精品解析：四川省成都市武侯区2025-2026学年上学期九年级中考一诊数学试题

2025-2026学年度上期期末考试试题九年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签宇笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（ ） A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 先变小，再变大 4. 如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（ ） A. 位似变换 B. 对称变换 C. 旋转变换 D. 平移变换 6. 某数学兴趣小组提出了这样一个问题：将一条长为的丝带剪成两段，并用剪下的每一段丝带围成一个正方形，要使围成的这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？若设剪下的其中一段丝带的长为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（ ） A. 抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C. 一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D. 准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 8. 已知正比例函数和反比例函数的图象相交于两点，且点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，则该反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则的值为_____． 10. 如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，则四边形的面积为_____． 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______． 12. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____（请用“<”连接）． 13. 如图，将一张三角形纸片按照以下步骤进行操作：第一步，折叠纸片，使得点A恰好落在边上的点M处，折痕为；第二步、展开纸片，再次折叠纸片，使得点M恰好落在边上的点N处，折痕为．若，点N恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 在“利用相似三角形测高”的数学活动课上，某学习小组利用标杆测量旗杆的高度．如图，小组选出一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆．观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的眼睛到脚底的距离，标杆的高度，观测者的脚底到标杆底部的距离，标杆底部到旗杆底部的距离．求旗杆的高度． 16. 【阅读理解】 有这样一个化学知识：紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性溶液变成蓝色，遇中性溶液不变色． 请根据该知识完成下列各题． 【问题解决】 现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）． （1）从四个瓶子中随机选取一瓶，选中紫色石蕊溶液的概率是______； （2）从四个瓶子中随机选取两瓶，并分别从选取的两瓶中取适量的溶液进行混合，请利用画树状图或列表的方法，求混合后溶液变成红色的概率． 17. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求及的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，且． （1）求k的值； （2）平移线段，使得点A的对应点C落在反比例函数的图象上，点B的对应点D落在x轴上．连接，求四边形的面积； （3）在反比例函数的图象上取一点E、且E在直线的下方．设直线与直线相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值为____． 20. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为_____． 21. 若，则m的值为____． 22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转至，使得点的对应点在内部，且与相交于点，若，则的长为_____． 23. 定义：在平面直角坐标系中，已知图形，将图形M上每个点的横、纵坐标分别乘以，得到对应的新点，我们把所有新点组成的图形称为图形的“位图形”．如图，已知的顶点坐标分别为，若双曲线的“位图形”与的边有两个交点，则的取值范围是_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. “2025成都进口嘉年华”系列活动于2025年8月至11月举行，让市民深度感受“在成都·购全球”的便利．某商家以每千克20元购进一批进口榴莲，在销售初期，按每千克40元销售．为吸引更多顾客，该商家连续两次降价，且两次降价的百分率相同，最终售价为每千克32.4元． （1）求每次降价的百分率； （2）由于畅销，榴莲很快售完，该商家以同样的单价又购进一批，经过市场调研发现：当榴莲售价为每千克32元时，平均每天可售出300千克；售价每降低1元，平均每天可多售出25千克．商家要使该批榴莲的销售利润平均每天达到3500元，榴莲的售价应为每千克多少元？ 25. 如图，在中，点E是线段的中点，点F在的延长线上，且，连接交线段于点G． （1）求的值； （2）当时． i）如图1，若的面积是，求k的值； ⅱ）如图2，连接，若，求的长（用含k的代数式表示）． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点． （1）连接，与一次函数的图象相交于点． i）求点的坐标及的长； ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值； （2）连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期期末考试试题九年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签宇笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据三视图判断几何体． 根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形体特征进行判断即可． 【详解】解：由于这个几何体的俯视图是“凸”形可知其底面是“凸”形，主视图和左视图都是长方形，因此这个几何体是． 故选：D． 2. 如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出其长是解题的关键．先依据菱形“对角线互相垂直平分”的性质，求出对角线一半的长度 ()，再在中用勾股定理算出菱形边长，最后根据菱形四边相等的性质，计算出周长为． 【详解】解：∵菱形的对角线与相交于点， ∴ ∵， ∴ 在中： ∵菱形的四条边相等， ∴该菱形的周长是， 故选：C． 3. 如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（ ） A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 先变小，再变大 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心投影的性质，中心投影的性质：等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短． 根据中心投影的特点即可得出答案． 【详解】解：当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越远，影子越小． 即当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是变大． 故选：C． 4. 如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到，即，求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 解得：． 故选：D． 5. 从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（ ） A. 位似变换 B. 对称变换 C. 旋转变换 D. 平移变换 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换． 故选：A． 6. 某数学兴趣小组提出了这样一个问题：将一条长为的丝带剪成两段，并用剪下的每一段丝带围成一个正方形，要使围成的这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？若设剪下的其中一段丝带的长为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设一段丝带长为，则另一段为，每个正方形的边长等于其周长除以，面积等于边长的平方，面积之和为，然后列出方程，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：∵一段丝带长为，围成正方形， ∴边长为，面积为， ∵另一段为， ∴围成正方形，边长为，面积为， ∵面积之和为, ∴， 故选：． 7. 如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（ ） A. 抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C. 一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D. 准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，折线统计图，画树状图求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．分别求出每项的概率，然后比较即可． 【详解】解：、抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； 、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的概率为，符合题意； 、一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的概率为，不符合题意； 、准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，画树状图如下， 一共有种等可能的结果，两张牌的牌面数字之和等于的结果有种， 所以两张牌的牌面数字之和等于的概率为，不符合题意； 故选：． 8. 已知正比例函数和反比例函数的图象相交于两点，且点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，则该反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的中心对称性． 根据反比例函数的图象是中心对称图形，经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，得出A，B两点的坐标，进而求出k的值． 【详解】解：设反比例函数为， ∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点， ∴点A、B关于原点对称． 又∵点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3， ∴点A的纵坐标是，点B的横坐标是． ∴，． ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 即． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则的值为_____． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意得到，再把代入所求式子中约分即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，则四边形的面积为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．根据正方形的性质，结合三角形面积计算公式，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴四边形的面积为： ． 故答案为：9． 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______． 【答案】k≤ 【解析】 【分析】根据根的判别式大于或等于零求解即可． 【详解】解：由题意得 ∆=9-4k≥0， 解得k≤． 故答案为：k≤． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根． 12. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____（请用“<”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会通过反比例系数k的正负判断函数的增减性． 由反比例函数的增减性求得结果． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴反比例函数在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，横坐标，，， ∴点在第三象限，点和在第一象限， ∴，，． 又∵在第一象限内，随的增大而减小，且， ∴． 综上所述，． 故答案为：． 13. 如图，将一张三角形纸片按照以下步骤进行操作：第一步，折叠纸片，使得点A恰好落在边上的点M处，折痕为；第二步、展开纸片，再次折叠纸片，使得点M恰好落在边上的点N处，折痕为．若，点N恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先由黄金分割的定义求出，由折叠得，，设，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵点N是线段的黄金分割点，且， ∴， 由折叠得，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∴， 【小问2详解】 解： 或 ， 15. 在“利用相似三角形测高”的数学活动课上，某学习小组利用标杆测量旗杆的高度．如图，小组选出一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆．观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的眼睛到脚底的距离，标杆的高度，观测者的脚底到标杆底部的距离，标杆底部到旗杆底部的距离．求旗杆的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是相似三角形的判定及性质(对应边成比例)在实际测高中的应用．通过作辅助线构建直角三角形，证明三角形相似，根据对应边成比例列算式求出未知线段长度，进而计算目标高度． 【详解】如图，过点作，分别交，于点，， 由题意可得：，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高度为． 16. 【阅读理解】 有这样一个化学知识：紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性溶液变成蓝色，遇中性溶液不变色． 请根据该知识完成下列各题． 【问题解决】 现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）． （1）从四个瓶子中随机选取一瓶，选中紫色石蕊溶液的概率是______； （2）从四个瓶子中随机选取两瓶，并分别从选取的两瓶中取适量的溶液进行混合，请利用画树状图或列表的方法，求混合后溶液变成红色的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液），列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵四个瓶子中随机选取一瓶，紫色石蕊溶液只有A， ∴紫色石蕊溶液的概率是：； 【小问2详解】 解：∵分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由表可知，共有12种等可能出现的结果， ∵只有，混合时，紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红， ∴混合后变红的概率为. 17. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求及的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）的长为，的长为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解一元二次方程，勾股定理，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是菱形，得，，又，所以，则，，得出，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由四边形是菱形，得，又，所以，即， 解得，在中，，再证明，所以，再代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍）， ∴的长为，的长为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，且． （1）求k的值； （2）平移线段，使得点A的对应点C落在反比例函数的图象上，点B的对应点D落在x轴上．连接，求四边形的面积； （3）在反比例函数的图象上取一点E、且E在直线的下方．设直线与直线相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标． 【答案】（1） （2）； （3）或或 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，平移的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． （1）设线段交轴于点，得到，求出的解析式为，求得，利用待定系数法即可求出答案； （2）求出和，得到，即可求出答案； （3）分三种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：如图，设线段交轴于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 , 解得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵对应点D落在轴上， ∴向下平移4个单位， ∵的对应点为点， ∴点的纵坐标为 ∵点C落在反比例函数的图象上， ∴ ∴点向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点C， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 【小问3详解】 解：设，， 直线的解析式为， 当点在第三象限时， 当点是的中点时，， ∴， 解得或（舍去） ∴， 当时，，， ∴ ∴ ∴， 解得（舍去）或 ∴， 当点在第一象限时， 当时，，， ∴ ∴ ∴， 解得或（舍去） ∴， 当点是的中点时，， ∴， 解得（舍去）或， ∴，此时点E在直线的上方，不符合题意，舍． 综上可知，或或 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值． 根据根与系数的关系，得到，，然后将所求代数式变形为，进而计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，含角直角三角形的性质，矩形的性质，在中，利用含角直角三角形的性质求出和的长度，结合得到的长度，再根据矩形性质和三角函数求出点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数解析式，即可求出值． 【详解】解：过点作轴，垂足为点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵顶点D在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 21. 若，则m的值为____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、解一元二次方程等知识点，正确将原式变形是解答本题的关键．由得，代入求解，并检验分母不为零． 【详解】由，得． 代入， 分子， 所以， 即． 两边乘以2，得． 所以， 整理得， 因式分解得， 解得或． 检验：当时，分母，；当时，分母，，均满足． 故答案为：或． 22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转至，使得点的对应点在内部，且与相交于点，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角度关系推导及线段长度计算等几何综合知识．该解题过程先通过截取并作构造辅助线，再利用角度关系推导出，结合相似三角形的性质求出和的长度，接着通过等腰三角形三线合一及全等三角形的性质得到，最后代入线段长度计算出的值． 【详解】解：截取，作于点， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴由，得， ∴， ∴由，得， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 则的长为， 故答案为：． 23. 定义：在平面直角坐标系中，已知图形，将图形M上每个点的横、纵坐标分别乘以，得到对应的新点，我们把所有新点组成的图形称为图形的“位图形”．如图，已知的顶点坐标分别为，若双曲线的“位图形”与的边有两个交点，则的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形变换、一次函数解析式的求解，以及函数图象交点的分析．先根据“位图形”的定义，推导双曲线的“位图形”为双曲线 ；再分析的边()，通过联立双曲线与边的直线方程，分和，结合“交点个数”的临界情况(如双曲线过顶点、与边相切)求出关键值；最后根据“有两个交点”的条件，确定的取值范目． 【详解】解：设双曲线上任意一点为，则， 将横、纵坐标分别乘以，得到对应点， 令，，则，代入得： ，即， 边： 设解析式为，代入得： ，解得， ∴边解析式为， 同理，得：边：从到，解析式为； 边：从到，解析式为； 情况一： 双曲线的“位图形”在第一象限， ∴联立方程，得， 整理，得， ∴， 解得：， 情况二：， ∴“k位图形”的点在第三象限, ∵点， 将点的坐标代入“位图形”中， ∴得到一个关于的方程， 解得：或（舍去）， ∵“位图形”与的边有两个交点， 结合前面求出的两个临界值：当时，“位图形”经过点，与的边有两个交点； ∴， 当时，“位图形”与直线相切，也只有一个交点 ∴与的边有两个交点， 故答案为：或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. “2025成都进口嘉年华”系列活动于2025年8月至11月举行，让市民深度感受“在成都·购全球”的便利．某商家以每千克20元购进一批进口榴莲，在销售初期，按每千克40元销售．为吸引更多顾客，该商家连续两次降价，且两次降价的百分率相同，最终售价为每千克32.4元． （1）求每次降价的百分率； （2）由于畅销，榴莲很快售完，该商家以同样的单价又购进一批，经过市场调研发现：当榴莲售价为每千克32元时，平均每天可售出300千克；售价每降低1元，平均每天可多售出25千克．商家要使该批榴莲的销售利润平均每天达到3500元，榴莲的售价应为每千克多少元？ 【答案】（1） （2）榴莲的售价应为每千克30元 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据“经过两次降价后，每千克售价为32.4元”列出方程求解即可； （2）设这批榴莲每千克应降价y元，根据“商城要想使该批榴莲的销售利润平均每天达到3500元”列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为x，依题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率是． 【小问2详解】 解：设这批榴莲每千克应降价y元； 根据题意得： 整理得： 解得：，（舍去） ∴这批榴莲每千克应降价2元， 则这批榴莲每千克的售价为：（元） 答：这批榴莲的售价应为每千克为30元． 25. 如图，在中，点E是线段的中点，点F在的延长线上，且，连接交线段于点G． （1）求的值； （2）当时． i）如图1，若的面积是，求k的值； ⅱ）如图2，连接，若，求的长（用含k的代数式表示）． 【答案】（1） （2）i）；ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，则可证明，证明得到，据此可得答案； （2）：i）如图所示，连接，由相似三角形的性质得到，，同理可得，则；可求出，证明；求出，则，，由勾股定理得到，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可；ⅱ）如图所示，连接，设交于点M，证明，得到；设，证明，可推出；设，则，由勾股定理可得，即，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：i）如图所示，连接， 由（1）可得， ∴，， ∴同理可得， ∵的面积是8， ∴； ∵点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）； ⅱ）如图所示，连接，设交于点M， 由（1）（2）得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 设， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， 由（2）i）得，则（平行线的性质）， 在和中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，等边对等角，勾股定理，熟知相似三角形的性质及其判定定理是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点． （1）连接，与一次函数的图象相交于点． i）求点的坐标及的长； ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值； （2）连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的长为，； （2）满足条件的点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数交点坐标的计算、两点间距离公式的应用，以及矩形、等边三角形的性质与存在性分析等代数与几何结合的综合知识点． （）①先利用点和的坐标求出直线的解析式为，再将其与一次函数联立，解方程组得到交点的坐标为，最后通过两点间距离公式计算出的长度即可；②先根据四边形是矩形的性质，得出且；再由直线的解析式推出直线的解析式为，将其与反比例函数联立求解，结合点在直线上方的条件确定的坐标；最后通过两点间距离公式求出的长度即可； （）先利用直线的表达式结合反比例函数设出点的坐标；再通过作垂线构造直角三角形(过点作点)，利用等边三角形的性质和直线与直线的交点求解(联立直线方程得坐标)，推导与的数量关系；接着分点在直线下方和上方两种情况，结合对称性(直线与反比例函数关于对称，点在上)，通过坐标关系(如)和方程求解(代入反比例函数表达式列方程)，最终确定满足条件的点的坐标． 【小问1详解】 解：(i)设直线的解析式为， ∵点的坐标为，代入解析式， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立与一次函数，得 ， 解得， 所以点的坐标为， ∴的长为， (ii)如图， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∵直线的表达式为， ∴设直线的表达式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 联立， 解得或， ∵点在直线的上方， ∴点的坐标为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：存在点使得为等边三角形， 理由如下：设直线为直线， 令得，，令得，， ∴，， ∴直线与两坐标轴的坐标为，即直线与两坐标轴围成了等腰， ∴直线与轴夹角为， ∵直线的解析式为， ∴直线是两坐标轴的夹角平分线， ∴，， 过点作点， ∴， 设点，设直线的表达式为， ∴， 联立， 解得， ∴， 则， ∴，即， ①如图，当点在直线下方时.过点作轴，交直线于点， ∴， ∴在中， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴点即为点， ∵是等边三角形，轴， ∴由等边三角形的性质，点的横坐标与的中点坐标的横坐标相等，即即， ∴设，则， ∵点在双曲线上， ∴， 解得(舍去)， ∴， ②当点在直线上方时， ∵直线和反比例函数图象都关于直线对称，点在直线上， ∴由对称性得点关于直线的对称点也满足题意， 如图，连，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与对应边与边上的高相等，即的纵坐标等于的横坐标， ∴将代入中得， ∴； 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $