河南省周口市项城市第三高级中学2026-2027学年高二上学期第一次考试数学试题

项城三高2026-2027学年度上期第一次考试 高二数学试卷 满分 150 分，考试时间 150 分钟 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上. 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分） 1．在空间直角坐标系中，与关于x轴对称，则（     ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，（　　） A． B． C． D． 3．已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（     ） A． B． C．3 D．9 5．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（      ） A． B． C． D． 7．如图，在平行六面体中，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．6 8．在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分） 9．已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（    ） A．60° B．30° C．150° D．120° 10．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 11．在三棱锥中，，则下列说法正确的是（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的余弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分） 12．若直线l经过点，，则l的斜率为______． 13．已知空间两点，，且，则点P的坐标为__________． 14．两个非零向量，定义．若，则_____． 四、解答题 15．（13分）试确定m的值，使过，两点的直线与过，两点的直线. （1）平行； （2）垂直． 16．（15分）已知向量，. (1)求向量，并求； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 17．（15分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 19．（17分）如图，和所在平面垂直，且求： (1)； (2)直线与平面所成角的大小； (3)平面和平面的夹角的余弦值. 高二数学试题 第1页（共3页） 高二数学试题 第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年度高中数学第一次考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A A C A A AD BC 题号 11 答案 AC 1．C 【详解】根据题意可得，所以，，． 2．C 【详解】因为，，所以. 3．C 【详解】， 故在上的投影向量. 4．A 【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，所以， 所以，解得：,，所以 5．A 【分析】设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，． 【详解】 设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 6．C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 7．A 【分析】先应用空间向量的加法，再结合空间向量的数量积公式及运算律计算求解模长. 【详解】依题意，由， 又因为， 得， 所以． 故选：A. 8．A 【分析】建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值 【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴， ，, . 设直线和所成角为，则， 所以. 9．AD 【分析】由题意知，直线l的斜率等于，设出直线的倾斜角，由倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范围可求直线的倾斜角. 【详解】直线l的斜率的绝对值等于， 线l的斜率等于，设直线的倾斜角为，则， 则或， 60°或120°. 故选：AD. 10．BC 【分析】根据题意，得到向量，，，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，，所以，可得，所以A错误； 对于B，因为，，所以，所以B正确； 对于C，若，且，则，解得，所以C正确， 对于D，若且，因为，可得，解得，所以D错误. 故选：BC. 11．AC 【分析】利用两点间距离公式计算判断A；利用向量夹角公式计算判断B；利用法向量的意义，结合数量积的坐标表示判断C；利用线面角的向量法计算判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，向量，则，B错误； 对于C，由，得向量是平面的一个法向量，C正确； 对于D，，则与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的余弦值为，D错误. 12．2 【分析】直接利用两点求出斜率. 【详解】因为直线l经过点，，所以l的斜率为. 故答案为：2 13． 【详解】设点P的坐标为， ，则， ，解得. 14． 【分析】根据新定义及向量夹角公式计算即可. 【详解】因， 则， 由， 因，则， 所以. 15．（1）；（2） 【分析】（1）利用直线平行斜率相等即可求解. （2）利用直线垂直斜率乘积等于即可求解. 【详解】过，两点的直线斜率， 当时，直线的斜率不存在，此时直线与直线即不平行也不垂直； 当时，过，两点的直线斜率， （1）当两直线平行时，则，解得. （2）当两直线垂直时，则，解得. 16．(1)， (2) (3) 【详解】（1）已知，，则， . （2）已知，，则， ，因为，所以， 所以，解得. （3）已知，，则， ， 因为，所以， 所以，解得. 17．(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 18．(1)因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度. 【详解】（1）略 （2）设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，，， 所以，又，所以. 19．(1) 设，作于点，连接， 因为和所在平面垂直，平面平面， 所以， 因为 所以， 以点为原点，的方向分别为轴，轴，轴方向，建立空间直角坐标系如图所示： ，， ， ， 所以； (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用空间向量法求出异面直线所成的角； （2）利用空间向量法求出线面角； （3）分别求出两个平面的法向量，法向量夹角的余弦值即为两个平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）设直线与平面所成角的大小为， 由（1）可得，显然是平面的一个法向量， ， 所以直线与平面所成角的大小为； （3）由（1）可得，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，则，， 所以， ， 所以平面和平面的夹角的余弦值. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $