期中复习压轴专题01 解答题分类训练（15种类型75道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

期中复习压轴专题01 解答题分类训练 （新人教版八年级，15种类型75道） 范围：第十三章—第十五章 知识点一 三角形相关求解 1．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 2．如图所示，在中，是高，是角平分线且交于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 3．如图，在中，、分别是的高和角平分线，，． (1)若，，求的度数； (2)试用、的代数式表示的度数． 4．如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 5．如图，在中，是中线，是边上的高，点F在上且，于点G (1)若，，求的度数； (2)若．求的长 知识点二 三角形相关折叠问题 6．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______； (2)如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数； (3)如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数； (4)如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数． 7．如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点． (1)如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是_____； (2)如果折成图2的形状，猜想和的数量关系是_______； (3)如果折成图3的形状，猜想和的数量关系是什么，并说明理由． 8．如图，在三角形纸片的边上有一点，沿过点的直线折叠三角形纸片，使点落在点处，得到折痕；使落在射线上，点落在点处，得到折痕．已知，． (1)的度数为______°． (2)求的度数． 9．实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． (1)若如图所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______； (2)若如图所示，点在内部，，求的度数； (3)若如图所示，点在外部，则，和之间有怎样的数量关系？请证明． 10．现有一张三角形纸片，E，F分别是边上的点，沿直线折叠，点C的对应点为点 D． (1)如图1，点 D恰好在边上，则与之间的数量关系是_； (2)如图2，点D 在的内部，且．若，求的度数； (3)如图3，点 D 在的内部．若恰好平分平分，求 的度数； (4)如图4，点 D在的外部，且在上方时，直接写出之间的数量关系． 知识点三 利用角平分线探究角的数量关系 11．如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 12．在中，，点在射线上（不与重合），点在射线上，连接，若． (1)如图1，若，求度数； (2)当点在边上时，试说明； (3)若的角平分线交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 13．如图，与交于点， (1)求证：； (2)如图，，，平分，，求证：； (3)如图，，平分，平分，与交于点，，，与交于点，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 14．综合探究与应用 【问题情境】 (1)如图，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数________． 【问题探究】 (2)如图，在中，作外角，的平分线交于点．求和的数量关系． 【拓展应用】 (3)如图，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则________． 15．探究题：已知在中，．的平分线与的外角的平分线相交于点D，与边相交于点E，直线与直线相交于点F． (1)，如图1． ①当∠时，求和的大小； ②当∠时，直接写出和的大小； ③根据以上结论，发现当的大小改变时，和之间的数量关系保持不变．和之间的数量关系可用等式表示为_． (2)，如图2，和之间有何数量关系？写出你的结论并说明理由． 知识点四 尺规作图+补全证明过程 16．如图，在中，点在边上，，． (1)用尺规完成基本作图：在射线上作线段，使得，连接； (2)结合（1）所作的图形，求证．请完成下面的证明： 证明：， （_____①_____）． 在和中， ， ． _____③_____． ． 17．如图，点为的边延长线上一点． (1)用无刻度直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的度数，将下面的过程补充完整． 解：平分（已知）， ①______________， ， ②_____________， （③_____________，_____________）， ， ， ④_______（填度数）． 18．学习了平行线与全等三角形之后，小红饶有兴趣地进行了拓展性研究，根据她的想法，完成下面的作图和证明，在括号内填上推理依据． 如图，点A是线段中点，C为直线外一点，连接、． 第一步：利用直尺和圆规在右侧作，在上截取线段，连接（不写作法，保留作图痕迹）； 第二步：求证：． 证明：∵点A是中点， ∴． 在和中， ∴（）． ∴． ∴（）． 19．如图所示，，点在上，连接，请根据要求完成以下作图并根据已有思路完成推理填空． (1)尺规作图：在射线上截取，在的上方作，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)推理填空： 已知：，， 求证： 证明：， ①_， 在和中： ， （③_）， ④_， ， ． 20．如图，在中，为上一点，连接． (1)请用尺规作图：作的角平分线交于点，并在上取一点，使，连接．（不写作法和结论，保留作图痕迹） (2)在所作的图形中，若，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴___________， 又∵， ∴___________， ∴， 又∵__________，， ∴． 知识点五 全等三角形相关基础解答题 21．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 22．已知，如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N．求证：． 23．如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，．求证：． 24．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 25．如图， ， ， ，， 垂足分别为， (1)证明： ； (2)求的长． 知识点六 全等三角形相关含辅助线的证明 26．在四边形中，为对角线，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 27．求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 28．如图，在等腰直角三角形中，，，点为直线上一动点，连接，在直线的右上方作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于点，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交于点，求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于点，若，请直接写出的值． 29．在中，点是的边的中点． (1)如图1，连接，若，过点作交延长线于点，若，求； (2)如图2，点是线段上一点，连接并延长交延长线于．若，，求证：； (3)如图3，若平分，分别是上任意一点，若，，直接写出的最小值． 30．在中，，，点为直线上方一点，且．    (1)如图1，过点作， ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，延长交于点，若恰好平分，且，请求出的面积． 知识点七 全等三角形相关动点问题 31．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当在上时_，当在上时_，（用含的式子表示） (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等，求点的运动速度． 32．如图1，在中，，，，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A时停止，设运动时间为． (1)当时，______； (2)当点P在上运动时： ①______（用含t的式子表示） ②当的周长被线段分为相等的两部分时，求t的值； (3)若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上有另一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿边运动，回到点A时停止；若在运动过程中的某一时刻，和全等，请直接写出此时点Q的运动速度． 33．如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． (1)当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． (2)当，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 34．如图，在中，，，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． (1)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (2)若点是边上一点，且，垂足为，请用无刻度的直尺和圆规在备用图1中作出点、点，使得．（提醒：作图痕迹请加粗加黑，确保阅卷扫描清晰） (3)若点、为、上的动点，求的最小值． 35．已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒， (1)当秒时，求的面积； (2)当时，______； (3)若将周长分为两部分，求出t的值． 知识点八 全等三角形相关最值压轴题 36．综合探究 “特殊化”“转化”是两个重要的问题解决策略，请尝试运用这两个策略解决以下问题． 是等腰直角三角形，．点为边的中点，点、分别在边上，始终满足，且． (1)如图1，若点与点重合，则点与点重合，请直接猜测与的数量关系：_． (2)如图2，当点E、F不与边的端点重合时，与是否仍然保持第（1）问中的数量关系？请说明理由． (3)如图3，在 上截取，在延长线上截取，使，连接，当为何值时，有最小值？请说明理由． 37．如图1，在中，点、在边上，连接、，满足，且，点在上，连接交于点． (1)①线段与的位置关系是______； ②若平分，，求的度数； (2)如图2，若，连接，过点作交于点．证明：； (3)在（2）的条件下，如图3，于点，点，在边上，且，连接，，已知，，，，请直接写出的最小值． 38．在等腰中，． (1)如图1，点在边上，连接，若，，求的度数． (2)如图2，点在边上，以为边作，，，过点作与延长线相交于点．连接，与相交于点．若，试说明：． (3)在（2）的条件下，点为边延长线上一点，连接．点、为上两点，且，连接、．在线段上取一点，使．过点作交于点，作交于点，连接、，过点做于点．若，，，，直接写出的最小值． 39．如图，射线平分，，，． (1)求证：； (2)若线段，求线段的长； (3)已知点M、N分别是、上的两个动点，且均不与点O重合，连接、和．若，求的周长的最小值． 40．已知：等边中，D为延长线上一点，连接，点E在上，连接，． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，点F为线段上一点，连接交于点G，若点G为中点，求证：； (3)如图3，点F为线段上一动点，作F关于的对称点，连接，．交于点K，点D在的延长线上运动，始终满足，连接，交于点G，当F'D取得最大值时，此时，求整个运动过程中的最小值． 知识点九 全等三角形相关探究线段数量关系 41．已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 42．如图，在中，，点在边上，连接，点是边上一点，且，连接交于点．延长到，使得，连接，是的中线． (1)依题意补全图形； (2)若，． ①证明：； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 43．【模型探究】 已知中，，，过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． (1)如图1，当点A、点B在直线l的同侧时，、、之间的数量关系为：__________； (2)如图2，当点A、点B在直线l的异侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由； 【方法迁移】 (3)如图3，已知中，，，又以为斜边构造，其中，求的面积． 44．在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，使． (1)当点在线段上时，如图1，请判断与的位置关系，并说明理由； (2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断三条线段数量关系，并说明理由； (3)当点在线段的延长线上时，直接判断与的位置关系，并直接写出三条线段的数量关系． 45．【问题探究】 (1)如图1，在中，，点D，E分别在边，上，连接，交于点F，且，若，，求的长； 【问题延伸】 (2)如图2，校园有一个等腰三角形花圃，，D是的中点，沿修石子小路，园丁在花圃内部拉绳，满足，绳子交围栏于点E、小路于点F，是一条小路，，延长交于点G，将小路延伸至点H，使，用围栏连接，实测角度满足，请探究，，之间的数量关系． 知识点十 轴对称相关网格作图 46．在正方形网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． (1)作出的边上的高； (2)作出关于直线m对称的． 47．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)连接，，求四边形的面积； (3)在直线上作一点，使得． 48．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）． (1)画出关于直线对称的； (2)将向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到，画出； (3)借助网格，在上选一点，使得平分的面积（保留确定关键点的画法），画出线段． 49．如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的值最小． (3)找到格点，连接，满足与平行且相等． 50．如图，在正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形的四个顶点均在格点上． (1)画出与四边形关于直线对称的四边形； (2)在直线上作点，使得点到点，的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 知识点十一 最短路径问题 51．探究最短路径与等边三角形几何问题，并完成以下问题 问题探究 (1)如图①，在直线l的同侧有A，B两点，在直线l上画出一点P，使得的值最小； (2)如图②，已知在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：； 问题解决 (3)某高校里有一块等边三角形的景观湖，如图③所示，学校要在湖边打造休闲步道，点D、E分别在边、上，满足；以为边作等边，点F在内部；计划在和处安装装饰灯带，其中G是AC中点，已知点B到的距离为米，灯带每米造价元，为了节约成本，要求安装灯带的费用最少，请你求出安装灯带的最少费用是多少元？ 52．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 53．解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 54．如图，一条东西流向的小河在处直角转弯，改变为南北流向，河宽不变．两地分别在河的北岸和西岸，现分别要在东西、南北流向的河上建两座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河两岸是平行线，桥与河垂直） 55．如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； _ 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 知识点十二 等腰三角形相关基础证明 56．解决问题 (1)【问题初探】如图，在中，高，交于点，且，试说明与有怎样的数量关系； (2)【拓展延伸】如图，某校为教室配备等腰直角三角形课桌防滑支架，，，在边上设置卡扣，边上设置卡扣，连杆用于加固，从支架端点伸出支撑杆，，垂足为，且，在线段上安装卡扣，连接，且，将，延长相交于点，请求出与的数量关系，并说明理由． 57．如图，中， ，且与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 58．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 59．如图中，，点，，分别是，，上的点，． (1)若，求证：； (2)若，，，求的长； (3)把（1）中的条件和结论反过来，即：若，则．这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 60．如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； (3)如图3，若，且的面积为，求的长． 知识点十三 等边三角形相关基础证明 61．如图， 是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的．已知过点，交于点． (1)求的大小． (2)求证：是等边三角形． 62．如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． (1)求证： (2)求的长． 63．如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 64．如图1，在中，，D是边的中点，P是内部的一个动点，连接． (1)当，时，直接写出的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，且当时，请判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，且时，请判断线段与线段之间的数量关系，并给予证明． 65．如图，在等边中，，点在边上（点不与线段的端点重合），连接，过点作的垂线，交所在直线于点，并过点作的平行线，交于点． (1)当点在边上时，的取值范围是________； (2)当点在边上时，是否存在的情况？如果存在，求此时的度数，如果不存在，说明理由； (3)当点在的延长线上时，是否存在的情况，若存在，求的度数；若不存在，说明理由． 知识点十四 等腰三角形相关压轴证明题 66．如图，中，，D，E是边，上的动点，连接，． (1)如图1，若，，，求的度数； (2)如图2，过点C作交延长线于点F，若，，求证：； (3)如图3，已知，，，若，当取最小值时，求与面积之和． 67．已知，点是线段的中点． (1)如图1，点在线段上，连接，交于点，延长至点，使，连接．若，，求的度数． (2)如图2，点在射线上，连接，点在上，连接交于点，连接，若点为的中点，，请判断线段和之间的数量关系，并写出推理过程． (3)在（2）的条件下，若点是线段的中点，，垂直平分线段，在上有一动点，连接，当的周长取最小时，请直接写出的度数． 68．在中，点在直线上，连接，点为的中点，连接． (1)如图1，，点在的延长线上，于点，，，的面积为4，求的长度； (2)如图2，，点在上，连接并延长交于点，若，，求证：； (3)如图3，，，的面积为10，点在的延长线上，．点是射线上一动点，过点作，连接、、，当取得最小值时，请直接写出此时的面积． 69．在中，，，点在边上． (1)如图1，过点的垂线经过点，请用含的式子表示； (2)如图2，过点的垂线交的延长线于点，交于点，若且．求证：； (3)如图3，点在边上，满足，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的值． 70．如图，在中，，以为直角边作，点为斜边上一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，连接交于点，分别延长点，到点，，使得，且，请用等式表示，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，，点为直线上一点，在上取一点，使得，连接，将沿翻折得．当取最大值时，请直接写出的值． 知识点十五 等边三角形相关压轴证明题 71．在等边中，、分别是边、上两动点，连接、交于点． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，在（1）问的条件下延长至点，连接，当，时，探究、的数量关系； (3)如图3，在射线上取一点，使，当均取得最小值时，直接写出的度数． 72．已知是等边三角形，点D，E均为平面内的点．    (1)如图1，点D在的边上，连接，，且，延长，相交于点F，若，求（用含的代数式表示）； (2)如图2，点D在的内部，连接，，，且，连接，，与相交于点P，若，求证：； (3)如图3，点D在的外部，连接，且，点E，点F，点G分别是，，上一点且，已知等边的高为，当最小时，直接写出四边形的面积． 73．如图，在等边三角形中，点为直线上一点，连接，以为边向右侧作等腰． (1)如图1，点为的中点，点在上，满足，点在上，连接，若，求的长； (2)如图2，点在的延长线上，，在内部，，点是上一点，连接交于点，的延长线交于点，若，点为中点．猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，，且，取中点，点是上一点，满足，连接，当取得最小值时，点为直线上一动点，点为上一动点，直接写出当取得最小值时、、的数量关系． 74．如图，等边中，过点在边的右侧作射线，点与点关于射线对称，连接，，且交射线于点，过两点的直线交射线于点，连接． (1)当时，求的度数； (2)求证：； (3)如图，点为射线上的一动点，过点做于点，连接，当的值最小时，请直接写出的大小（用含的代数式表示）． 75．如图1，是等边三角形，点是平面内的一点，连接，将边沿直线翻折得到线段，连接，连接与交于点． (1)若，求的度数； (2)试探究线段之间的数量关系并证明； (3)如图2，的边长为，连接，点是直线上的一点，连接，点是直线上的一个动点，当在左侧，且时，连接，当的周长最小时，直接写出的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期中复习压轴专题01解答题分类训练 (新人教版八年级，15种类型75道) 范围：第十三章一第十五章 知识点一 三角形相关求解 1.如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD, D E (I)当AD为边BC上的中线时，若AE=5,△ABC的面积为30，求CD的长； (2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=50°，∠B=30°，求∠DAE的度数. 【答案】(1)6 (2)10° 【分析】(I)利用三角形面积公式求出底边BC长度，结合中线定义得到CD为BC的一半算出线段长 即可： (2)利用三角形内角和为180°，角平分线定义，直角三角形两锐角互余结合等量关系求解即可. 【详解】(1)解：：AE为边BC上的高，AE=5,△ABC的面积为30， CE30 .BC=12, :AD为边BC上的中线， ∴点D为BC的中点， D-c-6 (2)解：~∠C=50°，∠B=30°，AE为边BC上的高， .∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，∠EAC=90°-∠C=40°， :AD为∠BAC的角平分线， 1/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAC 2∠BMC=50 ∴.∠DAE=∠DAC-∠EAC=10° 2.如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线且交于点O,∠BAC=60°，∠ABC=70°. B DE (I)求∠DAC的度数： (2)求∠BOE的度数. 【答案】(1)∠DAC=40° (2)∠B0E=65° 【分析】(1)根据三角形的内角和定理求得∠C=50°，再利用垂直的定义结合三角形的内角和即可得 到结论： (2)根据三角形的内角和和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论 【详解】(1)解：：∠BAC=60°，∠ABC=70°， :∠C=180°-60°-70°=50°， AD⊥BC, ∴.∠ADC=90° .∠DAC=180°-90°-50°=40°： (2)解：，∠BAC=60°，∠ABC=70°， 又：BF是∠ABC的角平分线，AE是∠BAC的角平分线， :∠AB0-AC=35,∠0=日∠MC=30. .∠AOB=180°-∠AB0-∠BAO=115°. .∠BOE=180°-∠AOB=65°， 3.如图，在△MBC中，CD、CE分别是△MBC的高和角平分线，∠BAC=a,∠B=B(a>月 2/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (若a=76°，B=32°，求∠DCE的度数： (2)试用a、B的代数式表示∠DCE的度数. 【答案】(1)∠DCE=22° (2)∠DCE=Q-B 2 【分析】(1)根据三角形的内角和定理，角平分线的定义以及角的和差关系进行求解即可； (2)同(1)法进行求解即可. 【详解】(1)解：LBAC=76°，∠B=32°， ∠ACB=180°-∠BAC-∠B=72°， :CE是∠ACB的平分线， .∠ACE=1∠ACB=36° 2 CD是高线， .∠ADC=90°， ∴.∠ACD=90°-∠BAC=14° ∠DCE=∠ACE-∠ACD=22°； (2)解：∠BAC=a,∠B=B .∠ACB=180°-(LBAC+∠B)=180°-(a+), :CE是∠ACB的平分线， ∠4cB=4cB=x80-a+m=90.生P 2· :CD是高线， ∠ADC=90°， ∴.∠ACD=90°-∠BAC=90°-a. 3/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DCE=∠ACE-∠4CD=90°-a+E-90+a-&-E 2 4.如图，AD,AF分别是△ABC的中线和高，CE平分∠ACD交AD于点E. (1)若∠CED=49°，∠CAF=56°，求∠ADC的度数； (2)若DE:AE=3:4,△ABD的面积是42，求△ACE的面积. 【答案】(1)∠ADC=114° (2)24 【分析】(1)先求出∠ACD的度数，再求出∠DCE的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可： (2)先求出△1CD的面积，再得出 S.DCE S.ACE DE:AE=3:4 ,据此求解即可. 【详解】(1)解：：AF是△ABC的高， AF⊥BC, .∠AFC=90°， .∠CAF=56°， ∠ACD=180°-∠AFC-∠CAF=34°. ,CE平分∠ACD, &∠DCE=)∠ACD=17 2 ,∠CED=49° ∠ADC=180°-（∠DCE+∠CED)=180°-(17°+49)=114° (2)解：，AD是△ABC的中线，△ABD的面积是42， S.ACD=S.ABD =42 ,aDCE的DE边上的高与△ACE的AE边上的高相等，且DE:AE=3:4, ,Ss:S4E=3:4 4/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S.DCE+S.4C=S.ACD=42 又 4 ：8c3+4×42=24, 即△ACE的面积为24. 5.如图，在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是中线，AE是边BC上的高，点F在AD上且AF=3DF, FG⊥BC于点G (①)若∠B=∠BAD,∠C=60°，求∠DFG的度数： (2)若AE=8.求FG的长 【答案】(1)30 (2)2 【详解】(1)解：∠BAC=90°，∠C=60°， .∠B=30°， ∠B=∠BAD, ∠BAD=30°， :AE是边BC上的高， ∴.∠AEC=∠AED=90°， ∴.∠CAE=30°， ∴.∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=30°， .∠ADE=60°， FG⊥BC于点G, ∴∠FGD=90°， .∠DFG=30° (2)解：连接BF, 5/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设CD=x, :AD是中线， :BD=CD=x, AE=8, S Dn =S.aDC=8=4 .AF =3DF, .DF 1 AD 4' S,B=1 S.nDA 4 1 ∴S,r=4X4x=x, 4 S.wr=BD-FG 2 .1 2FG=, 解得FG=2 知识点三 三角形相关折叠问题 6.【定义】如果两个角的差为36°，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金 角”，例如：u=76°，B=40°，a-B=36°，则a和B互为“黄金角”，即a是P的“黄金角”，B 也是a的“黄金角”. 6/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E ■ D 图1 图2 图3 (1)已知∠1和∠2互为“黄金角”，且∠1>∠2，若∠1和∠2互余，则∠1= (2)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是∠BAC的角平分线，过C作CP∥AB,射线CN平分 ∠BCP且与射线AE交于点N,若∠ANC与∠B互为“黄金角”，求∠B的度数： (3)如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部A'处，已知∠B=70°，∠C=80°」 若∠1和∠2互为“黄金角”，求∠1的度数； (4)如图3，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部A处，若∠I和∠2互为“黄金角”， 求∠A的度数. 【答案】(1)63 (②)∠B的度数为81°或9° (3)∠1的度数为48°或12° (④∠A=18° 【分析】(1)根据题意构造二元一次方程组求解： (2②首先表示出∠C=B4C=45-号B.∠BCN=号CP=B,然后根据“黄金角的定 2 2 2 义分两种情况讨论，分别表示出∠ANC,然后利用三角形内角和定理列方程求解： (3)首先根据三角形内角和定理和折叠的性质得到1+∠2=60°，然后根据“黄金角”的定义分两种 情况讨论，分别联立方程组求解即可： (4)设AD与AB交于点F,由折叠得∠A=∠A,然后利用三角形外角的性质得到∠2-∠I=2∠A,然 后结合“黄金角”的定义求解 【详解】(1)解：，∠1和∠2互为“黄金角”，且∠1>∠2，若∠1和∠2互余， 「∠1-∠2=36° .∠1+∠2=90°， ∠1=63° 解得∠2=27°： 7/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：在△ABC中，∠ACB=90°， ·∠BAC=90°-∠B, :AE是∠BAC的角平分线， &∠CM=B4C=(o-∠B=4°-B. :CP∥AB, .∠BCP=∠B :射线CN平分∠BCP, &oN=号Bcnn, :∠ANC与∠B互为“黄金角”， 当∠B-∠ANC=36°时，∠AWC=∠B-36°， :∠CAN+∠ACN+∠ANC=180°， 45-B+90+B+☑B-36=180. .∠B=81°： 当∠AWC-∠B=36°时，∠AWC=∠B+36°， :∠CAW+∠ACN+∠ANC=180°， 45-B+90咖+58+∠B+36=180、 .∠B=9°： 综上所述，∠B的度数为81°或9°： (3)解：∠B=70°，∠C=80°， .∠A=180°-∠B-∠C=30°， ∴.∠AED+∠ADE=180°-∠A=150°， 由折叠得，∠AED=∠AED,∠ADE=∠ADE, ∴，∠A'ED+∠A'DE+∠AED+∠ADE=300°， .∠1+∠2=180°+180°-300°=60°」 ,∠1和∠2互为“黄金角”， ∠1+∠2=60 ∴当∠1-∠2=36°时，联立得， 1∠1-∠2=36°， 8/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠1=48 解得∠2=12°： [∠1+∠2=60° 当∠2-∠1=36°时，联立得， ∠2-∠1=36°， ∠1=12° 解得∠2=48°： 综上所述，∠1的度数为48°或12°： (4)解：如图，设'D与AB交于点F, A B 由折叠得，∠A=∠！， ∴.∠EFD=∠A+∠I=∠A+∠I, ∴，∠2=∠A+∠EFD=∠A+∠A+∠I=2∠A+∠I ∴.∠2-∠1=2∠A, ,∠1和∠2互为“黄金角”，∠2>∠1 ∠2-∠1=36°，2∠A=36°， .∠A=18° 7.如图1，一张三角形ABC纸片，点D,E分别是△ABC边上两点. 图1 图2 图3 (I)如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A处，则∠BDA'与∠A的数量关系是一； ∠BDA,∠CEA (②)如果折成图2的形状，猜想 和∠A的数量关系是 (3)如果折成图3的形状，猜 ∠BDM,∠CEA和∠A的数量关系是什么，并说明理由. 9/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(I)∠BDA'=2∠A (2)∠BDA'+∠CEA'=2∠A (3)∠BDA'-∠CEA'=2LA 【详解】(1)解：根据折叠的性质可得∠A=∠DA'E, 在△ADA中，∠BDA'=∠A+∠DAE, 即∠BDA'=2LA: (2)解：∠BDA'+∠CEA'=2∠A, 理由：根据折叠的性质可得∠A=∠DA'E,∠ADE=∠ANDE,∠AED=∠AED, :∠A+∠AED+∠ADE=∠A'+∠A'ED+∠A'DE=I8O°， 故∠A+∠DAE+∠AEA'+∠ADA=360°， 即∠A+∠DAE=360°-∠ADA'-∠AEA. ,∠BDA'+∠ADA=180°，∠CEA+∠AEA=180°， ∴.∠BDA'+∠CEA'=360°-∠ADA-∠AEA, ·.∠BDA'+∠CEA'=∠A+∠DAE, .∠BDA'+∠CEA'=2∠A (3)解：∠BDA'-∠CEA=2LA 理由：根据折叠的性质可得∠A=∠DAE, DA交AC于点F,如图： D 在△EDA中，∠BDA'=∠A+∠DFA, 在△FDA'中，∠DFA=∠+∠CEA∥， .∠BDA=∠A+∠A+∠CEA. ∠BDA'-∠CEA=∠A+∠A, 即LBDA'-∠CEA'=2LA. 8.如图，在三角形纸片ABC的边AB上有一点D,沿过点D的直线折叠三角形纸片ABC,使点A落在点 C处，得到折痕DE;使BD落在射线DC上，点B落在点G处，得到折痕DF.己知∠A=4O°， 10/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=35° B (1)∠EDF的度数为. (2)求∠DFC的度数， 【答案】(1)90 (2)75° 【分析】该题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握折叠的性质， (I)根据折叠可得∠ADE=∠CDE,∠BDF=∠GDF,结合平角的定义即可求解 (2)根据折叠和∠B=35°，∠A=40°可得∠ACD=∠A=40°，∠BDF=∠CDF,根据三角形外角的性 质可得∠BDC=∠A+∠ACD=80°，得出∠BDF=∠CDF=40°，结合三角形外角的性质即可求解. 【详解】(I)解：根据折叠可得∠ADE=∠CDE,∠BDF=∠GDF, 又∠ADE+∠CDE+∠BDF+∠GDF=18O°， ·.LEDF=LCDE+∠GDF=90°， 故答案为：90， (2)解：.∠B=35°，∠A=40°. 根据折叠可得∠ACD=∠A=40°，∠BDF=∠CDF, .∠BDC=∠A+∠ACD=80°， .∠BDF=∠CDF=40°. .∠DFC=∠B+∠BDF=35°+40°=75° 9.实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题.现有一张三角形纸片ABC,点M,N分别是边 AC,BC上的点，若沿直线MN折叠△ABC,点C的对应点为点D, D 图1 图2 图3 11/155 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)若如图1所示，点D恰好在BC边上，则∠I与∠ACB的数量关系是一： (2)若如图2所示，点D在△ABC内部，∠ACB=35°，求∠1+∠2的度数： (3)若如图3所示，点D在△ABC外部，则∠1，∠2和∠ACB之间有怎样的数量关系？请证明. 【答案】(1)∠1=2∠ACB (②70° (3) ∠2-∠1=2∠ACB 证明：连接CD,如下图所示： 图3 由折叠可知，MD=MC, ∴.∠MDC=∠MCD. 又：'∠I=∠MDC+∠MCD, ∴.∠1=2∠MCD 同理可得，∠2=2∠NCD, 又：∠NCD-∠MCD=∠ACB, ∠2-∠I=2∠NCD-2∠MCD=2(∠NCD-∠MCD)=2∠ACB ∴.∠2-∠I=2LACB 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、等边对等角、三角形外角的性质，添加恰 当辅助线构造三角形是解题的关键， (1)由折叠的性质可得∠MDN=∠ACB,再由三角形外角的性质可得出数量关系. (2)连接CD,由折叠的性质可得∠MDC=∠ACD、∠NDC=∠NCD,再由三角形外角的性质可得出 ∠I=2∠ACD、∠2=2LBCD,进行相加即可求解. (3)连接CD,由折叠的性质可得∠MDC=∠MCD、∠NDC=∠NCD,再由三角形外角的性质可得出 I=2∠MCD、∠2=2∠NCD,进行相减即可证明其数量关系。 【详解】(I)解：：点D恰好在BC上， .C,D,N三点在一条直线上， 12/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.∠I=LMDN+∠ACB, 由折叠可知，MD=MC,∠MDN=∠ACB, ∠I=2∠ACB, 故答案为：∠1=2∠ACB (2)连接CD,如下图所示： D 27ì 图2 由折叠可知，MD=MC, .∠MDC=∠ACD, 又：I=∠MDC+∠ACD, .∠I=2LACD. 同理可得，∠2=2LBCD, 又：∠ACD+∠BCD=∠ACB, :1+∠2=2∠4CD+2∠BCD=-2(∠ACD+∠BCD)=2∠ACB :∠ACB=35° .∠1+∠2=2×35°=70° (3)略 10.现有一张三角形纸片ABC,E,F分别是边BC,AC上的点，沿直线EF折叠△ABC,点C的对应点为 点D B E 图1 图2 图3 4 (I)如图1，点D恰好在边BC上，则∠AFD与∠C之间的数量关系是： 2)如图2，点D在△ABC的内部，且DF∥BC.若∠A=90,∠B=54°，求∠BED的度数： 3)如图3，点D在△ABC的内部.若AD恰好平分∠BAC,BD平分∠ABC,∠ADB=108°，求 13/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AFD+∠BED的度数； ④)如图4，点D在△ABC的外部，且在AC上方时，直接写出1，∠2，∠C之间的数量关系. 【答案】(I)∠AFD=2∠C (2)36° 3)72° 4)∠1-∠2=2∠C 【详解】(I)解：由折叠性质得CF=DF,故△DFC为等腰三角形，∠C=∠FDC :∠AFD是△DFC的外角，根据三角形外角定理：∠AFD=∠C+∠FDC. 将∠FDC=∠C代入，得∠AFD=2∠C. 故答案为：∠AFD=2∠C (2)解：在△ABC中，∠A=90°，∠B=54°，由三角形内角和定理： ∠C=180°-∠A-∠B=180°-90°-54°=36° 由折叠性质得∠D=∠C=36°，∠DFE=∠CFE DF∥BC. ∴.∠BED=∠D=36° 答：∠BED的度数为36°」 (3)解：：AD平分∠BAC,BD平分∠ABC, ∴.∠BAC=2∠DAB,∠ABC=2∠DBA 在△ADB中，∠DAB+∠DBA=180°-∠ADB=180°-108°=72°， ∴.∠BAC+∠ABC=2(∠DAB+∠DBA)=144° 在△ABC中，∠C=180°-（∠BAC+∠ABC)=180°-144°=36° 由折叠性质得∠D=∠C=36°，∠DFE=∠CFE,∠DEF=∠CEF 设AD=m,∠BE0=n,则ZCFE=,”,ZCF=180°-” 2一（平角定义）， 在△EFC中，∠CFE+∠CEF=180°-∠C=144° 180°-m+180°-n=144° 代入得2 2 化简：180-m主”=14，解得m+n=72,即∠A5D+∠BD=7。 2 14/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：∠AFD+∠BED的度数为72° (4)解：由折叠性质得∠D=∠C,∠DFE=∠CFE,∠DEF=∠CEF, 设∠DFE=∠CFE=a,∠DEF=∠CEF=B, 则∠1=180°-2p,2a+180°-∠2=360°，即∠2=2a-180° 在aDEF中，a+B=180°-∠D=180°-∠C. .∠1-∠2=(180°-2)-(2a-180)=360°-2(a+B)=360°-2180°-∠C)=2∠C 知识点三 利用角平分线探究角的数量关系 1l.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点E. G 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=70°，求∠E的度数： (②)如图2，在(1)的条件下，延长AB至点F,∠DBF的平分线与∠ACD平分线的反向延长线相交于 点G,求∠G的度数： )如图3，若点P为BA的延长线上一动点（不与点A重合），连接PC,∠APC和∠ACP的平分线相 交于点Q.试探究：在点P运动的过程中，∠Q与∠E是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系 并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)35° (2)550 ∠Q+∠E=180° 3) 理由如下： 15/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :P№平分∠APC,C2平分∠ACP, QPC-LAPC Z0CP-7LACP 2 ÷∠Q=l80°-(20PC+∠Qcr)=I80-(∠APC+∠ACP), :∠BAC=∠APC+∠ACP. ÷40=180°-)∠B4C, 2 由)可得：E-4cD-AaC)-4C, .∠0=180°-∠E, .∠Q+∠E=180° 【详解】(1)解：BE平分∠ABC,CE平分∠ACD, &∠Bac-Ac,∠Bcn-4CD, &∠E=∠BD-∠Bac-4cD-ABc-4Cn-ABq). 21 :∠A=∠ACD-∠ABC=70°， 54=54x0=3 (2)解：，BE平分∠ABC,BG平分∠DBF, ∠BBC=ABC,DBG-DBF. :∠E8G=∠Bnc+∠DBG-2ABC+DBF-ABC+∠D8F)-X180=90. 2 ,由(1)知∠E=35° :∠G=90°-∠E=55° (3)略 12.在△ABC中，∠ABC=∠ACB,点D在射线BC上（不与B,C重合），点E在射线AC上，连接DE, 若∠ADE=∠AED. 16/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 备用图 ()如图1，若∠BAC=80°，∠DAE=30°，求∠CDE度数： 2)当点D在BC边上时，试说明∠BAD=2∠CDE: 3)若∠BAD的角平分线交BC于点F,猜想∠AFC与∠AED之间的数量关系，并说明理由. 【答案】1)25° (2)证明：由题意设：∠ABC=∠ACB=a,∠ADE=∠AED=B, :∠B1C=180°-（∠ABC+∠CB)=180°-2a ∠DAE=180°-（∠ADE+∠AED)=180°-2B .∠BAD=∠BAC-∠DAE=2B-2a, :∠CDA=∠B+∠BAD, .∠CDA=a+2B-2a=2B-a, ∠CDE=∠CDA-∠ADE=2B-a-B=B-a, .∠BAD=2∠CDE B)解：当D在线段BC上时，∠AFC=∠AED,当D在线段BC的延长线上时，∠AFC+∠AED=180° 理由如下：如图，当D在线段BC上时， B F D 由题意设：∠ABC=∠ACB=a,∠ADE=∠AED=B, ∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB)=180°-2a 17/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAE=180°-（∠ADE+∠AED)=180°-2B .∠BAD=∠BAC-∠DAE=2B-2a, ,AF平分∠BAD, A∠BMF=)∠BAD=B-a, 21 :∠AFC=∠B+∠BAF, ∠AFC=a+B-a=B=∠AED 当D在线段BC的延长线上时，如图， 同理由题意设：∠ABC=∠ACB=a,∠ADE=∠AED=B, ∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB)=180°-2a ∠DAE=180°-（∠ADE+∠AED)=180°-2B .∠BAD=∠BAC+∠DAE=360°-2B-2a &∠BMF=BMD=180-B-a, ∴、∠4FC=∠B+∠BAF=a+180°-u-B=180°-B, ∠AED=B, .∠AFC+∠AED=180° 【详解】(1)解：∠ABC=∠ACB,∠BAC=80°，∠DAE=30°， :∠1BC=∠ACB=80P-80r)-=50,∠BAD=∠B4C-∠DAE=50 2 ,.∠CDA=∠B+∠BAD=50°+50°=100° 18/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠ADE=∠AED, ∠ADE=∠AED=)180°-30)=75° ∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=100°-75°=25°： (2)略 (3)略 13.如图1，AB与CD交于点E, A 图1 图2 图3 (I)求证：∠A+∠D=∠B+∠C: 2)如图2，AD∥BC,AF∥CD,AE平分∠DAF,AF⊥BF,求证：∠C=2∠ABF: B)如图3，AD∥BC,AN平分∠BAD,CN平分LBCD,AN与CN交于点N,DM⊥AB, BM⊥CD,DM与BM交于点M,试探究∠M与∠N的数量关系，并证明你的结论. 【答案】I):∠A+∠D=180°-∠AED,∠B+∠C=180°-∠BEC. 又∠AED=∠BEC. ∴.∠A+∠D=∠B+∠C: ②)设∠ABF=a,设BF与CD交于点G, F◇ G B :AF⊥BF, .∠FAB=180°-90°-a=90°-a, ,AE平分∠DAF, .∠DAB=∠FAB=90°-a, ,AD∥BC, ∴∠ABC=∠DAB=90°-a, 19/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CBF=∠ABC-∠ABF=90°-2a, :AF∥CD. .∠BGE=∠F=90°， ∴.∠BGC=180°-∠BGE=90°， ∴.∠C=180°-90°-∠CBF=2a,即∠C=2∠ABF, B)∠M+2∠N=180°，理由如下： 设∠DAN=∠I,∠DCN=∠2， ,AN平分∠BAD,CN平分∠BCD, .∠DAE=2∠I,∠BCE=2∠2， :AD∥BC, .∠ADE=∠BCE=2∠2， 由(1)的结论得∠DAN+∠ADC=∠DCN+∠N,即∠I+2∠2=∠2+∠N, .∠N=∠1+∠2， 在△AED中， ∠AED=180°-（∠EAD+∠EDA)=180°-2（∠1+∠2） :DM⊥AB,BM⊥CD, 由四边形内角和定理知∠M=360°-90°-90°-∠AEC=180°-∠AEC=∠AED, ∠M=180°-2（∠1+∠2） ∴.∠M=180°-2∠N. .∠M+2∠W=180° 14.综合探究与应用 B 图1 图2 图3 【问题情境】 (I)如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I,如果∠A=60°，求∠BIC的度数 20/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题探究】 (2)如图2，在△ABC中，作△ABC外角∠CBE,∠BCF的平分线交于点O.求∠0和∠A的数量关系. 【拓展应用】 3)如图3，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I,∠CBE与∠BCF的平分线交于点O,延 长BI,OC交于点P,在△PB0中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，则∠P= 【答案】1)120° 040=w-A 3)18°或22.5°或67.5°或72° 【分析】(1)先根据三角形内角和定理得到∠A+∠ABC+∠ACB=180°，再根据角平分线得出 ∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=×80-∠A）,进而求解即可： (2)根据三角形内角和定理和角平分线的性质同(1)求解即可： (3)首先求出∠PB0=∠PBC+∠CB0=90°，得到∠P+∠0=90°，然后分4种情况分别求解即可. 【详解】(1)解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180° :BI,CI分别是∠ABC,∠ACB的平分线， A∠IBC=号∠ABC,∠ICB=∠ACB 2 2 :∠BC+Z10B=(∠ABC+∠ACB)-=2x80-. ∠A=60°， ∴.∠IBC+∠ICB=60°. ∠B1C=180°-（∠IBC+∠ICB)=120° (2)解：：∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∠EBC=180°-∠ABC,∠FCB=180°-∠ACB, ∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB)=360°-(180°-∠A)=180°+∠A :△ABC外角∠CBE,∠BCF的平分线交于点O, :∠EB0=∠CBO=)∠EBC,∠FCO=∠BCO=∠FCB :0c+08-2c+)-+0-0+A. 21/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠O=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°- (3)解：：BP是∠ABC的平分线，BO是∠CBE的平分线， Pac-4c,∠Ca0=∠CBE, :∠ABC+∠CBE=180°， ∠PBC+∠CB0-(∠MBc+∠CBE)=90, .∠P+∠0=90°， ①当∠PB0=4∠P时，90°=4∠P, ∠P=22.5°； ②当∠PB0=4∠0时，90°=4∠0， .∠0=22.5° ∴.∠P=90°-L0=67.5°： ③当∠0=4∠P时， ∴∠P+4∠P=90°， .∠P=18°： ④当∠P=4∠0时， ∴.4∠0+∠0=90°， .∠0=18°， ∠P=4L0=72°： 综上所述，∠P=18°或22.5°或67.5°或72° 15.探究题：已知在△ABC中，∠ABC=∠ACB.∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线相交于 点D,与AC边相交于点E,直线CD与直线AB相交于点F. (1)∠BAC>60°，如图1. ①当∠ABC=24°时，求∠BEC和∠F的大小： ②当∠ABC=36°时，直接写出∠BEC和∠F的大小： ③根据以上结论，发现当∠ABC的大小改变时，∠BEC和∠F之间的数量关系保持不变.∠BEC和 ∠F之间的数量关系可用等式表示为-· 22/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B C M 图1 (2)∠BAC<60°，如图2，∠BEC和∠F之间有何数量关系？写出你的结论并说明理由. M 图2 【答案】1)D144,54°，②∠BEC=126°，∠F=36°，③∠BEC-∠F=90° (2)∠BEC+∠F=90° 理由如下： 设∠ABC=∠ACB=a(a>60) 因为∠ABC=∠ACB=a, 所以∠A=180°-a-a=180°-2a, ∠Bc-3c+2A-a+180-2a=180r 2 因为∠ACM=180°-∠ACB=180°-a, 所u乙4cD=4cM=x0sw-a)=0-a. 2 2 因为∠ACD=∠F+∠A 所以2r=4cD-1=90-0-1s0r-2a) 28-900 所以<h6C+=l180-20+a-90e=90 .3 23/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 图2 【分析】(1)根据角平分线的意义和三角形内角和定理求解即可： 2)设∠ABC=∠ACB=aa>60,求出∠BEC=180°-多。 “:再求出∠F= a-90°，故可得出 2 ∠BEC+∠F=90° 【详解】(1)解：①当∠ABC=24°时， A B M 图1 因为∠ABC=∠ACB=24° 所以∠BAC=180°-24°-24°=132°， 因为∠BEC是△ABE的一个外角， 所以∠BC=ABc+∠BAC=24P+132=14w: 因为∠ACM=∠ABC+∠BAC=24°+132°=156°， 所以∠CM-4CM=x1560=78 因为∠FCM=∠F+∠ABC 所以∠F=∠FCM-∠ABC=78°-24°=54°， ②当∠ABC=36°时， 24/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B M 图1 因为∠ABC=∠ACB=36° 所以∠BAC=180°-36°-36°=108°， 因为∠BEC是△ABE的一个外角， 所以∠BBC=∠ABC+∠B4C=×36+108=-126: 因为∠ACM=∠ABC+∠BAC=36°+108°=144°， 所以∠FCM= 2Z4CM-1 140=72, 因为∠FCM=∠F+∠ABC 所以∠F=∠FCM-∠ABC=72°-36°=36°， ③由上可得：∠BEC-∠F=90°： (2)略 知识点四 尺规作图+补全证明过程 16.如图，在△ABC中，点E在边BC上，AB∥DE,AB=DE. B E C I)用尺规完成基本作图：在射线EC上作线段EF,使得EF=BC,连接DF: 2)结合(1)所作的图形，求证AC∥DF.请完成下面的证明： 证明：AB∥DE, .∠B=∠DEF(①). 在△ABC和△DEF中， 25/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=DE ∠B=∠DEF ② .AABC≌ADEF(SAS) ∴.∠ACB=③ .AC∥DF D 【答案】I) B E C (2)两直线平行，同位角相等；BC=EF；∠DFE 【分析】(1)以点E为圆心，BC长为半径画弧，交射线EC于点F,连接DF即可： (2)利用两直线平行同位角相等，全等三角形的判定和性质以及同位角相等两直线平行推导即可. 【详解】(1)略 (2)略 17.如图，点D为△ABC的边CA延长线上一点. D B I)用无刻度直尺和圆规作∠DAB的平分线AE;(保留作图痕迹，不写作法) 2)在(1)的条件下，若∠DAB=2∠C,∠B=36°，求∠BAC的度数，将下面的过程补充完整. 解：：AE平分∠DAB(已知)， ∠DAB=2① :∠DAB=2∠C. .∠DAE=②」 .AE∥BC(③】 26/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EAB=∠B=36° ∠DAB=2∠EAB=72°， .∠BAC=180°-∠DAB=④ (填度数)， 【答案】(I)如图，AE即为所求， B 2)①∠DAE,②∠C,③同位角相等，两直线平行，④108 【分析】(1)以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD、AB于两点，再分别以这两点为圆心， 大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过点A和该交点作射线AE，即为∠DAB的 平分线： (2)由AE平分∠DAB得∠DAB=2∠DAE,结合已知∠DAB=2∠C,等量代换得∠DAE=∠C,依据 “同位角相等，两直线平行”判定AEBC,再由平行线的性质得∠EAB=∠B=36°，进而得出 ∠DAB=72°，最后利用邻补角的性质得∠BAC=180°-∠DAB=108°. 【详解】(1)略 (2)解：：AE平分∠DAB(已知)， .∠DAB=2∠DAE, ∠DAB=2∠C ∠DAE=∠C, AE∥BC(同位角相等，两直线平行)， .∠EAB=∠B=36° ∠DAB=2∠EAB=72°， ∴.∠BAC=180°-∠DAB=108° 18.学习了平行线与全等三角形之后，小红饶有兴趣地进行了拓展性研究，根据她的想法，完成下面的作 图和证明，在括号内填上推理依据， 27/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 如图，点A是线段BD中点，C为直线BD外一点，连接BC、AC. 第一步：利用直尺和圆规在DA右侧作∠DAM=∠B,在AM上截取线段AE=BC,连接DE(不写作 法，保留作图痕迹)： 第二步：求证：DE∥AC. 证明：，点A是BD中点， ① AB=AD ∠B=∠DAE, 在 和 中， △ABC△DAE ② :.△ABC≌△DAE ③ ④ DE∥AC ⑤ ( 【答案】解：如图，∠DAM、DE即为所求， D :同位角相等，两直线平行 AD=ABBC=AE SAS∠BAC=∠D 【分析】以B为圆心，适当长为半径画弧交AB、BC于点F、N,以A为圆心，同样长为半径画弧， 交AD于点P,以P为圆心，FN为半径画弧，交前弧于点O,过A、O作射线AM,在AM上截取线 段AE=BC,连接DE即可： 根据全等三角形的判定与性质，平行线的判定等完成解答即可， 28/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】略 19.如图所示，AB∥CD,点F在BC上，连接AF,请根据要求完成以下作图并根据己有思路完成推理 填空 D (I)尺规作图：在射线CD上截取CE=AB,在CE的上方作∠CEG=∠BAF,交BC于点G.(不写作 法，保留作图痕迹) (2)推理填空： 已知：AB∥CD,CE=AB,∠CEG=∠BAF 求证：BG=CF 证明：AB∥CD, ①， 在△ABF和△ECG中： [∠ABF=∠ECG ② N∠CEG=∠BAF :△ABF≌△ECG(③_)， ④-， .BF+GF=CG+GF, ..BG=CF 【答案】(1) 2)O∠B=∠C;②AB=CE:③ASA:④BF=CG 【分析】(1)以点C为圆心，线段AB长为半径画弧，交射线CD于点E；以A为圆心，适当长度画 弧，交AB、AF于两点；以E为圆心，等长半径画弧交CE于一点；量取前弧两点间距，在E处弧 29/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上截取等长弧，连线得到射线EG,EG交BC于G,保留全部圆弧痕迹， (2)根据平行的性质及角边角全等判定定理填空即可. 【详解】(1)略 (2)略 20.如图，在△ABC中，E为BC上一点，连接AE. (I)请用尺规作图：作∠ABC的角平分线BF交AE于点F,并在BC上取一点D,使BD=AB,连接 DF.(不写作法和结论，保留作图痕迹) (0 ②)在O所作的图形中，若DFM4C,求证：∠B1C=∠4B.请完成下面的证明过程： 证明：，BF平分∠ABD, .∠ABF=∠DBF, 在△ABF和△DBF中， [① ∠ABF=∠DBF BF=BE △ABF≌ADBF(SAS) :② 又，DF∥AC, ③ .∠BAE=∠C, 又.∠AEB=∠C+④ ∠BAC=∠BAE+∠CAE, .∠BAC=∠AEB 【答案】(I)解：如图，BF,点D即为所求： 30/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：：BF平分∠ABD, .∠ABF=∠DBF, 在△ABF和△DBF中， AB=DB ∠ABF=∠DBF BF=BF △ABF≌ADBF(SAS) ∴.∠BAE=∠BDF, 又，DF∥AC .∠BDF=LC, .∠BAE=∠C, 又：∠AEB=∠C+∠CAE,∠BAC=∠BAE+∠CAE, .∠BAC=∠AEB 故答案为：AB=DB,∠BAE=∠BDF,∠BDF=∠C,∠CAE (1) 【分析】 根据题意进行作图即可： (2) 由BF平分∠ABD则有∠ABF=∠DBF,证明 ABF≌ADBF(SAS) ,所以∠BAE=∠BDF,又 DF∥AC,则∠BDF=∠C,故有∠BAE=∠C,然后通过三角形的外角性质和角度和差即可求证. 【详解】(1)略： (2)略 知识点五 全等三角形相关基础解答题 2L.己知：如图，A、C、F、D在同一直线上，∠B=∠E,AF=DC,AB∥DE,求证：△ABC≌aDEF 31/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【答案】证明：：AF=DC, ∴.AF-CF=DC-CF .AC=DF :AB∥DE, ∴∠A=∠D 在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E ∠A=∠D AC=DF :∴.△ABC≌△DEF(AAS) 【分析】首先证明AC=DF,再根据AAS定理判定△ABC≌aDEF即可， 【详解】略 22.己知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC,点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是 MN求证：PM=PN. A M D C 【答案】证明：BD是∠ABC的平分线， .∠ABD=∠CBD, AB=BC,BD=BD, ABD2ACBD(SAS) 32/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADB=∠CDB, ,DB平分∠ADC, ,PM⊥AD,PN⊥CD, .PM=PN ABD≌ACBD(SAS 【分析】先证明 ,得出∠ADB=∠CDB,说明DB平分∠ADC, 根据角平分线性 质得出PM=PN即可. 【详解】略 23.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AB和AC上，连接BE,CD,交点为F,且 AD号4B,AB=兮4C.求证：DF=Br 【答案】证明：“A=AC,AD写B,s-4C, .AD=AE, 在△ACD和△ABE中， AD=AE ∠CAD=∠BAE AC=AB △ACD≌△ABE(SAS) ∠ACD=∠ABE. AB=AC,AD=AE, .AB-AD=AC-AE,BD=CE. 在△BDF和aCEF中， 33/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 I∠DBF=∠ECF ∠BFD=∠CFE BD=CE △BDF≌ACEF(AAS) .DF=EF. 【分析】先证出△ACD≌△ABE,则可得∠ACD=∠ABE,再证出△BDF≌△CEF,由此即可得证. 【详解】略 24.如图，在△ABC和△DEF中，点A、D、B、E在同一条直线上，已知AB=DE,∠A=∠FDE, AC=DF (I)求证：△ABC≌aDEF: 2)若LC=60°，求∠F的度数. 【答案】I)证明：在△ABC和△DEF中， AB=DE ∠A=∠FDE AC=DF .∴aABC≌ADEF(SAS) (2)∠F=60° 【详解】(1)略 (2)解：△ABC≌aDEF,∠C=60°， ∠F=∠C=60° 25.如图，∠CAB=90°，AC=AB,CD⊥AE,BE⊥AE,垂足分别为D,E, CD=5cm,BE =2cm, 34/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)证明：△ACD≌△BAE. (2)求DE的长. 【答案】(I)证明：：∠CAB=90°， ∴.∠CAD+∠BAE=90, ,CD⊥AE,BE⊥AE, .∠CDA=∠E=90°， .∠ABE+∠BAE=90°. .∠CAD=∠ABE, 又，AC=AB .△ACD≌ABAE(AAS) (2)3cm】 【分析】(I)利用同角的余角相等求出∠CAD=∠ABE，,再利用“角角边”证明△ACD≌△BAE, (2)根据全等三角形对应边相等可得AE=CD=5Cm,AD=BE=2cm然后计算即可得解， 【详解】(1)略 (2)解：由(1)知△ACD≌△BAE .'AE=CD=5cm,AD=BE 2cm, DE=AE-AD=5-2=3(cm) 知识点六 全等三角形相关含辅助线的证明 26.在四边形ABCD中，AC为对角线，∠ABC+∠ADC=180°，CB=CD 35/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：AC平分∠BAD: 2)如图2，点G在CD上，点F在BC上，连接BG、DF,BG交DF于点E,∠BFD=∠BGC,且 AD=DE,求证：BA=BE; 3)如图3，在(2的条件下，连接BD交4C于点K, 。S,Bn=3 S.ADK DE=2 2,求MB的长 【答案】Q)证明：如图，作CE⊥AB于E,CF⊥AD延长线于F, B ∴.∠CEB=∠CFD=90 ∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDF=180°， .∠ABC=∠CDF 在aCEB和aCFD中， ∠CEB=∠CFD ∠ABC=∠CDF CB=CD :.ACEB≌ACFD(AAS) :.CE=CF, :CE⊥AB,CF⊥AD .AC平分∠BAD: (2)证明：如图，连接AE, 36/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BFD+∠CBG+∠BEF=180°∠BGC+∠CBG+∠BCD=180° 又∠BFD=∠BGC, ∴.∠BEF=∠BCD :∠BEF+∠BED=180°∠BCD+∠BAD=360°-（∠ABC+∠ADC)=180° ∴.∠BED=∠BAD, AD=DE, ∴.∠AED=∠DAE, ∴.∠BEA=∠BAE, :BE=BA: 3)4 【分析】()如图，作CB⊥AB于E,CF⊥MD延长线于R,证明△CEB2aCFD(AAS) 再进一步 证明即可： (2)如图，连接AE,证明∠BEF=∠BCD,∠BED=∠BAD,进一步可得∠BEA=∠BAE,可得 BE=BA: (3)过点K作KM⊥AB于M,KW⊥AD于N,证明 BED2△BAD(SAS) ,可得S,m=SaD, DE=AD=2,再进一步求解即可 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图，过点K作KM⊥AB于M,KN⊥AD于N 37/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图3 由(2)知BA=BE,DE=AD=2, 在△BED和△BAD中， DE=AD ∠BED=∠BAD BE=BA· △BED≌△BAD(SAS) SBED =S.BAD S.RED=3SADK BD DK=3, .BK=2DK ,KA平分∠DAB,KM⊥AB,KN⊥AD, .KM =KN. 1 S.ABK= ·AB·KM BK =2 SAKD 1 AD.KN KD .'AB=2AD. ∴AB=4. 27.求解下列各题： 38/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 图1 图2 (I)【问题发现】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，点E、F分别在边BC、 CD上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,试说明： ∠BAD=2∠EAF； (②)【拓展延伸】如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,点E在CB的延长线 上，点F在CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长DC至点G,使得 DG=BE,连接AG,请探究LBAD与∠EAF之间的数量关系，并说明理由. 【答案】I)证明：在△ABE和△ADG中，AB=AD,∠B=∠ADG=90°，BE=DG. :△ABE≌aADG(SAS) ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, .EF BE+DF,DG=BE. .EF BE+DF=DG+DF =GF. AF=AF, ·.△MEF2aAGF(SSS) ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=LBAE+∠DAF, .∴.∠BAE+∠FAD=∠EAF, .∠BAD=∠BAE+∠FAD+∠EAF=2∠EAF: ②解：∠EMF=180-弓∠D1B(形式不唯-). 2 理由：∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， .∠ADC=∠ABE 又：AB=AD,DG=BE, :.△ADG≌aABE(SAS) 39/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AG=AE,∠DAG=∠BAE. .EF=BE+FD,DG=BE .EF=BE FD=DG+FD=GF, .AF=AF, :△AEF≌△AGF(SSS) .∠FAE=∠FAG, ∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， :.2∠FAE+(LGAB+∠BAE)=3600 :2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360° 即2∠FAE+∠DAB=360°， EAF=180°ZDA 【分析】(I)证明△ABE≌△ADG得到∠BAE=∠DAG,AE=AG,推出EF=GF,证明 △AEF≌△AGF得到∠EAF=∠GAF,推出∠BAE+∠FAD=∠EAF,根据角的和差即可得证： (2)证明△ADG≌△ABE得到AG=AE,∠DAG=∠BAE,推出EF=GF,证明△AEF≌△AGF得到 ∠FAE=∠FAG,结合∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 28.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D为直线AC上一动点，连接BD,在 直线CB的右上方作BE⊥BD,且BE=BD, 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点D在线段AC上时，过点E作EF⊥CB于点F,求证：△BCD≌△EFB: (②)如图2，当点D在线段AC的延长线上时，连接AE交CB于点M,求证：AM=ME; ⊙)当点D在直线4C上时，连接B交直线CB于点M,若C=m(u≠2)，时直接写出8的值。 AD CM 40/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】)见解析 (2)见解析 CM m CM m CM GBMm+2或BMm-2或BM上 【分析】(I)利用AAS即可得证： (2)过点E作BF1CB,交CB的延长线于点F,证明 BCD≌△EFB(AAS ,得到BC=EF,再证明 △CMA≌△FME(AAS) ,即可得证： (3)分3种情况，进行讨论求解即可 【详解】(I)证明：：BE⊥BD,EF⊥CB. .∠DBE=∠BFE=90°=∠ACB. .∠BEF=∠CBD=90°-∠CBE, 又BE=BD, △BCD≌AEFB(AAS) (2)证明：过点E作EF⊥CB,交CB的延长线于点F, D M B :∠ACB=90°，BE⊥BD, .∠EFB=∠DBE=∠BCD=90°. ∴.∠DBC=LBEF=90°-∠EBF, 又，BD=BE, △BCD≌AEFB(AAS) .BC=EF, .CA=CB. .CA=EF, 又：∠EFB=∠ACB=90°，∠CMA=∠FME 41/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △CMA≌AFME(AAS) ,∴AM=ME: AD (3)解：DC =m(m≠2）. ∴.设CD=a,则AD=ma, ①当点D在线段AC上时，如图1， CM D F B 图1 △BCD≌△EFB(AAS) 由(1)知， ..CA=BC=EF,BF=CD :∠ACM=∠EFM=90°，LCMA=∠FME, ACMA≌aFME(AAS) .CM=FM, CD=a,AD=ma, BC=AC=AD+CD=(m+1)a BF=CD=a. ∴.CF=AD=ma, :.CM=FM=I ma 1 2 CM 2 ma m ∴.BM 1 2ma a+ m+2: ②当点D在线段AC的延长线上时，如图2， 42/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图2 △BCD≌AEFB(AAS)ACMA≌AFME(AAS) 由(2)可知： .BF=CD=a AC=BC=AD-CD=(m-1)a CM=MF ..CF=BC+BF=ma, 1 ..CM=FM= ma :BM=FM-BF 2ma-a 1 CM 2 ma m .BM I 2ma-a m-2: ③当点D在线段CA的延长线上时，作EF⊥BC交BC的延长线于点F,如图： E B D △BCD≌△EFB(AAS)ACMA≌AFME(AAS) 同法可得： BF=CD=a.AC=BC=CD-AD=(1-m)a CM=MF ∴CF=BF-BC=ma .CM -FA-m 43/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 CM 2 ma m ..BM 2ma+(1-m)a m-2: CM m CM m CM m 综上：BMm+2或BMm-2或BM =-m-21 29.在△ABC中，点D是△ABC的边BC的中点. B 图1 图2 图3 (I)如图1，连接AD,若∠BAD=2∠CAD,过点D作DE⊥AB交AB延长线于点E,若 ∠ABC=110°，∠C=25° ，求<ADE (②)如图2，点F是线段AC上一点，连接FD并延长交AB延长线于G.若CF=AB,∠AFD=∠ABD, 求证：DG=DF+BC: 6)如图3，若C 平分∠ACBM、N 分别是C以CB上任态一点，若8=12,4C=4 直接写出 BM+MN的最小值. 【答案】(1)60° (2②)见解析 (3)BM+MN=6 【分折】)先求解∠C1B=18-10-25=45,∠BD-号×45”=30，再进-步求解即可： 3 (2)在DG上取一点E,使得DF=DE,连接BE,由题意可得BD=CD,证明 CDF≌ABDE(SAS) 得出BE=CF,∠CFD=∠BED,再证明△MBC≌aBEG(AAS ,得出BG=BC,即可得证： (3)如图，过B作BG⊥AC于G,交CP于M,过M作MN⊥BC于N,求解BG=6,证明 GM=NM,此时BM+MN=BM+MG=BG,此时值最小. 44/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：∠ABC=110°，∠C=25°， ∠CAB=180°-110°-25°=45°， :∠BAD=2∠CAD ∠BAD=×45°=30° 3 :DE⊥AB, ∴.∠AED=90°， .∠ADE=90°-30°=60° (2)证明：如图，在DG上取一点E,使得DF=DE,连接BE, :点D是△ABC的边BC的中点， .BD=CD. 在△CDF和△BDE中， DF=DE ∠CDF=∠BDE CD=BD △CDF≌△BDE(SAS) .BE=CF,∠CFD=∠BED CF=AB. .AB=BE, :∠C+∠A+∠ABD=180°，∠G+∠A+∠AFD=180°，∠AFD=∠ABD, ∴.∠C=∠G ∠CFD+∠AFD=18O°，∠BED+∠BEG=180°，∠CFD=∠BED. .∠AFD=∠BEG, ,∠AFD=∠ABD, 45/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BEG=∠ABD. 在△ABC和△BEG中， ∠ABC=∠BEG ∠C=∠G AB=BE △ABC≌△BEG(AAS) .'EG=BC ..DG=DE+EG=DF+BC: 3)解：如图，过B作BG⊥AC于G,交CP于M,过M作MW⊥BC于N, .∠CGM=∠CNM=90°， G A S.ABC=12 AC=4 2×4xBG=12 .BG=6, :CP平分∠ACB, .∠GCM=∠NCM, ..CM=CM, ACGM≌ACNM(AAS) .GM=NM. “.此时BM+MN=BM+MG=BG,此时值最小， ∴.BM+MN的最小值为6. 30.在R△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,，点D为直线AB上方一点，且∠ADB=90° 46/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图1 图2 (I)如图1，过点C作CE⊥AD, ①求证：△ACE≌△ABD: ②若BD=9,CE=20,求DE的长. 2)如图2，延长AD交BC于点F，,若BD恰好平分∠ABC,且DF=8,请求出△ADC的面积. 【答案】) ①证明：：∠CAB=90°，∠ADB=90°，CE⊥AD. .∠CAB=∠AEC=∠BDA=90°， .∠ACE=90°-∠CAE=∠BAD, AB=AC. △ACE≌ABAD(AAS) ②11 (2)32 【分析】(I)①利用AAS即可证明△ACE≌△ABD: ②由全等三角形的性质求得AE=BD=9,AD=CE=20,再利用线段的和与差计算即可求解： (2)作CH1MF交AF的延长线于点H,证明 FDB≌aMDB(ASA),求得4D=DF=8,同理证明 △CAH≌△ABD(AAS) 求得CH=AD=8,利用三角形面积公式求解即可。 【详解】(1)①略 ②解：，△ACE≌△ABD .AE=BD=9.AD=CE=20. DE=AD-AE=20-9=11: (2)解：作CH⊥AF交AF的延长线于点H, 47/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B :BD平分∠ABC, .∠ABD=FBD, ∠ADB=90°. .∠FDB=180°-∠ADB=90°=∠ADB. .BD=BD, △FDB≌AADB(ASA) .AD=DF=8. :∠CAB=∠ADB=∠H=90°， .∠CAH=90°-∠DAB=∠ABD, .AB=AC. ACAH≌△ABD(AAS) ..CH=AD=8. 六aADC的面积2 ADXCH=) 2×8x8=32 知识点七 全等三角形相关动点问题 31.如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,现有一动点P,从点A 出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为s. B 图① 图② 图③ 48/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图①，当P在AC上时AP=-,当P在AB上时AP=-,(用含t的式子表示) (2)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在△ABC的边上，若另外有 一个动点Q,与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动过程 中的某一时刻，恰好△MPO≌DEF全等，求点的运动速度. 【答案】)3cm. (36-3t)cm 15 9 (2)点O的运动速度为4cms或x 32cm6 【分析】(1)用代数式表示出AP即可： (2)分类讨论：①当点P位于AC,点O位于AB上时：②当点Q位于AC,点P位于AB上时，结 合全等三角形的性质分别列方程求解即可 【详解】(1)解：当点P在边AC上时，AP=3tcm; 当点P在边AB上时，1P=B+AC+BC-3=15+12+9-31=(36-3)em (2)解：：aAPO≌aDEF」 .只存在两种情况：①当点P位于AC,点Q位于AB上时；②当点O位于AC,点P位于AB上时. 设点Q的运动速度为xcm/s, ①当点P位于AC,点O位于AB上时，此时AP=3tcm,AQ=xtcm,如图， ,△APQ≌aDEF .AP=DE=4cm,A0=DF=5cm, .3t=4,xt=5, 解得：1= 3,t5 4 15 .此时点⑨的运动速度为x m/s 4 49/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当点Q位于AC,点P位于AB上时，此时 AP=[15-(3t-12-9)]=(36-3)cm A0=[12-(t-15-9)]=(36-x)cm ,如图， :△APQ≌ADEF .'AP=DE 4cm,A0=DF 5cm, .36-3t=4,36-x1=5, 32 解得：1= x=92 3， 32, 93 此时点Q的运动速度为x=32cms。 15 93 综上可知点e的运动速度为4cms或x-32cms。 32.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,动点P从点A出发，以 3cm/s的速度沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A时停止，设运动时间为s. 口C B4 ▣CG 图1 图2 图3 1)当t=2时，AP= cm: (2)当点P在CB上运动时： ①BP= cm(用含t的式子表示) ②当△ABC的周长被线段AP分为相等的两部分时，求t的值； 50/155 ⊙学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)若△APC的面积等于△ABC面积的一半，求t的值： ④)如图3，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.如图2，在△ABC的边上有 另一个动点O,与点P同时从点A出发，沿边AB→BC→CA运动，回到点A时停止；若在运动过程 中的某一时刻，△AP9和△DEF全等，请直接写出此时点O的运动速度。 【答案】(I)6 2o21-3 ；②=6 3)t=5.5或9.5 15 93 12 96 ④4cm/s或32cm/s或5cms或3 -cm/s 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和 分类讨论的思想求解，是解题的关键： (1)根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可： BP=(AC+BC)-3t (2)①根据 求解即可. ②根据题意，易得4C+P-C,即点p的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算甲可」 (3)分点P为BC的中点和点P为AB的中点两种情况，进行求解即可： (4)分△MPO≌aDEF,△APO≌aDFE两种情况，再分点P在AC上和点P在AB上，进行讨论求解即 可 【详解】(1)解：当1=2时，AP=3×2=6(cm). 故答案为：6： (②)解：①当点P在边BC上，BP=(4C+BC)-31=(21-3刘)cm ②由题意，得：4C+CPCc, 2 :3=29+12+15). 解得：t=6: 故答案为：6； 51/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (③)解：①当点P为BC的中点时，AP为AABC的中线，则：S,心=2S,c, -(2+93=5 ②当点p为B的中点时：CP为。MBC的中找，则：Sa, 1=12+9+x153=9.5 2 综上：1=5.5或9.5： (4)解：①当△APO≌aDEF,则：AP=DE=4cm,Ag=DF=5cm, 当点p在4C上时，=4解得：1=手 点0的速度为：54=15 34 (cm/s): 当点P在AB上时，则：1=(9+12+15-4)÷3=32 点0的速度为：(5+9+12-5引号-器cm网， ②当△APO≌aDFE时，则：AP=DF=5cm,A0=DE=4cm, 当点p在AC上时，31=5，解得：1= 3 12 ·点Q的速度为：4 35(cms). 当点P在AB上时，则：=(9+12+15-5)÷3=3到 3 六点0的速度为：(15+9+12-4)：1-6 *33引cms), 15 93 12 96 综上：点Q的速度为4cms或32ms或5cms或3引cms 33.如图(I),线段AB=6,过点A、B分别作垂线，在其同侧取AC=4,另一条垂线上任取一点D. 动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动：同时动点O从点B出发，以每秒a 52/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个单位的速度沿射线BD运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动，设点P的运动的时间为 (s) 图(1) 图(2) (1)当1=1时，AP= .BP= 用含a的代数式表示BQ的长为 (2)当a=2,t=1时， ①求证：△ACP≌△BPO: ②求证：CP⊥Pg B)如图(2)，将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段AB的同侧作∠CAB=∠DBA”,其它条件 不变.若△ACP与△BP№全等，直接写出对应的at的值. 【答案】(1)2,4，a 2) 证明：①当a=2,t=1时，AP=2,BQ=2,BP=4, .AC=BP,AP=BO :AC⊥AB,BD⊥AB, .∠CAP=∠PBQ=90° △APC≌△BOP(SAS) ②，△APC≌△BQP .∠ACP=∠BP9, ,∠ACP+∠APC=90°. .∠BP2+∠APC=90°」 ÷∠CP0=180°-（∠APc+∠BPg)=90 ..CP LPO. 53/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 3 6)a=2,1=1或a=3,1=2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，列代数，熟知全等三角形的性质与判定定理是解 题的关键。 (I)根据路程等于速度乘以时间可得APBO的长，进而可得BP的长： (2)①可证明AC=BP,AP=B0,再由垂线的定义可得∠CAP=∠PB0=90°，据此可证明结论：② 由全等三角形的性质得到∠ACP=∠BP吧，则可证明∠BPQ+∠APC=90°，再由平角的定义即可证明 结论： (3)分△APC≌△BOP和△APC≌△BP吧两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可. 【详解】(1)解：由题意得，当t=1时，AP=2,BQ=a, ∴.BP=AB-AP=6-2=4, 故答案为：2,4，a; (2)略 (3)解：当△APC≌△BOP时，则BQ=AP,BP=AC=4, ∴AP=AB-BP=2, 2 2 ..qs =2 1 当△MPC≌ABPg时，则B0=AC=4BP=AP=)AB=3, 2 :13 2, 48 a=33 3,3 8 综上所述，a=2,1=1或a 2 54/155 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,动点P从点B出发，沿射线 BC以3cms的速度运动，设运动时间为秒. B P 备用图1 备用图2 (I)当△ABP是以AB为腰的等腰三角形时，求t的值. (2)若点O是边AB上一点，且P1BC,垂足为P,请用无刻度的直尺和圆规在备用图1中作出点P、 点卫，使得A=QP.(提醒：作图痕迹请加粗加黑，确保阅卷扫描清晰) 3)若点E、F为BC、AB上的动点，求AE+EF的最小值. 8 【答案】)1=3： (2) 如图所示： B 24 3)4E+EF的最小值5· 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的尺规 作图及等腰三角形的性质与判定是解题的关键 (1)当△ABP是等腰三角形时AB=AP,然后根据等腰三角形的性质可进行求解： (2)以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M、N,然后以点MN为圆心，大于 2MW为半径画弧，交于一点，连接点A与这个点并延长，交BC于点P,最后过点P作P吧1BC即可： (3)作点A关于射线BC的对称点G,然后过点G作GF⊥AB交BC于点E,垂足为F,由轴对称的 性质及垂线段最短可知此时AE+EF的最小值即为GF的长，进而问题可求解 【详解】(I)解：当△ABP是以AB为腰的等腰三角形时，AB=AP=5,如图所示： 55/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 六P=28C=8=,解得：1=8 3: (2)解：由作图可得AP平分∠BAC, ∴.∠BAP=∠CAP P0⊥BC,即∠QPB=90°， ∠QPB=∠ACB .∠APQ=∠CAP ·∠APg=∠PAg, .QP=OA,即点P,Q为所求. (3)解：作点A关于射线BC的对称点G,然后过点G作GF⊥AB于点F,交BC于点E,由轴对称 的性质得AE=EG, .'AE+EF=EG+EF=GF, 由垂线段最短可知此时AE+EF的最小值即为GF的长，如图所示： ∴.AG=2AC=6cm, 连接BG. .S.w-4G-BC= AB.GF 2 2 ..GF-AG.BC_24 AB 5, 24 AE+EF的最小值5· 35.己知△ABC中，∠B=90°，BC=6cm,AB=8cm,卫Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A 56/155 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 开始沿A→B方向运动且速度为每秒2cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，在BC边上的运 动速度是每秒3cm,在AC边上的运动速度是每秒5Cm,它们同时出发，当其中一个点到达终点时， 另一个点也随之停止，设运动时间为t秒， C 0 B D 备用图 (I)当1=1秒时，求△BPP的面积； ②)当4AP=CP时，C9=一： 3)若P2将△ABC周长分为5：7两部分，求出t的值. 【答案】)9： 45 Q)8: 10 6)1=2或3· 【分析】此题考查了勾股定理，三角形与动点问题，实际问题与一元一次方程，解题中运用分类思想， 正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键 (1)根据题意可得4P=21=2,B0=31=3,从而得到BP=6,再由三角形的面积公式，即可求解： (2)设AP=CP=x,则BP=8-x,在Rt△BCP中，由勾股定理可求出x的值，可得到点Q在AC上， 即可求解： (3)分两种情况讨论：当0<t<2时，当2≤1<4时，即可求解. 【详解】(1)解：，t=1 .AP=21=2,BQ=31=3 .BP=AB-AP=8-2=6, ÷S.m-2p-a0-x6x3=9cm: (2)解：设AP=CP=x,则BP=8-x, 57/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△BCP中，由勾股定理得，CP2-BP2=BC2, -(8-2=6 25 .ts 4, 25 25 ÷2= >2 4 8 点O在AC上， C0=5x 45 故答案为：8： (3)解： 6+8+10x5+7-10,24-10=4 当0<1<2时，BP+BQ=10时， 8-21+31=10,解得：t=2(舍去)， 当BP+B0=14时， 8-21+31=14,解得：1=6（舍去）， 当2≤t<4时， 当AP+A0=10时， 21+10-50-2)=10,解得：1=10 3 当AP+A0=14时， 21+10-5(t-2)=14 解得：1=2 10 综上所述：1=2或3· 知识点八 全等三角形相关最值压轴题 58/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 36.综合探究 “特殊化”“转化”是两个重要的问题解决策略，请尝试运用这两个策略解决以下问题. △ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90,AB=BC,点D为边AC的中点，点E、F分别在边AB、BC 上，始终满足∠EDF=90°，且AE=BF. B(E) C(F 图1 图2 图3 (I)如图1，若点E与点B重合，则点F与点C重合，请直接猜测DE与DF的数量关系：- (2)如图2，当点E、F不与边AB、BC的端点重合时，DE与DF是否仍然保持第(I)问中的数量关 系？请说明理由、 BE B)如图3，在BA上截取BP,在CB延长线上截取BO,使BO=BP=DC,连接PF,EO,当FC为 何值时，PF+EO有最小值？请说明理由， 【答案】I)DE=DF (②)解：DE=DF,理由： 连接BD, E D F C.AB=BC,∠ABC=90 ∴.∠A=45° :AB=BC,点D为AC中点， ∠D8F=ABC=45,+3=∠ADB=0 ∠A=∠DBF=45°， ∠2+∠3=∠EDF=90°，∠1+∠3=90°， ∴.∠1=∠2， 59/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠I=∠2，∠A=∠DBF,AE=BF .aMDE≌aBDF(AAS), ∴DE=DF BF )解：FC=1时，PF+EO有最小值，理由： 作CO⊥AB,截取CO=BO, O'.∠O'CF=∠ABC=∠OBE=90i AB=BC,AE=BF :AB-AE=BC-BF, :BE=CF, .△EBO≌aFCO'(SAS), :.FO'=EO, ..PF+EO=PF+FO' ∴连接PO,与BC交于点F,当点F与点F重合时，PF+FO有最小值，即PF+EO有最小值. 此时，∠PF'B=∠OFC,∠ABC=∠O'CF=90,BO=BP=CO, :△PF'B≌O'F'CAAS), :.BF'=CF', 即BF=CF, BF=1 FC BF :当F=l时，PF+E0有最小值： 【分析】()根据等腰直角三角形的性质即可得到DE=DF; (2)连接BD,如图，根据等腰直角三角形的性质得到AB=BC,∠ABC=90°，则∠A=45°，再利用 等角的余角相等得到∠I=∠2，则可证明△MDE≌△BDF,从而得到DE=DF: (3)作CO'⊥AB,截取CO'=BO,可证△EBO≌aFCO',连接PO',与BC交于点F,当点F与 60/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点F重合时，PF+FO有最小值，即PF+EO有最小值，则 ∠PF'B=∠OF'C,∠ABC=∠O'CF=90,BO=BP=CO',即△PFB≌OFC,即可求证. 【详解】(1)解：DE=DF :△ABC是等腰直角三角形，点D为边AC的中点 .AD=CD=BD :点E与点B重合，点F与点C重合 ∴.DE=DF (2)略 (3)略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的 性质是解题的关键。 37.如图1，在△ABC中，点D、E在BC边上，连接AD、AE,满足AD=BD=CE,且 ∠ABD=∠BAD=45°，点E在AB上，连接EF交AD于点G. G D E D D 图1 图2 图3 (I)①线段AD与BC的位置关系是 ②若EF平分∠AEB,∠DEA=4DAE,求∠AGF的度数： (2)如图2，若EFI‖AC,连接DF,过点E作EK∥AB交AC于点K.证明：∠AFE=∠BFD: B)在(2)的条件下，如图3，B0⊥DF于点O,点M,N在边AC上，且AM=CN,连接DM, DN,已知AD=5,DQ=3,Bg=4,EF-00 21,请直接写出DM+DN的最小值. 【答案】I)OAD⊥BC②∠AGF=54° (2) 解：作EG∥AB,交AC于点G, 61/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B :EF IAC,EG∥AB ∴.LFEA=∠GAE,∠FAE=∠GEA, 又，AE=EA, △FEA≌AGAE(ASA)） .'FA=GE,FE=AG. :EG∥AB .∠GEC=∠ABD=∠BAD=45°. 又：AD=EC, △FAD≌AGEC(SAS) .∠FDA=∠C,FD=GC, :∠BFD+∠ABD+∠BDF=∠BFD+45°+90°-∠FDA=∠BFD+45°+90°-∠C=180°， .∠BFD=45°+∠C, .EF AC. ∴∠FEB=∠C, ,∴∠BFE+LABD+∠FEB=180°-∠AFE+45°+∠C=180°， ∴.LAFE=45°+∠C, .∠AFE=∠BFD, 50 0)3 【详解】(1)解：①：∠ABD=∠BAD=45°，∠ABD+∠BAD+∠BDA=180°， .∠BDA=180°-∠ABD-∠BAD=180°-45°-45°=90°， .∠ADE=180°-90°=90°， .AD⊥BC: 故答案为：AD⊥BC. 62/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②·LDEA=4∠DAE. ∴设∠DAE=a,则∠DEA=42DAE=4a, :.∠ADE+∠DEA+∠DAE=180°， 即：90°+a+4a=180°， 解得：a=18°， ∴∠DAE=a=18°，∠DEA=4a=4×18°=72°， ,EF平分∠AEB, ∠DBG=)∠DBA=5x720=36 .LAGF=∠DGE=180°-∠CDE-∠DEC=180°-90°-36°=54°， (2)略 (3)解：作AC⊥AD,AC'=DC,连接MC',作AH⊥DF交DF延长线于点H, A H.s BQ⊥DF,∠BDA=90°， .∠QBD+∠BD0=90°，∠GDA+∠BD0=90°， .∠OBD=∠HDA, 又：∠B0D=∠DIHA=90°，BD=DA, △QBD≌△IHDA(AAS) .D0=AH=3, :So8m+8m及m号DBD=5x5=2.及am}D-a0-fDx4-2m, S.p-FD.AH-1FDx3-3FD 2 2 63/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2DD,解得：D 25 25 .2 7, 由(2)得EF=4AG=100 21, GC=FD=25 :AC=AG+GC=100,25_25 十 2173 :AC'=DC,∠CAD=∠CDA=90°，AD=DA, ÷△ZCAD≌CDA(SAS) .DC'=AC=25 AC'∥DC, .∠CAC=LACD, 又：AC'=DC,AM=CW, △∠C'AM≌aDCN(SAS) .C'M=DN, .DM+C'M≥DC', DM+DN≥25 3， 25 故答案为：3· 38.在等腰△ABC中，AB=AC, 图1 图2 图3 I)如图1，点D在BC边上，连接AD,若∠BAD=2∠CAD,AB=BD,求∠BAC的度数. ②)如图2，点D在BC边上，以AD为边作△ADE,AD=AE,∠BAC=∠DAE,过点A作AF⊥BC与 64/155 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ED延长线相交于点K.连接BE,BE与AF相交于点G.若∠AKD+∠DAK=∠CAF,试说明： 2AG+DF=BF B)在(2)的条件下，点R为边CA延长线上一点，连接BR.点P、O为BR上两点，且BP=R吧，连 接AP、Ag.在线段AR上取一点S,使RS=AB.过点S作MS∥BC交BR于点M,作NS∥BR交 BC于点N,连接S、N,过点C做CTLN于点T:若4B=3,=3,CT,w=0 21· 直接写出AP+A犯的最小值. 【答案】(1)∠BAC=108 2) 证明：：∠AKD+∠DAK=∠CAF,∠AKD+∠DAK=∠ADE, .∠CAF=∠ADE, 设∠CAF=∠ADE=y, AB=AC,AF⊥BC, ∠BAC=2∠CAF=2y, .∠BAC=∠DAE. 、∠DAE=2y. .AD=AE, .∠AED=∠ADE=y, 在△ADE中，∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，即2y+y+y=180°， 解得y=45° .∴，∠BAC=∠DAE=90°， 又，AB=AC, ∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°， AF⊥BC ∴∠BFH=∠AFD=90°，∠ABF=∠ACF=∠BAF=∠CAF=45°， .AF=BF=CF, 如图，在AF取一点H,使得HF=DF,连接BH, 65/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△BFH和△AFD中， HF=DF ∠BFH=∠AFD=90° BF=AF △BFH≌AAFD(SAS) .BH=AD,∠FBH=∠FAD, .BH=AE, ,∠BHG=∠FBH+∠BFH=∠FBH+90°，∠EAG=∠FAD+∠DAE=∠FAD+90°， ∴∠BHG=∠EAG, 在△BHG和△EAG中， ∠BGH=∠EGA ∠BIHG=∠EAG BH=EA △BHG≌aEAG(AAS) .'.HG=AG. .HG+AG+HF=AF. :.2AG+DF=BF: 175 3)21 【详解】(1)解：AB=AC, 66/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B=∠C, 设∠B=∠C=x, :∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-2x, ·∠BAD=2∠CAD. aBD-子B4C-120-号，4CD-写B4C=60-号 3 ∠BDA=∠CAD+∠C=60°+x , AB=BD. .∠BAD=∠BDA, :120°-4 1 =60+3, 解得x=36°， .∠BAC=180°-2×36°=108°： (2)略 (3)解：过点R作LR⊥RC,过点O作LOI AP交LR于点L, R M P ,∠BAC=90°， :AB I AC, ,LR∥AB, .∠LRQ=∠ABP LQ∥AP .∠LQP=∠APQ ∠LQR=∠APB 又：BP=RQ △LQR≌△APB 67/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .LR=AB,LO=AP. RS=AB,AC=AB, .LR=RS=AB=AC=5, 点L是定点， :AP+A0=L0+A0,利用两点之间距离最短， ,:当L、卫、A依次共线时，AP+Ag=LQ+A犯最小为LA,此时如图， 过点B作BW⊥AN延长线于点W, R M S :CT⊥AN,∠BAC=90°， .∠AWB=∠CTA=90°，∠BAW+∠CAT=90°，∠BAN+∠ABW=90°， .∠ABW=∠CAT, 又，AB=AC, △ABW≌△CAT, .BW=AT=3, :Sa=及m+Sw4N-Bw+号4N-T4N(Bw+CT)-4NB+4到-4N, 25 2 2w=25 7 2, 得：AW=25 7 MS∥BC,NS∥BR, ∠RSM=∠ACB=45°，∠MSB=∠NBS,∠MBS=∠NSB. 又BS=SB. .△MSB≌△NBS, 68/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MB=SW=100 1·MS=BN ∠RSM=∠ACB=∠ABC=45°， :△MSR≌△NBA, .RM AN, RB=RM+BM=AW+SW=25+100-175 72121 RL=AB,∠LRS=∠RAB=90°，RA=AR, ∴.△LRA≌△BAR, .L4=RB=175 1· 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三 角形外角的性质，两点之间的距离，熟练根据题意正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键。 39.如图，射线OC平分∠AOB,CD∥OB,CE⊥OB,∠OCB=75° M D E B (1)求证：OD=CD: ②)若线段CE=5,求线段CD的长； 3)已知点M、N分别是OA、OB上的两个动点，且均不与点O重合，连接CM、CN和MN.若 OC=8,求aCMN的周长的最小值. 【答案】) 证明：，OC平分∠AOB, .∠AOC=∠BOC CD∥OB, .∠DCO=∠BOC, .∠DCO=∠AOC. ∴.OD=CD； (2)CD=10 69/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)8 【详解】(1)略 (2)解：如图，过点C作CF⊥OA」 D EB :OC平分∠AOB,CE⊥OB, ∴.CF=CE=5 ∠0CE=75°， .∠B0C=15°，则∠B0A=30°. :CD∥OB, ,∠ADC=∠BOA=30° .CD=2CF=10. (③解：图，分别作C关于01、oB的对称S、,连接C,分别交01、0 于点M N M D EB CM=CMCN=C,N∠COA=∠COA∠C,OB=∠COB CM+CN+MN=CM+C2N+MN=CC2 根据两点之间线段最短得到： ACMN 的周长最小值为 0C0C2 连接、 .OA OB CC CC2 分别垂直平分 、 70/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0C=0C=0C2=8 ∠COC2=∠COA+∠COA+∠C,OB+∠COB=2(∠COA+∠COB)=2∠BOA=60° △0CC2 是等边三角形 CC2=OC=OC2=8 ,△CMN的周长最小值为8 40.己知：等边△ABC中，D为AB延长线上一点，连接CD,点E在CD上，连接AE,∠AEC=60° 图1 图2 图3 (I)如图1，连接BE,求证：BE平分∠AED (2)如图2，点F为线段AC上一点，连接BF交AE于点G,若点G为BF中点，求证：AF=BD: )如图3，点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F',连接AF,CF'.交AD于点K,点 D在AB的延长线上运动，始终满足AF=BD,连接FD,BF交AE于点G,当FD取得最大值时， 此时1D=16V ，求整个运动过程中GF 的最小值. 【答案】1) 证明：如图1所示，在CD上取一点P,使∠EBP=60°， P 是等边三角形， B 图1 :△ABC AB=BC,∠ABC=60°， :∠EBP=∠AEC=∠ABC=6O°， 71/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .·∠ABE=∠CBP,∠BCP=∠BAE, .△ABE≌aCBP(ASA) .BE=BP, ∴△BEP是等边三角形， .∠AEB=∠CPB=∠BEP=60°， .BE平分∠AED: (2) 证明：如图2所际，过点F作FO/BE交AE于Q, D 图2 .FO∥BE ∴∠GFQ=∠GBE,∠FQG=∠BEG :点G为BF中点， ∴.GF=GB .aGFQ≌△GBE(ASA) 9 ∴FQ=BE 由(1)知，BE=BP,∠BEG=60°， ∴∠FQG=∠BEG=60,FQ=BP ∴.∠AOF=∠DPB=120° :∠ACB=∠AEB=60°， :∠CAE=∠CBE, :∠ABE=∠D+∠BED=∠ABC=LCBE,∠BED=∠ABC=6O°， ,∠D=∠CBE=∠CAE, .∴△AFQ2ADBP(AAS) :.AF=BD: 72/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)6 【详解】(1)略 (2)略 (3)如图3，~点F为线段AC上一动点，作F关于AB的对称点F,AF=BD, .当AF=AC最大时，DF有最大值， :△ABC是等边三角形， .AC=AB=BC. BC=AB=BD=AD=83 ∴.∠ACD=90°时，DF'有最大值， 在CD上取一点P,使∠EBP=60°，过点F作FN∥BE交AE于N, C 图3 ∴.∠FNG=∠GEB=60° ∴.∠ANF=∠DPB=120° 由(2)知，∠FAN=∠BDP, AF BD :∴.△AFN≌ADBP(AAS) FN=BP=BE」 .FN BE '.∠FNG=∠BEG,∠NFG=∠EBG ∴△FGN≌aBGE(ASA) ∴.FG=BG 当BF⊥AC时，BF最小，则GF最小， 过点C作CH⊥AB于H, 73/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△ABC是等边三角形， ÷AH=AB,∠ACH=30° 2 CH-AH= -AB 在Rt△ACH中， 2 ∴.BF=CH= AB= ×8V5=12 2 2 即整个运动过程中GF的最小值为6 知识点九 全等三角形相关探究线段数量关系 41.已知，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°，求证：AD=DC D D B B E 图① 图② 图③ (I)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E, 连接DE，请按小明的思路进行证明 2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长BA到E,使BE=BC,连接DE·请按小刚 的思路进行证明， B)如图③，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°，DA=DC,过点D作 DE⊥BC,垂足为点E,探究线段AB、CE、BC之间的数量关系，并说明理由. 【答案】I)证明：如图①，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E,连接DE, DE =CD, .∠DEC=∠C, :∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180° 74/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BED=∠A, :BD平分∠ABC, ,∠ABD=∠EBD, 又，BD=BD, △ABD≌AEBD(AAS) .AD =DE, DE DC .AD=DC (2)小刚的证明思路：如图②，延长BA到E,使BE=BC,连接DE, :BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD. 又：BE=BC,BD=BD, △EBD≌ACBD(SAS) :DE=CD,∠E=∠C, :∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°， ∴.∠DAE=∠C, .∠DAE=∠E, .DE=AD, .AD=DC B)解：BC=AB+2CE:理由如下： 如图：作DM⊥BA于M, M B ,DM⊥BA, ∠DMA=∠DEC=90°， ∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAM=180°， 75/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DAM=∠C. :BD平分∠ABC,DM⊥BA,DE⊥BC, .DM=DE, 在Rt△ADM和Rt△CDE中， AD=DC DM=DE RtAADM≌RtACDE(HL) .AM=CE, 在RtABDM和Rt△BDE中， (DM=DE BD=BD RtABDM≌RtABDE(HL) ∴.BM=BE, .BC=BE+EC=BM+EC=AB+AM+CE=AB+2CE,BC=AB+2CE 42.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，点D在BC边上，连接AD,点E是边AB上一点，且BE=BD,连 接EC交AD于点G.延长AD到M,使得DM=EC,连接BM,BF是△ABC的中线. B D (1)依题意补全图形： (2)若∠AGE=60°，∠AEG=80° ①证明：BM=BC: ②用等式表示BF与AM的数量关系，并证明， 【答案】()补全图形如下： 76/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M (2)①证明：“∠AEG=80°， .∠BEC=180°-∠AEG=100° :∠AGE=60°， .∠EAG=180°-∠AEG-∠AGE=40°， :∠ABC=60° .∠BDM=∠ABC+∠EAG=100°， ∴.∠BEC=∠BDM 在△BEC和△BDM中， BE=BD ∠BEC=∠BDM EC=DM .△BEC≌ABDM(SAS) :BM=BC: ②关系：AM=2BF: 证明：延长BF到H,使得FH=BF,连接CH, H 是 的中线， M :BF△ABC 77/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF=CF 在△ABF和aCHF中， BF HF ∠AFB=∠CFH AF=CF ,.△ABF≌ACHF(SAS) .AB=CH,∠ABF=∠H, .ABI CH ∴.∠BCH=180°-∠ABC=120° ABEC≌ABDM, ∴.∠DBM=∠EBC=60° ∴.∠ABM=∠EBC+∠DBM=120° .∠ABM=∠BCH 在△ABM和△HCB中， AB=CH ∠ABM=∠BCH BM=BC ∴.△ABM≌△HCB(SAS) ∴AM=BH=2BF 【分析】(1)按照题意进行画图即可： (2)①证明△BEC≌△BDM,根据全等三角形的性质即可求解： ②延长BF到H,使得FH=BF,连接CH,证明△ABF≌aCHF,通过平行线的性质以及角度的和差 关系可知∠ABM=∠BCH,进而证明△ABM≌aHCB即可求解。 【详解】(1)略 (2)略 43.【模型探究】 己知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线L,AD⊥I,垂足为点D,BE⊥1，垂足为点 E. 78/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)如图1，当点A、点B在直线I的同侧时，AD、BE、DE之间的数量关系为： (2)如图2，当点A、点B在直线I的异侧时，请写出AD、BE、DE之间的数量关系，并说明理由； 【方法迁移】 B)如图3，己知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,又以BC为斜边构造RtABCD,其中CD=3,求 △ACD的面积。 【答案】I)DE=AD+BE (2)AD=BE+DE. 理由：AD⊥1，BE⊥1， ∠ADC=∠CEB=90°， ∠CAD+∠ACD=90°， 又∠ACB=90°， .∠BCE+∠ACD=90°， .∠CAD=∠BCE. 又AC=CB, ,.△ADC≌aCEB(AAS) ..AD=CE,CD=BE .CE=CD+DE, .AD=BE+DE 9 3)2 【分析】(1)证明 △MDC,CEB(MS),可得4D=CE,CD=BE,即可解答： 79/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)正明△ADCE(S）,可得4D=CE,CD=BE,即可解答： (3)过点A作AG1CD于点G,证明 AGC≌aCDB(AAS ,可得4G=CD=3,即可求解。 【详解】(1)解：AD⊥1，BE⊥1， .∠ADC=∠CEB=90°. ∴.∠CAD+∠ACD=90°， 又：∠ACB=90°， ∴.∠BCE+∠ACD=90° .∠CAD=∠BCE, 又：AC=CB ∴△ADC≌ACEB(AAS) ..AD=CE,CD=BE DE=CD+CE. .DE AD+BE: (2)略 (3)解：过点A作AG⊥CD于点G, B D .∠AGC=∠CDB=90° .∠CAG+∠ACG=90°， 又：∠ACB=90° .∠BCD+∠ACG=90° ∴.∠CAG=∠BCD. 又：AC=CB ,∴.△AGC2ACDB(AAS) ..AG=CD=3. aSm-2xCDx4G-x3x3-号 1 1 2 80/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 44.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等 腰直角△ADE,使∠DAE=90°，AD=AE B 图1 图2 备用图 (I)当点D在线段BC上时，如图1，请判断CE与BC的位置关系，并说明理由： 2)当点D在线段BC的延长线上时，如图2，判断BC,CD,CE三条线段数量关系，并说明理由： B)当点D在线段CB的延长线上时，直接判断CE与BC的位置关系，并直接写出BC,CD,CE三条线段 的数量关系。 【答案】I)解：CE⊥BC, 理由：∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD. ∴.∠BAD=∠CAE」 AB=AC ∠BAD=∠CAE 在 中 △ABD△ACE AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS) ∴.∠ABC=∠ACE :△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°， .∠ABC=∠ACB=45° ∴∠ACE=∠ABC=45°， ,∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， .∠ABC+∠ACE=90°， .CE⊥BC: 81/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：CE=BC+CD 理由：：△ABCAADE是等腰直角三角形， :AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90° .∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE, AB=AC ∠BAD=∠CAE 在 和 中， ABD △ACE AD=AE· △ABD≌AACE(SAS) .BD=CE. .BD=BC+CD. ..CE=BC+CD, 3) BC⊥CE,CD=BC+CE 【分析】(I)根据“SAS”即可证明△ABD≌△ACE,再根据等腰直角的性质即可说明： △ABD≌△ACE(SAS (2)同(1)的方法判断出 ,得出BD=CE,再根据BD=BC+CD,可得出结 论： 3)同(2)的方法可得结论. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：BC⊥CE,CD=BC+CE 理由：如图3， D B 是等腰直角三角形， 图3 △ABC,△ADE .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90° .∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,即∠BAD=∠CAE, 82/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC ∠BAD=∠CAE 在 和 中， △ABD△ACE AD=AE △ABD≌△ACE(SAS) .∠ADB=∠AEC, .BD=CE. .CD=BD+BC. .CD=CE+BC, :∠ADE+∠AED=90°，即∠ADB+∠CDE+∠AED=90°， ∴∠AEC+∠CDE+∠AED=90°， .∠DCE=90°，即BC⊥CE, .BC⊥CE,CD=BC+CE 45.【问题探究】 图1 图2 I)如图1，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AB,BC上，连接CD,AE交于点F,且 ∠BAE=∠ACD,若LAEC=∠BAC,CF=8,求AE的长： 【问题延伸】 2)如图2，校园有一个等腰三角形花圃ABC,AB=AC,D是AB的中点，沿CD修石子小路，园丁 在花圃内部拉绳AE,满足∠BAE=∠ACD,绳子AE交围栏BC于点E、小路CD于点F,BG是一条 小路，BG∥AC,延长AE交BG于点G,将小路CD延伸至点H,使DH=DF,用围栏连接AH, 实测角度满足∠ABF+2∠GBF=180°，请探究AG,CD,DF之间的数量关系. 【答案】1)8 2)AG=CD+DF 【分析】()先由外角的性质和角的和差推出∠ABE=∠C4F,再证明 △ABE≌△CAF(ASA) 则 83/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=CF=8; ②)先证明1DH2,BDF(SAS)得∠DAH=∠DBF,再由BG∥AC得 ∠ABF+∠GBF+∠BAC=180°，结合∠ABF+2∠GBF=180°，可得∠GBF=∠BAC,进而可得 ∠CAH=∠ABG,即可证明 ACH≌△BAG(ASA ,则4G=CH,进而可得结论。 【详解】(1)解：，∠AEC=∠ABE+∠BAE,∠AEC=∠BAC=∠CAF+∠BAE, .∠ABE=∠CAF, 在△ABE和△CAF中， ∠BAE=∠ACF AB=AC ∠ABE=∠CAF' △ABE≌aCAF(ASA) ..AE=CF=8, (2)解：D是AB的中点， .AD=BD, 在△ADH和△BDF中， AD=BD ∠ADH=∠BDF DH=DF △ADH≌ABDF(SAS) ∴，∠DAH=∠DBF, :BG∥AC, ∴∠ABG+LBAC=180°，即∠ABF+∠GBF+∠BAC=180°， 又，∠ABF+2∠GBF=180°， .∠GBF=∠BAC, .∠GBF+∠DBF=∠BAC+∠DAH, .∠CAH=∠ABG 在△ACH和△BAG中， 84/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [∠ACH=∠BAG AC=AB ∠CAH=∠ABG' △ACH≌△BAG(ASA) .AG=CH=CD+DH=CD+DF 知识点十 轴对称相关网格作图 46.在正方形网格中有一个△ABC,该三角形的三个顶点均在格点上. (I)作出△ABC的BC边上的高AD: (②)作出△ABC关于直线m对称的△AB'C 【答案】()解：如图所示即为所作， m B D (②)解：如图所示即为所作， 85/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)根据三角形的高的概念过点A作AD垂直于线段CB,垂足为D即可： (2)根据轴对称的性质作图即可， 【详解】(1)略： (2)略. 47.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶 点A,B,C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题. B (1)作△ABC关于直线m的轴对称图形△4BC: BB CC BBCC (2)连接 求四边形 的面积： )在直线m上作一点P,使得PA=PC」 【答案】()解：如图即为所作， B (2)18 (3)解：如图即为所作， 86/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m A B C 【分析】(1)先根据轴对称的定义画出点 9 再顺次连接即可： (2)结合网格，利用梯形的面积公式计算即可： (3)作线段AC的垂直平分线，交直线m于点P即可. 【详解】(1)略. BB CC (2)解：如图，连接， B m A B 则四边形BBCC的面积为 2+10)×3=18 2 (3)略 48.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点). B 87/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)画出△ABC关于直线BC对称的△DBC； (2)将△ABC向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到△A'BC',画出△A'B'C': 3)借助网格，在A'C上选一点D,使得B'D平分△4'B'C'的面积（保留确定关键点的画法），画出 线段B'D'. D 【答案】(I) B (2) B 3) 4 D 【分析】(1)根据题意作轴对称图形即可： (2)根据平移的性质作图即可： (3)作出A'C的中点，即为D'. 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 88/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 49.如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1.△ABC的三个顶点均在格点上. IM B C (I)画出△ABC关于直线MN对称的△ABG: (2)在直线MN上找一点P,使PA+PC的值最小. 3)找到格点D,连接BD,满足BD与AC平行且相等. 【答案】I)如图，△4BC即为所求： IM (2)如图，点P即为所求： M 89/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D2 )如图，点、即为所求： 【分析】(1)根据轴对称的性质作出点A、B、C的对应点、 BG, 然后顺次连接即可； 2迷接4C交M 于点P,则点P即为所求： (3)根据格点特点找出符合条件的点D即可。 【详解】(1)略 (2)解：连接PA,如图所示： D M ! B f- PA=PA 根据轴对称可得： PA+PC=PA +PC :两点之间线段最短， PA+PC ∴此时 最小，即PA+PC最小 (3)略 90/155 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 50.如图，在正方形网格图中，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的四个顶点均在格点上 (I)画出与四边形ABCD关于直线I对称的四边形A'B'CD': (2)在直线！上作点P,使得点P到点B,C的距离之和最小.（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】A)四边形AB'CD如图所示： (②)点P如图所示 【分析】(1)利用轴对称的性质作出四边形AB'CD: (2)连接BC”交直线I于点P,此时点P到点B,C的距离之和最小. 【详解】(1)略 (2)略 知识点十一 最短路径问题 51.探究最短路径与等边三角形几何问题，并完成以下问题 B 图① 图② 图③ 问题探究 (I)如图①，在直线I的同侧有A,B两点，在直线1上画出一点P,使得PA+PB的值最小： 91/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)如图②，已知在等边△ABC中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且满足DE=EF, ∠DEF=60°，求证：BE=CF: 问题解决 3)某高校里有一块等边三角形的景观湖△ABC,如图③所示，学校要在湖边打造休闲步道，点D、E 分别在边AB、BC上，满足AD=2BE;以DE为边作等边△DEF,点F在△ABC内部；计划在AF和 FG处安装装饰灯带，其中G是AC中点，己知点B到AC的距离为15米，灯带每米造价180元，为了 节约成本，要求安装灯带的费用最少，请你求出安装灯带的最少费用是多少元？ 【答案】(I)如图，点P为所求： 图① (2)证明：：△ABC是等边三角形， .∠DBE=∠ECF=60° ∴.∠BED+∠BDE=120°， ∠DEF=60°， ∴.∠BED+∠CEF=120° .∠BDE=∠CEF 在△BDE和△CEF中， ∠DBE=∠ECF ∠BDE=∠CEF DE=EF ∴.△BDE≌ACEF(AAS) :.BE=CF: 3)2700元. 【分析】(1)过点A作关于直线I的对称点A'(过点A作关于直线的垂线，以垂足为圆心，垂足到 点A的距离长为半径在直线I的另一侧画弧，交垂线于点A'),连接AB交直线I于点P,即可使得 PA+PB的值最小： 92/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)由LBED+∠BDE=120°和∠BED+∠CEF=120°可得∠BDE=∠CEF,从而 △BDE≌ACEF(AAS),故BE=CF (3)延长CF交AB于点H,连接BF,过点F作FM∥AC交BC于点M,连接BG,故 ∠EMF=∠BCA=60°，∠MFC=∠FCG,由∠BED+∠BDE=120°和∠BED+∠MEF=120°得 ∠BDE=∠MEF,放△DBE≌aBMF(MS）,放BE=MP,DB=EM,由AB=BC和AD=2BE得 BE=MC,从而MF=MC,故∠MCF=30°，从而∠BHC=90°，因此CH1AB,故点A作关于CH 的对称点为B,由(1)得AF+FG的最小值为BG,由点G是AC的中点得BG⊥AC,BG=15米， 计算可得安装灯带的最少费用。 【详解】(1)略： (2)略： (3)解：如图③，延长CF交AB于点H,连接BF,过点F作FM∥AC交BC于点M,连接BG, EM 图② .∠EMF=∠BCA=60°∠MFC=∠FCG :△ABC是等边三角形， ∴.∠DBE=∠EMF=6O°，AB=BC, ∠BED+∠BDE=120°， :△DEF是等边三角形， ∴∠DEF=6O°，DE=EF, ∴.∠BED+∠MEF=120°， ∴.∠BDE=∠MEF, 在△DBE和△EMF中， ∠DBE=∠EMF ∠BDE=∠MEF DE=EF 93/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△DBE≌AEMF(AAS) .BE=MF,DB=EM, 又AB=BC,AD=2BE ∴.AD+DB=BE+EM+MC,即2BE+EM=BE+EM+MC, :BE=MC, .MF MC. .∠MFC=∠MCF, ÷∠MCF=∠FCG=∠BCA=30° .∠BHC=180°-60°-30°=90° .CH⊥AB, :AH BH, ·点A作关于CH的对称点为B, 点F在CH上， 在△FHA和△FHB中， (AH =BH ∠FHA=∠FHB=90° FH=FH ∴.△FHA≌△FHB(SAS) :AF=BF, AF+FG=BF+FG之BG,当且仅当点B、FG三点共线时，取等号. 点G是AC的中点， BG⊥AC, ∴.BG为AC边上的高，长度为15米， ∴.安装灯带最短为15米， 15×180=2700元， 答：安装灯带的最少费用是2700元。 52.【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含 着一个有趣的数学问题一一将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流1边上一点C饮马， 94/155 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ 方案① B 方案② B 方案③ B 方案④ 图1 m 图2 图3 ()【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案.正确的方 案是 (填序号)，此方案中用到的求最短路程的数学知识是 (②)【解决问题】如图2，在△ABC中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点.若 AB=5,AC=6,BC=8,求△ABP周长的最小值. )【类比探究】如图3，点P是∠AOB内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流OA边上一点C 饮马，再到草地OB边上一点D吃草，最后回到军营P.请在图3上画图：使将军走过的路程 PC+CD+DP最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由. 【答案】()④，两点之间，线段最短： (2)11 3) 解：如图，PC+CD+DP最短， P OA,OB 理由：过点P分别作 的对称点，， 95/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PP OA,OB 连接 交点即为点C,D PC=PC DP=DP ..PC+CD+DP=PC+CD+PD=PP :.PC+CD+DP最短. 【分析】(1)根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解： (2)过点A作直线m的对称点A',连接A'B与直线m的交点即为△ABP周长的最小值的点P,由对 称轴的性质可得，BP=CP,AP=AP,则B=AC,则△ABP的周长最小值转化为AB+AC的值： (3)①过点P分别作 OA,OB B,P PP OA,OB C.D 的对称点，连接与 交点即为点，则此时 PC+CD+DP最短. 【详解】(1)解：正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得CA=CA, 所以当点B,C,A'三点共线时，CA+CB=CA+CB=AB 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短： (2)解：过点A作直线m的对称点A',连接AB与直线m的交点即为△ABP周长的最小值的点P, m B 由对称轴的性质可得：BP=CP,AP=AP, .BP+A'P=CP+AP,.A'B=AC. ∴△ABP的周长最小值为：AB+BP+AP AB+CP+AP =AB+AC=5+6=11: (3)略 53.解决问题 96/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ●A A a a 6 b C B B B 图1 图2 图3 (I)如图1，AB两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN,桥造在何处可使从A到B的路径 AMB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直.）将这个实际问题抽象出来，即：如 图2，直线a‖b,点A、B分别位于直线a、b的两侧，请你在直线a上找到点M,使得MN垂直于直 线b,垂足为N,且AM+MN+NB的长度最小，在图2中画出点M、V,并简要说明点M、N的 位置是如何找到的（不要求证明）· (2)如图3，在(1)的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处 才能使得从A地到达B地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置. 【答案】) 点M、N即为所求。 a M b D B (2) 点M、N、P、Q即为所求 B 【分析)】(1)在直线a上任取一点C,过点C作CD⊥b于点D,画AA∥CD,且AA=CD,连接 A'B交直线b于点N,作NM⊥a于点M,点M、N即为所求： (2)在直线a上任取一点C,过点C作CD⊥b于点D,作AM∥CD,且AM'=CD,在直线C上任取 一点E,过点E作EF⊥d于点F,作BB'∥EF,且BB=EF,连接A'B交直线b于点N,交直线C 97/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点P,作NM⊥a于点M,作P吧⊥d于点2，点M、N、P、2即为所求. 【详解】(1)解：在直线a上任取一点C,过点C作CD⊥b于点D,画AA∥CD,且AA=CD 连接A'B交直线b于点N,作NM⊥a于点M, (2)解：在直线a上任取一点C,过点C作CD⊥b于点D,作AM∥CD,且AM=CD,在直线c上 任取一点E,过点E作EF⊥d于点F,作BB'∥EF,且BB=EF,连接A'B交直线b于点N,交直 线c于点P,作NM⊥a于点M,作PO⊥d于点， 54.如图，一条东西流向的小河在GG'处直角转弯，改变为南北流向，河宽不变.A,B两地分别在河的 北岸和西岸，现分别要在东西、南北流向的河上建CD,EF两座桥，桥造在何处可使从A到B的路径 ACDEFB最短？（假设河两岸是平行线，桥与河垂直） 北 G b B 【答案】如图，在点D,E处造桥DC,EF,所得路径ACDEFB最短： G G D BB' 【分析】由于河的宽度是固定的，因此当AC+DE+BF最小时，AC+CD+DE+EF+BF最小，沿垂 直河岸的方向平移点A到A，,使得AA=河宽，再利用两点之间线段最短，可确定桥的位置. 98/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a,b c,d AC 【详解】解：如图，把河的两岸看成平行线和，将沿河岸垂直的方向平移等于河宽的距离， 即点C移动到点D,点A移动到点A',则AA'=CD,AC+DE=A'D+DE: 同理，将点B沿垂直河岸方向平移河宽距离到点B',使得BB=EF,则BF=BE; 所以AC+DE+BF=AD+DE+B'E, 在连接A,B两点的线中，线段AB最短， 因此AB与直线b,d的交点D,E的位置即为所求，即在点D,E处造桥DC,EF,所得路径ACDEFB最 短 55.如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边1处饮马，然后回到B地.牧民到河边的什么地方饮马 可使所走的路程最短？ B B 图① 图② 图③ 图④ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线I的对称点B,连接AB 与直线I交于点P,点P就是饮马的位置. 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线I的对称点B',连接AB与直线I交于点P',在直线I上任取一点P (与点P'不重合)，连接BP 点B与点B关于直线I对称 ..PB= P'B= .AP+PB=AP+PB'≥ 当A,P,B'三点共线，即点P与点P重合时，AP+BP的值最小，最小值为AB的长，即点P就是 饮马的位置. (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，现要在河岸CD上建一水厂P, 并从水厂向两村铺设管道以输送自来水.请你在河岸CD上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最 短.（保留作图痕迹，不写作法） 99/155 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】I)PB,PB,AB (2) 如图，点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股 定理，掌握知识点是解题的关键 (1)根据题意补全即可； (2)根据轴对称的最短路径问题，作图即可. 【详解】(1)解：如图③，作点B关于直线I的对称点B',连接AB与直线I交于点P',连接B'P, BP', .PB=PB'.P'B=P'B'. .AP+PB=AP+PB≥AB', 当A,P,B三点共线，即点P与点P重合时，AP+BP的值最小，最小值为AB的长，即点P就 是饮马的位置， 故答案为：PB,PB,AB: (2)解：作点A关于CD的对称点A',连接BA'交CD于点P,则点P即为所求的水厂位置，使铺设 管道的长度最短， 知识点十二 等腰三角形相关基础证明 56.解决问题 G 图1 图2 I)【问题初探】如图I,在△ABC中，高BD,CE交于点F，,且BD=CD,试说明FC与AB有怎样的 数量关系； 100/155