求出，由题意得，分相遇前，相遇后，两种情况讨论即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （4）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴； 故答案为：； （5）解：存在，当秒或秒时，， ∵（秒）， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得， 当相遇前，如图， 则， ∵， ∴，解得； 当相遇后，如图， 则， ∵， ∴，解得； 综上，当秒或秒时，． 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 角 常考题型·精准突破 考点一 角的概念与基础运算 题型1 角的概念理解 题型2 角的表示方法 题型3 角的分类 题型4 角的单位与角度制 题型5 角度的四则运算（重） 题型6 角的度数大小比较 考点二 角度计算与综合应用 题型7 钟面角（难） 题型8 方向角的表示 题型9 与方向角有关的计算题（难） 题型10 几何图形中角度计算问题（高频） 题型11 三角板中角度计算问题 题型12 角平分线的有关计算（重） 题型13 角n等分线的有关计算 题型14 求一个角的余角 题型15 求一个角的补角 题型16 与余角、补角有关的计算 题型17 同（等）角的余（补）角相等的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 角的概念与基础运算 ◆题型1角的概念理解 1．下列正确的个数为（    ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．⑤线段上有无数个点；⑥两点之间线段最短； A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列关于角的说法中，正确的个数为（  ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关． A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，点在线段上．下列说法：①在直线上以为端点的线段共有6条；②若，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为；③图中小于平角的角有10个．其中说法正确的是____． ◆题型2角的表示方法 4．下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 5．下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示的图形中有______个小于平角的角，写出以为一边的所有角：______． ◆题型3角的分类 7．下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列说法正确的是（    ） A．两点的距离就是连接两点的线段 B．两点之间，直线最短 C．射线和射线是两条射线 D．两个锐角的和一定是锐角 9．给出下列判断： ①锐角的补角一定是钝角； ②一个角的补角一定大于这个角； ③如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； ④锐角和钝角一定互补． 其中正确的有______个． ◆题型4角的单位与角度制 10．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．计算：______． 12．计算：_____． ◆题型5角度的四则运算 13．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．若，则的补角等于（   ） A． B． C． D． 15．计算：_____________． ◆题型6角的度数大小比较 16．已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 17．如果，那么这两个角中较大的一个是___________． 18．已知的余角是，的补角是，则和的大小关系是______． 考点二 角度计算与综合应用 ◆题型7钟面角 19．从如图所显示的时刻开始，经过分钟后时钟的时针与分针所成夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 20．同一天中，从8点到8点10分，时针转了________度． 21．钟表上的时间是时，时针与分针的夹角为__________度． ◆题型8方向角的表示 22．如图，射线表示的方向是（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 23．、两个城市的位置如图所示，那么射线表示的方向是（   ） A．东偏南 B．南偏东 C．南偏东 D．东偏南 24．如图，的方向是北偏西方向，平分，则的方向是___方向． ◆题型9与方向角有关的计算题 25．如图，是北偏西方向的一条射线，，则表示的方位角是（   ） A．北偏东 B．西偏北 C．北偏东 D．东偏北 26．如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（   ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 27．周末，小明和爸爸去海边游玩，他们站在海边的灯塔处（如图），小明用望远镜观测到远处有两艘轮船和，爸爸用测角仪测得轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏西的方向，则的度数为_____． ◆题型10几何图形中角度计算问题 28．如图，已知，，与互余，平分，则的度数为 （        ） A． B． C． D． 29．如图，已知，射线平分，若，那么的大小为___________． 30．如图，已知，是内部的一条射线，． (1)求的度数； (2)若射线平分，求的度数． ◆题型11三角板中角度计算问题 31．利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（    ） A． B． C． D． 32．一副三角尺在下列摆放方式中，一定能确定与两角互余的是（　　） A． B． C． D． 33．如图，将两个直角三角形纸片叠放在一起，使两个直角顶点重合于点．如果，那么_____°． ◆题型12角平分线的有关计算 34．下列说法中，正确的是（    ） A．角的平分线是一条直线 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，直线最短 D．同角的补角相等 35．如图，是的平分线，，，那么____________度． 36．如图，已知点是直线上一点，是以为顶点的一条射线，平分，在的内部作一条射线． (1)图中与互余的角是_____； (2)试判断与的数量关系，并说明理由． ◆题型13角n等分线的有关计算 37．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 38．如图，已知，平分，且，则的度数为______． 39．如图，，，，则的度数为________° ◆题型14求一个角的余角 40．如图，，则图中互余的角共有（    ） A．2对 B．4对 C．3对 D．5对 41．如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 42．已知，那么的余角等于_____． ◆题型15求一个角的补角 43．已知，则的补角为（   ） A． B． C． D． 44．若，则的补角为_____． 45．如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． ◆题型16与余角、补角有关的计算 46．下列说法错误的是（    ） A．角与角互为余角 B．如果，那么和互补 C．两个角互补，如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角 D．一个角的补角比这个角的余角大90° 47．如图，，是直角，点B、O、D在同一直线上，则________． 48．一个角的余角比它的补角的少，求这个角的度数． ◆题型17同（等）角的余（补）角相等的应用 49．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互补的是（   ） A． B． C． D． 50．如图，已知，，则的度数为______． 51．如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________． (2)若，求的度数． (3)猜想：与之间的数量关系为___________． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．小明同学在课堂学习时发现自己忘带量角器，只有一副三角尺，那么他利用这副三角尺可以画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列说法中正确的是（    ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．两条射线组成的图形叫做角 C．如果，那么点B是线段的中点 D．一个锐角的补角一定比这个锐角的余角大 二、填空题 4．将两把三角尺如下图所示摆放，若射线为的平分线，射线为的平分线，则______°． 5．已知的度数是度数的，且的补角比的余角的3倍大 ，则______． 6．下午是欣欣放学回家的时间，钟面上时针与分针的夹角是________． 7．如图，为内一条射线，，，在内部，在外部，，那么的度数为___________． 三、解答题 8．已知小明的家在学校南偏东方向．如图，射线分别表示东、南、西、北方向，射线表示北偏东方向．如果点表示学校，画出从学校到小明家方向的射线． 9．如图，已知，是内的一条射线，． (1)的度数是_____________度； (2)先画出的平分线，再求出的度数是_____________度． 10．已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是____________； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 11．数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． (1)请在图1中画出的平分线（请在答题纸上作答，不需写出作法）； (2)若，求出的度数； (3)若，则的度数为 ；（用含有α的代数式表示）； (4)在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2．若，则的度数为 ； (5)如图1，若，若射线从位置绕点O以每秒的速度顺时针向方向旋转，同时射线从位置绕点O以每秒的速度逆时针向方向旋转，当旋转至时，均停止转动．设运动时间为t秒（）．在旋转过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $