精品解析：江苏省无锡市江阴市南闸实验学校2026-2027学年八年级上学期10月练习数学试题

2026-2027初二数学练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　 　) A. 2cm，3cm，5cm B. 7cm，4cm，2cm C. 3cm，4cm，8cm D. 3cm，3cm，4cm 2. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 3. 2026年7月，河北省第十七届运动会射击步手枪项目决赛举行，各参赛选手展现出极强的综合实力与心理素质．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 4. 如图，已知，要使，不能添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的一个角是，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 6. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，是的边上的中线，，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点E在边上，的中垂线交于点D，若，，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 10. 如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 三角形的三边长分别为3、5、x，则x的取值范围是________． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是______． 13. 如图，中，于D，要使，若根据“”判定，还需要加条件_______． 14. 下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯时点到点上升的高度是___m． 15. 如图，点是上的一点，若，且，则______． 16. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于_____． 17. 如图，是边长为6的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为______． 18. 已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（只填序号） 三、解答题（共46分） 19. 如图，已知，且点D在边上． （1）试判断和的位置关系，并说明理由 （2）若，求的长． 20. 如图，点 A，F，C，D 在同一条直线上，，，，与交于点 H． 求证： （1）； （2）． 21. 如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）画出中边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）直接写出的面积为______． 22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． （1）求证：； （2）若，求的长 23. 如图，在和中，，E，F分别是对角线 ，的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长 ． 24. 尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）以为边，作一个等边三角形； （2）根据下列条件，分别作有一个角为的直角三角形： ①为直角边；②为斜边． 25. 如图1，中，，，点D是边上一动点（点D不与点B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转后得到线段，连接，． （1）求的度数； （2）已知，点D在上运动的过程中，若是直角三角形，求此时的长； （3）如图2，点F是的中点，连接，若，则线段的长度最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027初二数学练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　 　) A. 2cm，3cm，5cm B. 7cm，4cm，2cm C. 3cm，4cm，8cm D. 3cm，3cm，4cm 【答案】D 【解析】 【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误，不符合题意； B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误，不符合题意； C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误，不符合题意； D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解决此题的关键是熟练运用三边关系解决相关题型． 2. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 3. 2026年7月，河北省第十七届运动会射击步手枪项目决赛举行，各参赛选手展现出极强的综合实力与心理素质．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】“三角形的稳定性”能够使结构稳定不易变形，“垂线段最短”适用于最短距离问题，“两点之间，线段最短”涉及最短路径问题，“两点确定一条直线”是指经过两点有且只有一条直线．由题意“射击队员的手、肘、肩构成托枪三角形”，可知利用了三角形的稳定性． 【详解】解：“射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形”利用了三角形的稳定性，使自身更稳定，不受外力干扰， ∴这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性． 4. 如图，已知，要使，不能添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴； ∵，，， ∴； ∵，，， ∴； 添加后无法证明． 5. 等腰三角形的一个角是，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的内角的情况分类讨论即可. 【详解】解:若30°是等腰三角形的顶角 ∴等腰三角形的底角为: ; 若30°是等腰三角形的底角, ∴等腰三角形的底角为30° 综上所述: 这个等腰三角形的底角为或 故选C. 【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质,根据等腰三角形的内角的情况分类讨论是解决此题的关键. 6. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，解答即可． 【详解】解：是公路的中点， ， ， ， ，两点间的距离为． 故选：B． 7. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4， ∴EB＝EA＝4， ∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 8. 如图，是的边上的中线，，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵是的边上的中线，的面积为， ∴； ∵E为的中点， ∴； 又∵F为的中点， ∴． 9. 如图，在中，，点E在边上，的中垂线交于点D，若，，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，利用三角形外角性质推出，根据线段垂直平分线的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质得到，，由建立方程求解即可． 【详解】解：， ， ，，且， ， 的中垂线交于点， ， 在与中， ， ， ，， ，即， ， ， ， ． 10. 如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由三线合一定理和三角形的面积公式求出的长，由线段垂直平分线的性质得到，则当A、D、M三点共线时，的周长有最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵等腰三角形的底边的长为4，D为底边的中点， ∴， ∵等腰三角形的面积为12， ∴， ∴； ∵腰的垂直平分线分别交于点E，F， ∴， ∴的周长， ∴当A、D、M三点共线时，的周长有最小值，最小值为． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 三角形的三边长分别为3、5、x，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得：，即：． 故答案为：． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识，先由等腰三角形的性质分类讨论，再结合周长公式及三角形三边关系求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识是解决问题的关键． 【详解】解：由等腰三角形性质，分两种情况： 当腰是时，三角形的边长为，则该等腰三角形的周长是； 当腰是时，边长为，则由构成三角形的三边关系可知三条边长不能构成三角形，此种情况不存在； 故答案为：12． 13. 如图，中，于D，要使，若根据“”判定，还需要加条件_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据“斜边直角边”的理解可得答案． 【详解】当时， 在和中， ， ∴． 故答案为：． 14. 下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯时点到点上升的高度是___m． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质．作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于，则， ， ∵， ∴， ∵的长是， ∴，即， 故答案为：4． 15. 如图，点是上的一点，若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得，，从而得出，，再由三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】解：， ，， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于_____． 【答案】9 【解析】 【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF＝DE＝3，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作EF⊥BC于F， ∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC， ∴EF＝DE＝3， ∵BC＝6， ∴△BCE的面积为×BC×EF＝9， 故答案为9． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 17. 如图，是边长为6的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】作交延长线于G，证得，再证得，利用求解． 【详解】解：过点E作交的延长线于点G，如图： 是边长为6的等边三角形， ，， ， ． ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 18. 已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（只填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到，，再根据角平分线的性质可求得，即，于是得到结论． 【详解】解：①为的角平分线， ， 在和中， ， ，故①正确； ②为的角平分线， ， ，， ，， ， ， ， ，故②正确； ③，，，， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，故③正确； ④过作于点， 是上的点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键． 三、解答题（共46分） 19. 如图，已知，且点D在边上． （1）试判断和的位置关系，并说明理由 （2）若，求的长． 【答案】（1） ，证明：∵， ∴， ∴； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定. （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 即的长为10． 20. 如图，点 A，F，C，D 在同一条直线上，，，，与交于点 H． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用可证明； （2）由全等三角形的性质得到，则可证明，再由线段的和差关系证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）画出中边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）直接写出的面积为______． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）取格点H连接交于点D，可证明，则，据此可证明； （2）取格点E，连接，可证明，则； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，； 22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． （1）求证：； （2）若，求的长 【答案】（1） 证明：连接， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证； （2）证明，得到，进而得到，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，在和中，，E，F分别是对角线 ，的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长 ． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， ∵，E是对角线的中点， ∴，， ∴， ∵F是对角线的中点， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质． （1）连接，，利用直角三角形斜边中线定理得到，，由上述结论可知，得到是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一性质得到； （2）根据，先求出和的长度，由根据三角形两内角之和等于另一个角的外角，得到，随即判断出的形状，最后可求得的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵，E是对角线的中点，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 24. 尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）以为边，作一个等边三角形； （2）根据下列条件，分别作有一个角为的直角三角形： ①为直角边；②为斜边． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）①如图，即为所求． ②如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，以为半径画弧交于点，连接，，则为等边三角形； （2）①首先分别以为圆心，以为半径画弧交于点，连接，此时为等边三角形，，然后过点作的垂线交的延长线于点，得，则即为所求． ②首先分别以为圆心，以为半径画弧交于点，连接，此时为等边三角形，，然后过作线段的中垂线，交于，得，则即为所求． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①略； ②略． 25. 如图1，中，，，点D是边上一动点（点D不与点B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转后得到线段，连接，． （1）求的度数； （2）已知，点D在上运动的过程中，若是直角三角形，求此时的长； （3）如图2，点F是的中点，连接，若，则线段的长度最小值为______． 【答案】（1） （2）的长为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，，则通过角的转换可得，即可证明，则，进而即可得解； （2）先根据题意求出，再过点A作于点G，当是直角三角形时，可分为两种情况求解，分别为：当时和当时，进行列方程求解即可； （3）如图，取中点G，连接，由“”可证，可得，则当时，有最小值，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵线段绕点A逆时针旋转后得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 过点A作于点G， 由题意可知，当时，如下图： ∴， ∵， ∴， ∴设， ∴在含的中，， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴； 当时，如下图： ∴， ∵， ∴， ∴设， ∴在含的中，， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， 综上所述，的长为或； 【小问3详解】 解：如图，取中点G，连接， ，点是中点，点是中点， ， ， ， ，， 在和中， ， ， 有最小值时，也有最小值， 当时，有最小值． ，， ，，， ，， 线段长度的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质、等腰三角形的性质和一元一次方程的应用，熟知以上知识点并熟练的运用是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $