精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2026-2027学年高三上学期10月阶段过关测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高三上期10月阶段过关测试（一） 数学试题 命题人：明艳 审题人：宁长青 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由位置可将转化为，求出利用诱导公式即可. 【详解】 设， 则，， 因，则， 故， ， 故选：B 2. 设，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】因为，故或，， 故“”推不出“，”， 若，则， 故“，”能得到“”， 故“”是“，”的必要不充分条件. 3. 已知为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的范围和同角的三角函数关系求出和，利用两角和的余弦公式计算可得答案. 【详解】∵为锐角，， ∴. ∵，∴，且， ∵，函数在上单调递增， ∴， ∴， ∴ . 故选：B． 4. 已知函数，的部分图象如图，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可求得，.然后根据，结合的取值即可推出，根据，求出，即可得出.然后将代入，即可得出答案. 【详解】由图象可知，，所以. 由可得，，所以. 又，所以， 所以，所以. 因为，所以，. 又，所以，所以， 所以， 所以. 故选：C. 5. 已知函数（）的图象关于轴对称，则在区间上的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数的图象关于轴对称，所以，又，则，即，因为，所以，则当，即时，取得最大值；故选A. 点睛：判定三角函数的奇偶性时，往往与诱导公式进行结合，如： 若为奇函数，则； 若为偶函数，则； 若为偶函数，则； 若为奇函数，则. 6. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围. 【详解】作出函数图象，如下图所示： 令，解得， 故时，对称轴为直线，则， 因为，所以， 又，则， 由，得，则，则， 所以，. 故选：D 7. 21世纪以来，我国在载人航天、无人机、智能机器人等高科技领域取得了举世瞩目的成就．任何精密的机械装置都离不开最基础的零部件，例如齿轮．在工程分析中，常将齿轮简化为圆盘．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒．在时刻，质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设，，结合题意计算可得两函数解析式，再作差即可得，再利用二倍角公式及二次函数性质计算即可. 【详解】设，. 由题意可得，，，，即； 由题意可得，，，，即. 所以 . 当时，， 所以当时，取最大值；当时，取最小值. 所以，即的值域为. 所以的最大值为. 8. 如果对一切正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式恒成立转化为恒成立.构造函数，利用基本不等式可求得，于是问题转化为恒成立．通过参变分离结合基本不等式求解即可得到答案. 【详解】对一切正实数，不等式恒成立恒成立， 令，则， ∵，当且仅当时取“＝”， ； 所以，即恒成立． ， 所以恒成立 令,则，恒成立. 令,，则． 因为，，则，当且仅当时等号成立. 所以. 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，且的最小正周期为.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. 的值为1 B. 的单调递增区间为 C. 时，的最大值为3 D. 时，的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简解析式，根据的最小正周期求得，根据三角函数图象变换求得.结合三角函数单调区间、最值等知识确定正确答案. 【详解】， 由于的最小正周期为，所以，，A选项正确. ， 所以的单调递增区间是，B选项错误. 函数的图象向右平移个单位长度后得到. 由于， 所以， 所以时，的最大值为，最小值为，C正确，D错误. 故选：AC 10. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数的最小正周期为 D. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角函数的定义，可得，，的值，根据和角差角及二倍角公式代入计算可判断A、B正误，对于C、D，根据辅助角公式进行化简，结合绝对值变换、周期公式及“左加右减”平移方法就可以判断. 【详解】由三角函数的定义，得，，. 对于A，，故选项A正确； 对于B，，故选项B正确； 对于C，，所以的最小正周期，故选项C错误； 对于D，将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到的函数解析式，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的对称轴为 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为1，最小值为 D. 在上单调递减，在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】作出函数的图象，对于A，验算是否成立即可；对于B，由即可判断；对于CD，借助函数单调性，只需求出函数在上的最大值和最小值验算即可判断CD. 【详解】作出函数的图象如图中实线所示． 对于，由图可知，函数的图象关于直线对称， 对任意的， ， 所以函数的对称轴为，A正确； 对于，对任意的， 结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，故B错误； 对于C，由选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为， 要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 因为， 所以，因此的最大值为，最小值为-1，故C错误； 对于，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，正确， 故选：AD． 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是求出函数在上的最大值和最小值即可，由此即可顺利得解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式，的解集为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式将函数解析式进行化简，再由函数图像写出解集即可. 【详解】作出在的简图． 满足的的范围是，即不等式的解集为． 故答案为：. 13. 已知函数，，则函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质，然后根据整体换元法求解. 【详解】时，， 结合余弦函数的性质，当和时， 函数单调递减，此时， 故答案为：. 14. 已知函数在区间上单调，且满足，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调， 且满足，而，, 即的一个对称中心为， 而，故在区间上单调， 设函数的最小正周期为，则； 函数在区间上恰有个零点，则恰好为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期， 故，即， 解得，结合， 可得的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，即， 若，则，不符合， 所以，可得. 【小问2详解】 由题意可得： 16. 已知向量.设. （1）求函数的最小正周期； （2）记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式将函数化简，从而可求得函数的最小正周期； （2）根据，求得，再根据的面积为，求得，再利用余弦定理即可得出答案. 【小问1详解】 由题意， ， 所以函数的最小正周期； 【小问2详解】 由得， 因为，所以，解得， 因为，所以， 由余弦定理得，所以. 17. 已知，令函数 （1）求函数的表达式、周期、严格增区间及值域； （2）函数，求函数在区间内所有零点之和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】(1)利用向量点积展开后通过二倍角公式和辅助角公式化简为标准的正弦型函数，再套用正弦函数周期、单调性、值域结论直接求解； (2)将零点问题转化为在区间内有解问题，利用正弦函数的对称性求解所有解的和，再反推变量的和. 【小问1详解】 由题，， 即，周期， 令，解得， 则严格增区间为， 值域. 【小问2详解】 令，即，设，方程在内有四个解， 设解为满足（关于对称），， 所以， 又，所以所有零点之和为. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴方程； （3）在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题知，，求出从而得的值，将特殊点代入函数中求出，即可解决问题； （2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求对称轴即可； （3）假设存在实数的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由，得，再根据所给的角把范围求出来，根据范围的包含关系列出不等式解出即可. 【小问1详解】 由图可知， ，则，， 所以，. 所以，即 又，所以当时，， 所以. 【小问2详解】 将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得：， 再向右平移个单位长度得到： ， 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，. 【小问3详解】 由，得， 由，得， 所以， 所以. 又，得， 所以. 由题可知， 得，解得， 所以存在，使得成立. 19. 设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式. （1）若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值； （2）对于正整数时，是否有成立？ （3）已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，证明：. 【答案】（1） （2）成立 （3） 函数在区间上有3个不同的零点， 即方程在区间上有3个不同的实根， 令，由知，而，则或或， 于是， 则， 而， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用展开计算，根据切比雪夫多项式可求得； （2）要证原等式成立，只需证明成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结论成立； （3）由已知可得方程在区间上有3个不同的实根，令，结合（1）可是，可得，计算可得结论. 【小问1详解】 依题意， ， 因此，即，则， 【小问2详解】 成立. 这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式. 首先有如下两个式子： ， ， 两式相加得，， 将替换为，所以. 所以对于正整数时，有成立. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高三上期10月阶段过关测试（一） 数学试题 命题人：明艳 审题人：宁长青 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，的值为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知函数，的部分图象如图，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（）的图象关于轴对称，则在区间上的最大值为 A. B. C. D. 6. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 21世纪以来，我国在载人航天、无人机、智能机器人等高科技领域取得了举世瞩目的成就．任何精密的机械装置都离不开最基础的零部件，例如齿轮．在工程分析中，常将齿轮简化为圆盘．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒．在时刻，质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 如果对一切正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，且的最小正周期为.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. 的值为1 B. 的单调递增区间为 C. 时，的最大值为3 D. 时，的最小值为 10. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数的最小正周期为 D. 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为 11. 已知函数，则（ ） A. 的对称轴为 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为1，最小值为 D. 在上单调递减，在上单调递增 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式，的解集为_____________． 13. 已知函数，，则函数的单调递减区间为__________． 14. 已知函数在区间上单调，且满足，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知向量.设. （1）求函数的最小正周期； （2）记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 17. 已知，令函数 （1）求函数的表达式、周期、严格增区间及值域； （2）函数，求函数在区间内所有零点之和. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴方程； （3）在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由． 19. 设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式. （1）若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值； （2）对于正整数时，是否有成立？ （3）已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $