精品解析：江苏镇江市扬中市第一中学2026-2027学年上学期10月学情自测八年级数学试题

八年级数学独立作业 本试卷共4页，共24题：全卷满分120分，时间90分钟． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 2. 已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（ ） A. B. C. 或者 D. 3. 如图，，如果，，，那么的长是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　） A. BC=EF B. ∠BCA=∠F C. AB∥DE D. AD=CF 5. 如图，在等腰中，，D垂直平分，则的度数等于（　　） A. B. C. D. 6. 如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角．图2是三等分角仪的示意图，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 10. 如图，直线，垂足为O，点A是射线上一个动点（不与点O重合），以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，点A、B在运动过程中，线段的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 9的算术平方根是______． 12. 如图，在中，D为的中点，以为斜边作，F为的中点．若，则的长为______． 13. 如图，在中，，和的平分线分别交于点F、G，若，，，则的值为______． 14. 已知．下列关于m的四种说法： ①m是整数；②m的值有两个，且它们互为相反数；③m是10的平方根；④． 其中说法正确的序号是______． 15. 如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线，与边相交于点H．则的大小为______． 16. 小区要搭建一个等边三角形的休闲花坛，花坛三个顶点记为A、B、C，工人在花坛边上选取两点D、E，使得，在花坛内部有一处景观灯F，测得，景观灯到C点的距离米，其中，点A、F、E和点D、F、C分别都在同一直线上，则景观灯F到顶点A的距离是______米． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答下列各题 （1）计算：①．②． （2）求下列各式中的x的值：①．②． 18. 已知一个正数m的平方根分别是和． （1）求a、m的值； （2）填空：的平方根______． 19. 校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． 20. 如图，已知． （1）与平行吗？为什么？ （2）若，，求的长． 21. 如图，，，求证： （1）； （2）． 22. 如图，在中，平分，于D，于C，且，． （1）求证：； （2）求证：． 23. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间， （1）______，______；（用含t的代数式表示） （2）当是等腰三角形时，求t的值． （3）当是直角三角形时，求t的值． 24. 【综合与实践学习】： 阅读下面的证明过程：如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，． ∴． 在和中， ， ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题： （1）如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） （3）如图4，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，思考：与之间有什么样的数量关系？请证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学独立作业 本试卷共4页，共24题：全卷满分120分，时间90分钟． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴16的平方根是. 2. 已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（ ） A. B. C. 或者 D. 【答案】D 【解析】 【分析】需分类讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为，底边长为时，三角形三边长为，，， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去该情况； 当腰长为，底边长为时，三角形三边长为，，， 满足三角形三边关系，此时周长为， 因此该等腰三角形的周长为． 3. 如图，，如果，，，那么的长是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　） A. BC=EF B. ∠BCA=∠F C. AB∥DE D. AD=CF 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜边这一条件，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 5. 如图，在等腰中，，D垂直平分，则的度数等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：． ， 垂直平分， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 6. 如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 根据题中的图形，可以得到 ，，，再根据全等三角形的判定方法，求解即可． 【详解】解：由作图可知， ，，， 则这个作图的依据是：两角及夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 7. 如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，由等边三角形的性质推出垂直平分是解题的关键．由等边三角形的性质推出，，由线段垂直平分线的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数． 【详解】解： 是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故选：A． 8. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角．图2是三等分角仪的示意图，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：D． 10. 如图，直线，垂足为O，点A是射线上一个动点（不与点O重合），以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，点A、B在运动过程中，线段的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作于点E，于点G，于点H，连接，根据角平分线的性质以及判定可得点C在的角平分线上运动，过点F作于点，则当点C与点重合时，线段取得最小值，最小值为的长，再由直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点C作于点E，于点G，于点H，连接， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点C在的角平分线上运动， 过点F作于点，则当点C与点重合时，线段取得最小值，最小值为的长， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即线段的最小值是2． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 9的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的运算法则填写即可． 【详解】解：由题意得，． 12. 如图，在中，D为的中点，以为斜边作，F为的中点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由求出，结合中点定义求出，再次利用直角三角形斜边中线性质求出； 【详解】解：在中，为的中点，， ， 为的中点， ， 在中，为的中点， ． 13. 如图，在中，，和的平分线分别交于点F、G，若，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得，可得． 【详解】解：， ， 是和的平分线， ， ， ． 14. 已知．下列关于m的四种说法： ①m是整数；②m的值有两个，且它们互为相反数；③m是10的平方根；④． 其中说法正确的序号是______． 【答案】 ②③ 【解析】 【分析】由得，逐个判断四个说法的正误即可得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ①不是整数，也不是整数，故①错误； ②的值是和，，二者互为相反数，故②正确； ③根据平方根的定义，若一个数的平方等于，则这个数是的平方根，，所以是的平方根，故③正确； ④当时，，不满足，故④错误， 因此正确的序号是②③． 15. 如图，在中，，，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线，与边相交于点H．则的大小为______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，从而利用角平分线的定义可得，然后利用三角形的外角性质可得，再由作图可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 由作图可得：， ∴， ∴． 16. 小区要搭建一个等边三角形的休闲花坛，花坛三个顶点记为A、B、C，工人在花坛边上选取两点D、E，使得，在花坛内部有一处景观灯F，测得，景观灯到C点的距离米，其中，点A、F、E和点D、F、C分别都在同一直线上，则景观灯F到顶点A的距离是______米． 【答案】 【解析】 【分析】证明，则，得到将绕点顺时针旋转得到，连接，证明是等边三角形，则，得到，在中，，利用含角的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ 将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴，， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴ ∴ 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答下列各题 （1）计算：①．②． （2）求下列各式中的x的值：①．②． 【答案】（1）①；② （2）①，；②，； 【解析】 【小问1详解】 解：①． ② 【小问2详解】 解：① ∴，； ② ∴，； 18. 已知一个正数m的平方根分别是和． （1）求a、m的值； （2）填空：的平方根______． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求a，再代入计算m的值； （2）先计算的结果，再求该结果的平方根． 【小问1详解】 解：∵ 正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 19. 校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． 【答案】 点如图所示． 【解析】 【分析】明确到角两边距离相等的点在角的平分线上，因为点P需要同时到的距离相等，所以点P在的角平分线上．因为点P还需要到的距离相等，所以点P也在的角平分线上．两个角平分线的交点即为满足条件的点P，通过尺规作图作出两个角的平分线，取交点即可． 【详解】解：作的角平分线，再作的角平分线， 两条角平分线在图中围成区域内的交点就是满足条件的点． 理由：∵点在的平分线上， ∴到、距离相等； 又∵点同时在的平分线上， ∴到、距离相等； ∴到、、距离相等； 最终就是点到三面墙的距离都相等，符合要求． 20. 如图，已知． （1）与平行吗？为什么？ （2）若，，求的长． 【答案】（1）平行，理由如下： ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形对应角相等得到内错角相等，证得两直线平行； （2）由全等得，结合线段总长列等式求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意可得， ， ， ，， , 解得． 21. 如图，，，求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到． 【小问1详解】 证明： ， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 证明：∵， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质以及平行线的判定与性质等知识点，证得是解答本题的关键． 22. 如图，在中，平分，于D，于C，且，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ； （2） 解：由知，，且， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，通过证明是解题的关键． （1）只需证即可； （2）先证，再根据证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间， （1）______，______；（用含t的代数式表示） （2）当是等腰三角形时，求t的值． （3）当是直角三角形时，求t的值． 【答案】（1）；或 （2）t的值为或 （3）t的值为或 【解析】 【分析】（1）根据“路程速度时间”，动点Q的运动路程直接表示为；动点P从C出发需按位置分段：当时P在线段上，；当时P越过O点在射线上，； （2）按点P的位置分两类讨论等腰三角形：当时，为钝角，仅存在一种可能，列方程求解；当时，，等腰三角形必为等边三角形，列求解即可； （3）先排除的情况：此时为钝角，无法构成直角三角形；当时，分两种直角顶点讨论：时利用列方程；时利用列方程，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，∵动点Q从O出发沿以移动， ∴， ∵动点P从C出发沿以移动， ∴， ∵， ∴当（P在线段上，未到达O）时，， ∴， 当（P在射线上）时，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，点P在线段上，如图： ， ， ∴两腰只能为和，即， ∴ 解得； 当时，点P在射线上，如图： 此时． ∵为等腰三角形， ∴为等边三角形， ∴， ∴ 解得， 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为或． 【小问3详解】 解：当时，点P在线段上，此时为钝角． 此时为钝角三角形，不可能是直角三角形，此情况无解； 当时，点P在射线上，此时， ∴直角只能在点P或点Q处， 当时，如图： 在中，， ∴， ∴ 解得； 当时，如图： 在中，， ∴ ∴ 解得， 综上所述，当是直角三角形时，t的值为或． 24. 【综合与实践学习】： 阅读下面的证明过程：如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，． ∴． 在和中， ， ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题： （1）如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） （3）如图4，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，思考：与之间有什么样的数量关系？请证明你的猜想． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）米 （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质,勾股定理． （1），证明即可求证； （2）过A作，过B作，易证，得出，，由题意知，则，，即即可求出，从而求出； （3）过D作交的延长线于点F，易证，得出，，进而得出，，结合即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过A作，过B作，如图： 同理可证， ∴，， 由题意知，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴（米）． 【小问3详解】 证明：过D作交的延长线于点F，如图： ∵， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $