精品解析：河南商丘市应天高级中学2026-2027学年高二上学期10月测试数学试题

高二10月测试 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知点关于轴的对称点为，则（ ） A. 2 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称得，即可根据两点距离公式求解. 【详解】由题意可得，则. 故选：D 2. 暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标即可求得入射光线所在直线的方程． 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为入射光线经过点，所以所在直线的斜率为， 则入射光线所在直线方程为，即． 故选：D. 3. 沼气是一种混合气体，其主要成分是甲烷，其分子式为，且分子结构是正四面体结构，其结构简式如图所示．记上顶点为，底面三个顶点分别为，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何关系，结合向量数量积的几何意义，即可求解. 【详解】因为甲烷的结构为正四面体，所以， 又，同理可得， 所以． 故选：C 4. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解. 【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，， 则 ， 又，，， 则，， 因此， . 故选：B 5. 已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B 6. 在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知点在以为直径的圆上（不含），根据抛物线的定义可得，结合圆下性质可得，再根据几何性质即可得结果. 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点在以为直径的圆上（不含），此时圆心为，半径. 因为抛物线的焦点为，准线为， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于圆锥曲线小题，常常利用定义转化，并结合图形解决问题. 7. 若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 8. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由内角和定理求，再由正弦定理求解即可． 【详解】， 由正弦定理， 得：． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移求出平移后的直线方程，即可判断D. 【详解】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确； 对于B，若，则，解得．故B正确； 对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确； 对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确. 故选：BCD 10. 在正方体中，分别为线段上的动点，E为的中点，则（ ） A. 存在两点，使得∥ B. C. AP与所成的最大角为 D. EQ的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】建立恰当的空间直角坐标系，根据向量平行、垂直的坐标表示判断A,B，由异面直线所成角的向量求法判断C，根据向量的模的求法判断D. 【详解】设正方体棱长为2，如图，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 因为E为中点，故. 选项A，， ， 设，. 则， 令，则，此时，，. 所以，. 因为，所以∥，所以∥. 故存在、使得∥，故A正确； 选项B，因为，所以. 又， 所以， 故，即，故B正确； 选项C，，， 设与所成的角为，则 . 令，当时，，此时，故C错误； 选项D，， . 二次函数开口向上，对称轴，在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以的最大值为.故D错误. 故选：AB. 11. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A利用内角和与差化积比较正弦值；对于B由正弦定理求出后验证两解均合法；对于C由余弦的符号判断三角形形状；对于D将条件转化为，注意讨论直角三角形的情形. 【详解】因为，，则，于是， 即，故A正确. 由正弦定理，得，所以或， 且两者均满足，故三角形有两解，B正确. 三角形至多有一个钝角，若三角形为钝角三角形，则三个内角的余弦值中恰有一个为负， 则，与矛盾，所以三角形为锐角三角形，C错误. 由余弦定理，，代入得， 整理得，即或，后者表示， 如为边长的直角三角形并非等腰三角形，D错误. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，三点共线，则______________. 【答案】26 【解析】 【分析】利用向量的共线的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意，，因为，所以， 所以，，所以. 故答案为： 13. 已知，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】两向量，的夹角为钝角时，但时，，的夹角为钝角或平角，故在解题时应注意排除，的夹角为的情况． 【详解】由题意得且不共线， 所以，解得：且． 故实数t的取值范围为． 故答案为：. 14. 经过点且在x轴的截距的绝对值是y轴上截距的绝对值两倍的直线方程_____________________. 【答案】或或 【解析】 【分析】按照直线是否过原点讨论，再结合截距式求出. 【详解】若直线过原点，则斜率为，则直线方程为，满足题意， 若直线不过原点，设直线方程为， 则，得或， 则直线方程为或， 综上，直线方程为或或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】为定值4；证明如下： 联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底， 则 . 联结DM，点，，，M共面，故存在实数， 满足，即， 因此， 由空间向量基本定理知， ， 故，为定值. 【解析】 【分析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出. 然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论. 【详解】为定值4；证明略. 16. 在中，已知，且. （1）判断的形状； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1）钝角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式结合两角和差余弦计算得出余弦正负判断三角形形状； （2）应用面积公式结合正弦定理及余弦定理求解周长. 【小问1详解】 在中，因， 则，解得， 又由 ，可得 ， 因，则角中必为一个锐角，一个钝角，即 为钝角三角形； 【小问2详解】 因 ， 由 ，可得，由（1）知 . 设为的外接圆半径，由正弦定理：， 则，解得， 则，， 由余弦定理，， 即，解得 ， 故的周长为 . 17. 已知：圆C的圆心在第一象限，与x轴相切，与y轴交于A，B两点，且，，点在斜率为k的直线l上． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程； （3）若存在圆心在直线l上，半径为1的圆D与圆C外切，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】设圆，由条件得出方程组，解出即可； 设直线，用表示出圆心到的距离，根据弦长利用勾股定理得出k，可得直线l的方程； 若存在圆D与圆C外切，即存在点D使得，则，解出即可. 【小问1详解】 设圆， 则，解得，， 所以圆C的标准方程为 【小问2详解】 点在斜率为k的直线l上， 可设直线， 圆心到l的距离， 因为， 所以，即， 所以或， 所以直线l的方程为或 【小问3详解】 若存在半径为的圆D与圆C外切，即存在点D使得， 因为C到l的距离， 所以，所以，即， 所以或  18. 在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，． （1）证明：平面． （2）若是的中点.证明：平面. （3）若点为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接，交于点，连接， 依题意得，，，，，. 设平面的法向量为， 又， 则有，即， 令，则，，可得， 且，可知， 平面. （2） 设平面的法向量为, 因为， ，， 令，则，，， 又， ，， 又平面EDB，平面. （3）存在，为PC的中点，理由如下： 如图，， 设平面PDM的法向量为， 则，即 令，则，， 设，则，， 得， ，， 又， 又平面PDM， ，即， 即在棱PC上存在一点，且当为PC的中点时，使得平面PDM. 【解析】 【分析】（1）先求平面的法向量，通过计算可得即可得平面； （2）先求平面的法向量，通过计算可得即可得平面； （3）假设在棱上是否存在一点，使得平面，设平面PDM，求出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线交于，两点，设点，，其中，， ①若，求直线斜率的取值范围； ②过点作直线的垂线，垂足为，若直线与轴交于点，证明：直线过定点，并求出该定点． 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析，定点 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由双曲线的定义可知动点的轨迹是双曲线，由双曲线的得到轨迹方程； （2）①由知道直线过定点，设出直线方程，联立方程组并消元得到一元二次方程，由直线与曲线存在两个交点得到一元二次方程二次项系数不为0，判别式大于0，又因为，，所以两根之积为负数建立不等式组，解出斜率的取值范围； ②设直线方程和垂足的坐标，联立方程组并消元得到一元二次方程，由韦达定理得到交点横坐标与参数的等式，由建立方程整理求解得到，由此得到直线定点. 【小问1详解】 设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时，， 所以. 当动圆与圆、圆都内切时，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 ①因为，，所以直线的斜率存在， 因为，所以直线过点. 设直线为， 由消去得，， 则有，解得， 所以直线斜率的取值范围为. ②设直线，， 由消去得，，， ， 因为直线与轴交于点， 所以，即，即， 即， 所以， 所以， 即， 即， 所以，所以直线为， 所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛，直线与圆锥曲线交点问题，一般采用联立方程组，借助韦达定理得到点的坐标和所设参数的关系，再由条件建立相应的等式或不等式，即可求出范围或者参数之间的关系，从而解决求范围问题或者定点定值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二10月测试 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知点关于轴的对称点为，则（ ） A. 2 B. C. D. 6 2. 暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 沼气是一种混合气体，其主要成分是甲烷，其分子式为，且分子结构是正四面体结构，其结构简式如图所示．记上顶点为，底面三个顶点分别为，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 10. 在正方体中，分别为线段上的动点，E为的中点，则（ ） A. 存在两点，使得∥ B. C. AP与所成的最大角为 D. EQ的最大值为 11. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，三点共线，则______________. 13. 已知，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是___________. 14. 经过点且在x轴的截距的绝对值是y轴上截距的绝对值两倍的直线方程_____________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 16. 在中，已知，且. （1）判断的形状； （2）若的面积为，求的周长. 17. 已知：圆C的圆心在第一象限，与x轴相切，与y轴交于A，B两点，且，，点在斜率为k的直线l上． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程； （3）若存在圆心在直线l上，半径为1的圆D与圆C外切，求k的取值范围． 18. 在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，． （1）证明：平面． （2）若是的中点.证明：平面. （3）若点为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 19. 已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线交于，两点，设点，，其中，， ①若，求直线斜率的取值范围； ②过点作直线的垂线，垂足为，若直线与轴交于点，证明：直线过定点，并求出该定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $