精品解析：福建莆田市荔城区黄石镇沙堤初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

沙堤中学2026-2027九上数学第一次月考试卷 考试时间：120分钟满分150分 学校：___________班级：___________姓名：___________学号：___________ 一、选择题（每小题34分，共40分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化为一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ） A. 1，，2 B. 1，， C. 1，2， D. 1，2，8 3. 用配方法解方程，配方后所得的方程是( ) A. B. C. D. 4. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 6. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知二次函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A. B. C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的根是___________． 12. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是___________． 13. 抛物线的顶点坐标是 ___________． 14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 15. 已知抛物线与轴交于点，，则拋物线的对称轴是________． 16. 已知点都在抛物线上，则的大小关系是___________（用“”连接）． 三、计算与求解 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知是方程的一个根，求的值． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）若方程有两个相等的实数根，求的值及此时方程的根； （2）若是方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 20. 某超市2026年1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为242万元．该超市1月份到3月份营业额的月平均增长率相同，求这个月平均增长率． 21. 如图，某小区有一块长、宽的矩形空地，现计划在空地上修建两条宽度相同且互相垂直的小路（一条与空地的长边平行，一条与空地的宽边平行），剩余部分种植草坪．若草坪的面积为，求小路的宽度． 22. 某商店销售一种成本为每件 元的商品，物价部门规定每件售价不高于 元．经市场调查发现：当每件售价定为 元时，每天可售出 件；当每件售价提高1元时，每天的销售量就减少 件． （1）求每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若，求、的值； （2）已知，，是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值． 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 25. 如图，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点．点是第一象限内该抛物线上的一个动点（不与点重合），过点作轴，交线段于点． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）设点的横坐标为，用含的代数式表示线段的长； （3）当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙堤中学2026-2027九上数学第一次月考试卷 考试时间：120分钟满分150分 学校：___________班级：___________姓名：___________学号：___________ 一、选择题（每小题34分，共40分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项是一元一次方程，不是一元二次方程； B选项含有两个未知数，不是一元二次方程； C选项可化为 ，是一元二次方程； D选项分母含有未知数，不是一元二次方程． 2. 将方程化为一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ） A. 1，，2 B. 1，， C. 1，2， D. 1，2，8 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴该方程的二次项系数、一次项系数、常数项依次是1，，． 3. 用配方法解方程，配方后所得的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：移项得 ，两边同时加上 9， 得 ， 即 ，故选 C． 4. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 或 所以． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得 ， 即 ， 解得 6. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：一元二次方程要求二次项系数不为 0，即， 解得 ． 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由， 根据y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）， 可知顶点坐标为（-1，3）． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 8. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解后判断即可．熟练掌握平移规则，是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为； 故选B． 9. 如图，已知二次函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴在轴左侧，即 ， ∴． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A. B. C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图象开口向下得；顶点横坐标为2，即，得，则， B正确； 由图象与轴交于点得，所以，A错误； 抛物线开口向下，对称轴右侧随的增大而减小，C正确； 时图象在轴下方，，D正确． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的根是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴，即或， 解得 ，． 12. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入方程，得出一个关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 故答案为：2 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于的方程． 13. 抛物线的顶点坐标是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的顶点坐标是是解题的关键． 14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个实数根的条件，得到根的判别式大于等于0，列出不等式求解的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 根的判别式， 解得． 15. 已知抛物线与轴交于点，，则拋物线的对称轴是________． 【答案】直线 【解析】 【分析】已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则拋物线的对称轴是直线x=，根据以上知识点求出即可． 【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），B（4，0）， ∴拋物线的对称轴是直线x==1． 故答案为直线x=1． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点的应用，能理解知识点（已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则拋物线的对称轴是直线x=是解此题的关键． 16. 已知点都在抛物线上，则的大小关系是___________（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的二次函数性质，点到对称轴距离越大，函数值越小，据此比较大小． 【详解】解：对于二次函数，可得，， 对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 计算三个点横坐标到对称轴的距离： ，，， ∵， ∴． 三、计算与求解 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】（1）使用因式分解法，将方程左边进行因式分解求解即可． （2）使用求根公式法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 所以或， 解得，； 【小问2详解】 解：在方程中，，，， ． 得：， 所以，． 18. 已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，则可变形为，通分得到原式，然后把代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）若方程有两个相等的实数根，求的值及此时方程的根； （2）若是方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：因为方程有两个相等的实数根，所以， 即，解得； 此时方程为，即， 解得； 【小问2详解】 解：把代入方程，得，解得， 此时方程为，因式分解，得， 解得，所以方程的另一个根是． 20. 某超市2026年1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为242万元．该超市1月份到3月份营业额的月平均增长率相同，求这个月平均增长率． 【答案】 【解析】 【详解】解：设这个月平均增长率为． 根据题意，得 解这个方程，得，开平方，得， 所以 因为增长率不能为负数，所以不符合题意，舍去． 答：这个月平均增长率为． 21. 如图，某小区有一块长、宽的矩形空地，现计划在空地上修建两条宽度相同且互相垂直的小路（一条与空地的长边平行，一条与空地的宽边平行），剩余部分种植草坪．若草坪的面积为，求小路的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】设小路的宽度为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得 化简得 解得，． 因为，小路的宽度不能超过空地的宽，所以不符合题意，舍去． 所以． 答：小路的宽度为． 22. 某商店销售一种成本为每件 元的商品，物价部门规定每件售价不高于 元．经市场调查发现：当每件售价定为 元时，每天可售出 件；当每件售价提高1元时，每天的销售量就减少 件． （1）求每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价 元时最大利润 元 【解析】 【小问1详解】 解：根据题意得： ∴， ∴每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据（1）得： ∴此抛物线开口向下，对称轴为，有最大值， ∵在范围， ∴当时，， ∴当每件售价定为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是800元． 23. 阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若，求、的值； （2）已知，，是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式得出，根据平方的非负数性质得出，，即可求出、的值； （2）根据，利用完全平方公式得出，根据平方的非负数性质求出，，根据等腰三角形的定义结合三角形的三边关系即可得出答案． 【小问1详解】 解： ∴ ， ，， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∵，， ∴，， 解得，， 是等腰三角形， 或， 经检验，或都符合三角形的三边关系． 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 【答案】（1）是“伴根方程” （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义判断； （2）①首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义求解； ②首先由得到，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，， ∵， ∴方程是“伴根方程”； 【小问2详解】 解：①∵， ∴或， ∴，， ∵方程（m是常数）是“伴根方程”， ∴， ∴或； ②∵， ∴， ∴关于t的方程为， ∴， ∴． 25. 如图，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点．点是第一象限内该抛物线上的一个动点（不与点重合），过点作轴，交线段于点． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）设点的横坐标为，用含的代数式表示线段的长； （3）当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 【答案】（1）， （2） ，其中 （3），8 【解析】 【分析】（1）求出时的函数值和时自变量的值即可得到点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出对应的直线的解析式即可； （2）表示出点P和点Q的坐标，进而可得答案； （3）根据表示出，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， 当时，，解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，点P的坐标为， ∵轴，交线段于点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8， 此时， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $