专题19 分式方程含参运算分类训练（5种类型40道）2026-2027学年人教版八年级数学上册高频考题专项训练（重庆专用）

专题19 分式方程含参运算分类训练 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 增根问题】 1 【类型2 整数解问题】 4 【类型3 无解问题】 9 【类型4 由解的正负求参数范围】 13 【类型5 分式方程与不等式综合含参问题】 18 【类型1 增根问题】 1．若关于的方程有增根，则的值应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解分式方程，再得出分式方程的增根，则可得一个关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的方程有增根， ∴，即， ∴， 解得． 2．已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程计算的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， ∵分式方程的增根为， ∴将代入整式方程，得， 计算得． 3．若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程有增根时，增根会使原方程分母为零，先确定增根的取值，再将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， 解得：，即增根为， 去分母得：， 把代入得，， 解得：． 4．若关于x的分式方程有增根，则的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程增根的定义，得到增根的具体值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边同乘，得 ∵原分式方程有增根 ∴分母， 得 把代入化简后的整式方程，得 解得 5．关于x的分式方程有增根，则a的值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的值，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根，且最简公分母为， ∴令， ∴增根为， 方程两边同乘得，， 将代入得， 解得． 6．若关于的方程有增根，则的值为（     ） A．7 B．4 C．1 D．0 【答案】A 【分析】把原分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程有增根的条件是未知数的值使得分母为0求出x的值，进而建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得， 解得， ∵原分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．关于的方程有增根，则的值是（     ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式方程增根的性质，解题思路为：先确定分式方程的增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值； 【详解】解：∵ 分式方程的分母为和，分式方程有增根， ∴ 令，得增根为； 将原方程变形为，即， 方程两边同乘最简公分母，得整式方程， 把增根代入整式方程，得， 解得； 8．关于x的分式方程有增根，则a的值是（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】先根据分式分母为0确定增根的值，再将分式方程化为整式方程，代入增根计算得到的值． 【详解】解：∵分式方程有增根，分式的分母为和， ∴令，解得增根为； 方程两边同时乘最简公分母去分母，得：， 整理得：， 将增根代入，得， 解得． 【类型2 整数解问题】 9．若关于的分式方程有正整数解，且为正整数，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据x为正整数解，a为正整数，结合分式方程分母不为0的条件，确定a的值． 【详解】解：原方程为 ， 变形得 ， ∵分式分母不为0， ∴， 方程两边同乘 得： ， 整理得 ， ∴， ∵x为正整数，a为正整数， ∴是2的正约数，且 ， 可得 ，解得 ， 此时 ，符合分式方程要求， 故a的值为1． 10．若关于的方程有正数解，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】本题考查了解分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，结合解为正数及分母不为零的条件确定参数范围． 【分析】解：原方程两边同乘，得：， 解得： ∵关于的方程有正数解， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是且， 故选：D． 11．已知关于的分式方程有负整数解，则的整数值有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程的解求参数，理解题意，掌握解分式方程是关键． 解分式方程得到，由题意为负整数且 ，故 为10的负约数，且为整数，逐一验证即可． 【详解】解：， 两边乘公分母 得：， 化简得：， 即 ， ∴， ∵为负整数，且，， ∴，即， 又为10的约数，且为负， ∴可能为：， 当时，，，符合； 当时，，非整数，不符合； 当时，，，符合； 当时，，非整数，不符合. ∴整数有和共2个， 故选：B． 12．已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的解．先解分式方程得到，再根据方程的解是整数求出或即可得到答案． 【详解】解： 去分母得到，， 移项合并同类项得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或，且 解得或， 即方程的解为正整数的个数是2， 故选：B 13．若关于的方程的解为非负整数，则符合条件的正整数的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；根据分式的方程的解法及题意可进行求解． 【详解】解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， ∵该方程的解为非负整数， ∴且， 解得：且， ∴符合条件的正整数有2、3、4，共3个； 故选A． 14．已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，先求出分式方程的解，根据分式方程有整数解及，可得整数，，，又根据可得，进而得到满足条件的整数的值为，，据此即可求解，根据题意求出满足条件的整数的值是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵方程有整数解，且， ∴整数，，， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为，， ∴所有满足条件的整数的和为， 故选：． 15．若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（    ） A．3或5 B．或5 C．或3 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含m的代数式表示x，根据整数的意义可得m的值．解题的关键是将分式方程转化为整式方程，求出方程的解． 【详解】解： 去分母得： 化简得： 当时， 方程有整数根，的值是整数， 当时，，方程的根； 当时，，方程的根（增根，舍去）； 当时，，方程的根； 当时，，方程的根（增根，舍去）． 故选：A． 16．若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（    ） A．2 B．5 C．2或5 D．5或7 【答案】B 【分析】先解方程得，，因为分式方程有正整数解，进而可得到整数m的值． 【详解】解：原方程为，， 可化为整式方程，， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∵分式方程有正整数解， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； ∴整数m的值是5， 故选：B． 【类型3 无解问题】 17．若方程无解，则的值为________． 【答案】 【分析】分式方程无解说明方程产生增根，增根使原方程分母为零，先将分式方程化为整式方程，再代入增根计算的值即可． 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得整理得， ∵原分式方程无解， ∴原方程的分母为零，即增根为，解得， 把代入， 得， 解得． 18．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 【答案】0或1 【分析】首先可将转化为，消去分母将分式方程转化为整式方程；再分类讨论分式方程无解的情况，第一种是化简后的整式方程无解，第二种是使原分式方程的分母为0的情况，进而求解a的值． 【详解】解：去分母得：， 整理得：． 当时， 解得． 此时整式方程为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合要求． 当时， 解得， 则有， 解得．此时整式方程的解为，是原分式方程的增根，因此原分式方程无解，符合要求． 综上，a的值为0或1． 【点睛】分式方程无解包含两种情况：整式方程本身无解，或整式方程的解为原分式方程的增根． 19．如果关于的分式方程无解，那么实数的值为_____． 【答案】1或 【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解，令，得，此时方程变为，不成立，整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根，令，得增根， 将代入，得， 解得． 综上，实数的值为或． 20．若关于x的分式方程无解，则实数m的值是______． 【答案】 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的分式方程无解， ∴是原方程的增根，且， ∴， ∴． 21．若关于方程无解，则的值是______． 【答案】1 【分析】将方程化为整式方程，求出增根，代入整式方程，求解即可． 【详解】解：方程去分母，得， 整理得：， ∵于方程无解， ∴整式方程的解就是增根， 令，则， 把代入，得，解得． 22．若关于x的方程无解，则k的值为________ ． 【答案】1或2 【分析】将分式方程转化为整式方程，分为整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， ∴， ∵关于x的分式方程无解， 整式方程无解或分式方程有增根， 当整式方程无解时，， 解得：， 当分式方程有增根时，，即， 把代入整式方程，可得：， 解得， 故k的值为1或2． 23．已知关于的方程无解，则实数的值为____． 【答案】或2或 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据分式方程无解分情况讨论，一是整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算求出的值即可． 【详解】解：原方程为， 方程两边同乘，即， 去分母得∶ ， 整理得：， 原方程无解， 分两种情况讨论：当整式方程无解时， 此时且，解得，符合条件． 当整式方程的解为原方程的增根时，原方程的增根为使分母为零的，即或，把代入， 得：，解得，符合条件． 把代入 得：，解得，符合条件． 综上，实数的值为或或． 24．若关于的分式方程无解，则_______． 【答案】或1或6 【分析】解分式方程，然后根据分式方程无解，进行求解即可． 【详解】解：， 两边同乘以得， 整理，得， 解得， 当时，原方程无解，此时，解得，，经检验是原方程的解； 当时，原方程无解，此时，解得，经检验是原方程的解； 当时，无意义，原方程无解，解得； 综上，的值为或1或6． 【类型4 由解的正负求参数范围】 25．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先求解分式方程得到关于的表达式，再根据解为正数、分式有意义的条件列不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘得 ， 整理得 ， 即， ∵方程的解是正数， ∴， 解得， ∵分式方程分母不为0， ∴，即， 代入得， 解得， 因此的取值范围是且． 26．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】先解分式方程得到用表示的代数式，再结合分式方程的解为非负数的条件，同时考虑分式分母不为零的限制，即可求出的取值范围． 【详解】解：给原分式方程两边同时乘以最简公分母，得 ， 解该整式方程得， 由分式方程的解为非负数，可得， 解得， 由分式方程分母不能为，得，即， 解得， 故的取值范围是且． 27．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为________． 【答案】且 【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，用含的式子表示出，再根据两个限制条件列不等式：①解；②分母不能为0，即，最后联立求出的取值范围． 【详解】解：， 变形分母：， 方程两边同乘最简公分母去分母： ， 去括号： ， 合并同类项： ， 移项求解： ， 条件1：解为非负数 ，， 解得：， 条件2：分式分母不为0， ， 两边乘2：， 解得：， 综合两个条件：且． 28．若关于x的分式方程的解是负数，则实数m的最大整数值是_______． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再根据解为负数且分式有意义，确定m的取值范围，即可求出m的最大整数值． 【详解】解：分式方程，两边同乘得：， 移项合并同类项得：． ∵方程的解为负数， ∴， 解得． 又∵分式有意义，分母不能为，即， ∴， 解得． ∴的取值范围是且， 则的最大整数值是． 29．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_________． 【答案】 且 【分析】解出分式方程后，根据解为非负数求出的范围，再根据分式方程分母不为零排除增根对应的值，即可得到答案． 【详解】去分母，方程两边同乘，得， 去括号得， 整理得， 分式方程的解为非负数， ， 解得， 又分式分母不能为，即， ，即， 的取值范围是且． 30．若关于的方程的解是正数，则的取值范围是_______． 【答案】且． 【分析】将看作常数，按照分式方程的解法求出，根据原方程的解为正数和原方程不能有增根，即可求出的取值范围． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 解得， ∵关于的方程的解是正数， ∴， ∴； 又∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，且． 31．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示，再根据方程的解为正数且分式有意义，列出不等式求解的取值范围. 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母，得， 移项合并同类项，得， ∵方程的解是正数，且分式方程要有意义，分母不能为， ∴且， 解得且. 32．关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是____________． 【答案】且/且 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再结合解为非负数，且分式分母不为0，即可求出m的取值范围． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 整理得， 分式方程的分母不能为0， 因此，即， 解得， 已知方程的解为非负数， 因此，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 【类型5 分式方程与不等式综合含参问题】 33．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程 的解为正数，则符合条件的所有整数的值为_______． 【答案】 ， 【分析】先解不等式组得到的范围，再解分式方程，结合解为正数且不为增根确定的最终范围，即可得到符合条件的整数． 【详解】解：， 解不等式①得：， 不等式组无解， ， 整理分式方程 ， 得， 两边同乘 得：， 解得： ， 分式方程的解为正数，且分母不为， 且， 解得： 且， 综上可得，，且， ∴符合条件的所有整数的值为，1． 34．若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为____． 【答案】0 【分析】根据分式方程的解为正数即可得出且，根据不等式组有解，即可得，找出所有的整数，将其相加即可得出结论． 【详解】解：解分式方程，得， ∵分式方程的解为正数， ∴，即， 又， ∴，即， 则且， ∵关于y的不等式组有解， ∴，即， 解得：， 综上，a的取值范围是，且， 则符合题意的整数a的值有、0、1，它们的和为0， 35．若关于的不等式组有解且至多个偶数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为____ ． 【答案】 【分析】先将每个不等式的解计算出来，根据有解且至多4个偶数解求得，则．解出分式方程的解为，由为整数，且，确定整数的所有可能取值，并求和即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∵不等式有解，且至多个偶数解， ∴，     解得， 分式方程， 两边同乘以，得， 解得， ∵为整数，且， 又∵， ∴符合条件的所有整数为，，，，和为． 36．若关于的分式方程的解为非负数，关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解，则所有满足条件的整数的值的和是_____． 【答案】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式组，先解分式方程得到与的关系，根据解为非负数确定的范围；再解不等式组，根据有解且最多有个整数解确定的范围；综合两个范围得到整数的值并求它们的和．掌握一元一次不等式组的整数解的定义以及分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：将分式方程 去分母得：， 即， ∵关于的分式方程有解， ∴且， 解得：， ∵关于的分式方程的解为非负数， ∴，且， ∴且， ∵不等式组 ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是且， ∴整数可取，，，，，且， ∴所有满足条件的整数的值的和是． 故答案为：． 37．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式方程的知识点，解题关键是根据不等式组无解的条件和分式方程解的非负性确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据无解条件求出m的取值范围；再解分式方程，根据解为非负数且分母不为零求出m的取值范围，最后求公共范围内所有整数的和． 【详解】解：解不等式组： 由 得：， 由 得 ， ∵不等式组无解， ∴，即； 解分式方程， 去分母得：， 整理得：． 解得：． ∵解为非负数且， ∴且， 解得：且． ∴的取值范围为： 且 ， ∴满足条件的所有整数为 ，，，，， 满足条件的所有整数的和为． 故答案为： 38．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_____． 【答案】0 【分析】本题考查解不等式组和解分式方程，准确的计算是解决本题的关键． 先解不等式组，解得取的整数，再解分式方程，根据分式方程的解，确定的取值范围，最后综合两个取值范围，即可解题． 【详解】解：， ∴， 不等式组有且仅有3个整数解， ， ∴， 由题意得， 解得， 关于的分式方程有非负整数解， 有， 解得，即， ∴， 解得，且为2的倍数，为整数， 综上所述，可取，1， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：0． 39．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，通过解一元一次不等式组得到，解分式方程得到，根据解为负整数且，找出满足条件的整数并求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴； 去分母得，解得， ∵关于的分式方程的解为负整数， ∴是负整数，且 ∴是小于0的偶数，且， ∴a是小于0的奇数，且， 又∵， ∴a的值可以为， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 40．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次不等式组，解分式方程，由一元一次不等式组的解集为 ，可求出 ；解分式方程得 ，根据分式方程的解为负整数且 ，即可得出整数 的值，再求它们的和． 【详解】解不等式组： 第一个不等式 ，两边乘 2 得 ，即 ，解得 ， 第二个不等式 ，解得 ， ∵ 不等式组的解集为 ， ∴ ， 解得 ； 解分式方程 ： 两边乘 （）得 ，即 ，整理得 ，故 ， ∵ 分式方程的解为负整数且 ， ∴ 且 为负整数，且 ， 结合 且 为整数，得 或 ， 所有满足条件的整数 的值之和为 ， 故答案为： ． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 分式方程含参运算分类训练 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 增根问题】 1 【类型2 整数解问题】 1 【类型3 无解问题】 2 【类型4 由解的正负求参数范围】 3 【类型5 分式方程与不等式综合含参问题】 3 【类型1 增根问题】 1．若关于的方程有增根，则的值应为（     ） A． B． C． D． 2．已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 3．若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．若关于x的分式方程有增根，则的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 5．关于x的分式方程有增根，则a的值为（     ） A． B． C． D．2 6．若关于的方程有增根，则的值为（     ） A．7 B．4 C．1 D．0 7．关于的方程有增根，则的值是（     ） A．0 B．1 C．3 D．4 8．关于x的分式方程有增根，则a的值是（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【类型2 整数解问题】 9．若关于的分式方程有正整数解，且为正整数，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．若关于的方程有正数解，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 11．已知关于的分式方程有负整数解，则的整数值有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．若关于的方程的解为非负整数，则符合条件的正整数的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 14．已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 15．若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（    ） A．3或5 B．或5 C．或3 D．或 16．若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（    ） A．2 B．5 C．2或5 D．5或7 【类型3 无解问题】 17．若方程无解，则的值为________． 18．若关于x的分式方程无解，则a的值为_______． 19．如果关于的分式方程无解，那么实数的值为_____． 20．若关于x的分式方程无解，则实数m的值是______． 21．若关于方程无解，则的值是______． 22．若关于x的方程无解，则k的值为________ ． 23．已知关于的方程无解，则实数的值为____． 24．若关于的分式方程无解，则_______． 【类型4 由解的正负求参数范围】 25．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是________． 26．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 27．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为________． 28．若关于x的分式方程的解是负数，则实数m的最大整数值是_______． 29．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_________． 30．若关于的方程的解是正数，则的取值范围是_______． 31．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为_______． 32．关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是____________． 【类型5 分式方程与不等式综合含参问题】 33．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程 的解为正数，则符合条件的所有整数的值为_______． 34．若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为____． 35．若关于的不等式组有解且至多个偶数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为____ ． 36．若关于的分式方程的解为非负数，关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解，则所有满足条件的整数的值的和是_____． 37．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和是_____． 38．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_____． 39．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 40．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $