精品解析：天津市武清区雍阳中学2025-2026学年上学期八年级第二次月考数学试卷

2025—2026学年度第一学期八年级数学第二次月检测 一、单选题 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 【详解】解：A．，故不正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选B． 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，故该选项符合题意； D、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解． 【详解】根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键． 4. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4， ∴EB＝EA＝4， ∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 5. 一个顶角为的等腰三角形，它的底角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得两底角相等，进而根据三角形内角和定理求解即可 【详解】解：一个顶角为的等腰三角形，它的底角的度数为 故选C． 6. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用角平分线和平行可以证明△BME和△CNE是等腰三角形，而可得BM+CN=MN即可解答． 【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB， ∵MNBC， ∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN， ∴BM=ME，EN=CN， ∴MN=ME+EN， 即MN=BM+CN． ∵BM+CN=9 ∴MN=9， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形是解题的关键． 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键；由题意得，进而求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 9. 已知(x－y)2＝49，xy＝2，则x2＋y2的值为( ) A. 53 B. 45 C. 47 D. 51 【答案】A 【解析】 【详解】因为(x－y)2= x2-2xy＋y2=49，所以x2＋y2=49+2xy=49+2×2=53，故选A. 10. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．根据规律可得答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 故选A． 11. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案． 【详解】解：根据图甲可得阴影面积为， 根据图乙可得阴影面积为， ∴可以验证等式， 故选：C． 【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，正确理解并计算两个阴影部分的面积是解题的关键． 12. 如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，三角形的外角和定理，证明三角形全等是解题关键． 根据等边三角形的性质可以得出可以得出，，通过证明得出，进而得出就可以得出，由得出，进而得出，进而得出结论． 【详解】解：和是等边三角形， ，， 在和中 ，， ，， 因此①正确； 在和中 ，， ， 因此④正确； 是等边三角形 因此②正确； 因此⑤正确； 而 因此③错误， 综上所述，正确的有：①②④⑤． 故选：C． 二、填空题 13. 计算的结果等于______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用平方差公式计算即可；本题考查平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】运用单项式除以单项式法则计算即可．本题考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 若，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法的逆用．根据，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝56°，则∠ADE的度数是______． 【答案】62° 【解析】 【分析】由AB=AC及D是BC的中点，可得AD平分∠BAC，从而得∠DAE=28°，在Rt△ADE中即可求得∠ADE的度数． 【详解】∵AB=AC，D是BC的中点 ∴AD平分∠BAC ∴ ∵DE⊥AC ∴Rt△ADE中， 故答案为：62° 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形锐角互余，关键是等腰三角形性质的应用． 17. 如图，在中，，，是的中垂线，垂足为D，交于E，，则______，______，______． 【答案】 ①. 5 ②. 30 ③. 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得出的长，再由等腰三角形的性质得出的度数，由三角形外角的性质可求出的度数；根据直角三角形的性质可得出的长． 【详解】解：是的中垂线，， ； 是等腰三角形， ， ； ， 故答案为：5；30； 18. 如图，在中，，．点在边上，且，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点． （1）线段是否存在最小值？__________．（用“是”或“否”填空） （2）如果线段存在最小值，请直接写出的长，如果不存在，请说明理由__________． 【答案】 ①. 是 ②. 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，含的直角三角形，垂线段最短．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）如图，作关于直线的对称点，过作于，交于，连接，由对称的性质，垂线段最短可知最小，即存在最小值； （2）由（1）可得时，存在最小值，，，，进而可求的值． 【详解】解：（1）如图，作关于直线的对称点，过作于，交于，连接 由对称的性质可知， ∵ ∴的长度最小 ∴最小，即存在最小值 故答案为：是． （2）由（1）可得时，存在最小值 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的长为． 故答案为： 三、解答题 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，，与关于轴对称．点的对应点分别为． （1）请在图中作出，并写出点的坐标； （2）写出点关于轴的对称点，直接写出三角形的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，则； （2）点关于轴的对称点为，三角形的面积为7 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）关于x轴对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标相同，据此可得点关于轴的对称点的坐标；利用割补法求解三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，点关于轴的对称点为， 三角形的面积 ． 20. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式，公式法是关键． （1）提取公因式即可； （2）提取公因式，运用完全平方公式分解即可； （3）提取公因式，运用平方差公式分解即可； （4）先运用完全平方公式分解，再运用平方差公式分解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 21. （1）先化简，再求值：其中； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键． （1）根据单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子，计算即可； （2）根据完全平方公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【21题详解】 解：原式， ， 当时，原式； 【22题详解】 解：原式， ， ． 22. 如图，，，．，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴∠ACB=∠ECD=90° ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE 即∠ACE=∠BCD 又． ∴△ACE≌△BCD ∴ （2）90° 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解； （2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）∵△ACE≌△BCD ∴∠A=∠B 设AE与BC交于O点, ∴∠AOC=∠BOF ∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180° ∴∠BFO=∠ACO=90° 故=180°-∠BFO=90°． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 23. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 【答案】（1）30°；（2）4． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解； （2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形． ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4． 【点睛】本题主要考查了运用三角形的内角和算出角度，并能判定等边三角形，会运用含30°角的直角三角形的性质． 24. 【探究发现】：八年级数学学习兴趣小组学完因式分解后探究发现： 因为， 所以多项式可因式分解为， 【方法归纳】：由此获得因式分解的一种方法，如： ， ， ， ． 【学以致用】：请你依据小组发现的方法尝试解决下面的问题： （1）若因式分解的结果有一个因式为，则实数p的值为 ； （2）因式分解： ①； ②． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解， 根据因式分解的一个因式可知方程的一个解，代入即可求的未知数； ①利用题目给定的方法逐步分解即可求得答案；②将变形，利用题目给定的方法逐步分解即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵分解因式的结果有一个因式为， ∴是的解， ∴， 解得． 故答案为：； 【小问2详解】 ① ； ② ． 25. 已知是边长为6的等边三角形，是边上的动点（点不与点，重合），以为边作等边三角形（点在的上方）． （1）如图①，当D为边的中点时，求证：； （2）如图②，连接，求证：； （3）F为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点G，求线段的长（直接写出结果即可）． 【答案】（1） 证明：是等边三角形，为边的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ； （2） 证明：和是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ； （3）3 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据等边三角形的性质和三线合一的性质即可得结论； （2）根据“”证明，得，再根据内错角相等，两直线平行可得结论； （3）根据可知：点在过点与平行的射线上运动，如图③，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，此时的值最小，根据全等三角形的性质和判定即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：为边的中点，， ， 由（2）知：， 点在过点与平行的射线上运动， ， ， 如图③，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接， 垂直平分， ，， ，， ，， ， ． 即线段的长为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期八年级数学第二次月检测 一、单选题 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 一个顶角为的等腰三角形，它的底角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知(x－y)2＝49，xy＝2，则x2＋y2的值为( ) A. 53 B. 45 C. 47 D. 51 10. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 11. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ） A. B. C. D. 12. 如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题 13. 计算的结果等于______． 14. 计算：____________． 15. 若，则__________． 16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝56°，则∠ADE的度数是______． 17. 如图，在中，，，是的中垂线，垂足为D，交于E，，则______，______，______． 18. 如图，在中，，．点在边上，且，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点． （1）线段是否存在最小值？__________．（用“是”或“否”填空） （2）如果线段存在最小值，请直接写出的长，如果不存在，请说明理由__________． 三、解答题 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，，与关于轴对称．点的对应点分别为． （1）请在图中作出，并写出点的坐标； （2）写出点关于轴的对称点，直接写出三角形的面积． 20. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 21. （1）先化简，再求值：其中； （2）计算：． 22. 如图，，，．，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长． 24. 【探究发现】：八年级数学学习兴趣小组学完因式分解后探究发现： 因为， 所以多项式可因式分解为， 【方法归纳】：由此获得因式分解的一种方法，如： ， ， ， ． 【学以致用】：请你依据小组发现的方法尝试解决下面的问题： （1）若因式分解的结果有一个因式为，则实数p的值为 ； （2）因式分解： ①； ②． 25. 已知是边长为6的等边三角形，是边上的动点（点不与点，重合），以为边作等边三角形（点在的上方）． （1）如图①，当D为边的中点时，求证：； （2）如图②，连接，求证：； （3）F为边的中点，连接，当取得最小值时，延长与直线相交于点G，求线段的长（直接写出结果即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $