精品解析：天津市武清区杨村光明道中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试卷

2026-2027学年度杨村光明道中学八年级第一学期第一次阶段练习数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A. 1cm，2cm，3cm B. 2cm，5cm，8cm C. 3cm，4cm，5cm D. 4cm，5cm，10cm 2. 如图，在中，，分别为，上的点，以为顶点的三角形的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图，是的外角的平分线，若，，则（　　） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的一个角是，则它的另外两个角的度数分别是（ ）． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 图中能表示△ABC的BC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的个数有（ ） ①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小育只带了③去，此方案的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，．若，则的长为（ ） A. 18 B. 21 C. 23 D. 26 11. 如图，D为的边上一点，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为________． 14. 已知，，为的三条边，化简：=______________． 15. 如图，自行车的主体结构设计成三角形，这是利用三角形具有______性． 16. 三角形的两边长分别是5和8，则第三边的取值范围是___． 17. 如图在△ABC中,∠A=50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，则∠D的度数为___. 18. 如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积为____. 三、解答题：本题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 尺规作图：已知线段，，求作三角形，使，，，不写作法，保留作图痕迹． 20. 如图，在中，平分，交于点，若，，求和的度数． 21. 如图，已知，．求证： 22. 如图，于点于点，且，求证：． 23. 如图，，，． （1）求证：． （2）若，求的长． 24. 如图，，，，，与相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 25. （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E． ①求证：； ②． 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度杨村光明道中学八年级第一学期第一次阶段练习数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A. 1cm，2cm，3cm B. 2cm，5cm，8cm C. 3cm，4cm，5cm D. 4cm，5cm，10cm 【答案】C 【解析】 【详解】A选项：1+2=3，不能组成三角形； B选项：5+2＜8，不能组成三角形； C选项：3+4＞5，能够组成三角形； D选项：4+5＜10，不能组成三角形． 故选C． 2. 如图，在中，，分别为，上的点，以为顶点的三角形的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有，，，， ∴以为顶点的三角形的个数是4个． 故选：B． 【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 3. 如图，是的外角的平分线，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：是的平分线，， ， 是的外角， ， 故选：B． 4. 等腰三角形的一个角是，则它的另外两个角的度数分别是（ ）． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质． 等腰三角形的一个角是，未指明是顶角还是底角，需要进行分类讨论； 当的角是底角时，不满足三角形内角和定理，再分析的角是顶角时的情况，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】当的角是底角时，另一底角也为，不满足三角形内角和定理； 当的角是顶角时，底角的度数为， ∴它的另外两个角的度数分别是和． 故选A． 5. 图中能表示△ABC的BC边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形高线的定义对各选项进行判断． 【详解】解：题中需要画的边上的高．应当过顶点A向边作垂线，顶点A到垂足E的垂线段就为边上的高． 故选：D． 6. 下列说法正确的个数有（ ） ①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上即可作答． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，故正确； ③钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故正确． 所以正确的有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的概念是解决本题的关键． 7. 如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，掌握其性质是解决此题的关键．先根据中线的定义得，再表示周长，即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差是． 故选：C． 8. 一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小育只带了③去，此方案的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等），学会把实际问题转化为数学问题是解题的关键． 显然第③块中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等． 【详解】因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用易证三角形全等． 故选：B． 9. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据两个三角形全等，可知对应相等的两条边的夹角相等，从而求出的度数． 【详解】解：两个三角形全等， 对应相等的两条边的夹角相等， ． 故选：A． 10. 如图，．若，则的长为（ ） A. 18 B. 21 C. 23 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得，可得出从而可求得结果． 【详解】解：∵． ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11. 如图，D为的边上一点，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及三角形内角和的性质是解题的关键．根据三角形内角和等于及，求得，从而，再证明，得到，所以，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：A． 12. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由是高得到，根据直角三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，则有，可判断①；根据直角三角形的性质得到，，则有，可判断②；根据中线的性质可判断③；根据三角形的面积公式可判断⑤；由题意无法证明，可判断④，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵是中线， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故⑤正确； 由题意无法证明，故④不正确； ∴综上所述，结论正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为________． 【答案】19 【解析】 【分析】对等腰三角形的腰长分两种情况讨论，根据三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：分两种情况进行讨论：若为腰长，为底边长， 此时三边长为，，，，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该情况； 若为腰长，为底边长，此时三边长为，，，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴周长为． 14. 已知，，为的三条边，化简：=______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可． 【详解】解：，，为的三条边 ， ， 故答案为：． 15. 如图，自行车的主体结构设计成三角形，这是利用三角形具有______性． 【答案】稳定 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键在于将三角形的稳定性与自行车的三角形具有稳定性联系起来． 【详解】解：自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定． 16. 三角形的两边长分别是5和8，则第三边的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理是解题关键． 17. 如图在△ABC中,∠A=50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，则∠D的度数为___. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠DCE，再根据角平分线的定义可得∠DBC= ∠ABC，∠DCE=∠ACE，然后整理可得∠D=∠A． 【详解】由三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠DCE， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D， ∴∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE， ∴ (∠A+∠ABC)=∠D+∠ABC， ∴∠D=∠A， ∵∠A=50°， ∴∠D=25°； 故答案为25°. 【点睛】此题考查三角形的外角性质，角平分线的定义，解题关键在于得到∠D=∠A． 18. 如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积为____. 【答案】7 【解析】 【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解． 【详解】如下图，连接A1C，B1A，C1B，，因B是线段B1C的中点，所以B1B=BC. △A1B1A和△AB1B等底同高，根据等底同高的两个三角形面积相等可得S△B1AB=S△ABC=1；同理可得S△A1B1A=S△AB1B=1；所以=S△A1B1A+S△AB1B=1+1=2；同理可得S△C1CB1=2， S△C1AA1=2. S△A1B1C1= S△A1BB1+ S△C1CB1+ S△C1AA1+S△ABC=2+2+2+1=7. 【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 尺规作图：已知线段，，求作三角形，使，，，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】 △ABC即为所求．画图如下： 【解析】 【分析】按照尺规作图的基本要领即先画射线AT，在射线上截取AB=m，作∠BAN=，在射线AN上截取AC=n，连接BC，则△ABC即为所求． 逐步画出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形的尺规作图，正确掌握尺规作图的基本步骤是解题的关键． 20. 如图，在中，平分，交于点，若，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题． 先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线求解，然后由，即可求解 的度数． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 21. 如图，已知，．求证： 【答案】 证明：在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形判定证明即可． 【详解】略 22. 如图，于点于点，且，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由得到，再由证明，然后根据全等三角形对应角相等得到，最后根据内错角相等两直线平行，即可得证． 【详解】略 23. 如图，，，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴. （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答该题的关键是证明三角形全等. （1）根据平行线得出，再由全等三角形的判定定理即可证明； （2）根据可得，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴. 24. 如图，，，，，与相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键． （1）根据已知易知， 得到， 即，结合已知，，利用“”证得，即可得出； （2）根据得出，易知，通过角的等量代换得出，最后根据三角形的外角性质即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 是的外角， ． 25. （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E． ①求证：； ②． 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明． 【答案】 （1）①∵， ∴， ∵直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线， ∴ ∴， ∴， ∵，，， ∴； ②∵， ∴， ∵ ∴； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴； ∴， ∵ ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，外角的性质等知识点，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）①根据同角的补角相等得到角相等，进而可以证明三角形全等即可； ②由①中全等得到边相等，即可得到答案； （2）根据外角的性质得到角相等，进而证明三角形全等，根据全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $