精品解析：天津市天津中学2026-2027学年高二年级上学期第一次诊断测试数学试卷

天津中学2025级高二第一学期第一次诊断测试 数学试卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线的倾斜角为，则（ ）． A. 0 B. C. D. 不存在 2. 如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在轴上的截距分别是，4的直线方程是 A. B. C. D. 4. 两直线和之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是点在平面上的射影，则等于（ ）. A. B. C. D. 6. 已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线，平行，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. 1 B. C. 9 D. 3 9. 已知空间向量，0，，，2，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. ，2， B. ，2， C. ，0， D. ，0， 10. 已知线段两端点的坐标分别为和，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知，若，则 ______. 12. 已知，，．若、、三向量共面，则实数______． 13. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________. 14. 设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是________. 15. 如图，在平行六面体中，，，点为线段上靠近于点的三等分点．若点为棱上的一个动点，则的最小值为______． 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知直线与直线（）垂直，直线在轴和轴的截距分别为和. （1）求，，的方程； （2）求与的交点到的距离. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求平分线所在直线的方程； （3）若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程． 19. 如图，三棱柱中，，，平面，，，，分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面夹角的正弦值； （3）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求；若不存在，请说明理由. 20. 已知点分别是两射线和上的点，点. （1）若点是线段的中点，求线段的长. （2）设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津中学2025级高二第一学期第一次诊断测试 数学试卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线的倾斜角为，则（ ）． A. 0 B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】因为， 为一常数，故直线的倾斜角为， 故选：C 2. 如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解. 【详解】由题意可得 . 故选：D 3. 在轴上的截距分别是，4的直线方程是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线方程的截距式写出直线方程即可 【详解】根据直线方程的截距式写出直线方程，化简得，故选B. 【点睛】本题考查直线的截距式方程，属于基础题 4. 两直线和之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把两个方程中对应项系数化为相同，然后由平行间距离公式计算． 【详解】方程化为， 所求距离为． 故选：A． 5. 已知点是点在平面上的射影，则等于（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定射影坐标，再由空间两点间距离公式计算． 【详解】由题意， 所以， 故选：B． 6. 已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的倾斜角为，利用两角和的正切即可求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 又直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 所以直线的倾斜角为， ， 故直线的斜率为 故选：B. 7. 若直线，平行，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】由于，，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题. 8. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. 1 B. C. 9 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到， 再利用求的模长. 【详解】在平行六面体中， 有，， 由题知，，，，， 所以，，与的夹角为， 与的夹角为，与的夹角为， 所以 . 所以. 故选：D. 9. 已知空间向量，0，，，2，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. ，2， B. ，2， C. ，0， D. ，0， 【答案】C 【解析】 【分析】 由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案. 【详解】解：向量，0，，，2， ， 则，， ， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故选：C. 10. 已知线段两端点的坐标分别为和，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程可得直线的斜率k，且过定点，根据两点坐标求出直线PA、PB的斜率、，当时且；当时，满足题意. 【详解】由直线，知直线恒过定点， 由，得直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 当时，直线的斜率为， 所以，解得或； 当时，满足题意. 所以m的取值范围为. 故选：A 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知，若，则 ______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据数量积的运算法则，代入求解，即可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，则， 所以. 12. 已知，，．若、、三向量共面，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共面的充要条件可得存在，使得成立，根据坐标列出方程组，求解即可得出答案. 【详解】因为三向量共面， 所以存在，使得成立， 即，解得. 13. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________. 【答案】2x+y=0，或 x-y+6=0 【解析】 【分析】可分①当在坐标轴上截距为0时与②在坐标轴上截距不为0时讨论解决． 【详解】：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y=-2x，即2x+y=0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x-y=a，将A（-2，4）代入得，a=-6， ∴此时所求的直线方程为x-y+6=0； 即答案为2x+y=0，或 x-y+6=0. 【点睛】本题考查直线的截距式方程，当在坐标轴上截距为0时容易忽略，考查分类讨论思想与缜密思考的习惯． 14. 设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线所过定点坐标，再求得定点与连线的斜率，结合图形可得结论． 【详解】易知直线过定点，是该直线的斜率， 又，， 由图可知的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，在平行六面体中，，，点为线段上靠近于点的三等分点．若点为棱上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，，，设，用含有，，的表达式表示出，根据数量积的运算律，将展开化简为关于的二次函数，结合二次函数性质，求得答案. 【详解】设，，，设， 则， ， ， 由题意可知， 故 ， 当时，取得最小值 ， 即的最小值为． 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知直线与直线（）垂直，直线在轴和轴的截距分别为和. （1）求，，的方程； （2）求与的交点到的距离. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，求得，得到直线与的方程，再由直线在轴和轴的截距分别为和，结合直线的截距式方程，即可求解； （2）联立方程组，求得直线与的交点为，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由直线和， 因为，则，即，解得或， 又因为，所以，可得，， 又由直线在轴和轴的截距分别为和，可得直线的方程为， 即. 【小问2详解】 解：联立方程组，解得，即直线与的交点为， 则与的交点到的距离. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可； （2）利用空间向量计算点面距离即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则， 即， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由上易知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 所以点到平面的距离为； 【小问3详解】 由上可知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求平分线所在直线的方程； （3）若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程． 【答案】（1） （2） （3）或； 【解析】 【分析】（1）先由中点公式求出 BC 的中点，再用点斜式写出中线方程； （2）根据角平分线的方向向量等于角两边单位向量之和，据此求斜率，再由点斜式求结论； （3）当直线的斜率存在时，设其方程为，结合点到直线距离公式列方程求，再判断当直线的斜率不存在时，是否满足条件即可. 【小问1详解】 设的中点为，由中点公式得 中线经过 与，其斜率为 由点斜式可得直线的方程为，整理得 【小问2详解】 先求两边长度：, 平分线的方向向量为两边单位向量之和，又 取的方向向量为，故直线的斜率.又过点， 由点斜式可得直线的方程为 整理得 【小问3详解】 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 因为，到直线的距离相等，所以， 解得，解得或， 所以直线的方程为或； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，到直线的距离不相等， 综上所述：的方程为或 19. 如图，三棱柱中，，，平面，，，，分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面夹角的正弦值； （3）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因平面，平面，所以. 又因，所以，且，平面， 所以平面. （2）； （3） 存在，. 【解析】 【分析】（1）直接根据线面垂直的判定定理可得； （2）直接建立空间直角坐标系，用向量求线面角可得； （3）构造过D点且与平面平行的平面，进而可得平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因，取的中点为O， 所以，分别以所在直线为轴， 以过O点平行的直线为轴，建立空间直角坐标系如图： 由（1）知平面，平面，所以， 而三棱柱中， 所以，所以三角形是等腰直角三角形，得. 再由平面，平面， 所以，且， 所以也是等腰直角三角形，所以. 所以，，， . ， . 设为平面的一个法向量， 且，， 由，得， 令，得,所以. 所以. 所以与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 存在F点为的中点，则平面. 如图： 因为O为的中点，D是的中点，所以. 由，平面，平面，所以平面. 再由，，所以， 平面，平面，所以平面. 因平面，平面，且，平面. 所以平面平面，且平面，得平面. 故存在F点为的中点，则平面，且. 20. 已知点分别是两射线和上的点，点. （1）若点是线段的中点，求线段的长. （2）设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 【答案】（1） （2）①；②最小值6， 【解析】 【分析】（1）方法一：先考虑直线的斜率不存在，不合要求，再考虑直线的斜率存在，直线的方程为，联立求出两点的坐标，得到方程组，求出，得到，求出答案； 方法二：设，根据是线段的中点得到方程，求出，所以，求出答案. （2）方法一：①在（1）基础上，得到； ②在（1）基础上，得到，换元后，由函数单调性得到面积最小值为6，因为，所以最小值为6，此时直线的方程为. 方法二：①在（1）基础上，得到； ②设，由三点共线得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，求出此时直线的方程. 【小问1详解】 方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，， 此时的中点坐标为，与点不符，不合题意. 可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或， 此时直线的方程为， 由可得， 由可得， 因为的中点为，所以 解得， 则， 则； 方法二：设， 由是线段的中点可得 所以， 所以， 则. 【小问2详解】 方法一：①当直线的斜率不存在时，由（1）的结论， 可得. ②当直线的斜率存在时，设为，依题意得或， 则直线的方程为， 由（1）可得. . 设，则且，令， 则且，即且， 可得且不等于， 因为，所以当，即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 方法二：①当直线的斜率不存在时，由①的结论， 可得. ②设， 由三点共线可得，即， 整理得，即， 所以， 当且仅当时取到等号. ， 即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $