精品解析：安徽县中联盟2026-2027学年高三上学期9月联考数学试题

高三数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题：“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个扇形半径为4，圆心角为80°，现将该扇形的圆心角扩大为120°，半径不变，则扇形的面积扩大了（ ） A. B. 4π C. D. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，函数在上为减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，，若恒成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为1 D. 若，则的最小值为1 10. 我国高铁技术在世界上领先.如图，一高铁通过某湖泊两岸的C、D两点.在一笔直的公路上选取点A，测得点C在点A的北偏东15°方向上，点D在点A的北偏东60°方向上，沿该公路向正东方向行驶到达点B，此时测得点C在点B的北偏西45°方向上，点D在点B的北偏西30°方向上，其中A、B、C、D在同一平面内，则（ ） A. 为直角三角形 B. C. D. 的面积为 11. 已知定义在上的函数满足，且当时，，下列结论正确的是（ ） A. B. 是减函数 C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知t为实数，若“”是“”的必要不充分条件，则实数t的取值范围为______. 13. 已知是函数的极小值点，则_________，曲线的对称中心为_________． 14. 函数的最大值为，，则在上的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知关于的不等式的解集为． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，求周长的最大值. 17. 如图，已知函数的图象经过点，． （1）求的解析式； （2）若，且，证明：； （3）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象.若，使得，求实数t的最小值. 18. 已知函数，． （1）若的最大值为，求的值； （2）若存在使得，求的取值范围； （3）若，恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，对任意正实数，定义集合． （1）若时，，且，求的值； （2）若，且为非空集合，求的取值范围； （3）若为偶函数，当时，，且，都有． （i）求，的解析式； （ii）证明：对任意实数，函数在区间上最多有9个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题：“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题：“，”的否定为“，”. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的最小正周期为． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，， 所以 4. 已知一个扇形半径为4，圆心角为80°，现将该扇形的圆心角扩大为120°，半径不变，则扇形的面积扩大了（ ） A. B. 4π C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出扩大部分扇形的圆心角，利用扇形面积公式求解. 【详解】因为扇形扩大部分也是扇形，此扇形的圆心角为，又， 所以扇形的面积扩大了． 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入求解，进而得函数表达式，即可求导，根据点斜式求解切线方程. 【详解】，解得，则，，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即。 6. 已知，函数在上为减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用换底公式将不同底对数化为同底，再根据复合函数“同增异减”，转化为系数小于0即可求解． 【详解】， 因为，故在上单调递增， 要使在上单调递减，则， 即，即， 结合得，故只需， 因此可得的取值范围为． 7. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和差化积，即可结合诱导公式化简求解. 【详解】原式 ． 8. 已知函数，，，若恒成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的单调性及知，再构造函数应用导函数得出单调性进而取得最大值. 【详解】函数和函数都是增函数， 由于可知，两个函数和的零点相同，则， 于是， 令函数， 当时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 最大值为，即的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为1 D. 若，则的最小值为1 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项利用幂函数的单调性即可判断；B选项利用不等式性质等价变形即可判断；C选项利用基本不等式可求得最小值为3；D选项，利用等式关系消元，然后求解一元函数最值即可. 【详解】A选项，因为，，，所以，所以，A错误. B选项，要证，即证，即证, 因为且，所以上式成立，B正确. C选项，，当且仅当，即时取等号.所以最小值为3. D选项，因为且,所以， 代入可得，且，即，. 所以，同时， 所以当时，即时，有最小值1. 10. 我国高铁技术在世界上领先.如图，一高铁通过某湖泊两岸的C、D两点.在一笔直的公路上选取点A，测得点C在点A的北偏东15°方向上，点D在点A的北偏东60°方向上，沿该公路向正东方向行驶到达点B，此时测得点C在点B的北偏西45°方向上，点D在点B的北偏西30°方向上，其中A、B、C、D在同一平面内，则（ ） A. 为直角三角形 B. C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A 选项：通过方位角求出△ABD的两个内角，由内角和得直角，判定直角三角形；B 选项：在△ABC中利用正弦定理，代入已知边与内角直接计算AC；C 选项：在△ACD中用余弦定理计算CD，实际结果为 25km，选项数值错误；D 选项：先求BC、BD边长与夹角∠CBD，再用两边夹一角的面积公式计算. 【详解】由题意可知，，， ，， 所以，A正确； 在中，， 由正弦定理得，所以（km），B正确； 由，得， 在中， ，， 则（km），C错误； 在中，由正弦定理得，则， 又，， 所以，D正确． 11. 已知定义在上的函数满足，且当时，，下列结论正确的是（ ） A. B. 是减函数 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接令即可解得；对于B，令，可得为奇函数，利用的单调性即可判断的单调性；对于C，结合且即可判断；对于D，将转化为，分情况讨论即可． 【详解】对于A，令，得，解得，A正确； 对于B，令，则， 取，得，结合，故为奇函数， 由于当时，，故， 由于为奇函数，所以当时，，故， 因此不是减函数，B错误； 对于C，由于， 且，， 故，C正确； 对于D，由得， 两边同乘并整理得， 若，则，且， 故，不满足； 若，则，且， 故，不满足； 若，则， 故，满足； 若或，则，不满足， 因此不等式成立当且仅当，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知t为实数，若“”是“”的必要不充分条件，则实数t的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【详解】根据必要不充分条件的概念可知，是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得或，所以实数t的取值范围为． 13. 已知是函数的极小值点，则_________，曲线的对称中心为_________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】先求导，再求出使导数等于零的的值，结合极小值点，通过单调性分类讨论求出参数；利用中心对称定义求解三次函数的对称中心. 【详解】函数求导得， 令，解得和. 因为是极小值点，分情况讨论： 若，则和. 分析导数符号：当​时，，单调递减； 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以是极大值点，不符合题意. 若即，则和， 当​时，，单调递减； 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以是极小值点，满足条件，故. 将代入得：. 设对称中心为，则. 代入函数：，， 两式相加： 整理，把含项合并： . 根据中心对称定义，等式右边必须是常数，不能含有，所以的系数必须等于： . 把代入常数项，得到，即 所以对称中心为. 14. 函数的最大值为，，则在上的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】通过换元将转化为区间上的变量t，把原函数化为闭区间上的绝对值函数，利用 “绝对值函数在闭区间的最大值必在端点” 的性质得到的分段形式，再分段求值域并合并，得到最终取值范围. 【详解】令，则，所以，则．， 所以（表示，中的较大者）. 令，解得． 又，当时，； 当时，， 综上所述，在上的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知关于的不等式的解集为． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式解集的特征列出关于的方程组即可. （2）将分为，，三类，再利用即可得的取值范围． 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以为方程的根，且， 则，解得． 【小问2详解】 由，即， 当时，原不等式为，解得，则，满足； 当时，原不等式化为，解得或， 所以，满足； 当时，原不等式化为，解得，所以， 由，得，解得． 综上所述，实数m的取值范围为． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系、二倍角公式、正弦定理和余弦定理化简求解即可； （2）利用正弦定理对已知式子转化可得，再利用余弦定理及基本不等式即可求的最大值，即可得周长的最大值. 【小问1详解】 由条件可知，， 整理得. 由正弦定理得． 由余弦定理得． 【小问2详解】 因为，所以. 由正弦定理得，所以，. 所以， 又，所以， 由，得， 所以，当且仅当时取得等号. 故的周长的最大值为． 17. 如图，已知函数的图象经过点，． （1）求的解析式； （2）若，且，证明：； （3）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象.若，使得，求实数t的最小值. 【答案】（1）； （2）证明：由，得， 所以， 又，则，所以， 故，即，所以． （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象所过的点得到方程，求出，，求出解析式； （2）化简得到，利用正弦差角公式得到方程，求出，相除可得结论； （3）根据伸缩和平移变换得到的解析式，从而解不等式，得到的解集，则的区间长度不小于解集的区间长度，从而求出t的取值范围，得到答案 【小问1详解】 由题意可知，，则，又，得， 由图象可知，点A在的增区间上，所以， 又是函数的图象的一条对称轴， 根据五点作图法可知，，解得， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到， 再将所得到的曲线向左平移个单位长度，得到． 由得，，， 解得，， 要使，，使得， 则的区间长度不小于解集的区间长度， 所以，解得， 故实数t的最小值为． 18. 已知函数，． （1）若的最大值为，求的值； （2）若存在使得，求的取值范围； （3）若，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导后按和分类讨论单调性，由最大值在处取得建立方程求出； （2）将不等式分离参数得，构造函数并求导找最大值，转化为小于该函数的最大值即可； （3）将不等式变形后利用函数的单调性去掉函数符号，转化为恒成立，再求的最大值即可确定的范围． 【小问1详解】 的定义域为，． 当时，，故在上单调递增，无最大值，不合题意； 当时，由，解得，由，解得，故在上单调递增，在上单调递减． 故的最大值为，则，得． 【小问2详解】 由可知，即存在满足， 令，则， 令，解得，即在上单调递增； 令，解得，即在上单调递减； 所以，因此即可满足题意，即的取值范围为． 【小问3详解】 由，可得，即， 令，易知单调递增， 由，可得，则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，得，因此的取值范围为． 19. 已知函数的定义域为，对任意正实数，定义集合． （1）若时，，且，求的值； （2）若，且为非空集合，求的取值范围； （3）若为偶函数，当时，，且，都有． （i）求，的解析式； （ii）证明：对任意实数，函数在区间上最多有9个零点． 【答案】（1）； （2）； （3）（i），． （ii）证明：根据为偶函数，作出在上的图象， 其中，，但，，未知． 若，则，易知时，， 所以，则，则， 而时，，所以，与矛盾， 所以，则． 当或时，结合图象可知，若时，函数在区间上最多有5个零点； 当时，结合图象可知，若时，函数在区间上最多有7个零点； 当时，结合图象可知，若时，函数在区间上最多有9个零点． 综上可知，对任意实数，函数在区间上最多有9个零点． 【解析】 【分析】（1）由定义建立等式，再代入计算即可； （2）由非空得存在使，结合分段函数的单调性确定与分别落在不同区间，从而建立方程并求出的范围； （3）（i）利用偶函数性质将的解析式转化为上的已知解析式，再结合的条件逐步推导；（ii）根据偶函数性质画出上的图象，结合推出、，再分的不同取值讨论零点的最大个数． 【小问1详解】 由定义可知，，所以． 【小问2详解】 因为为非空集合，所以存在，使得， 根据单调性可知，当时，单调递增，当时，单调递增， 若 与同号，则不可能相等（因为两段各自严格递增），所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 故的取值范围为． 【小问3详解】 （i）对，则，因为为偶函数，所以， 又，所以， 则． 又，所以，． 对于，则，， 所以，， 则， 又，， 所以，即， 当时，则，所以． 故，． （ii）略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $