专题02 角的计算的常见类型（五大题型）（专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题02 角的计算的常见类型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角板中角度计算问题 1 题型二、角平分线的有关计算 2 题型三、双角平分线模型 5 题型四、分类讨论思想的应用 10 题型五、方程思想与分类谈论思想综合应用 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角板中角度计算问题 1．(23-24六下·上海闵行区·期末)如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，乙尺是含45度角的直角三角形，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 2．(23-24六下·上海松江区·期末)如图，一副三角尺（度数分别为、、和、、）按下面不同的方式摆放，其中的图形有（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 3．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4 ．将一副直角三角尺按如图的不同方式摆放，则图中与一定相等的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 题型二、角平分线的有关计算 5．(24-25六上·上海第二工业大学附属龚路中学六年级·期末)如图，是的平分线，是内的一条射线，若比大，则的度数是 ． 6．(24-25六上·上海实验学校·期末)如图，若，则 ． 7．(24-25六上·上海浦东模范中学·)已知分别是的角平分线．是内部的一条射线，若，则的度数为 ． 8．(24-25六上·上海青浦区华新中学·期末)如图，是的平分线，．，那么 度． 9．(24-25六上·上海嘉定区·期末)如图所示：O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，则的度数= ． 10．(24-25六上·上海松江区·期末)如图，点、、在一条直线上，且，如果平分，那么图中 11．(24-25六上·上海民办克勒外国语学校·期末)如图所示，点O是直线上一点，，平分．若，求的度数． 12．(24-25六上·上海闵行区·期末)如图，已知，是内部的一条射线，． (1)求的度数； (2)画出的角平分线，并求的度数． 13．(23-24七上·浙江嘉兴·期末)如图，射线，在的内部，，平分． (1)当时，求的度数． (2)若，求的度数． 14．(24-25六上·上海青浦区华新中学·期末)如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，，，．    (1)写出图中的互余的角___________， (2)___________度． (3)利用直尺和圆规作的角平分线． (4)射线OA、OE分别表示从点O出发东、西两个方向，那么点F点O的___________方向． 15．(24-25六上·上海宝山区宝山实验中学·期末)如图，已知∠AOB内部有三条射线OC、OF、OE，∠AOB＝2∠COE，OF平分∠AOE． (1)若∠FOE＝40°，∠COF＝20°，求∠BOE的度数； (2)若∠COF＝x°，直接写出∠BOE的度数为______________（用含x的式子表示）． 题型三、双角平分线模型 类型一：两个角无公共部分 条件：如图，已知OD，OE分别平分∠AOB，∠BOC . 结论： . 类型二：两个角有公共部分 条件：如图，已知OD,OE分别平分∠AOB,∠BOC . 结论： . 类型三:三个角围成周角 条件：如图，已知 , 平分，平分 . 结论： . 16．(23-24六下·上海交大集团附属中学·期末)如图，点O在直线N上，在上方，、分别平分、，如果，那么 ．    17．(24-25六上·上海奉贤区·期末)如图，是的平分线，平分，且，则 ．    18．(24-25六上·上海大同初级中学·期末)如图，点O为直线上一点，．已知的度数比的度数的3倍多． (1)求的度数； (2)若、分别平分、，求的度数． 19．如图，已知是直角，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将题中是直角的条件改成，其他条件不变，求的度数． 20．如图，已知，射线为内的一条射线，分别平分． (1)填空：的度数为　　　； (2)当射线在内绕点转动，其它条件都不变时，的大小会发生变化吗？说明理由． 21．(24-25六上·上海大同初级中学·期末)已知，，OC平分∠AON． （1）如图1，射线与射线OB均在∠MON的内部． ①若，∠MOA＝ °； ②若，直接写出∠MOA的度数（用含的式子表示）； （2）如图2，射线OA在∠MON的内部，射线OB在∠MON的外部． ①若，求∠MOA的度数（用含的式子表示）； ②若在∠MOA的内部有一条射线OD，使得，直接写出∠MOD的度数． 22．(24-25六上·上海杨浦区·期末)如图，已知射线、是钝角内的两条射线，，平分． (1)如果，，求的度数； (2)如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数吗？为什么； (3)作的角平分线，如果现在只给出的度数，是否能确定的度数？请说明理由． 23．(24-25六上·上海民办上宝中学预六年级（五四制）·月考)如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 24．(24-25六上·上海普陀区武宁中学·期末)如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 题型四、分类讨论思想的应用 25．(23-24六下·上海民办文绮中学·期末)已知，，那么的度数是 ． 26．(24-25六上·上海徐汇区·期末)如图，，以点为顶点，射线为一边，利用含30°角的三角板画．则的度数为 ． 27．已知，画射线，使与互补，那么的度数为 ． 28．(24-25六上·上海普陀区武宁中学·期末)如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 29．(23-24六下·上海宝山区·期末)已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是 ． 30．(24-25六上·上海宝山实验学校·期末)定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_______； (2)如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 题型五、方程思想与分类谈论思想综合应用 31．(24-25六上·上海宝山实验学校·期末)如图，点A、O、B都在直线上，射线绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转射线，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（当其中一条射线与直线叠合时，两条射线停止旋转），经过 秒，的大小恰好是． 32．(23-24六下·上海虹口区·期末)一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 33．(24-25六上·上海浦东区·期末)在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 34．(23-24六下·上海徐汇区上海位育中学·期末)定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3) 如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 一、单选题 1．(24-25六上·上海徐汇区·期末)如图，O是直线AB上一点，AOD=120, AOC=90,OE平分BOD，则图中彼此互补的角共有（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 二、填空题 2．(23-24六下·上海松江区·期末)如图，是的平分线，，则比大 度． 3．(24-25六上·上海浦东川沙华夏西校、川中南校、5.3中学等·期末)如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是 （填序号） 4．(24-25六上·上海宝山区顾村实验学校·期末)如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 三、解答题 5．(24-25六上·上海普陀区进华中学·期末)如图，是的平分线， (1)用直尺和圆规作的平分线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)结合图形，猜测与之间的数量关系，然后逐步填空． 解：与之间的数量关系是：___________． 因为是的平分线， 所以___________， 同理，___________， 于是_____________________________________________________________________________． 6．(24-25六上·上海奉贤区·期末)作图并填空． (1)已知：．求作：的角平分线； (2)已知：线段．求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段；②则线段．③在射线上画线段；④画射线；你认为正确的顺序是______． 7．(24-25六上·上海宝山区顾村实验学校·期末)如图，已知和． (1)以为一边，在的外部画，使； (2)画出的平分线． 8．(24-25六上·上海嘉定区·期末)作图题（第1题需要写出画法，第2题不需要写出画法） (1)如图1，已知线段和，用尺规作线段，使得； (2)如图2，已知和，在内部画，使，并画出的平分线． 9．(24-25六上·上海松江区·期末)如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 10．(22-23六下·上海普陀区·期末)定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 11．(24-25六上·上海第二工业大学附属龚路中学六年级·期末)利用数轴和绝对值的知识我们可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算也有密切关联，借助对数轴的研究，可以迁移到角度的研究． 【观察】已知数轴上有两点、    （1）如图1，点表示的数是，点表示的数是3，线段的长度______，可以理解为；如图2，点表示的数是0，点表示的数是5，线段的长度是______，可以理解为． 【归纳】（2）由此小华得出结论：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点之间的距离______． （3）若点表示的数是，点表示的数是，，则，得______． 【迁移】小华根据数轴的定义结合圆规设计了一种“曲形数轴”用来解决角度问题．如图3，标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位长度。例如：射线表示，射线表示，则可以得到．    （4）若射线表示，射线表示，则______（用含的代数式表示）． 【应用】如图4，已知，，，射线同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为（）秒 （5）当______秒时，． （6）当______秒时，． 12．(24-25六上·上海实验学校·期末)小敏在商场买了一块机械手表，爱钻研的小敏发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型(点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上)． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，求的长度； (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”(此时与重合)．时针为，小敏一看现在正好是，如图3所示． ①求时分针和时针夹角的度数； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图4所示，自之后，始终是的角平分线(分针还是)，在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 角的计算的常见类型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角板中角度计算问题 1 题型二、角平分线的有关计算 3 题型三、双角平分线模型 10 题型四、分类讨论思想的应用 22 题型五、方程思想与分类谈论思想综合应用 28 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角板中角度计算问题 1．(23-24六下·上海闵行区·期末)如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，乙尺是含45度角的直角三角形，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了同角或等角的余角（补角）相等，互余和互补的概念等知识，掌握这些知识是解题的关键．利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、三角形内角和定理即可确定答案． 【详解】解：由图①知，，则，故与不一定相等； 由图②知，根据同角的余角相等得：； 由图③知，根据等角的补角相等得：； 由图④知，，，故与不相等； 综上所述，与一定相等的是②③． 故选：B． 2．(23-24六下·上海松江区·期末)如图，一副三角尺（度数分别为、、和、、）按下面不同的方式摆放，其中的图形有（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角和补角，三角板中角度的计算，掌握邻补角的定义及“同角的余角相等”、“等角的补角相等”是解决本题的关键． 利用互余、互补关系，邻补角的定义逐个分析得结论． 【详解】解：图（1）中，由于，，可得到； 图（2）中，根据“同角的余角相等”，可得到； 图（3）中，根据“等角的补角相等“，可得到； 图（4）中，由于，，所以． ∴的图形有（1）（2）（3）． 故选：C． 3．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，根据三角板中角度的特点可求出第一幅图和的度数；第二幅图中，根据同角的余角相等可得；根据三角板中角度的特点可求出第三幅图和的度数；第四幅图中，，且，则；据此可得答案． 【详解】解：左边起，第一幅图中，，则； 第二幅图中，根据同角的余角相等可得； 第三幅图中，； 第四幅图中，，且，则； 则的有3个， 故选：C． 4 ．将一副直角三角尺按如图的不同方式摆放，则图中与一定相等的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是余角和补角，根据余角和补角的概念解答． 【详解】解：①由图形得：，不合题意； ②根据同角的余角相等可得，符合题意； ③由图形可得：，符合题意； ④∵， ∴，不合题意； 故选：B． 题型二、角平分线的有关计算 5．(24-25六上·上海第二工业大学附属龚路中学六年级·期末)如图，是的平分线，是内的一条射线，若比大，则的度数是 ． 【答案】 【分析】先利用角平分线的定义得到，再根据可得，则，然后求解即可． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵比大， ∴，即， ∴， ∴，即． 故答案为． 6．(24-25六上·上海实验学校·期末)如图，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算．根据已知角的度数求出，再利用计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 7．(24-25六上·上海浦东模范中学·)已知分别是的角平分线．是内部的一条射线，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，角平分线，利用角的加减，角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．(24-25六上·上海青浦区华新中学·期末)如图，是的平分线，．，那么 度． 【答案】30 【分析】根据角平分线的性质计算即可； 【详解】解：是的平分线，， ， ， ． 故答案为：30． 9．(24-25六上·上海嘉定区·期末)如图所示：O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，则的度数= ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角，角的计算，根据题意列方程是解题的关键．设，，把角用未知数表示出来，建立x的方程，即可得到结论． 【详解】解：因为 设，则， 因为是的平分线 则， 则， 即， 解得， 故． 故答案为： 10．(24-25六上·上海松江区·期末)如图，点、、在一条直线上，且，如果平分，那么图中 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，平角定义， 先根据角平分线的定义求出，即可求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．(24-25六上·上海民办克勒外国语学校·期末)如图所示，点O是直线上一点，，平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角的计算，关键是掌握角平分线定义．由平角定义求出的度数，由角平分线定义求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：是直线上一点， ， ， ， 平分， ， ， ． 12．(24-25六上·上海闵行区·期末)如图，已知，是内部的一条射线，． (1)求的度数； (2)画出的角平分线，并求的度数． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】本题考查了角的运算、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握角的运算是解题的关键． （1）由，设，则，利用解方程求出的值，即可得到的度数； （2）根据角平分线的定义，先画出的角平分线，以及，再利用角的和差即可得到的度数． 【详解】（1）解：， 设，则， ， ， 解得：， ． （2）解：如图所示，的角平分线即为所求： 是的角平分线， ， 由（1）得，， ． 13．(23-24七上·浙江嘉兴·期末)如图，射线，在的内部，，平分． (1)当时，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差，垂直的定义，角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得，由垂直的定义可得，从而根据即可求解； （2）设，．由平分得到，，又，得到，求解即可解答． 【详解】（1）∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵ ∴设，． 平分， ， ， ， ，即 ∴， 解得， ． 14．(24-25六上·上海青浦区华新中学·期末)如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，，，．    (1)写出图中的互余的角___________， (2)___________度． (3)利用直尺和圆规作的角平分线． (4)射线OA、OE分别表示从点O出发东、西两个方向，那么点F点O的___________方向． 【答案】(1)和，和∠DOE (2) (3)见解析 (4)北偏东 【分析】（1）和为的两角互余，根据这个概念结合图形找角即可； （2）根据，可求的度数，然后再根据即可求的大小； （3）利用尺规作图作出图形即可； （4）找出正北方向，利用角的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 故和互余；和∠DOE互余； 故答案为：和；和∠DOE； （2）解：由（1）知， 所以， 所以， 故答案为：； （3）解：的角平分线如图：   ； （4）解：如图，作，即为正北方向， 因为，， 所以， 因为平分， 所以， 所以，    那么点F点O的北偏东方向． 故答案为：北偏东． 15．(24-25六上·上海宝山区宝山实验中学·期末)如图，已知∠AOB内部有三条射线OC、OF、OE，∠AOB＝2∠COE，OF平分∠AOE． (1)若∠FOE＝40°，∠COF＝20°，求∠BOE的度数； (2)若∠COF＝x°，直接写出∠BOE的度数为______________（用含x的式子表示）． 【答案】(1)40° (2)2x° 【分析】（1）根据题意和角平分线的性质，可以计算出∠BOE的度数； （2）根据题意和图形，可以用x的代数式表示出∠BOE的度数． 【详解】（1）解：∵ OF平分∠AOE，∠FOE=40°， ∴∠AOF=∠FOE=40°， ∵∠COF=20°， ∴∠AOC=∠AOF-∠COF=20°，∠COE=∠COF+∠FOE=60°， 又∵∠AOB=2∠COE， ∴∠AOB=120°， ∴∠BOE=∠AOB-∠AOC-∠COE=120°-20°-60°=40°． （2）设∠EOF=y°，则∠AOE=2y°， ∵∠COF=x°， ∴∠AOC=y°-x°，∠COE=x°+y°， ∵∠AOB=2∠COE， ∴∠AOB=2（x°+y°）， ∴∠BOE=∠AOB-∠AOC-∠COE =2（x°+y°）-（y°-x°）-（x°+y°） =2x°+2y°-y°+x°-x°-y° =2x°， 即∠BOE的度数为2x°， 故答案为：2x° 题型三、双角平分线模型 类型一：两个角无公共部分 条件：如图，已知OD，OE分别平分∠AOB，∠BOC . 结论： . 类型二：两个角有公共部分 条件：如图，已知OD,OE分别平分∠AOB,∠BOC . 结论： . 类型三:三个角围成周角 条件：如图，已知 , 平分，平分 . 结论： . 16．(23-24六下·上海交大集团附属中学·期末)如图，点O在直线N上，在上方，、分别平分、，如果，那么 ．    【答案】/88度 【分析】本题考查角平分线的定义和角的和差，先根据角平分线的定义得到，，然后根据解题即可． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， 解得：， 故答案为：． 17．(24-25六上·上海奉贤区·期末)如图，是的平分线，平分，且，则 ．    【答案】/72度 【分析】本题考查角平分线，理解角平分线的概念是正确计算的前提． 根据角平分线的概念进行计算即可． 【详解】解：平分，， ， 又是的平分线， ， 故答案为：． 18．(24-25六上·上海大同初级中学·期末)如图，点O为直线上一点，．已知的度数比的度数的3倍多． (1)求的度数； (2)若、分别平分、，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角的计算与角平分线的相关计算． （1）首先设，由的度数比的度数的3倍多，且，可得方程：，解此方程即可求得答案； （2）先求出，由、分别平分、，可得，，即可求得答案． 此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【详解】（1）设， ∵的度数比的度数的3倍多，且，， ∴， 解得：， ∴； （2）∵，的度数比的度数的3倍多， ∴， ∴， ∵、分别平分、，， ∴，， ∴． 19．如图，已知是直角，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将题中是直角的条件改成，其他条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、与角平分线有关的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解； （2）先求出，再由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 20．如图，已知，射线为内的一条射线，分别平分． (1)填空：的度数为　　　； (2)当射线在内绕点转动，其它条件都不变时，的大小会发生变化吗？说明理由． 【答案】(1) (2)的大小不会发生变化等于，理由见解析 【分析】（1）由分别平分得，从而得到，代入数值即可得到答案； （2）由分别平分得，结合，即可求得，得到答案． 【详解】（1）分别平分和， ， ， 故答案为：； （2）解：分别平分和， ， ， 的度数不变， 的大小不会发生变化等于． 21．(24-25六上·上海大同初级中学·期末)已知，，OC平分∠AON． （1）如图1，射线与射线OB均在∠MON的内部． ①若，∠MOA＝ °； ②若，直接写出∠MOA的度数（用含的式子表示）； （2）如图2，射线OA在∠MON的内部，射线OB在∠MON的外部． ①若，求∠MOA的度数（用含的式子表示）； ②若在∠MOA的内部有一条射线OD，使得，直接写出∠MOD的度数． 【答案】（1）①40；②；（2）①；②． 【分析】（1）①先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得； ②先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得； （2）①先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得； ②先根据角的和差可得，从而可得，再根据即可得． 【详解】解：（1）①， ， 平分， ， ， ， 故答案为：40； ②， ， 平分， ， ， ； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②如图，由（2）①已得：，， ， ， ， ． 22．(24-25六上·上海杨浦区·期末)如图，已知射线、是钝角内的两条射线，，平分． (1)如果，，求的度数； (2)如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数吗？为什么； (3)作的角平分线，如果现在只给出的度数，是否能确定的度数？请说明理由． 【答案】(1) (2)还能求出的度数，理由见详解； (3)能确定的度数，理由见详解． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，正确认识图形，找准角的和差关系是正确解答此题的关键． 能确定的度数？请说明理由． （1）由，先求出，再利用角平分线的定义及角的和差关系即可求出的度数； （2）利用角平分线的定义及角的和差关系即可求出的度数是的度数的； （3）利用角平分线的定义及角的和差关系求出的度数是的度数的即可说明理由． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数， 理由如下： 射线平分， ， ， ， ； 即的度数是的度数的； 所以如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数； （3）解：只给出的度数，能确定的度数，理由如下： ， ， 射线平分， ， 平分， ， 的度数已知， 和已知， 由和得 ， ， ， 已知， 即已知， ， ，， ， ， ， 即已知可以确定． 23．(24-25六上·上海民办上宝中学预六年级（五四制）·月考)如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线，角的计算，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可； （2）由（1）的计算过程可得结论； （3）根据角的倍数关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和． ， ． （2）解：， ∵射线和射线分别平分和． ， ， 即； （3）解：， ， 又 ∵， ， ． 24．(24-25六上·上海普陀区武宁中学·期末)如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 题型四、分类讨论思想的应用 25．(23-24六下·上海民办文绮中学·期末)已知，，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角度的计算．分情况求解是解题的关键． 由题意知，，分在内部，在外部，两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，， 分在内部，在外部，两种情况求解； 当在内部， ∴； 当在外部， ∴； 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 26．(24-25六上·上海徐汇区·期末)如图，，以点为顶点，射线为一边，利用含30°角的三角板画．则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，属于基础题，关键要根据射线的位置不同，分类讨论，分别求出的度数． 【详解】解：如图， 如果射线在下方，， 如果射线在射线的上方，． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 27．已知，画射线，使与互补，那么的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了补角的定义，互补的两个角的和等于，作出图形，根据互为补角的两个角的和等于求出的度数，再分射线在的内部与外部两种情况，然后求解即可． 【详解】解：∵，与互补， ∴， 如图，在的内部， ， 如图，在的外部时， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 28．(24-25六上·上海普陀区武宁中学·期末)如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查几何图形角度的计算，余角的定义，分两种情况：当在内部时，当在外部时，画出示意图，进而可得出答案． 【详解】解：∵，比大， ∴， ∴， ∴，则， ∵与互余， ∴， ∴， 如图，当在内部时， 则； 如图，当在外部时， 则； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 29．(23-24六下·上海宝山区·期末)已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查角的运算，根据题意分两种情况，分别画出图形求解即可，解答本题的关键是分类讨论． 【详解】解：当和在的同一侧时，如图， ∵射线、分别平分、，，， ∴，， ∴； 当和在的两侧时，如图， 同理可得，， ∴， 综上，的度数是或． 故答案为：或． 30．(24-25六上·上海宝山实验学校·期末)定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_______； (2)如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)能，或或或． 【分析】本题主要考查了角的和与差，图形旋转的性质，一元一次方程的应用，明确题意，理解新定义，并利用方程思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据内半角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质可得：，，再根据内半角的定义，即可求解； （3）分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：是的内半角，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：旋转的角度为时，是的内半角；理由如下： ， ， ，， 是的内半角， ， ， 旋转的角度为时，是的内半角； （3）解：在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为， 如图1，是的内半角，， ， ， 解得：， ； 如图2，是的内半角，， ， ， ， ； 如图3，是的内半角，， ， ， ， ， 如图4，是的内半角，， ， ， 解得：， ， 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角． 题型五、方程思想与分类谈论思想综合应用 31．(24-25六上·上海宝山实验学校·期末)如图，点A、O、B都在直线上，射线绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转射线，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（当其中一条射线与直线叠合时，两条射线停止旋转），经过 秒，的大小恰好是． 【答案】12或24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．经过秒，的大小恰好是，分和两种情况，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：经过秒，的大小恰好是， 依题意，得：或， 解得：或． 故答案为：12或24． 32．(23-24六下·上海虹口区·期末)一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 【答案】或或或 【分析】此题主要考查了角平分线定义和几何图形中角度计算问题，作的平分线为，的平分线为，求出，然后分如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当和重合，即同向共线时，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的平分线为，的平分线为， ∴，， ∴， 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了或或或 故答案为：或或或． 33．(24-25六上·上海浦东区·期末)在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）或时，；（3）或 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）利用分类思想解答即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：． （2）或． 理由：如答图① ， ∵， ∴； 如答图②，∵， ∴； （3）当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 即此时， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 即此时； 综上所述，的度数为或． 34．(23-24六下·上海徐汇区上海位育中学·期末)定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②不会发生变化，见解析 (3)或 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确联系新定义的内容是解题的关键； （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得到，，求解即可； ②不变，根据题意，，代入即可求解； （3）因为，位置不确定，有两种情况，第一种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数；第二种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数． 【详解】（1）解：，为的分位线，且； ，， ， ； 故答案为：； （2）解：①，分别为与的分位线，（，） ，， ， ， ，， ， ， ； ②不变； ，分别为与的分位线，（，）， ，， ； 若，的度数不会改变； （3）解：根据题意作图，如图所示， 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ，， 点、、在同一条直线上 ， ， ， ； 根据题意作图，如图所示； 已知射线、分别为与的分位线， 设， 则，， ∵点、、在同一条直线上， ， ， 解得； ∴； 的度数为或． 一、单选题 1．(24-25六上·上海徐汇区·期末)如图，O是直线AB上一点，AOD=120, AOC=90,OE平分BOD，则图中彼此互补的角共有（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】首先根据条件计算出∠BOD=60°，∠COD=30°，∠DOE=∠EOB=30°，进而可得∠AOE=150°，然后根据补角定义分析即可． 【详解】解：∵∠AOD=120°，∠AOC=90°， ∴∠BOD=60°，∠COD=30°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE=∠EOB=30°， ∴∠AOE=150°， ∴∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE+∠COD=180°，∠AOE+∠DOE=180°，∠AOC+∠COB=180°，∠AOD+∠BOD=180°，∠AOD+∠COE=180°， 共6对， 故选C． 二、填空题 2．(23-24六下·上海松江区·期末)如图，是的平分线，，则比大 度． 【答案】50 【分析】本题考查了角平分线的定义，能理解角平分线的定义和角的和与差是解此题的关键 根据角平分线定义得出，再根据角的和与差即可得出答案． 【详解】解：是的平分线， ， ． 故答案为：50． 3．(24-25六上·上海浦东川沙华夏西校、川中南校、5.3中学等·期末)如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】结合题意，根据角的度量的性质，得及，从而推导得；根据角的和差的性质，计算得以及，从而完成求解． 【详解】∵射线、分别经过刻度117和153 ∴ 把绕点逆时针方向旋转到，得 ∵， ∴，即①正确； ∵射线经过刻度27 ∵ ∴射线经过刻度为： ∴ ∴ ∴，即②正确； ∵，且 ∴ ∴ ∴射线经过刻度为：，即③正确； 故答案为：①②③． 4．(24-25六上·上海宝山区顾村实验学校·期末)如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 5．(24-25六上·上海普陀区进华中学·期末)如图，是的平分线， (1)用直尺和圆规作的平分线．（不写作法，保留作图痕迹） (2)结合图形，猜测与之间的数量关系，然后逐步填空． 解：与之间的数量关系是：___________． 因为是的平分线， 所以___________， 同理，___________， 于是_____________________________________________________________________________． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查作图尺规作图及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图及角平分线的定义和性质． （1）根据角平分线的尺规作图即可得； （2）由平分知、由平分知，根据可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）与之间的数量关系是：， 因为是的平分线， 所以， 同理，， 于是； 6．(24-25六上·上海奉贤区·期末)作图并填空． (1)已知：．求作：的角平分线； (2)已知：线段．求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段；②则线段．③在射线上画线段；④画射线；你认为正确的顺序是______． 【答案】(1)见解析 (2)④①③② 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，掌握运用尺规画角平分线和线段的方法是解题的关键． （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交、于点M、N两点，分别再以点M、N为圆心，大于半径画弧，两弧交于角内部的一点C，连接，则射线即为所求作的的角平分线； （2）先作射线，再截取，然后截取，则线段的长为． 【详解】（1）解：射线即为所求作的射线，如图所示： （2）解：如图所示： ④画射线； ①在射线上画线段； ③在射线上画线段； ②则线段． ∴正确顺序为④①③②． 7．(24-25六上·上海宝山区顾村实验学校·期末)如图，已知和． (1)以为一边，在的外部画，使； (2)画出的平分线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】此题主要考查了基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键． （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据作已知角的平分线的方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求． 8．(24-25六上·上海嘉定区·期末)作图题（第1题需要写出画法，第2题不需要写出画法） (1)如图1，已知线段和，用尺规作线段，使得； (2)如图2，已知和，在内部画，使，并画出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）任意作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，接着以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，最后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点，即可得线段． （2）根据作一个角等于已知角的方法以及角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图，任意作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，接着以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，最后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点， 则线段即为所求． ； （2）解：如图，和射线即为所求． 9．(24-25六上·上海松江区·期末)如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查的是角的计算，根据的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）设，可得，根据与互补列出方程求出的值即可； （2）根据角平分线的意义求出，即可得出绪论； （3）根据求出，由是的平分线可得出，再分在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵平分， ∴， ∵与互补， ∴ ∵ ∴ 解得，， ∴ 故答案为：30； （2）解：∵平分， ∴ ∵是的平分线， ∴ 又 ∵ ∴； （3）解：∵且 ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵与互余， ∴ ∴ ①若在内部时，如图， 则； ②若在外部时，如图， 则； 综上，或． 10．(22-23六下·上海普陀区·期末)定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，. ②度数为或 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得； （2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得． 【详解】（1）解：∵，是的半余角， ∴， 故答案为：； （2）解：①在的内部画射线，使，如图所示： 则， ， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的半余角有：，； ②设，则， ∴， ∵是的半余角， ∴， 当是的时，， 如图所示，若射线在内， 则， ∴， ， ； 如图所示，若射线在外， 则， ∴， ， ； 综上，的度数为或． 11．(24-25六上·上海第二工业大学附属龚路中学六年级·期末)利用数轴和绝对值的知识我们可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算也有密切关联，借助对数轴的研究，可以迁移到角度的研究． 【观察】已知数轴上有两点、    （1）如图1，点表示的数是，点表示的数是3，线段的长度______，可以理解为；如图2，点表示的数是0，点表示的数是5，线段的长度是______，可以理解为． 【归纳】（2）由此小华得出结论：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点之间的距离______． （3）若点表示的数是，点表示的数是，，则，得______． 【迁移】小华根据数轴的定义结合圆规设计了一种“曲形数轴”用来解决角度问题．如图3，标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位长度。例如：射线表示，射线表示，则可以得到．    （4）若射线表示，射线表示，则______（用含的代数式表示）． 【应用】如图4，已知，，，射线同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为（）秒 （5）当______秒时，． （6）当______秒时，． 【答案】（1）4，5；（2）；（3）2或；（4）；（5）3或15；（6）或6 【分析】（1）根据数轴上两点A，B表示的数即可求解； （2）根据题意可得A，B两点之间的距离； （3）解绝对值方程即可求解； （4）利用角的和差即可求解； （5）分两种情况：重合前，重合后，分别求解即可； （6）分两种情况：重合前，重合后，分别求解即可． 【详解】解：（1）如图1，点表示的数是，点表示的数是3，线段的长度是4，可以理解为；如图2，点表示的数是0，点表示的数是5，线段的长度是5，可以理解为； 故答案为：4，5； （2）由此小华得出结论：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点之间的距离； 故答案为：； （3）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：2或； （4）∵射线表示，射线表示， ∴，， ∴度， 故答案为：； （5）分两种情况： 由题意得，， 重合前， ， ∴； 重合后， ， ∴； ∴当或秒时，； 故答案为：3或15； （6）分两种情况： 由题意得，， 重合前， ， ∵， ∴， ∴； 重合后，， ∵， ∴， ∴； ∴当t为秒或6秒时，． 故答案为：或6． 12．(24-25六上·上海实验学校·期末)小敏在商场买了一块机械手表，爱钻研的小敏发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型(点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上)． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，求的长度； (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”(此时与重合)．时针为，小敏一看现在正好是，如图3所示． ①求时分针和时针夹角的度数； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图4所示，自之后，始终是的角平分线(分针还是)，在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 【答案】(1) (2)①；②的度数为或 (3)经过分钟或分钟后，的度数是 【分析】本题考查了钟面角，线段的和差，一元一次方程的应用， 理解题意并正确进行分类讨论是解题的关键． （1）根据B是中点，得到，再根据，由计算即可； （2）①表盘为圆，分小时，每分钟时针走过的度数为，点整，时针刚好落在时上，分钟后时针转动了，则时，分针在时处，时针在时过的地方，据此即可得出的度数；②分情况讨论，当射线在内部和外部两种情况，分别求解即可； （3）根据题意可得，由平分可得，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵B是中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵分针的速度为：（度/分）， 时针的速度为：（度/分）， ∴分钟时针走的角度为：，即时针从点到走的角度为， ∴， 即：时分针和时针夹角的度数为； ②∵， 当在内部时， ， ∴； 当在外部时， ∴； 综上，的度数为或； （3）解：设经过时间为分钟， 由（2）可知：时针与分针的速度差为（度/分）， ∴， ∵平分， ∴， ∴或， 解得：或， ∴经过分钟或分钟后，的度数是． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $