精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2026-2027学年高三上学期9月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高三上期09月测试（一） 数学试题 命题人：熊成兵 审题人：朱新凤 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 18 2. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，命题“，恒成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（     ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为3 10. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 最小值为 11. 已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是函数图象上的点，是函数图象上的点，且轴，则的最小值为_______． 13. 已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 14. 若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的最大值； （2）已知，且. ①求的最大值； ②求的最小值； ③求的最大值. 16. 已知实数，，，，满足，． （1）判断的正负，并证明； （2）若，，均为奇数，，是否可能都为整数？说明你的理由． 17. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值． 18. 已知函数（其中为常数，且）. （1）若是奇函数，求实数的值； （2）在（1）的条件下，判断的单调性，并解关于的不等式：. 19. 对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． （1）证明：必在和之间； （2）试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； （3）请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高三上期09月测试（一） 数学试题 命题人：熊成兵 审题人：朱新凤 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数值域求出的关系，再利用一元二次不等式的解集与对应方程实根关系列式求解. 【详解】由函数的值域为， 得，即， 不等式， 由不等式的解集为， 得是方程的两个实根， 因此，解得， 所以实数的值为9. 2. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用不等式的性质求解. 【详解】因为，，所以，， 因为，所以，即，得， 将代入中，得，即，得， 所以. 3. 对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干所给的定义利用基本不等式探究两个式子的大小关系，根据基本不等式等号成立的条件判断最大值即可． 【详解】因为x、y为正实数，则，当且仅当时，等号成立； 则； 由可知，，且， 则，可解得； 当且仅当且；得到，解得，； 故当，时，取最大值． 4. 已知，且，则的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 5. 若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 6. 若，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 7. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 8. 已知函数，，命题“，恒成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式与不等式的性质得到，再结合题意与分离参数法得到在上有解，最后结合导数求解参数范围即可. 【详解】因为命题“，恒成立”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 则，使得成立， 由题意得，， 由绝对值三角不等式得，当且仅当时取等， 由绝对值三角不等式得，当且仅当时取等， 由绝对值三角不等式得，当且仅当时取等， 由绝对值三角不等式得，当且仅当时取等， 由绝对值性质得，当且仅当时取等， 当且仅当时，上述不等式等号成立，由不等式的性质得， 则转化为，使得是真命题， 即，成立， 化简得在上有解，令， 而，当时，恒成立， 则在上单调递减，且，可得， 而在上有解，可得在上有解， 得到，即实数的取值范围为，故A正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（     ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，对平方后利用基本不等式判断；对于C，由，再结合基本不等式分析判断；对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 10. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 11. 已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】将题设条件拼凑分解成，代入消元后利用二次函数单调性即可判断A项；设，利用结合基本不等式计算可逐一判断B，C，D. 【详解】由可得. 对于A，，则当时，取得最小值，故A正确； 对于B，在中，不妨设，则，且， 于是，，因， 当且仅当，即时取等，则有，故B错误； 对于C，由B项，，当且仅当， 即时取等，即的最小值为14，故C错误； 对于D，由B项，，当且仅当，即时取等， 即的最小值为，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是函数图象上的点，是函数图象上的点，且轴，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由轴得、两点纵坐标相等，将、用公共纵坐标表示，结合对数运算性质化简后利用基本不等式求最小值. 【详解】由题意可得、两点纵坐标相等，设， 则，，故，， 则 ， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为. 13. 已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】使用不等式将问题转化为，再验证等号成立条件. 【详解】由题可知，，则，， 因为，所以，即，解得， 当且仅当，时，等号成立， 当时，，，， 故的最小值为2. 14. 若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过不断构造函数利用一元二次函数性质求解最值. 【详解】设实根，则， ，所以. 由二次函数特性可知，时取得最大值. ， 又当时取得最大值，且. 所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的最大值； （2）已知，且. ①求的最大值； ②求的最小值； ③求的最大值. 【答案】（1） （2）①；②；③. 【解析】 【分析】（1）令，代入表达式中结合余弦二倍角公式，辅助角公式即可求解； （2）①结合已知条件，利用基本不等式先求解的最大值，即可得出的最大值；②将代入中化简，利用基本不等式求解即可；③由，得且，代入式子化简得，令，得出，代入化简后的式子，根据所给条件利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由，令， 所以 ， 其中，所以当时，有最大值， 所以的最大值为：，即的最大值为. （2）①因为，所以， 由， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. ②因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. ③因为，所以，， 所以 ， 令，由，则，此时， 所以原式化为 因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以的最大值为. 16. 已知实数，，，，满足，． （1）判断的正负，并证明； （2）若，，均为奇数，，是否可能都为整数？说明你的理由． 【答案】（1）依题意得，. 方法一（最优解）：韦达定理应用， 变形结构，显然， 由韦达定理，可知，和是一元二次方程的两个根． 其中， 所以为非负数； 方法二：由已知，可用表达，， ， 所以为非负数. （2）不可以． 【解析】 【分析】（1）方法一，利用韦达定理可得和是一元二次方程的两个根，利用根的判别式得到； 方法二：由已知，可用表达，并得到； （2）若都为整数，其可能的情况有都为奇数和其中至少有一个为偶数，就两种情况，分别推出矛盾，故、不能都为整数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若都为整数， 其可能的情况有：都为奇数和其中至少有一个为偶数． ①若、都为奇数，则为偶数，为奇数， 则为偶数，与已知矛盾． ②若、为整数，且其中至少有一个为偶数， 则必为偶数，为偶数，与已知矛盾． 因此，，不可能都为整数． 17. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值． 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）将不等式化为；当时易知满足题意；当时，根据一元二次不等式恒成立问题的求法可求得结果； （2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果； （3）由基本不等式可求解得，根据题意，将题中条件转化为有两个不同正根，由二次函数根的分布列不等式组，由求解的取值范围. 【小问1详解】 由得恒成立，恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，； 令，解得：，； 当，即时，恒成立，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，令， 当且仅当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程， 即有两个不同正根， 则 ，由第二个与第三个不等式可得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④韦达定理；⑤端点函数值符号四个方面分析． 18. 已知函数（其中为常数，且）. （1）若是奇函数，求实数的值； （2）在（1）的条件下，判断的单调性，并解关于的不等式：. 【答案】（1） （2）在上单调递减；时，解集为；时，解集为或；时，解集为或. 【解析】 【分析】奇函数条件，化简得到恒等式，求出； （2）利用奇函数性质移项，结合在R上单调递减，脱去f转化为二次不等式，再分类讨论两根大小. 【小问1详解】 因为为奇函数，有，即， 即，所以，所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，令， 函数是增函数，函数是增函数， 故是增函数，又在定义域上是减函数， 所以函数在上是减函数， 又因为函数图象是连续的，所以在R上单调递减， 不等式等价于， 由单调性可得，，， 时,，解集为， 时,，解集为或， 时,，解集为或. 19. 对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． （1）证明：必在和之间； （2）试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； （3）请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 【答案】（1）证明：设（为正有理数），则需证在和（即）之间. 当时，计算得：， 因，则，故； 再计算得：，因， 故，即，从而； 当时，同理可得且，即， 综上，必在和之间. （2）比更接近于； （3），理由为： 设，新数， 由（1）知，计算比值：， 则，因， 故，即，即比更接近于，故更接近. 【解析】 【分析】（1）利用两个数与的差的符号异号即可证明夹在两数之间；（2）根据题目的定义，等价于两式作商，去掉绝对值比较，判断绝对值的大小关系，绝对值更小的那个数就更接近于即可；（3）参考第（1）问的构造思路，仿照的分式构造形式，再构造一个新的正有理分式；计算它与差的绝对值，证明这个绝对值比第（2）问得到的更小，即可满足更接近的条件. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，，比较与， 由（1）知，计算比值：， 因，故，即，即比更接近于； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $