精品解析：安徽省马鞍山市马鞍山市第二中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

马鞍山二中2026～2027学年第一学期十月教学质量监测 高三数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填涂在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将给定数据排序后得到：. 这组数据共有5个（奇数个），中位数是排序后位于正中间的第3个数据，也就是7. 2. 已知向量 ，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A. 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因，， 因空集不是元素，故A错误； 又因,则，，故B,C错误；D正确. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， . 5. 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，据此可得离心率. 【详解】因双曲线一条渐近线的倾斜角为，则， 从而. 6. 已知函数有唯一零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过配方换元确定函数的对称轴；结合函数“仅有一个零点”的条件，利用对称性推出零点只能在对称轴上，代入求出参数，再借助基本不等式验证零点唯一性. 【详解】， 设，则，所以，. 因为，所以为偶函数，即为偶函数， 因此的图象关于直线对称. 由函数图象的对称性可知：若在处存在零点，则也一定是函数的零点， 此时函数至少有2个零点，与“有唯一零点”矛盾. 因此，函数唯一零点只能在对称轴处，即. 将代入函数：，解得． 验证：当​ 时，，由基本不等式，当且仅当时等号成立， ，仅时等号成立，此时仅有唯一零点，符合题意. 综上，​ . 7. 已知数列由若干个和组成，，且在第个和第个之间有个，即，，，，，，，，，，，，…，则数列的前2026项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】探究数列的规律，确定项数，用到了等比数列求和公式. 【详解】第个为数列的第项． 当时，； 当时，． 所以的前项有个和个，因此． 8. 已知，且，记随机变量为中的最大值，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程的解用三维坐标表示，由列举法，可得解的情况，的可能值及对应期望. 【详解】将方程的解用三维坐标表示，则方程的解为： ，共计组.则的可能取值为：. . 则. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分． 9. 设复数，则（ ） A. B. 是纯虚数 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先化简复数，再依次对各个选项进行计算与判断，解题的关键是熟练掌握复数四则运算法则，依据实部、虚部的特点区分实数、纯虚数. 【详解】因为， 所以，故A正确； ，为纯虚数，故B正确； ，故C错误； ，不是实数，故D错误． 10. 正四面体的顶点处有一只蚯蚓，每次爬行，仍在原地的概率为，爬向另外三点的概率均为，记第次爬行后停在的概率分别是，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全概率公式求解判断A；再根据对称性及全概率公式求解判断BCD. 【详解】由题意，每次爬行，仍在原地的概率为， 爬向另外三点的概率均为， 则， 第次爬行后停在的概率 ，故选项A正确； 根据对称性可知，又， 所以，故选项C正确； 根据对称性可知，所以，故选项B错误； 第次爬行后停在的概率 ，故选项D正确. 11. 如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为．这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，球的半径分别为，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则（ ） A. 椭圆的中心不在直线上 B. 直线与椭圆所在平面所成的角的正弦值为 C. 椭圆的离心率为 D. 从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先在过圆锥轴的截面内利用球与圆锥母线相切，求出两个球心到圆锥顶点的距离以及轴线与平面的夹角；再利用同一点向球所引切线段相等，求椭圆的长轴、焦距和离心率，并判断椭圆中心的位置；最后把化为同一母线上的切线段，利用路线长度与三角不等式求最小值. 【详解】设圆锥顶点为，直线与平面所成的角为. 圆锥母线与轴的夹角为. 在过轴的截面内，球与母线相切，所以. 由，得从而. 平面位于两个球心之间，且到平面的距离分别为，所以 即 故B错误. 设椭圆的中心为，为的中点. 由于分别是在平面上的垂足，所以是在平面上的垂足. 又因两个球心到平面的距离分别为且位于平面两侧，故不在平面上. 若在直线上，则既在轴线上又垂直于平面，从而轴线应垂直于平面，这与矛盾. 因此椭圆的中心不在直线上，A正确. 任取椭圆上一点，过的圆锥母线分别与两个球相切于，其中在切点圆上. 由同一点向同一球所引切线段相等， 并且在同一条母线上，所以 又故 因此椭圆的长轴长. 另一方面，是线段在平面上的正投影，所以即. 于是故C正确. 对于D，仍取上述点，则. 设从沿圆锥表面到固定点的任一路线长度为，把母线段与这条路线连接起来，可得到圆锥表面上从到的一条路线，因此 又由三角不等式 当取为母线与椭圆的交点，并沿该母线由到时，共线且位于之间，上述两次不等式均取等号. 因此所求最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为________． 【答案】40 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项赋值计算即得. 【详解】二项式的展开式的通项为， 取，可得的系数为. 13. 若函数是偶函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数满足建立恒等式，求出参数，化简函数表达式后代入自变量求值. 【详解】因是偶函数，则， 即，也即， 整理得，因为，所以， 又，所以，所以， 则． 14. 数列的首项为正整数，对于任意正整数，有，则能使得的所有之和为______． 【答案】72 【解析】 【分析】结合树状图，根据递推关系求得所有可能取值，即可求和. 【详解】可知各项均为正整数，，故或，均符合条件，列举如下, 可得或， 综上，所有之和为． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出证明过程或演算步骤． 15. 在中，已知角的对边分别为，且，． （1）求的值； （2）若的平分线（点在上）的长为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1），由正弦定理得； 由余弦定理，， 解得，故； （2），即， 得， 化简得， 又，代入得 故的周长为 16. 如图，在四面体中，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积的最大值． 【答案】（1）作交于，作交于， 平面，平面，，， ，，； 又，，， 则四边形为平行四边形，， 且平面，平面，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）作交于，作交于，由题意可证四边形为平行四边形，进而可证结论； （2）由题意可得，设到平面的距离为，到平面的距离为，可得，利用三棱锥的体积公式可得，可求最大值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意可得， 设到平面的距离为，到平面的距离为，，， ， 又， ， 当且仅当时，三棱锥的体积取得最大值，最大值为． 17. 甲同学进行投篮练习，假设每次投篮命中的概率为，且，每次投篮的结果相互独立． （1）当时，若甲连续投篮两次，求至少命中一次的概率． （2）规定每轮练习只要连续不断地命中三次就停止练习，且每轮练习最多连续投篮6次． ①在一轮练习中，甲恰好投篮了5次练习停止的概率为，求的表达式； ②设甲在一轮练习中投篮次数为，求的最大值． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）通过对立事件概率公式求解，先计算两次投篮均未命中的概率，再用1减去该概率得到至少命中一次的概率. （2）①问：先明确恰好投篮5次停止的事件特征，拆分符合条件的两种情况，结合独立事件概率乘法公式计算合并得到的表达式. ②问：先确定随机变量的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，写出期望表达式，再通过求导判断函数单调性，在给定区间内求得期望的最大值. 【小问1详解】 设事件表示第次命中，其中．且，， 设事件：“至少命中一次”，． 【小问2详解】 ①设事件：“恰好投篮了次练习停止”，则． 故 ，所以． ②由题意知， ， ， ， ． 则． 令，， 当时，，即在上单调递减，故， 因此，的最大值为． 18. 设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于两点，点．当直线垂直于轴时，． （1）求抛物线的标准方程； （2）求的面积的最小值； （3）若直线平分，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式，结合点坐标求出，得标准方程； （2）设直线联立抛物线，用韦达定理求纵坐标之差，结合面积公式构造函数求最值； （3）由角平分线条件转化为向量夹角余弦相等，代入焦半径公式化简等式，结合韦达定理求得参数，最后求直线斜率. 【小问1详解】 ，解得，所以抛物线的标准方程为：． 【小问2详解】 设．显然直线斜率不为，设的方程为． 与抛物线方程联立得：．由韦达定理，，． 面积为． 故，即的方程为时，面积取得最小值，最小值为． 【小问3详解】 由题意：，则，即． ，，，，， 代入得． 即，整理得． 又因为，，代入化简得：． ，故，直线的斜率为． 19. 若函数的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这若干点为函数的图象的一组“同切点”．例如，对于右图所示的函数，直线为函数的图象的“自公切线”，为函数的图象的一组“同切点”．现有定义在上的函数，为坐标原点． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明直线为函数的一条“自公切线”； （3）将的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若，求的值． 【答案】（1） （2）时，，， 设切点为，则切线的斜率为， 所以函数在处的切线方程为， 整理得． 令，解得或， 若，则， 当时，，且，即切线方程为． 因此，在处的切线均为， 故直线为函数的一条“自公切线”． （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义可求得切线方程； （2）设切点为，利用导数的意义求得切线方程，进而计算可得在处的切线均为，可得结论； （3）分和两种情况讨论，可求得，，结合已知计算可求得的值． 【小问1详解】 当时，，， 故． 曲线在点处的切线的斜率为， 即切线方程为． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 ．当时，． 由函数在区间上递增，且值域为， 故存在唯一，使得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，因此． 同理，存在唯一，使得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，因此． 由，，． 同理：． 由，整理得：． 又，故，则有． 由，故或． 又， 当时，不满足，舍去．所以，即， 则． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山二中2026～2027学年第一学期十月教学质量监测 高三数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填涂在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量 ，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数有唯一零点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列由若干个和组成，，且在第个和第个之间有个，即，，，，，，，，，，，，…，则数列的前2026项的和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，记随机变量为中的最大值，则（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分． 9. 设复数，则（ ） A. B. 是纯虚数 C. D. 10. 正四面体的顶点处有一只蚯蚓，每次爬行，仍在原地的概率为，爬向另外三点的概率均为，记第次爬行后停在的概率分别是，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为．这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，球的半径分别为，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则（ ） A. 椭圆的中心不在直线上 B. 直线与椭圆所在平面所成的角的正弦值为 C. 椭圆的离心率为 D. 从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为________． 13. 若函数是偶函数，则__________． 14. 数列的首项为正整数，对于任意正整数，有，则能使得的所有之和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出证明过程或演算步骤． 15. 在中，已知角的对边分别为，且，． （1）求的值； （2）若的平分线（点在上）的长为，求的周长． 16. 如图，在四面体中，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积的最大值． 17. 甲同学进行投篮练习，假设每次投篮命中的概率为，且，每次投篮的结果相互独立． （1）当时，若甲连续投篮两次，求至少命中一次的概率． （2）规定每轮练习只要连续不断地命中三次就停止练习，且每轮练习最多连续投篮6次． ①在一轮练习中，甲恰好投篮了5次练习停止的概率为，求的表达式； ②设甲在一轮练习中投篮次数为，求的最大值． 18. 设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于两点，点．当直线垂直于轴时，． （1）求抛物线的标准方程； （2）求的面积的最小值； （3）若直线平分，求直线的斜率． 19. 若函数的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这若干点为函数的图象的一组“同切点”．例如，对于右图所示的函数，直线为函数的图象的“自公切线”，为函数的图象的一组“同切点”．现有定义在上的函数，为坐标原点． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明直线为函数的一条“自公切线”； （3）将的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $