河南商丘市(民权县,虞城县,宁陵县)多校2026-2027学年高二上学期10月考试数学试卷A卷

高二10月数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.若直线l过点(1，-1)，且与直线3x-y+2=0平行，则直线l的方程为 A.y=3x-2 B.y=-3x+2 C.y=3x-4 D.y=-3x+4 2.已知直线l的斜率为2，则l的倾斜角0满足 A.0°<0<30° B.30°<0<45° C.45°<0<60° D.60°<0<90° 3.已知向量α=(-2，-4,1)与b=(2,m,-1)的夹角为钝角，则m的值可以是 A.-4 B.-2 C.2 D.4 4.在三棱柱ABC-A,B,C,中，M是B,C,的中点，记AB=a,AC=b,AA,=c,则BM= A.-1.1 2a+26+c B.za-zb+e .1 2a-b+2c D.0+b-2c 5.已知平面经过点A(2,1,0),且其一个法向量为n=（2,-1,2),则点P(2,1,6)到平面a 的距离为 A.2 B.3 C.4 D.6 数学第1页（共4页） 扫描全能王创建 6.已知点A(-4,3),B(2,2),过点(-1，-1)且斜率为k的直线1与线段AB相交，则k的取 值范围是 A(-m,-]u[1,+) B(-,-]U[1,+) c[-刂 D.(-∞，-4]U[1,+o) 7.已知A是直线x+2y-8=0上的动点，B是直线2x-y+1=0上的动点，若AB的中点为 P(1,2),则直线AB的方程为 A.y=2 B.3x-y-1=0 C.x-2y+3=0 D.x-y+1=0 8.在三棱锥P-ABC中，二面角A-PB-C的大小为120°，PB=2PA=2BC=2,AB=PC=√3， 则AC= A.13 C.3 D.5 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知α，b,c是三个不共面的空间向量，则下列选项中可以构成空间基底的是 A.a,-b,-c B.a-b,b-a,c C.a-b,b-c,a-c D.a,a+b,a+b+cl 10.设直线l:(a+3)x+(1-2a)y+1=0,l2:(2a-1)x+(a+1)y-2=0,则 A过定点（号》 B,原点到，的距离的最大值为写 C.不存在aeR,使得l1∥l2 D.存在唯一的aeR,使得l1⊥l2 11.已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，点M满足AM=AB+入AD+uAA,其中A,hE [0,1],则下列选项正确的是 A.四面体A,D,DM的体积为定值 B.AM与平面BB,C,C所成角的正切值的最小值为1 C,若1=，则二面角M-A,D-D,的余弦值最大为号 D.若入+u=1,则MD+MC,的最小值为√2+V2 数学第2页（共4页） 扫描全能王创建 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.直线3x-4y+5=0与6x-8y-5=0之间的距离为 I3.在正四面体ABCD中，E,F分别是AD,CD的中点，若AB·EF=1,则B配·B= 14.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=6,P是边AB上异于A,B的点，光线从点P出 发，经BC,CA反射后又回到点P.若AR=1,则AP= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（13分) 已知直线l1:x-ay+2=0,a∈R与直线l2:2x+y-3=0相互垂直. (1)求a; (2)L1,l2相交于点A,过点P(3,4)作L1,L2的垂线，垂足分别为B,C,求四边形PBAC的 面积 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，△PAB是正三角形，且平面 PAB⊥平面ABCD,AB=2. (1)求PB·PD; (2)求PC与平面PAD所成角的正弦值： 数学第3页（共4页） 器 扫描全能王创建 17.(15分) 已知直线l:y=(a-1)x+2a-3,a∈R,设0为坐标原点. (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求α； (2)若L交x轴负半轴于点A,交y轴负半轴于点B,求△OAB面积的最小值. 18.(17分) 如图，在四面体ABCD中，△ABC和△ACD均为正三角形，二面角B-AC-D的大小为 120°，AC=2,点P满足Pi=D应，其中入e[0,2引 (1)若入=，证明：平面PAC1平面ACD; (2)求PA·PC的最小值； （3)若二面角4-P心-D的正弦值为，求九 19.(17分) 若直线1,2在x轴上的截距互为相反数，且斜率之积为入，则称1，l2是一对“[入]-共轭 直线”，如直线y=x+1与y=-x+1是一对“[-1]-共轭直线” (1)若4,4是一对“[2]-共轭直线”，且4的方程为y=2+1,求4的方程； (2)若4,4是一对“[-3]-共轭直线”，记l,4的夹角为0≤9≤），求an6的最 小值； (3)若4,4是-对[-引 -共轭直线”，且L过点(-2,0)，记L1与2的交点为P,证明： 点P到点(-1,0)的距离与点P到点(1,0)的距离之和为定值. 数学第4页（共4页） 扫描全能王创建 高二10月数学·答案 一、选择题 1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.A 二、选择题 9.AD 10.BCD 11.ACD 三、填空题 2号 18号 14.2或3（答案不完整不给分） 四、解答题 15.解析(1)由题意，得1×2+（-a)×1=0,即2-a=0. (3分) 解得a=2. (5分) (2)由题意知，四边形PBAC为矩形，PB,PC分别是点P到直线l1,2的距离，… (7分) 所以1PB1=13-2×4+2L-35 √+（-2)F5, (9分) 1PC1=12×3+4-31-75 5 (11分) 22+1下 四边形PBAC的面积为S=IPB1·1PC1=35×5_2斗 5 (13分) 5 5 16.解析（(1)取AB的中点0，连接P0. 因为△PAB是正三角形，所以PO⊥AB. (1分) 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB, 所以P0L平面ABCD.… (3分) 过O点作OE∥BC,交CD于点E,易知OA,OP,OE两两相互垂直.以O为坐标原点，以OA,OE,OP所在直线 分别为x,y,:轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意，得P(0,0,3),B(-1,0,0),D(1,2,0) (5分) 1 扫描全能王创建 所以P克=(-1,0，-5)，Pi=(1,2,-5). 故P.Pi=-1+3=2. (7分) (2)由(1)，得A(1,0,0),P(0,0,5),C(-1,2,0),D(1,2,0),… (8分) 所以A=(-1,0,5),A0=(0,2,0),P元=(-1,2，-5).…. (9分) 设平面PAD的法向量为m=(x,y,z), m·市=-x+3z=0 则 令z=1,则m=(5,0,1). (12分) m·Ai=2y=0, 设PC与平面PAD所成的角为0， 则in0=P必·ml.1-万-月1 。一=，即PC与平面PAD所成角的正弦值为6 …(15分) 1P元11ml√T+4+3×3+I 17.解析（1)①当1经过点0时，两坐标轴上的截距均为0， 则2a-3=0,解得a=3 (2分) ②当1不经过点0时，a≠弓 2 x三0，得y=20-3令y=0,得x三二2(a≠）.… (4分) 由题意，得3-2L=2a-3,解得a=0。 a-1 (5分) 综上所述，a三号或0。…… (6分) (2)易知a-1≠0，即a≠1，设A(x,0),B(0,ya), ，=3-29<0. 则 a-1 獬得a<1.… (8分) yn=2a-3<0, 此时A2二2.0）a0,2a-3, 所以5aw=宁a10a1-是行28 …（11分)） 不妨设1-a=t,则te(0,+∞)，a=1-1, 5w只-2.1-2+宝22V云 21 +2=4 2t …（14分)》 当且仅当21=云，即4=之时取等号，此时a=宁<1 故△OAB面积的最小值为4 (15分) 18.解析（1)取AC的中点O,连接B0,D0,PO. 因为△ABC和△ACD均为正三角形，所以D0LAC,B0⊥AC.所以AC⊥平面BOD. 又OPC平面B0D,所以AC⊥P0. (1分) 因此∠BOD为二面角B-AC-D的平面角，∠POD是二面角P-AC-D的平面角 2 扫描全能王创建 所以∠B0D=120.… (2分) 再结合条件可知，B0=D0=√5，∠OBD=∠ODB=30°，BD=3. 由成=兮成，得PD=子D=2,在△P0D中，由余弦定理，得P0=1。…（4分 所以PD2=P02+D02.所以∠P0D=90°， 即二面角P-AC-D为90°.故平面PAC⊥平面ACD. (5分) (2)以0为坐标原点，0的方向为x轴的正方向，0的方向为y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系， 则41,0.0)，80,5,0)，c(-1,0.0,0,-9号） …（6分) 所以成-(0,3-}成-(0,3-是成=(1，-，0)成=(-1，-5,0， 所以减=成+威-(1，-，-之庇=成+成=(-1,3-，-之 所u减.庇-1+(3-+号=9-9A+2=a-广- 故当入=2时，，P心取得最小值，且最小值为-子 (9分) (3)设平面APC的法向量为m=(x,y,z), 由2)知i-(1,3-5,-3花=(-2,0.0， m…i=+(3-5}-子a=0 令y=5入，可得m=(0,5入，3x-2).…（11分) m·衣=-2x=0, 设平面DPC的法向量为n=(P,9,r), 2)如，成-(-1,9-2)成=(o,3,-2》 nD元=-p+5-3 29-2=0, 则 令g=1,可得n=(-5,1,5). …(13分) 成3-=0， 南超司阳品·品品-（可 ,得16入2-16入+3=0，…（15分) 一3 只▣ 扫描全能王创建 解得X=(A=子含去} (17分)》 19.解析设l1,2的斜率分别为k1,2 （)由y=-分+1，令y=0,得x=2,即在轴上的藏距为2… (1分) 因为1,2是“[2]-共轭直线”，所以l2在x轴上的截距为-2，且kk2=2. 因为名=-号，所以-之名=2，解得名=-4.… (3分) 所以2的方程为y-0=-4(x+2),即y=-4x-8.… (4分) (2)设4,4的倾斜角分别为aB,易知a,B≠7，则k=tana,k=anB 由题意知，kk2=-3,0=1a-β1或0+1α-B1=180°.… (5分) 无论种情况都有m0=✉(a-1=片治作咨-， …(7分） 因为kk2=-3<0,所以k1,k2异号. 所以1k1-k21=1kI+Ik2I≥2√Tk1I·1k2T=25,当且仅当1kI=Ik21=√3时取等号. …(9分) 所以an0≥2=万，即am0的最小值为.… (10分)》 (3)因为l1过点(-2,0)，所以42过点(2,0). 由题意知，66=-子4y=6(x-2),4:y=6(x+2). (11分)》 设P(x,.由题意知，*±2,4=+24=产2 所以kk十2”二2整理得3-子.… (12分)》 4 由3-子≥0，可得-2<x<2 设E(1,0),F(-1,0), 则P=v-i*7=2-2+1+3--√-2a4=√分-2可=2-宁，…(4分列剂 1P1=Vx+1+=√2+2x+1+3-名=√2+2x+4=√（分+2-2+分，…(6分） 所以IPE1+1PF1=(2-2+(2+2=4, 即点P到点(-1,0)的距离与点P到点(1,0)的距离之和为定值. …(17分) 一4 扫描全能王创建