专题03二次函数的概念、图象和性质期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题03二次函数的概念、图象和性质期中复习讲义 ✵复习目标 1.准确理解二次函数的定义，能识别二次函数，牢记二次项系数不为0的限制条件。 2.掌握二次函数的三种解析式形式，熟练运用配方法将一般式化为顶点式，会用待定系数法求函数解析式。 3.掌握抛物线的图象特征，理解系数a,b,c对图象的影响，能准确写出开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值。 4.掌握抛物线的平移规律，会判断平移前后解析式的变化，体会数形结合的思想方法。 5.掌握抛物线的对称性质，会利用对称性求点坐标、比较函数值大小。 6.会求抛物线与y轴的交点，了解抛物线与x轴交点问题后续结合一元二次方程研究。 ✵高频题型梳理 题型1.二次函数的识别 题型2.根据二次函数的定义求参数 题型3.列二次函数关系式 题型4.y=ax2的图象和性质 题型5.y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象和性质 题型6.y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型7.二次函数图象的平移 题型8.把y=ax2+bx+c化成顶点式 题型9.y=ax2+bx+c的图象与性质 题型10.已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型11.根据二次函数的对称性求函数值 题型12.二次函数图象与各项系数符号判断 题型13.根据二次函数的图象判断式子符号 题型14.y=ax2+bx+c的最值问题 题型15.待定系数法求二次函数解析式 题型16.一次函数、二次函数图象综合判断 题型17.利用二次函数对称性求最短路径 题型18.二次函数面积综合问题 题型19.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、二次函数的概念 1.定义：形如（ 为常数，）的函数，叫做二次函数。 2.判定依据：解析式为整式，自变量最高次数为2，二次项系数不为0，三者缺一不可。 3.各项定义： 为二次项， 为二次项系数； 为一次项， 为一次项系数； 为常数项。 4.二次项系数a≠0；b,c可以为 0。 常见特殊形式： 知识点二、二次函数的解析式形式 1.一般式：，适用于已知抛物线上三个点的坐标求解析式。 2.顶点式：，顶点为，对称轴为直线 ，适用于已知顶点坐标的题型。 3.交点式：，仅适用于抛物线与 轴有两个交点的情形， 为交点横坐标，若无特殊要求，结果也可保留顶点式或交点式；题目有要求时化为一般式。 知识点三、二次函数的图象 1.二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形。 2.画抛物线的基本步骤：列表、描点、用平滑曲线连线。 知识点四、二次函数的图象与性质 1.y=ax2（a≠0）图象与性质 2.图象与性质 3.的性质 （1）a>0：开口向上，对称轴直线x=h，顶点(h,k)；x<h，y随x增大而减小；x>h，y随x增大而增大；x=h时，=k。 （2）a<0：开口向下，对称轴直线x=h，顶点(h,k)；x<h，y随x增大而增大；x>h，y随x增大而减小；x=h时，=k。 4.图象与性质 知识点五、二次函数图象平移规律 平移本质：y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k，形状不变、位置改变，a值始终不变。 平移口诀：左加右减，上加下减 左右平移：针对x： h>0，图象向右平移h个单位；h<0，图象向左平移|h|个单位（左加右减）。 上下平移：针对常数项： k>0，图象向上平移k个单位；k<0，图象向下平移|k|个单位（上加下减）。 【重点提示】：平移仅改变顶点位置，不改变系数 ，抛物线开口方向、开口大小保持不变。 知识点六、抛物线的对称性 抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称。若点(,y)，(,y)在抛物线上，则对称轴为直线x=。 应用：求对称轴、求对称点坐标、比较函数值大小。 ✵易错提醒 1. 判断二次函数，先化简解析式；含参数的题目，不可忽略a≠0的前提。 2. 描述增减性必须以对称轴为分界，结合开口方向判断，不能笼统表述。 3. 左右平移是对自变量x进行变换，注意 “左加右减” 只加在x上。 4. 顶点式y=a(x-h)2+k中，对称轴是x=h，注意h的符号。 5. 自变量有取值范围限制时，函数最值不一定在顶点处取得。 6. 交点式仅适用于抛物线与x轴存在交点的情形。 7.利用对称性比较函数值大小，优先看点到对称轴的距离。 ✵典例精讲 题型1.二次函数的识别 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．二次函数的二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_______． 3．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2.根据二次函数的定义求参数 1．若关于的函数是二次函数，则须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 2．如果函数是关于的二次函数，则________． 3．已知函数（为常数）是关于的二次函数，求的值． 题型3.列二次函数关系式 1．在中，边的长为边上的高比长的2倍多1，则的面积与之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 2．个人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手次，写出与之间的关系式：____________，它______（填“是”或“不是”）二次函数． 3．学校准备将一块长，宽的矩形绿地进行扩建，如果长和宽都增加，扩建成一个大矩形，设增加的面积是，求与之间的函数解析式． 题型4.y=ax2的图象和性质 1．对于二次函数和，有以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是轴；③当时，都是随着的增大而增大；④它们的开口大小都是一样的．其中，正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则常数a的取值范围是______． 3．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点． (1)求，的值； (2)求． 题型5.y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象和性质 1．已知抛物线经过点，，，则（     ） A． B． C． D． 2．如果二次函数的图象在它的对称轴左侧部分是上升的，那么的取值范围是________． 3．已知抛物线的对称轴为直线，形状和开口大小与抛物线相同，但开口方向相反． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当为何值时，随的增大而增大？ 题型6.y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．函数的图象的对称轴为直线________，顶点坐标为________，当x________时，函数y随x的增大而增大，当x________时，函数y随x的增大而减小． 3．已知二次函数的图象的顶点坐标为． (1)写出m，k的值． (2)判断点是否在这个函数的图象上． (3)将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得函数．求a，b，c的值． 题型7.二次函数图象的平移 1．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式是（     ） A．B． C． D． 2．函数的图象向______（填“左”或“右”）平移______个单位长度可以得到的图象． 3．当k为何值时， (1)函数为二次函数？ (2)它是由二次函数怎么样平移得到的？ 题型8.把y=ax2+bx+c化成顶点式 1．将配方成的形式，结果为（     ） A． B． C． D． 2．二次函数的顶点坐标是______． 3．已知二次函数，求该函数图象的对称轴，顶点坐标． 题型9.y=ax2+bx+c的图象与性质 1．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，按从小到大的顺序排列正确的是（     ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象的顶点坐标为________，对称轴为直线________． 3．已知二次函数（，为常数，）的图象经过点． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)若该二次函数的图象经过点，，求的最大值． (3)当时，该二次函数的图象经过点，，且，直接写出的取值范围． 题型10.已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．二次函数的图象经过点和，则该二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．已知，是抛物线上的点，它们的坐标分别为，，则该抛物线的对称轴为直线________． 3．已知点在抛物线上． (1)若，求n的值； (2)若此抛物线经过点，且二次函数的最小值是，求出抛物线的函数解析式． 题型11.根据二次函数的对称性求函数值 11．如图是二次函数（a，b，c为常数）的部分图象，它与x轴一个交点的横坐标是3，顶点坐标是，则下列说法正确的是（    ） A．二次函数的图象与x轴另一个交点的横坐标是0 B．当时，y随x的增大而减小 C．二次函数的图象与y轴交点的纵坐标小于0 D．点，点在函数图象上，若，则 2．已知是抛物线上的任意两点，若对于，，都不存在的情形，则的取值范围是___________． 3．已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将该抛物线向左平移2个单位，求所得的新抛物线表达式． 题型12.二次函数图象与各项系数符号判断 1．如图是抛物线的示意图，则a的值可以是（     ） A．2 B．0 C． D． 2．二次函数的图象开口向上，写出一个符合条件的值：___． 3．在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 题型13.根据二次函数的图象判断式子符号 1．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下四个结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 3．已知二次函数． (1)若，求该函数图像的顶点坐标； (2)若当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，求m的值； (3)若函数，点，都在函数的图像上，且，求n的取值范围．（用含m的代数式表示） 题型14.y=ax2+bx+c的最值问题 1．已知抛物线，则当时，函数的最大值为（     ） A． B． C．0 D．2 2．抛物线，当时，的最小值是________． 3．已知函数是二次函数． (1)求m的值； (2)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)当时，y的最大值为______，最小值为______． 题型15.待定系数法求二次函数解析式 1．若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 2．若抛物线的形状和抛物线相同，它的顶点坐标是，则抛物线的表达式是_____． 3．已知二次函数的图象顶点为．且过点， (1)求该抛物线的解析式． (2)直接写出x为何值时，y随着x的增大而减小． 题型16.一次函数、二次函数图象综合判断 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（     ） A．B． C． D． 2．已知直线与抛物线． (1)若它们没有交点，则的取值范围是_______； (2)若当时它们有交点，则的取值范围是______． 3．定义：在平面直角坐标系中，对于两个函数和的图象有两个交点和，且满足（为常数），则称这两个函数为关于的“乘积函数对”，称为乘积常数． 例如：一次函数与反比例函数的交点为， 因为，所以它们是关于的“乘积函数对”，乘积常数为． (1)求一次函数与二次函数的乘积常数； (2)若一次函数与二次函数为关于的“乘积函数对”，且二次函数的顶点在直线上，当二次函数的对称轴为直线时，求二次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，二次函数图象上有一点，其横坐标为，过点作轴于点，点的坐标为，以为顶点构造矩形，若该矩形的边（含端点）与二次函数的图象只有两个交点，求的取值范围． 题型17.利用二次函数对称性求最短路径 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且，当的值最小时，点的坐标为________． 3．如图，抛物线，经过，两点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，求最小值以及此时P点的坐标． 题型18.二次函数面积综合问题 1．在平面直角坐标系中．已知二次函数图象与轴交于点和点．与轴交于点．点是抛物线上的动点（不与点、重合），连、、．若与的面积相等，则满足条件的点的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 2．如图，正方形的边长为6，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是________． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点，连接．点为x轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为t． (1)________，________； (2)连接，当时，求t的值； (3)设以，，，为顶点的四边形的面积为， ①求关于t的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． ✵分层专项训练 一、单选题 1．若是二次函数，则的值是（     ） A． B． C．或 D． 2．下列函数中，当时，y随x值的增大而先增大后减小的是（） A． B． C． D． 3．已知抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点在x轴下方，且与y轴交于正半轴．下列结论：①；②；③若点和都在抛物线上，则；④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．老师在画二次函数（为常数，的图象时列表如下： x ⋯ 0 1 y ⋯ 0 m 下列说法不正确的是（   ） A．图象的对称轴为直线 B． C．当时，随的增大而增大 D．图象开口向下 二、填空题 5．函数的图象先向________平移________个单位长度，再向________平移_________个单位长度可以得到的图象． 6．如图，在中，，，，点P从点A开始沿向B以的速度移动，点Q从点B开始沿向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间_____时，的面积最大为． 7．已知二次函数的最小值为，图象的顶点在直线上，并且图象经过点，则此二次函数的解析式是________． 8．已知二次函数中的x、y满足下表： x 1 3 4 5 y 0 4 0 m 则m的值为________． 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，二次函数（b，c都是常数）的图象经过点和． (1)求b，c的值； (2)当时，求y的取值范围； 10．如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，求的面积． 11．已知二次函数的对称轴为直线，点在该图象上． (1)求该函数的表达式． (2)当时，求函数的取值范围． 12．如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数的概念、图象和性质期中复习讲义 ✵复习目标 1.准确理解二次函数的定义，能识别二次函数，牢记二次项系数不为 0 的限制条件。 2.掌握二次函数的三种解析式形式，熟练运用配方法将一般式化为顶点式，会用待定系数法求函数解析式。 3.掌握抛物线的图象特征，理解系数a,b,c对图象的影响，能准确写出开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值。 4.掌握抛物线的平移规律，会判断平移前后解析式的变化，体会数形结合的思想方法。 5.掌握抛物线的对称性质，会利用对称性求点坐标、比较函数值大小。 6.会求抛物线与y轴的交点，了解抛物线与x轴交点问题后续结合一元二次方程研究。 ✵高频题型梳理 题型1.二次函数的识别 题型2.根据二次函数的定义求参数 题型3.列二次函数关系式 题型4.y=ax2的图象和性质 题型5.y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象和性质 题型6.y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型7.二次函数图象的平移 题型8.把y=ax2+bx+c化成顶点式 题型9.y=ax2+bx+c的图象与性质 题型10.已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型11.根据二次函数的对称性求函数值 题型12.二次函数图象与各项系数符号判断 题型13.根据二次函数的图象判断式子符号 题型14.y=ax2+bx+c的最值问题 题型15.待定系数法求二次函数解析式 题型16.一次函数、二次函数图象综合判断 题型17.利用二次函数对称性求最短路径 题型18.二次函数面积综合问题 题型19.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、二次函数的概念 1.定义：形如（ 为常数，）的函数，叫做二次函数。 2.判定依据：解析式为整式，自变量最高次数为2，二次项系数不为0，三者缺一不可。 3.各项定义： 为二次项， 为二次项系数； 为一次项， 为一次项系数； 为常数项。 4.二次项系数a≠0；b,c可以为 0。 常见特殊形式： 知识点二、二次函数的解析式形式 1.一般式：，适用于已知抛物线上三个点的坐标求解析式。 2.顶点式：，顶点为，对称轴为直线 ，适用于已知顶点坐标的题型。 3.交点式：，仅适用于抛物线与 轴有两个交点的情形， 为交点横坐标，若无特殊要求，结果也可保留顶点式或交点式；题目有要求时化为一般式。 知识点三、二次函数的图象 1.二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形。 2.画抛物线的基本步骤：列表、描点、用平滑曲线连线。 知识点四、二次函数的图象与性质 1.y=ax2（a≠0）图象性质 图象性质 3.的性质 （1）a>0：开口向上，对称轴直线x=h，顶点(h,k)；x<h，y随x增大而减小；x>h，y随x增大而增大；x=h时，=k。 （2）a<0：开口向下，对称轴直线x=h，顶点(h,k)；x<h，y随x增大而增大；x>h，y随x增大而减小；x=h时，=k。 4.图象性质 知识点五、二次函数图象平移规律 平移本质：y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k，形状不变、位置改变，a值始终不变。 平移口诀：左加右减，上加下减 左右平移：针对x： h>0，图象向右平移h个单位；h<0，图象向左平移|h|个单位（左加右减）。 上下平移：针对常数项： k>0，图象向上平移k个单位；k<0，图象向下平移|k|个单位（上加下减）。 【重点提示】：平移仅改变顶点位置，不改变系数 ，抛物线开口方向、开口大小保持不变。 知识点六、抛物线的对称性 抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称。若点(,y)，(,y)在抛物线上，则对称轴为直线x=。 应用：求对称轴、求对称点坐标、比较函数值大小。 ✵易错提醒 1.判断二次函数，先化简解析式；含参数的题目，不可忽略a≠0的前提。 2.描述增减性必须以对称轴为分界，结合开口方向判断，不能笼统表述。 3.左右平移是对自变量x进行变换，注意 “左加右减” 只加在x上。 4.顶点式y=a(x-h)2+k中，对称轴是x=h，注意h的符号。 5.自变量有取值范围限制时，函数最值不一定在顶点处取得。 6.交点式仅适用于抛物线与x轴存在交点的情形。 7.利用对称性比较函数值大小，优先看点到对称轴的距离。 ✵典例精讲 题型1.二次函数的识别 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从表达式是否为整式、自变量最高次数是否为2、二次项系数是否不为0三个方面判断各选项. 【详解】解：A、最高次数为1，不符合题意； B、含分式，不符合题意； C、，最高次数为1，不符合题意； D、，符合题意. 2．二次函数的二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_______． 【答案】 1 2 【分析】题干给出的是二次函数的一般形式，根据一般式中各系数的定义即可确定对应系数．即二次函数的一般形式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 3．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 (3)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 (4)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【详解】（1）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （2）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （3）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （4）解：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 题型2.根据二次函数的定义求参数 1．若关于的函数是二次函数，则须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴. 2．如果函数是关于的二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义可以得到，根据可得：或，根据可得，从而确定的值． 【详解】解： 函数是关于的二次函数. 满足条件， 解方程， 可得：， 解得：或， ， ， . 3．已知函数（为常数）是关于的二次函数，求的值． 【答案】 的值为或. 【分析】根据二次函数定义令x的指数等于2，解一元二次方程得到m的值，直接取方程的解即可． 【详解】解：二次项系数， 函数是y关于x的二次函数， ， 整理得， 因式分解得， 解得，． ∴m的值为或． 题型3.列二次函数关系式 1．在中，边的长为边上的高比长的2倍多1，则的面积与之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的长为，边上的高比长的2倍多1，， ∴边上的高为， ∴． 2．个人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手次，写出与之间的关系式：____________，它______（填“是”或“不是”）二次函数． 【答案】 是 【分析】个人每人与其余人握手，每次握手被计算了2次，除以2得到总握手次数，再根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：∵个人参加聚会，每个人需要和除自身外的个人握手， ∴计算得到未去重的总握手次数为， ∵与握手和与握手是同一次握手，每次握手被计算了2次， ∴实际总握手次数， 整理得，符合二次函数的定义，因此它是二次函数． 3．学校准备将一块长，宽的矩形绿地进行扩建，如果长和宽都增加，扩建成一个大矩形，设增加的面积是，求与之间的函数解析式． 【答案】 【分析】根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即与之间的函数解析式为． 题型4.y=ax2的图象和性质 1．对于二次函数和，有以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是轴；③当时，都是随着的增大而增大；④它们的开口大小都是一样的．其中，正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】两个函数均为的形式，可根据的符号、绝对值及该形式二次函数的对称轴、增减性规律判断各说法正误． 【详解】解：对于， ∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线（即轴），当时，随的增大而增大； 对于， ∵， ∴图象开口向下，对称轴为直线（即轴），当时，随的增大而减小； ①图象开口向下，故①错误； ②两个函数的对称轴均为轴，故②正确； ③当时，的随增大而减小，故③错误； ④两个函数的，开口大小一样，故④正确． 综上，正确的说法共2个． 2．二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则常数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的图象开口向上得到二次项系数为正数，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 解得． 3．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点． (1)求，的值； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）联立，求出点坐标，设直线与轴的交点为，分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：把代入，得，解得． 把代入，得，解得． （2）解：联立，解得或． ， 设直线与轴的交点为，则． ． 题型5.y=ax2+k、y=a(x-h)2的图象和性质 1．已知抛物线经过点，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别把的横坐标代入解析式，然后比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 同理得，， ∵， ∴． 2．如果二次函数的图象在它的对称轴左侧部分是上升的，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次函数对称轴左侧为上升，判断抛物线开口方向，进而得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象在对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴． 3．已知抛物线的对称轴为直线，形状和开口大小与抛物线相同，但开口方向相反． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当为何值时，随的增大而增大？ 【答案】(1) (2) 当时，随的增大而增大. 【分析】（1）由抛物线的对称轴、开口大小和方向确定顶点式中参数和的值； （2）根据抛物线开口方向与对称轴，结合二次函数增减性求解的取值范围． 【详解】（1）解：∵ 抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵该抛物线形状和开口大小与抛物线相同，开口方向相反， ∴， 将，，代入，得该抛物线的函数表达式为． （2）解：∵，抛物线开口向下， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 题型6.y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴该二次函数的顶点坐标为． 2．函数的图象的对称轴为直线________，顶点坐标为________，当x________时，函数y随x的增大而增大，当x________时，函数y随x的增大而减小． 【答案】 【分析】函数为二次函数的顶点式，已知，利用顶点式二次函数的性质可直接得到结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 ∴当时，函数随的增大而增大， 当时，函数随的增大而减小． 3．已知二次函数的图象的顶点坐标为． (1)写出m，k的值． (2)判断点是否在这个函数的图象上． (3)将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得函数．求a，b，c的值． 【答案】(1) ， (2) 点在这个函数的图象上 (3) ，， 【分析】（1）直接根据顶点式的性质，作答即可； （2）把代入函数解析式，求出函数值，进行判断即可； （3）根据平移规则求出平移后的解析式，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点坐标为， 又∵图象顶点坐标为， ∴，； （2）解：由（1）得函数解析式为， 当时，， 故点在该函数图象上； （3）解：由（1）得原函数解析式为， 向左平移1个单位，得， 向下平移2个单位，得， ∵， ∴，，. 题型7.二次函数图象的平移 1．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图像的平移法则：左加右减、上加下减． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得， 再向下平移3个单位长度，得． 2．函数的图象向______（填“左”或“右”）平移______个单位长度可以得到的图象． 【答案】 左 【分析】求出两个函数图象的顶点坐标，再根据顶点坐标的变化即可求解． 【详解】解：函数的顶点坐标为，函数的顶点坐标为，纵坐标不变，横坐标从变为，说明横坐标减小了， ∴函数的图象向左平移个单位长度可以得到的图象． 3．当k为何值时， (1)函数为二次函数？ (2)它是由二次函数怎么样平移得到的？ 【答案】(1) (2)将二次函数向上平移1个单位长度得到． 【分析】（1）根据二次函数的定义解答即可； （2）根据二次函数图象平移的性质得到的． 【详解】（1）解：∵函数为二次函数， ∴且， 解得：且， ∴； （2）解：由（1）得：（1）中的二次函数的解析式为， ∴它是由二次函数向上平移1个单位长度得到的． 题型8.把y=ax2+bx+c化成顶点式 1．将配方成的形式，结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】将二次函数通过配方转化为，从而得到顶点坐标． 【详解】解： ， ∴二次函数的顶点坐标为． 3．已知二次函数，求该函数图象的对称轴，顶点坐标． 【答案】 该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】利用配方法把二次函数化为顶点式，即可得答案． 【详解】解： ， 所以该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 题型9.y=ax2+bx+c的图象与性质 1．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，按从小到大的顺序排列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向与对称轴，比较各点到对称轴的距离即可判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵ ， ∴ ． 2．二次函数的图象的顶点坐标为________，对称轴为直线________． 【答案】 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 3．已知二次函数（，为常数，）的图象经过点． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)若该二次函数的图象经过点，，求的最大值． (3)当时，该二次函数的图象经过点，，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3)不存在满足条件的 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质． （1）点代入，即可得出a、b的关系式，再根据对称轴的公式即可作答； （2）将，代入，结合，用a表示出，据此即可作答； （3）将，代入，表示出、，再根据，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入，有：， ∴， 则抛物线的对称轴为：； （2）将，代入， 有：，， ∵， ∴，， ∴， 当时，有最大值，最大值为：； （3）∵， ∴， 将，代入， 有：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即有，即不存在满足条件的实数． 题型10.已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．二次函数的图象经过点和，则该二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴两点为抛物线上纵坐标相等的点，关于对称轴对称， ∴对称轴为直线． 2．已知，是抛物线上的点，它们的坐标分别为，，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为过两点横坐标中点的竖直线． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为过，横坐标中点的直线， 计算中点横坐标得， ∴该抛物线的对称轴为直线． 3．已知点在抛物线上． (1)若，求n的值； (2)若此抛物线经过点，且二次函数的最小值是，求出抛物线的函数解析式． 【答案】(1)n的值为5 (2) 【分析】（1）先确定抛物线解析式，再把代入解析式求解即可； （2）根据对称性和对称轴公式求出的值，再根据函数的最小值即为顶点的纵坐标求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴； （2）解：都在抛物线上， ∴对称轴为直线， ． 又∵二次函数的最小值是， ， 即， ， ∴抛物线的函数解析式为． 题型11.根据二次函数的对称性求函数值 11．如图是二次函数（a，b，c为常数）的部分图象，它与x轴一个交点的横坐标是3，顶点坐标是，则下列说法正确的是（    ） A．二次函数的图象与x轴另一个交点的横坐标是0 B．当时，y随x的增大而减小 C．二次函数的图象与y轴交点的纵坐标小于0 D．点，点在函数图象上，若，则 【答案】C 【分析】根据顶点坐标确定对称轴及开口方向，利用对称性求另一交点坐标，待定系数法求解析式判断与轴交点，结合图象性质判断增减性及点的位置关系． 【详解】解：由顶点坐标可知抛物线对称轴为直线，且开口向下． 抛物线与轴一个交点横坐标为3， 另一个交点横坐标为，故A错误． 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，故B错误． 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得， ， 令，得，故C正确． 当时，当时，此时， 当时，不一定成立，故D错误． 2．已知是抛物线上的任意两点，若对于，，都不存在的情形，则的取值范围是___________． 【答案】 或或 【分析】不存在等价于抛物线对称轴不在所有可能的的取值范围内，据此列不等式求解，排除不符合题意的即可． 【详解】解：∵抛物线是二次函数， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 若抛物线上存在，则满足， ∵，， ∴的取值范围为， 整理得， 两边同除以2得：， ∵要使不存在，则， 即与无公共部分，且m不在内， 对于与无公共部分， ∴或， 解得：或， 对于：由于，则或， 对于m不在内，此时分两种情况讨论： ①： 两边同乘2得：，解得， 结合，得； ②： 两边同乘2得：，解得； 综上，m的取值范围是或或． 3．已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将该抛物线向左平移2个单位，求所得的新抛物线表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线与x轴两交点的横坐标的平均值为对称轴列方程求t； （2）根据二次函数平移“左加右减”的规律作答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的交点横坐标为和， ∴对称轴为直线． ∵对称轴为直线， ∴， 解得． （2）解：将代入原抛物线表达式，得， 将该抛物线向左平移2个单位，得到． 题型12.二次函数图象与各项系数符号判断 1．如图是抛物线的示意图，则a的值可以是（     ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∴四个数中，a的值可以是2． 2．二次函数的图象开口向上，写出一个符合条件的值：___． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数图象的性质：当二次项系数时，二次函数图象开口向上即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 取即能满足题意． 3．在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 【答案】(1)，理由 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且， 二次函数图象的对称轴为， ， ； (2) 【分析】（1）由当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且，可知抛物线的对称轴为，根据对称轴公式可得与关系； （2）根据的取值范围与二次函数图象的性质分情况讨论． 【详解】（1）略 （2）解：当，时，二次函数为 设点，，则，， 解方程， 可得：，， 当时，可得：， 当时，可得：， 与的交点坐标为和， 设点与点的距离为， （ⅰ）如下图所示， 当时，， ， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ； （ⅱ）如下图所示， 当时，， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 当时，的最大值为； （ⅲ）如下图所示， 当时，， 此时随的增大而增大， ， 令，则， ， ， 令， 解得： 依题意，得， 解得：， 当时，存在最大值， 结合函数的图象，得． 题型13.根据二次函数的图象判断式子符号 1．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下四个结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题围绕二次函数的图像和性质，结合开口方向、对称轴、特殊点的函数值逐一判断选项正误． 【详解】解：A选项：抛物线开口向下，对称轴，抛物线与轴交于正半轴， ，，， ， ，选项错误； B选项：由移项得且，故，选项错误； C选项：对称轴， 与时的函数值相等， 由抛物线图像得，当时，， 当，，选项正确； D选项：由抛物线图像得，当，， 将代入得，化简得，选项错误． 2．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置确定 的符号及关系；利用对称轴公式判断的值；利用对称性判断时的函数值符号；利用时函数取得最大值判断不等式关系 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则 ∵对称轴为直线 ∴，即 ∴，且，故结论③正确 ∵抛物线与轴交于正半轴 ∴ ∴，故结论①正确 抛物线的对称轴为直线 ∴与关于直线对称 由图象可知，当时， ∴当时，，故结论②正确 ∵时， ∴ ∴，故结论④错误 ∵当时，函数取得最大值 ∴对于任意实数，都有 ∴ ∴，故结论⑤正确 综上所述，正确的结论有①②③⑤． 3．已知二次函数． (1)若，求该函数图像的顶点坐标； (2)若当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，求m的值； (3)若函数，点，都在函数的图像上，且，求n的取值范围．（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求解； （2）根据二次函数的性质得出关于m的方程，解方程即可； （3）利用配方法求出可得该函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后画出图象，根据图象可得结论． 【详解】（1）解：若，则， ∵， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵中， ∴抛物线开口向上， ∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴该函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对应点为， 如图所示，    由图象得：n的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次图象上点的坐标特征，解答此类问题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 题型14.y=ax2+bx+c的最值问题 1．已知抛物线，则当时，函数的最大值为（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质求解最大值即可． 【详解】解：将配方得， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵ ，，， ∴ 时函数取得最大值， 代入得． 2．抛物线，当时，的最小值是________． 【答案】2 【分析】将抛物线化为顶点式，得到开口方向和对称轴，根据二次函数的增减性判断给定范围内的最小值位置，计算即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵在对称轴的右侧， ∴当时，取得最小值， 把代入计算得， 所以的最小值是． 3．已知函数是二次函数． (1)求m的值； (2)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)当时，y的最大值为______，最小值为______． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3)， 【分析】（1）根据二次函数的定义得到，，然后求解即可； （2）将代入表达式，然后配方成顶点式求解即可； （3）首先判断出二次函数图象开口向下，然后求出y的最大值，然后分别将和代入表达式求解比较得到最小值． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴这个二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：∵的二次项系数为， ∴二次函数图象开口向下， ∵顶点坐标为， ∴当时，当时，y的最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的最小值为． 题型15.待定系数法求二次函数解析式 1．若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标，设抛物线解析式为，问题随之得解． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴设解析式为， 将代入得：， 解得， ∴． 2．若抛物线的形状和抛物线相同，它的顶点坐标是，则抛物线的表达式是_____． 【答案】 或 【分析】抛物线形状相同意味着二次项系数的绝对值相等，结合已知顶点坐标，代入顶点式即可求出参数，得到抛物线表达式． 【详解】解：∵ 抛物线的形状和抛物线相同， ∴ ，即或， ∵ 抛物线的顶点坐标为， ∴ ，， 解得，， 将、、代入原式，可得抛物线表达式为或． 3．已知二次函数的图象顶点为．且过点， (1)求该抛物线的解析式． (2)直接写出x为何值时，y随着x的增大而减小． 【答案】(1) (2)时，y随x的增大而减小 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：， ∴抛物线开口向下， ∴时，y随x的增大而减小． 题型16.一次函数、二次函数图象综合判断 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数与二次函数的大致图象在一个坐标系中，则、的符号必须一致，据此逐项判断． 【详解】解：A项，通过一次函数经过二、三、四象限，可知；二次函数的图象开口朝上，可知；的符号矛盾，故此项不符合题意； B项，通过一次函数经过一、二、三象限，可知；通过二次函数的图象开口朝上，可知；的符号一致；当时，，，通过一次函数的图象，可知；通过二次函数的图象，可知，即；的符号一致，故此项符合题意； C项，当时，，，通过一次函数的图象，可知；通过二次函数的图象，可知，即；的符号不一致，故此项不符合题意； D项，通过一次函数经过二、三、四象限，可知；通过二次函数开口朝上，可知；的符号矛盾，故此项不符合题意； 故选：B． 2．已知直线与抛物线． (1)若它们没有交点，则的取值范围是_______； (2)若当时它们有交点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质以及直线与抛物线的位置关系，数形结合是解题的关键． （1）先将抛物线化为顶点式，确定其顶点坐标和开口方向，再结合直线与抛物线的位置关系来确定a的取值范围； （2）先求出抛物线在这个区间内的最大值和最小值，再根据直线与抛物线有交点的条件来确定a的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵直线与抛物线没有交点， ∴当时，直线在抛物线的下方，二者没有交点， ∴的取值范围是， 故答案为：． （2）解：由（1）知抛物线，顶点坐标为，且开口向上， 当时，y有最小值， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，y有最大值1， ∵直线与抛物线，当时它们有交点， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 3．定义：在平面直角坐标系中，对于两个函数和的图象有两个交点和，且满足（为常数），则称这两个函数为关于的“乘积函数对”，称为乘积常数． 例如：一次函数与反比例函数的交点为， 因为，所以它们是关于的“乘积函数对”，乘积常数为． (1)求一次函数与二次函数的乘积常数； (2)若一次函数与二次函数为关于的“乘积函数对”，且二次函数的顶点在直线上，当二次函数的对称轴为直线时，求二次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，二次函数图象上有一点，其横坐标为，过点作轴于点，点的坐标为，以为顶点构造矩形，若该矩形的边（含端点）与二次函数的图象只有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)－6 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，乘积常数实质上是函数解析式联立得到的一元二次方程的两根积，解（3）关键是根据点D和点F的位置不同画图讨论． （1）联立直线与抛物线解析式，可得一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数的关系和乘积常数的定义可得； （2）联立直线与抛物线解析式，乘积常数的定义可得 ，由此得出，再根据二次函数的顶点在直线上，对称轴为直线，可得顶点坐标为，故设二次函数的顶点式为，根据二次函数的图象经过，可得，由此可得，进而解得，即可得二次函数的解析式． （3）根据点D和点F的位置不同画图讨论，即可求出取值范围． 【详解】（1）解：当时，得， 整理，得， 一次函数与二次函数的乘积常数是－6． （2）当时，得， 整理，得， ， 二次函数的顶点在直线上，对称轴为直线， 顶点坐标为（1，3）二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过， ，解得，， 二次函数的解析式为． （3）当时，， 解得，，， 抛物线与轴的交点坐标为， ①如答图1，当时，点在第二象限时，点在的左侧，点在的左侧时， 抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意， ，得， ②如答图2，当，点在轴上方，且满足点在点的右侧，在对称轴上或对称轴左侧时， 抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意， ，解得， 当时，则， 此时在右侧，在左侧，抛物线与正方形只有一个公共点，如答图3， 时，， 此时在左侧，抛物线与、有公共点，故正方形与抛物线的公共点个数不少于3个，如答图4， 综上所述，的取值范围是或． 题型17.利用二次函数对称性求最短路径 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，，作，，先证明为等边三角形，接着利用，得到，利用抛物线的对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到当、、共线时，的值最小，最小值为的长，然后计算出的长即可． 【详解】解：连接、，，作于，于，如图，当时，，解得，，则， ， 则， ， ， 为等边三角形， ， ． 垂直平分， ， ． 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， 在Rt△ABC中，， 即， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，根据轴对称求线段和最小等，根据轴对称确定线段和的最小值是解题的关键． 2．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且，当的值最小时，点的坐标为________． 【答案】 【分析】先求出，，作点关于的对称点，将点向上平移2个单位得，连接，，，则，，，证明四边形是平行四边形，得到，则当三点共线时最小，再求出直线的解析式为，先求出，最后把向下移动两个单位长度得到． 【详解】解：令，解得，则； 令，得，则； 的对称轴为直线； 作点关于的对称点，将点向上平移2个单位得，连接，，，则，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当三点共线时最小； 设直线的解析式为， 把和代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，即， ∴向下移动两个单位长度得到． 3．如图，抛物线，经过，两点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，求最小值以及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用抛物线与x 轴两交点的坐标求出对称轴，确定顶点式中的参数h，再将已知点的坐标代入抛物线顶点解析式，通过解方程求出参数 a，进而求出抛物线的完整解析式即可； （2）因为点关于对称轴对称的点的坐标为，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， 抛物线的对称轴为直线 ，即 ， ∴抛物线解析式可写为， 将点 代入抛物线解析式得 ， 解得， 抛物线解析式：， 展开得一般式：． （2）解：如图，连接，交对称轴于点， 则， 此时最小，， 抛物线的解析式为， 其对称轴为直线， 当时，， ， 又， 设的解析式为， ， 解得：， 的解析式为， 当时，， ， ． 题型18.二次函数面积综合问题 1．在平面直角坐标系中．已知二次函数图象与轴交于点和点．与轴交于点．点是抛物线上的动点（不与点、重合），连、、．若与的面积相等，则满足条件的点的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】C 【分析】先根据二次函数与轴交点设出解析式，利用三角形面积公式建立等式，化简后求解方程，排除与、重合的解，得到满足条件的点的个数． 【详解】解：∵二次函数过和 ∴可设抛物线解析式为 ， 可得，直线的解析式为 设动点 ，由题意且 ∴ 过作轴垂线交于点，则 令，可得： ∵，， ∴两边约去 得： 分情况去绝对值求解： 1 当时， ，解得，符合条件，是有效点； 2 当时， ，解得，符合条件，是有效点； 3 当时， ，解得，不符合条件，舍去； 综上，共有2个满足条件的点． 2．如图，正方形的边长为6，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是________． 【答案】 18 【分析】根据函数与的图象关于轴对称，结合正方形的对称性，利用割补法可知阴影部分的面积等于正方形面积的一半 ． 【详解】解： 函数与的图象关于轴对称，且正方形关于轴对称， ∴轴下方阴影部分面积与轴上方中间的空白部分面积相等， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的一半， ∵正方形的边长为6 ， ∴正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点，连接．点为x轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为t． (1)________，________； (2)连接，当时，求t的值； (3)设以，，，为顶点的四边形的面积为， ①求关于t的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)① ② 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，过点P作于点E，利用解答即可；②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点， 解得 该二次函数的解析式为； （2）解：如图所示，连， ，， ． ． ， ． ． ∴点P的纵坐标为4． ． 解得或． 由图可得． ． （3）解：①令，则， 解得，． ． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D， 则， ， ． ， 即，． 过点P作于点E，如图， 则． ． 综上，S关于t的函数解析式为． ②当时， ， ， 当时，S有最大值为， ． 当时，， ． 画出函数的大致图象，如图∶ 由图象可知∶当时，存在2个符合条件的点P． ✵分层专项训练 一、单选题 1．若是二次函数，则的值是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，解题需同时考虑二次项次数为、二次项系数不为两个条件，不可遗漏系数限制． 【详解】解：由二次函数定义得二次项次数为、二次项系数不为， ∴且， 解得：或， 解得：， ∴． 2．下列函数中，当时，y随x值的增大而先增大后减小的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对应二次函数当二次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧y随x的增大而减小，当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，在对称轴左侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：A．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； B．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； C．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，不符合题意； D．由于，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，则当时，y随x值的增大而先增大后减小，符合题意． 3．已知抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点在x轴下方，且与y轴交于正半轴．下列结论：①；②；③若点和都在抛物线上，则；④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由抛物线对称轴公式得，结合开口方向、顶点位置、函数增减性逐一判断各结论． 【详解】解：由题意得，对称轴为直线，，顶点在轴下方， ∵， ∴，即，故①正确； 当时，为顶点纵坐标， ∵顶点在轴下方， ∴，故②正确； ∵点关于对称轴的对称点为， 又∵抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大，， ∴，故③错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故④正确． 综上，正确结论是①②④，共3个． 4．老师在画二次函数（为常数，的图象时列表如下： x ⋯ 0 1 y ⋯ 0 m 下列说法不正确的是（   ） A．图象的对称轴为直线 B． C．当时，随的增大而增大 D．图象开口向下 【答案】C 【分析】对于A，与的函数值相等即可得到对称轴；对于B，把代入求值即可；对于C，根据对称轴，结合二次函数的性质判断；对于D，利用待定系数法求出的值，然后判断即可． 【详解】与的函数值均为， 二次函数对称轴为，A正确； ∴与时，函数值相等，即， ，B正确； ∵当时，，当时，， 代入得， 解得， ∴，图象开口向下，故D正确； ∵开口向下且对称轴为， 当时，随的增大而减小，故C错误． 二、填空题 5．函数的图象先向________平移________个单位长度，再向________平移_________个单位长度可以得到的图象． 【答案】 右 2 下 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减自变量，上加下减常数项”规律，判断平移方向和距离． 【详解】解：二次函数图象平移遵循规律：左加右减自变量，上加下减常数项． 原函数为． 对比原函数与，自变量由变为，符合“右减”的规律，因此将原图象向右平移个单位长度，可得到的图象． 再对比与目标函数，函数整体减去，符合“下减”的规律，因此再将图象向下平移个单位长度，即可得到目标图象． 6．如图，在中，，，，点P从点A开始沿向B以的速度移动，点Q从点B开始沿向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间_____时，的面积最大为． 【答案】2 【分析】根据题意求出的取值范围，表示出的长度，然后列出三角形面积关于时间的二次函数，根据二次函数的顶点式，确定最值． 【详解】解：当点运动到点时，；当点运动到点时，， ∴， 根据题意得，，， ∴， ∴当时，的面积最大为． 7．已知二次函数的最小值为，图象的顶点在直线上，并且图象经过点，则此二次函数的解析式是________． 【答案】 【分析】设二次函数解析式为，根据二次函数最小值得到顶点纵坐标，代入直线方程求出顶点横坐标，代入已知点求出二次项系数即可． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵二次函数的最小值为， ∴， ∵图象顶点在直线上， ∴把代入，得，解得， ∴二次函数顶点坐标为， ∴解析式可写为， 把点代入解析式得 ， 计算得，解得， ∴二次函数的解析式为． 8．已知二次函数中的x、y满足下表： x 1 3 4 5 y 0 4 0 m 则m的值为________． 【答案】 【分析】利用二次函数对称点求对称轴，再求解析式验证得结果． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴二次函数的对称轴为直线， 设函数解析式为， 代入，得：， 解得， ∴， 验证得时，，符合表格；时，，符合表格， 当时，， ∴． 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，二次函数（b，c都是常数）的图象经过点和． (1)求b，c的值； (2)当时，求y的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将和代入得： ， 解得； （2）解：这个函数的解析式为：， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴的最小值为 把代入得，， 把代入得，， ∴当时，的最大值为， ∴当时，y的取值范围是． 10．如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)面积为3． 【分析】（1）利用待定系数法，将已知点和的坐标代入解析式，建立方程组求解和． （2）利用抛物线的对称性，将转化为，从而将求的最小值转化为求的最小值．根据“两点之间线段最短”，当三点共线时，和最小，此时点即为直线与对称轴的交点． （3）先求出顶点的坐标，利用割补法（或铅锤法）将的面积转化为两个以轴为底的三角形面积之和进行计算． 【详解】（1）解：将点代入，得， 将点和代入，得， ， ， ， ， 该抛物线解析式为． （2）解：由可知，对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 当三点共线时，最小，即最小， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得， 直线解析式为， 当时，， 此时点坐标为． （3）解：当时，， 顶点的坐标为， 设直线与对称轴交于点，由（2）知， ， 答：面积为3． 11．已知二次函数的对称轴为直线，点在该图象上． (1)求该函数的表达式． (2)当时，求函数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数对称轴公式，代入对称轴、求出，再把点代入函数式求出，得到函数表达式． （2）把解析式配方得到顶点式，得到顶点即最小值为 2，分别代入得，得，比较得到最大值 6，得到取值范围． 【详解】（1）解：∵已知二次函数的对称轴为直线． 又∵二次函数对称轴公式：， ∴ ． 代入得： ， 解得 ． ∴函数解析式变为． ∵点在函数图象上，将代入解析式： 解得 ． ∴该二次函数的表达式为． （2）解：将函数解析式配方得：． 抛物线开口向上，顶点坐标为，顶点在自变量范围内， ∴当时，取得最小值，． 分别计算区间端点的函数值： 当时，． 当时，． 比较端点函数值，， ∴当时，取得最大值． ∴取值范围． 12．如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 【答案】(1) (2)P点的坐标为，， (3) (4)存在，坐标为和 【分析】（1）利用待定系数法，解答即可； （2）设，根据题意，得，解绝对值方程即可； （3）过点P作轴交直线于点M，设，则， 且，则， 构造面积的二次函数，解答即可． （4）设，则，根据，确定点E的坐标，再利用平移的思想，确定点F的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴的两个交点为，， ， 解得， 函数表达式为：． （2）解：根据题意，点为抛物线上的一动点， 设， ，， ， 面积为8， ， 或， 或， 解得或， ∴或或． （3）解：与y轴交于点C， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴交直线于点M， 设，则， 且， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，面积最大，且最大值为． （4）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 为菱形， ， 设，则 ， 解得， 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故； 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故． 坐标为或， 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $