精品解析：四川威远中学校2026－2027学年九年级上学期一模学情调研数学试题

威远中学校初2027届九上一模学情调研 数 学 注意事项： 1．本试卷分为A卷和B卷两部分，A卷1至3页，满分100分；B卷3至4页，满分60分．全卷满分160分．考试时间120分钟 2．答题前请仔细阅读答题卡上的注意事项． 3．所有试题的答案必须按题号填写在答题卡相应位置上，在试卷和草稿纸上作答无效． 4．考试结束后，监考人员将答题卡、试卷、草稿纸一并收回． A卷（共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 4. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. a=2，b=3，c=4，d=1 B. a=2, b=, c=，d= C. a=4，b=6，c=5，d=10 D. a=，b=3，c=2，d= 5. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 0 B. 3 C. ±3 D. -3 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 8. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（     ） A. 2023 B. C. 2024 D. 2025 9. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 10. 若，则（　　） A. 4 B. 5 C. D. 11. 如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 已知．则的值为_________． 14. 已知，，则的值为________． 15. 若，则＝_____． 16. 关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是______． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 19. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．     （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 20. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出的最小值 ； （2）比较代数式与的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 21. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当点到达点时，两点同时停止运动． （1）出发几秒时的面积为？ （2）出发几秒时的长度为？ （3）的面积能为吗？若能，求出时间，若不能，说明理由？ B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22. 已知实数，满足，则代数式的最小值是________． 23. 为方程的两个根，则代数式的值为______． 24. 对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b=，如3※2=．那么8※12=____． 25. 对于实数，用符号表示，两数中较小的数，例，若，则_____． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 26. 阅读下列材料，解答相应的问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：__________． （2）请直接写出的化简结果：________． （3）计算：． 27. 某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价元，售价元；乙种衬衣每件进价元，售价元．现计划购进两种衬衣共件，其中甲种衬衣不少于件．设购进甲种衬衣件，两种衬衣全部售完，商场可获利元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若商场购进这件衬衣的总费用不超过元，求有哪几种进货方案？ （3）在的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价元（）出售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为元，求的值． 28. 阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： 直接应用： （1）方程的解为_______________________； 间接应用： （2）已知实数m，n满足：，求的值． 拓展应用： （3）已知实数m，n满足：，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校初2027届九上一模学情调研 数 学 注意事项： 1．本试卷分为A卷和B卷两部分，A卷1至3页，满分100分；B卷3至4页，满分60分．全卷满分160分．考试时间120分钟 2．答题前请仔细阅读答题卡上的注意事项． 3．所有试题的答案必须按题号填写在答题卡相应位置上，在试卷和草稿纸上作答无效． 4．考试结束后，监考人员将答题卡、试卷、草稿纸一并收回． A卷（共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把非最简二次根式化简，再根据同类二次根式的概念求解． 本题主要考查了同类二次根式的定义，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴与是同类二次根式的是． 故选：C． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、与不能合并，故本选项计算错误，本选项不符合题意； B、，故本选项计算错误，本选项不符合题意； C、，故本选项计算错误，本选项不符合题意； D、，故本选项计算正确，本选项符合题意． 3. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根式和分式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且； 故选C． 4. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. a=2，b=3，c=4，d=1 B. a=2, b=, c=，d= C. a=4，b=6，c=5，d=10 D. a=，b=3，c=2，d= 【答案】B 【解析】 【分析】根据成比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A．4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项错误； B．2×=×2，四条线段成比例，故本选项正确； C．4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项错误； D．×3≠2×，四条线段不成比例，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 5. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A：将展开得，整理为，不是一元二次方程，不符合题意； 选项B：是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 选项C：是一元二次方程，符合题意； 选项D：含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 6. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 0 B. 3 C. ±3 D. -3 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的最高次数为2且二次项系数不等于零，列式计算即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且，解得：． 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且； 故选C． 8. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（     ） A. 2023 B. C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握一元二次方程的解的定义是关键． 由题意知，，则，根据，再整体代入计算即可． 【详解】解：解：由题意知，， ， ． 故选：D． 9. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质．由数轴上a的位置确定a的取值范围，再进一步求出和的取值范围，然后化简求值． 【详解】解：由数轴可得， ∴，， ∴ ， 故选：A． 10. 若，则（　　） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，平方差公式，利用平方根解方程，令，将原式变形为，结合，可得答案． 【详解】解：令，则原等式变形为：， 整理得， 解得， ， ，即， 故选A． 11. 如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y， 根据题意，得，，， 故， 故， 故剩余图形的面积为， 故选：C． 12. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 已知．则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，求解代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 已知，，则的值为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．根据完全平方公式将变为，然后将，，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：24． 15. 若，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】设＝m，则有x＝3m，y＝4m，z＝5m，代入原式即可得出答案． 【详解】解：设＝m， ∴x＝3m，y＝4m，z＝5m， 代入原式得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了代数式求值和等比例的性质，掌握并灵活运用等比例性质是解答本题的关键. 16. 关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，再根据关于x的方程的解是，得到或，从而得到方程的解． 【详解】解：观察与的形式可知，后者的解与前者的解满足关系， ∵x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，， ∴或， ∴，， 即方程的解是，． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴，． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 【答案】（1） （2）的整数值有0，1，2． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入得到不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：∵于的一元二次方程有两个实数根和 ∴ ∴； 【小问2详解】 由根与系数得关系可知，，， ∵， ∴ ∴ 由（1）知， ∴， ∴的整数值有0，1，2． 19. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．     （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2）不能， 由题意列一元二次方程得，． 整理得，． ， 一元二次方程没有实数根． 羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边， 根据题意，得， 化简，得， 解得， ， 答：当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略． 20. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出的最小值 ； （2）比较代数式与的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，然后利用完全平方式的非负性即可得出答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，由可得，代入后配方得，于是得解． 【小问1详解】 解：， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：四边形的面积为： ， 四边形面积的最大值为． 21. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当点到达点时，两点同时停止运动． （1）出发几秒时的面积为？ （2）出发几秒时的长度为？ （3）的面积能为吗？若能，求出时间，若不能，说明理由？ 【答案】（1）秒 （2）秒 （3）解：不能． 理由如下： 设出发秒时的面积为，则、， 在矩形中，，则， ， 即， ， 一元二次方程无实数解， 即的面积不能为． 【解析】 【分析】（1）先分别表示出，再由三角形面积公式列一元二次方程求解即可； （2）先分别表示出，再由勾股定理列一元二次方程求解即可； （3）先分别表示出，再由三角形面积公式列一元二次方程，判断解的情况即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，点走完所花时间为；点走完所花时间为； 两点同时停止运动的时间为， 设出发秒时的面积为，则、， 在矩形中，，则， ， 即， ，解得或（，舍去）， 即出发秒时的面积为； 【小问2详解】 解：设出发秒时的长度为，则、， 在矩形中，，则， 在中，由勾股定理可得，则， ，即， 解得或（不合题意，舍去）， 即出发秒时的长度为； 【小问3详解】 略 B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22. 已知实数，满足，则代数式的最小值是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了代数式的知识，根据得出，代入代数式中，然后结合二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， 原式 ， ， ， ∴， 当时，原式取最小值为10， 故答案为：10． 23. 为方程的两个根，则代数式的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为．根据根与系数的关系得到，将原式化简得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 24. 对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b=，如3※2=．那么8※12=____． 【答案】－ 【解析】 【分析】按照定义运算要求计算即可． 【详解】解：8※12=； 故答案为：－． 【点睛】本题考查新定义运算法则，掌握运算实质是解题关键． 25. 对于实数，用符号表示，两数中较小的数，例，若，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算及一元二次方程的解法，关键是明确题目意思，掌握一元二次方程的解法．由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，当时，， 解得，或， ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； ∵时，， ∴符合要求； 当时，， 解得，或， ∵时，， ∴符合要求； ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； 综上所述， 或， 故答案为：或2． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 26. 阅读下列材料，解答相应的问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：__________． （2）请直接写出的化简结果：________． （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化．二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分子分母分别乘即可； （2）分子分母分别乘即可； （3）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 27. 某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价元，售价元；乙种衬衣每件进价元，售价元．现计划购进两种衬衣共件，其中甲种衬衣不少于件．设购进甲种衬衣件，两种衬衣全部售完，商场可获利元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若商场购进这件衬衣的总费用不超过元，求有哪几种进货方案？ （3）在的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价元（）出售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为元，求的值． 【答案】（1）（，为整数）； （2）共有种进货方案，分别是购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件； （3） 【解析】 【分析】设购进甲种衬衣件，则购进乙种衬衣件，然后根据“总利润甲的利润乙的利润”，列出函数关系式即可； 根据题意，总费用不超过元，可得，结合自变量的取值范围得到所有整数解，即所有进货方案； 根据题意调价后甲每件利润为元，乙每件利润仍为元，则利润，分情况根据一次函数增减性求最大利润，结合给定最大利润求解，舍去不符合范围的解． 【小问1详解】 解：设购进甲种衬衣件，则购进乙种衬衣件， 甲每件利润为元，乙每件利润为元， 根据题意得 由题意得，， 因此，且为整数； 【小问2详解】 解：根据题意，总费用不超过元，可得， 整理得， 解得， ∵，且为正整数， ∴，的取值为，对应乙的数量为， 因此共有种进货方案，分别是购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件； 【小问3详解】 解：根据题意，调价后甲每件利润为元，乙每件利润仍为元， ∴利润， 当时，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，利润有最大，此时， 解得； 当时，，不符合题意； 当时，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，利润有最大，此时， 解得，不符合题意； 综上可得：最大利润为元时的值为． 28. 阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： 直接应用： （1）方程的解为_______________________； 间接应用： （2）已知实数m，n满足：，求的值． 拓展应用： （3）已知实数m，n满足：，且，求的值． 【答案】（1），，， （2）2或 （3）15 【解析】 【分析】（1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）分两种情况：当时，当实数m，n是方程的两个不相等的实数根时，分别进行求解即可； （3）令，，则，，根据，得出即，再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：令，则有， ∴， ∴，， ∴或3， ∴，，，； 【小问2详解】 解：实数m，n满足：， 当时，， 当实数m，n是方程的两个不相等的实数根时， ， ， 的值为2或； 【小问3详解】 解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $