26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（综合应用）同步讲义（知识点+题型精讲+过关检测） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（综合应用） 目录 知识点1 二次函数核心基础性质（解题底层依据） 2 知识点2 平面直角坐标系几何基础（函数几何通用工具） 2 知识点3 二次函数线段与周长最值核心原理 2 知识点4 二次函数面积求解核心方法 2 知识点5 二次函数角度问题核心判定依据 3 知识点6 特殊三角形存在性核心规律 3 知识点7 特殊四边形存在性核心规律 3 知识点8 二次函数综合动点通用解题思想 3 题型 1 线段周长问题 (二次函数综合) 3 题型 2 面积问题 (二次函数综合) 11 题型 3 角度问题 (二次函数综合) 19 题型 4 特殊三角形问题 (二次函数综合) 30 题型 5 特殊四边形 (二次函数综合) 38 题型 6 其他问题 (二次函数综合) 48 1. 熟练掌握二次函数一般式的图象、对称轴、顶点、增减性、最值等基础性质，能灵活结合图象分析几何问题。 2. 掌握二次函数与几何图形的结合思路，学会将几何线段、周长、面积、角度、特殊图形问题转化为函数坐标问题求解。 3. 熟练掌握动点、存在性类压轴题型的解题流程，掌握分类讨论、数形结合、转化建模的核心思想。 4. 能解决二次函数背景下线段最值、周长最值、面积最值、特殊三角形、特殊四边形存在性等高频压轴问题。 知识点1 二次函数核心基础性质（解题底层依据） 1. 基础公式：对称轴直线x=-b/2a，顶点坐标(-b/2a,4ac-b²/4a)，掌握全域最值与区间最值求解方法。 2. 图象特征：抛物线轴对称性、开口方向、增减性，是几何最值、对称找点的核心依据。 3. 坐标求解：可快速求解抛物线顶点、与x轴交点、与y轴交点、任意自变量对应的函数点坐标。 知识点2 平面直角坐标系几何基础（函数几何通用工具） 1. 线段长度公式：已知两点坐标，水平/竖直线段直接坐标作差，斜线段用勾股定理、距离公式。 2. 中点坐标公式：用于判断对称点、平行四边形中点重合、线段平分问题。 3. 直线斜率与垂直关系：两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积为-1，用于角度、垂直判定。 知识点3 二次函数线段与周长最值核心原理 1. 将军饮马模型：利用抛物线对称轴作对称点，折线段转直线段，求周长、线段和最小值。 2. 垂线段最短：抛物线上动点到定直线的最短距离为垂线段长度。 3. 线段差最值：利用三角形三边关系，求线段差的最大值问题。 知识点4 二次函数面积求解核心方法 1. 割补法：不规则图形面积拆分/补全为规则三角形、梯形、矩形面积。 2. 铅垂高、水平宽公式：二次函数三角形面积必考公式，S=1/2×水平宽×铅垂高。 3. 面积最值：将面积表示为二次函数解析式，利用顶点求最大/最小值。 知识点5 二次函数角度问题核心判定依据 1. 特殊角判定：30°、45°、60°、90°，通过边长比例、垂直关系、等腰直角三角形判定。 2. 角度相等/倍数问题：利用平行线、对称性质、相似三角形转化角度关系。 知识点6 特殊三角形存在性核心规律 1. 等腰三角形：两腰相等，分三类讨论：定点两两边、动点为顶点。 2. 直角三角形：三边满足勾股定理，分三个顶点为直角顶点分类讨论。 3. 等边三角形：三边相等且夹角60°，结合坐标距离公式求解。 知识点7 特殊四边形存在性核心规律 1. 平行四边形：核心判定——对角线互相平分（中点坐标相同）、对边平行且相等。 2. 矩形：平行四边形基础上邻边垂直/对角线相等。 3. 菱形：平行四边形基础上邻边相等/对角线垂直。 4. 正方形：兼具矩形和菱形性质，邻边相等且垂直。 知识点8 二次函数综合动点通用解题思想 1. 数形结合：几何条件转化为坐标、方程、函数关系。 2. 分类讨论：动点、存在性问题必须全面分类，杜绝漏解。 3. 函数建模：将几何最值、范围问题转化为二次函数最值、取值范围问题。 题型 1 线段周长问题 (二次函数综合) 核心解题技巧 1. 单线段最值：竖直/水平线段直接用坐标差表示，转化为二次函数最值求解；斜线段优先用垂线段最短、抛物线顶点最值求解。 2. 周长最值（将军饮马）：三角形、四边形折线周长最值，固定对称轴作定点对称点，将折线距离转化为两点直线距离，直线与抛物线交点即为动点位置。 3. 周长定值问题：判断线段平移、对称抵消，证明周长为固定常数。 4. 避坑要点：必须区分最小值、最大值，线段差最大值多用三角形三边关系求解。 【典例1】．如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P的坐标为，利用两点间距离公式可得，再代入中整理成顶点式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，是轴上的两点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值为36，即选项B符合题意． 【变式1】．已知：如图，抛物线 上任意一点到定点的距离与到定直线l： 的距离相等，点G坐标为，于点H，当位于y轴左侧的点C的坐标为______________时， 有最大值． 【答案】 【分析】连接，由题意得，推得，所以当点A，G，C三点共线时，取最大值，最大值是线段的长，然后求出直线的解析式为，求出该直线与抛物线的交点坐标即可． 【详解】解：连结， 由已知，，则， ， 当点A，G，C三点共线时，取最大值，最大值是线段的长， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得，， 点C位于y轴左侧， ， 当时，， 点C的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与线段相关的最值问题，二次函数图象与性质， 求一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，正确理解题意，分析线段差的最值的几何意义是关键． 【变式2】．如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)S存在最小值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得，，当三点共线时，值最小，求出直线的解析式，代入即可求解； （3）由，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； （3）解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 【变式3】．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为2，的坐标为 (3)存在． 设点， 如图，过点作于点，连接，则， ， ， ∴， ∴ ． ∵，，， ∴， ． 由的面积，得， 即 化简，得， 解得（不符合题意，舍去）， ． 设点与点关于原点对称，则， ． 综上所述，点的坐标为或． 【分析】（1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解； （2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解； （3）根据三角形的面积，可得关于的方程，然后解方程，可得答案 【详解】（1）解：点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为； （3）略． 题型 2 面积问题 (二次函数综合) 核心解题技巧 1. 通用秒杀公式：三角形面积 S=1/2×水平宽×铅垂高，适配所有抛物线上三点构成的三角形，无需复杂割补。 2. 不规则图形：采用“割补法”，拆分多个规则图形求和，或补全大图形减去多余部分。 3. 面积最值：设动点坐标，列出面积关于自变量的二次函数表达式，利用开口方向和顶点求最值，注意自变量取值范围。 4. 面积比例/相等问题：列面积方程，解方程求动点坐标，检验解是否在有效区间。 【典例2】．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 【变式2】．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． (1)求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1), (2)3 【分析】（1）利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式，再代得顶点C． （2）求出直线，用对称轴截出线段作底，以水平距离为高算出面积． 【详解】（1）解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有， 故． （2）解：记对称轴与交于点M， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． 【变式3】．如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，点的坐标为 (2)①②点P的坐标为或或 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【详解】（1）解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； （2）解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 题型 3 角度问题 (二次函数综合) 核心解题技巧 1. 直角问题：利用斜率垂直、勾股定理、向量垂直，列方程求解动点坐标。 2. 45°角问题：构造等腰直角三角形，利用边长相等、横竖坐标差相等求解。 3. 角度相等问题：利用平行线同位角、内错角，或构造相似三角形转化角度。 4. 角度倍数问题：利用外角性质、对称构造二倍角，转化为等角、边长比例问题。 5. 通用思路：角度问题全部转化为边长、垂直、相似关系，避免纯几何角度推导。 【典例3】．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，下列结论：①点的坐标为；②时，；③无论b为何值，抛物线的顶点都在x轴下方；④若抛物线的顶点为点D，时，其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】令，得到，利用因式分解法解方程，得到抛物线与轴的一个交点恒为，即可判定①正确；先求出，两点的坐标，再求出，，可得，即可判定②正确；求出，由，推出，即可判断③错误；先将代入抛物线，得到，然后求出顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，再求得，，，根据勾股定理的逆定理即可判断④正确． 【详解】解：令，得到， ∴， 解得，，， ∴抛物线与轴的一个交点恒为，即为点，故①正确； 当时，另一个交点的坐标为， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线顶点的纵坐标为：， ∵， ∴， ∴当时，顶点的纵坐标为0，顶点在轴上，并非在x轴下方，故③错误； 当时，抛物线为， ∴顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ， ， ∴， ∴为直角三角形， ∴，故④正确； 综上可知，正确的有①②④，共3个． 【变式1】．已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，根据，在上取一点，使得，则．进而得出，构造方程，解方程，即可求解． 【详解】解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． 当时，如图所示， ∵ 在上取一点，使得，则 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） 当时，同理可得 综上所述， 故答案为： 【变式2】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）先求出直线的解析式，证明为等腰直角三角形，则，设，则，可得，即可求解； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，的面积最大，最大值为； （3）解：存在． 当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)符合条件的点M的横坐标为或； 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位， ∵， ∴， ∵点的对应点为G， ∴， 又，， ∴，． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 情形一：如图，当时， 由，可得直线的解析式为， 由，可得直线的解析式为． 设直线的解析式为， 代入得，，解得：， ∴直线的解析式为． 联立 ∴ 解得：或（舍去） 情形二：由情形一可得， 解得：，则 作关于的对称点， ∵，则点在直线上， ∴设， ∵ ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，符合条件的点M的横坐标为或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴于点，得出，设，当的长度取得最大值时，取得最大值，进而求得关于的解析式，根据二次函数的性质求得最值；作，则，， ，得出，作点关于的对称点，连接，则，，进而根据轴对称的性质求得最小值； （3）根据已知得出，进而得出求得其中一个解，再根据对称性即可求得另一个解，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得：， ∴． 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，过点作轴交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当的长度取得最大值时，取得最大值． 设， ∴， ∴， ∵, ∴当时，取得最大值为，则的最大值为， 此时，， ∴． 如图，作，则，， ， ∴， 过点分别作轴的平行线交于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵，则 ∴， ∵， ∴，即最小值为． 作点关于的对称点，连接，，则，， 当与的交点即为点时取得最小值，最小值为的长， ∵的最大值为，且，又点关于的对称点， ∴， ∵， ∴ 在中， 即的最小值为； （3）略 题型 4 特殊三角形问题 (二次函数综合) 核心解题技巧 1. 等腰三角形存在性（三类分类）：①PA=PB ②PA=AB ③PB=AB，设动点坐标，用距离公式列方程求解，舍去无效解。 2. 直角三角形存在性（三类分类）：①∠A为直角 ②∠B为直角 ③∠P为直角，利用勾股定理或垂直斜率关系列方程。 3. 等腰直角三角形：同时满足垂直+边长相等，双重条件锁定坐标。 4. 解题流程：定点定线段→分类讨论→列方程求解→检验位置合理性→得出全部解。 【典例4】．如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， 称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，理解“抛物线三角形”的定义是解题的关键．把抛物线三角形系数代入抛物线，令，求出与轴的交点为，，再求出顶点坐标，然后根据等腰直角三角形的斜边上的高线等于斜边的一半列出方程求解即可得到b的值． 【详解】解：∵抛物线三角形系数为， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 令，则， 解得， ∴与轴的交点为，， ∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形， ∴， ∴或， ∵时，抛物线与x轴只有一个交点， ∴不符合题意， ∴或， 故选：A． 【变式1】．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 【答案】7 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，点坐标的规律计算，掌握二次函数图象的性质，找出规律是关键． 根据等边三角形的性质，二次函数图象的性质得到，，，由此得到（是正整数），令代入计算即可． 【详解】解：∵，，，…，都为等边三角形， ∴，， ，，， 设， 如图所示，过点作轴于点，轴于点，轴于点， ∴，则， 在中，， ∴，， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图象上， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， 同理，，，， ∴，， ∵点在二次函数位于第一象限的图象上， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴，， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ， ∴（是正整数）， ∴的边长为． 故答案为：7 ． 【变式2】．如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M的坐标是或 【分析】（1）先求出点坐标，再设交点式求解即可； （2）过点N作轴交直线于点P，设，则，表示出，再由建立起面积的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）设，①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解；②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，为． （3）解：存在． 设， ①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 题型 5 特殊四边形 (二次函数综合) 核心解题技巧 1. 平行四边形（万能中点法）：已知三点求第四点，利用对角线中点坐标重合，三种对角线组合分类讨论，计算最快、不漏解。 2. 矩形：在平行四边形基础上，增加邻边垂直或对角线相等条件，筛选符合条件的点。 3. 菱形：在平行四边形基础上，增加邻边相等或对角线垂直条件。 4. 正方形：同时满足邻边相等且垂直，条件最严苛，可快速筛选解。 5. 关键提醒：区分“以AB为边”和“以AB为对角线”，两类情况必须分开讨论。 【典例5】．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 【答案】 【分析】首先根据抛物线解析式求出点的坐标，利用抛物线的对称性求出的长，进而根据正方形的性质求出点的坐标及边所在直线的解析式，再求出抛物线的顶点坐标，根据顶点在边上建立关于的方程求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴点的纵坐标为，即边在直线上， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在边上， ∴， 解得，（舍去）， ∴的值为． 【变式2】．如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2) (3)符合条件的点有三个，坐标为：，， 【分析】（1）先推导出，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出，即，根据三角形的内角和求出，推导出，得到，可推导出是等腰直角三角形，求出，继而求出直线解析式是，联立直线与抛物线，求出点D的横坐标，再求出，即可解答； （3）分类讨论：当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时， ， 解得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：，得 ， 解得（点B，舍去），， 将代入，得 ， ∴； （3）解：设直线解析式是， 把，代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图2， 设，则， ∴， ，四边形是菱形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴， ， 解得（不合题意舍去）或， 此时， ． ②当为菱形的边时，如图， 作于点H，   设，则， ∴，， ， ∴． ∴ 解得：，，（不合题意舍去）． 或． ∴，， 如图所示， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，． 【变式3】．已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 题型 6 其他问题 (二次函数综合) 核心解题技巧 1. 动点坐标范围问题：结合图象增减性、交点位置，确定自变量取值区间。 2. 函数值大小比较：数形结合，看图象上下位置，上方函数值更大。 3. 平移、翻折、旋转综合：图形变换后保持边长、角度不变，利用对称、全等求新坐标。 4. 最值与取值范围综合：先求函数解析式，结合顶点、端点、图象趋势判断最值与范围。 5. 存在性探究问题：先假设存在，列方程求解，有合理解则存在，无理解则不存在。 【典例6】．如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设点坐标为，则，由为线段的中点，得到，，从而求出． 【详解】解：设点坐标为， 轴，， ， 、、三点均在二次函数的图象上， ， 为线段的中点， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式1】．已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 【答案】 【分析】先根据关于轴对称的坐标变换规律求出的解析式，再结合两点都在抛物线上得到对任意m成立的恒等式，利用对应系数相等求解k，验证后得到结果． 【详解】解：∵抛物线与关于轴对称，关于轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴将中的替换为，得的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴． ∵点也在抛物线上， ∴将点坐标代入解析式得． 把代入等式左边，得左边， 展开整理等式右边，得右边． ∵等式对任意实数m都成立， ∴对应项系数相等，可得一次项系数关系，解得． 将代入常数项验证，得，与左边常数项相等，符合要求，因此． 【变式2】．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为B．抛物线关于x轴对称的抛物线为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，点D是抛物线在第四象限上的一点，连接．若，求点D的坐标； (3)当时抛物线与时抛物线组成新的函数G，函数G的图象上有不重合的两点P和Q，点P和点Q的横坐标分别为和，若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得的解析式和直线的解析式，再设点的横坐标为，根据题意列方程即可解答； （3）设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点，求得的横坐标为，根据题意确定的位置，列不等式组即可解答． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 抛物线关于x轴对称的抛物线为， 抛物线的顶点为，与轴交点为， ， 把代入可得， 解得， ， 令， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于点， 设，， ， ，， ， ， 解得（负数舍去）， ， ； （3）解：如图，设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点， 令， 解得，， 在对称轴左侧， 点的横坐标为， 当时，， 要使函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关， 则点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 当时，， 同理，点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 综上，或． 【变式3】．【年月日，中国青年数学家邓煜、王虹斩获纯粹数学领域最高荣誉——菲尔兹奖．实现中国籍数学家在此奖上历史性突破，为中国数学学科长远发展注入强大信心与动力】 我们不妨约定：若点与点满足：．把这样的两个点称为一组“点”，同时经过至少一组“点”的函数称为“菲尔兹函数”．根据约定完成以下问题：已知点与点是“菲尔兹函数”图象上一组“点”． (1)若，满足：是方程的一根，是分式方程的解．求该“菲尔兹函数”的解析式． (2)二次函数，若点与点关于轴对称，求证：二次函数与“菲尔兹函数”的函数图象始终有公共点． (3)已知二次函数的顶点为，与轴的交点为．直线恰好与“菲尔兹函数”的函数图象平行．若，，求二次函数图象上的所有“点”． 【答案】(1) (2)证明：点与点关于轴对称， ，， “点”与为点和，且，代入， 得， 解得， 的解析式为． 联立， 整理得， ， 二次函数与“菲尔兹函数”图象始终有公共点； (3)和 【分析】（1）根据“点”的定义可得，得到，，，再解一元二次方程和分式方程可得，，进而得到点与点的坐标，最后利用待定系数法即可求解； （2）根据对称可得，，则“点”与为点和，进而求出的解析式为，联立函数解析式可得，最后根据一元二次方程根的判别式即可求解； （3）根据题意可得，，设直线的解析式为，利用待定系数法用、的式子表示直线的解析式，由“菲尔兹函数”经过与点即，且，即，得到，根据，得到，结合，，求出，不妨设上“点”为与，再代入中，即可求解． 【详解】（1）解：与点是一组“点”， ， ， 即，，， 由， 解得或，即或， ， 解得，即， 又， ，， “点”为和，代入， 得， 解得， 故“菲尔兹函数”的解析式为； （2）略 （3）二次函数的顶点为，与轴的交点为， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 的解析式为， 又“菲尔兹函数”经过与点即，且，即， ， 解得， ． 又， ， ， ， 解得， ， 不妨设上“点”为与， ， ，整理得， ， 代入①得， 解得或， “点”为和． 1．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：由题意知四边形为矩形． 将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 设点的坐标为， 由抛物线的对称性得点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形的周长为， ∴当时，四边形的周长的最大值为10． 3．如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．①根据二次函数的图象经过，，可得到对称轴，并将代入解析式得到b、c与a的关系，及从而判断；②由对称轴和函数的图象可以判断；③算出a和c的关系即可；④由题意得到即可判断； 【详解】解：∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴， ∴，， ∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵， 当时，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； 正确的是①②③共3个． 故选：C． 4．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先利用待定系数法求出抛物线解析式为，直线的解析式为，则，再证明等腰直角三角形得到，所以，则利用轴可设，当时，，然后方程确定点坐标，从而得到的长． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， 轴， 设， 当时，， 解得，， 点坐标为，或，， ． 故选：D． 5．如果抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“量子三角形”．现有以下说法： ①抛物线不存在“量子三角形”； ②若抛物线的“量子三角形”是正三角形，则该正三角形的面积是； ③若抛物线中系数，，均为绝对值不大于1的整数，且该抛物线的“量子三角形”是等腰直角三角形，则符合条件的抛物线共有2条． 其中，正确的说法个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①抛物线是否存在“量子三角形”取决于其与x轴的交点个数，根据判别式即可判断；②通过计算正三角形的边长及面积验证；③枚举符合条件的系数组合，结合等腰直角三角形的几何条件判断．本题关键是掌握二次函数与二次方程的关系，掌握等边三角形、等腰直角三角形的几何特征． 【详解】①正确：抛物线的判别式，故抛物线与x轴无交点，故不存在“量子三角形”． ②正确：抛物线的顶点为，与x轴交于和． 若构成正三角形，则顶点到交点的距离等于交点间距， 即，解得， 则正三角形的边长，面积为． ③正确：要满足题意，则， 设两根为，则， 二次函数与x轴两交点之间的距离，即等腰直角三角形的底边边长为： ， 要使该等腰三角形为等腰直角三角形，则：， ∴， ∴， 又∵为绝对值不大于1的整数，， ∴ ∴或， 即满足条件的抛物线有两条． 故选：D． 6．如图，在第一象限内作射线，与轴的夹角为，在射线上取一点，过点作轴于点，得到．在抛物线上取点，在轴上取点，使得以，O，为顶点的三角形与全等，则不符合条件的的面积是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论： ①当A、P重合，∠时，此时，可联立直线和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ②，即直线，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出的长，由于，那么、，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ③当时，此时，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ④当，此时，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①如图1，当A、P重合，∠时，此时， ∵， ∴， 设，则，， ∴． 设直线， ∴， ∴， ∴直线，联立抛物线的解析式， ∴， 解得或 故， ∴； ②作轴于点Q，当∠时，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，解得或， ∴ ∴； ③如图3，当时，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ④如图4，当，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，解得或， ∴P， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的面积为：． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法，解题关键是一定要注意进行分类讨论． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设正方形的对角线长为，则，，，然后代入得，解得，然后求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的对角线长为，则，，， 把，的坐标代入解析式可得：， 解得， ∴， 故选：． 8．在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得出二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，根据二次函数经过时，最大，求解即可． 【详解】解：二次函数表达式为， 故二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 若该函数的图象与四边形的边有交点， 则当二次函数经过时，最大， 代入得，解得：（舍去）或， 故选：C． 9．如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】过作轴交直线于，由等腰三角形的判定及性质、勾股定理得，设，则，则有，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：过作轴交直线于， 轴， ， 对于， 当时，， 当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 当时，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰三角形的判定及性质；能将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 10．如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 【答案】 【分析】本题是二次函数的综合题，求最大值的问题．作于点H，作轴于点N，交于点M，先求得直线的解析式为，当取最大值时，P点到直线的距离有最大值，设，．用表示的长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，，， ∵， ∴， 作于点H，作轴于点N，交于点M， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当取最大值时，P点到直线的距离有最大值， 设，． ∴． ∴． ∵， ∴当时，． ∴． 故答案为：． 11．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【答案】 【分析】运用待定系数法求得解析式，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，可得到，利用三角形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点， 则， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为． 12．在平面直角坐标系中，点和是抛物线上的两点，过点B作x轴的垂线交x轴于点C．当的面积小于4时，a的值可以是______________．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出、，从而可得，且，表示出，根据三角形面积公式列出不等式，结合求出的取值范围，任选范围内一个值即可． 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，即， ∴， ∴，且， ∵轴， ∴点坐标为， ∴， ∴， ∵的面积小于4， ∴，即， 解得：， ∵， ∴的取值范围是， ∵当时，，此时与点重合，无法构成三角形，故不符合题意， ∴的取值范围是且， 故a的值可以是（答案不唯一）． 13．如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．点P在抛物线对称轴上，点Q在坐标平面内，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为______． 【答案】或或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，两点距离计算公式，先求出点A，点B和点C的坐标，进而可得对称轴为直线；设，分当为对角线时，则，当为对角线时，则，当为对角线时，则三种情况，讨论求解即可． 【详解】解：在中，当时，，则， 当时，则，解得或，则， ∴对称轴为直线； 设， 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得或， ∴或 ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴，或 ∴或， ∴点Q的坐标为或； 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得或， ∴或 ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴，或 ∴或， ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或或或； 故答案为：或或或或． 14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）根据顶点坐标即可得到抛物线的解析式； （2）根据（1）所求求出点的坐标，再由对称性得到点的坐标，结合平行四边形的性质求解面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 顶点为， ∴对称轴为直线， 轴，交该抛物线于点和点， 关于直线对称， ， ， ∴． 15．如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)； (2) (3)向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度 【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线一般式，解二元一次方程组求得、，即可得到抛物线函数表达式；将表达式配方为顶点式，直接写出顶点的坐标即可； （2）先用待定系数法求直线的解析式，设点横坐标为，用表示、的坐标，通过两点纵坐标差写出关于的二次函数，利用二次函数性质求出的最大值即可； （3）先确定最大时点、的坐标，设平移后顶点，则，根据的位置，分在轴上方、下方两种情况，依据菱形邻边相等列方程求、，舍去无解情况，根据顶点坐标的变化量即可确定抛物线的平移方式． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 化为顶点式，得， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为，代入、得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点的横坐标为，则，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，在取值内， ∴当时，； （3）解：由（2）当的长最大时，，点，点， 设平移后抛物线顶点，抛物线对称轴为直线，对称轴交轴于点， 根据的位置，可分两种情况讨论： ①如图，当点在轴上方时，四边形是菱形，则， ∴， 解得或， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； ∴的坐标为或， ∵抛物线的顶点为， ∴当的坐标为时，，，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度； 当的坐标为时，，，抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度； ②当点在轴下方时，四边形是菱形，则， ∴， 两边平方，得， 移项并整理，得， ∴此方程无实数根， 故此情况不成立； 综上，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，能使得以、、、为顶点的四边形是菱形． 16．如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为． (1)若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)的长为6米 (2)当的长为5米时，矩形花圃的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据题意得，为，利用长方形的面积公式列方程，求出的值，再结合题意求出符合的值； （2）根据题意得，再配方变为顶点式，根据的取值范围和二次函数的性质求得围成的花圃的最大面积． 【详解】（1）解：根据题意得，为， ∴ 解得，， 又∵墙的最大可用长度为， ∴，解得， 舍去， ； （2）解：根据题意得， ， ， 有最大值，且当时，y随x的增大而减小， 由（1）得，， 当时，有最大值， ∴． 17．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 18．如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)能，点Q的坐标为或 【分析】（1）因为已知抛物线对称轴、点A的坐标，所以根据对称性求出点B的坐标，设抛物线解析式为交点式，将点C的坐标代入求解系数a，即得解析式． （2）首先求直线的解析式，设点P的横坐标为参数，用参数表示点P的坐标；因为平行于x轴，垂直于，所以分别用参数表示D、E的坐标，进而得到和的长度表达式，将整理为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最大值． （3）判断平行四边形存在性：分为边、为对角线两类讨论．如果为边，那么平行且等于，据此建立点P和点Q坐标的关系，结合点Q在直线上、点P在抛物线上的条件列方程求解；如果为对角线，那么和互相平分，利用中点坐标公式建立坐标关系，联立方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交于， ∴， ∴点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． （2）解：如图所示，设，直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，，点D，E都在直线上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 分别将点的坐标代入直线， 得，， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是3． （3）解：能，理由如下： ∵， ∴， 若以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形， ①当以为边时，则且， ∵点在直线下方，如图所示， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴，， ∴； ②当以为对角线时，连接交于点G，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点M，于点N，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴． 综上所述，以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点Q的坐标为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（综合应用） 目录 知识点1 二次函数核心基础性质（解题底层依据） 2 知识点2 平面直角坐标系几何基础（函数几何通用工具） 2 知识点3 二次函数线段与周长最值核心原理 2 知识点4 二次函数面积求解核心方法 2 知识点5 二次函数角度问题核心判定依据 3 知识点6 特殊三角形存在性核心规律 3 知识点7 特殊四边形存在性核心规律 3 知识点8 二次函数综合动点通用解题思想 3 题型 1 线段周长问题 (二次函数综合) 3 题型 2 面积问题 (二次函数综合) 5 题型 3 角度问题 (二次函数综合) 6 题型 4 特殊三角形问题 (二次函数综合) 8 题型 5 特殊四边形 (二次函数综合) 9 题型 6 其他问题 (二次函数综合) 11 1. 熟练掌握二次函数一般式的图象、对称轴、顶点、增减性、最值等基础性质，能灵活结合图象分析几何问题。 2. 掌握二次函数与几何图形的结合思路，学会将几何线段、周长、面积、角度、特殊图形问题转化为函数坐标问题求解。 3. 熟练掌握动点、存在性类压轴题型的解题流程，掌握分类讨论、数形结合、转化建模的核心思想。 4. 能解决二次函数背景下线段最值、周长最值、面积最值、特殊三角形、特殊四边形存在性等高频压轴问题。 知识点1 二次函数核心基础性质（解题底层依据） 1. 基础公式：对称轴直线x=-b/2a，顶点坐标(-b/2a,4ac-b²/4a)，掌握全域最值与区间最值求解方法。 2. 图象特征：抛物线轴对称性、开口方向、增减性，是几何最值、对称找点的核心依据。 3. 坐标求解：可快速求解抛物线顶点、与x轴交点、与y轴交点、任意自变量对应的函数点坐标。 知识点2 平面直角坐标系几何基础（函数几何通用工具） 1. 线段长度公式：已知两点坐标，水平/竖直线段直接坐标作差，斜线段用勾股定理、距离公式。 2. 中点坐标公式：用于判断对称点、平行四边形中点重合、线段平分问题。 3. 直线斜率与垂直关系：两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积为-1，用于角度、垂直判定。 知识点3 二次函数线段与周长最值核心原理 1. 将军饮马模型：利用抛物线对称轴作对称点，折线段转直线段，求周长、线段和最小值。 2. 垂线段最短：抛物线上动点到定直线的最短距离为垂线段长度。 3. 线段差最值：利用三角形三边关系，求线段差的最大值问题。 知识点4 二次函数面积求解核心方法 1. 割补法：不规则图形面积拆分/补全为规则三角形、梯形、矩形面积。 2. 铅垂高、水平宽公式：二次函数三角形面积必考公式，S=1/2×水平宽×铅垂高。 3. 面积最值：将面积表示为二次函数解析式，利用顶点求最大/最小值。 知识点5 二次函数角度问题核心判定依据 1. 特殊角判定：30°、45°、60°、90°，通过边长比例、垂直关系、等腰直角三角形判定。 2. 角度相等/倍数问题：利用平行线、对称性质、相似三角形转化角度关系。 知识点6 特殊三角形存在性核心规律 1. 等腰三角形：两腰相等，分三类讨论：定点两两边、动点为顶点。 2. 直角三角形：三边满足勾股定理，分三个顶点为直角顶点分类讨论。 3. 等边三角形：三边相等且夹角60°，结合坐标距离公式求解。 知识点7 特殊四边形存在性核心规律 1. 平行四边形：核心判定——对角线互相平分（中点坐标相同）、对边平行且相等。 2. 矩形：平行四边形基础上邻边垂直/对角线相等。 3. 菱形：平行四边形基础上邻边相等/对角线垂直。 4. 正方形：兼具矩形和菱形性质，邻边相等且垂直。 知识点8 二次函数综合动点通用解题思想 1. 数形结合：几何条件转化为坐标、方程、函数关系。 2. 分类讨论：动点、存在性问题必须全面分类，杜绝漏解。 3. 函数建模：将几何最值、范围问题转化为二次函数最值、取值范围问题。 题型 1 线段周长问题 (二次函数综合) 核心解题技巧 1. 单线段最值：竖直/水平线段直接用坐标差表示，转化为二次函数最值求解；斜线段优先用垂线段最短、抛物线顶点最值求解。 2. 周长最值（将军饮马）：三角形、四边形折线周长最值，固定对称轴作定点对称点，将折线距离转化为两点直线距离，直线与抛物线交点即为动点位置。 3. 周长定值问题：判断线段平移、对称抵消，证明周长为固定常数。 4. 避坑要点：必须区分最小值、最大值，线段差最大值多用三角形三边关系求解。 【典例1】．如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．已知：如图，抛物线 上任意一点到定点的距离与到定直线l： 的距离相等，点G坐标为，于点H，当位于y轴左侧的点C的坐标为______________时， 有最大值． 【变式2】．如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式3】．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型 2 面积问题 (二次函数综合) 核心解题技巧 1. 通用秒杀公式：三角形面积 S=1/2×水平宽×铅垂高，适配所有抛物线上三点构成的三角形，无需复杂割补。 2. 不规则图形：采用“割补法”，拆分多个规则图形求和，或补全大图形减去多余部分。 3. 面积最值：设动点坐标，列出面积关于自变量的二次函数表达式，利用开口方向和顶点求最值，注意自变量取值范围。 4. 面积比例/相等问题：列面积方程，解方程求动点坐标，检验解是否在有效区间。 【典例2】．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【变式2】．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． (1)求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)求的面积． 【变式3】．如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型 3 角度问题 (二次函数综合) 核心解题技巧 1. 直角问题：利用斜率垂直、勾股定理、向量垂直，列方程求解动点坐标。 2. 45°角问题：构造等腰直角三角形，利用边长相等、横竖坐标差相等求解。 3. 角度相等问题：利用平行线同位角、内错角，或构造相似三角形转化角度。 4. 角度倍数问题：利用外角性质、对称构造二倍角，转化为等角、边长比例问题。 5. 通用思路：角度问题全部转化为边长、垂直、相似关系，避免纯几何角度推导。 【典例3】．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，下列结论：①点的坐标为；②时，；③无论b为何值，抛物线的顶点都在x轴下方；④若抛物线的顶点为点D，时，其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为_________． 【变式2】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 题型 4 特殊三角形问题 (二次函数综合) 核心解题技巧 1. 等腰三角形存在性（三类分类）：①PA=PB ②PA=AB ③PB=AB，设动点坐标，用距离公式列方程求解，舍去无效解。 2. 直角三角形存在性（三类分类）：①∠A为直角 ②∠B为直角 ③∠P为直角，利用勾股定理或垂直斜率关系列方程。 3. 等腰直角三角形：同时满足垂直+边长相等，双重条件锁定坐标。 4. 解题流程：定点定线段→分类讨论→列方程求解→检验位置合理性→得出全部解。 【典例4】．如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， 称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（    ） A． B． C．2 D．3 【变式1】．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 【变式2】．如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 题型 5 特殊四边形 (二次函数综合) 核心解题技巧 1. 平行四边形（万能中点法）：已知三点求第四点，利用对角线中点坐标重合，三种对角线组合分类讨论，计算最快、不漏解。 2. 矩形：在平行四边形基础上，增加邻边垂直或对角线相等条件，筛选符合条件的点。 3. 菱形：在平行四边形基础上，增加邻边相等或对角线垂直条件。 4. 正方形：同时满足邻边相等且垂直，条件最严苛，可快速筛选解。 5. 关键提醒：区分“以AB为边”和“以AB为对角线”，两类情况必须分开讨论。 【典例5】．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 【变式2】．如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】．已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型 6 其他问题 (二次函数综合) 核心解题技巧 1. 动点坐标范围问题：结合图象增减性、交点位置，确定自变量取值区间。 2. 函数值大小比较：数形结合，看图象上下位置，上方函数值更大。 3. 平移、翻折、旋转综合：图形变换后保持边长、角度不变，利用对称、全等求新坐标。 4. 最值与取值范围综合：先求函数解析式，结合顶点、端点、图象趋势判断最值与范围。 5. 存在性探究问题：先假设存在，列方程求解，有合理解则存在，无理解则不存在。 【典例6】．如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【变式1】．已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 【变式2】．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为B．抛物线关于x轴对称的抛物线为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，点D是抛物线在第四象限上的一点，连接．若，求点D的坐标； (3)当时抛物线与时抛物线组成新的函数G，函数G的图象上有不重合的两点P和Q，点P和点Q的横坐标分别为和，若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围． 【变式3】．【年月日，中国青年数学家邓煜、王虹斩获纯粹数学领域最高荣誉——菲尔兹奖．实现中国籍数学家在此奖上历史性突破，为中国数学学科长远发展注入强大信心与动力】 我们不妨约定：若点与点满足：．把这样的两个点称为一组“点”，同时经过至少一组“点”的函数称为“菲尔兹函数”．根据约定完成以下问题：已知点与点是“菲尔兹函数”图象上一组“点”． (1)若，满足：是方程的一根，是分式方程的解．求该“菲尔兹函数”的解析式． (2)二次函数，若点与点关于轴对称，求证：二次函数与“菲尔兹函数”的函数图象始终有公共点． (3)已知二次函数的顶点为，与轴的交点为．直线恰好与“菲尔兹函数”的函数图象平行．若，，求二次函数图象上的所有“点”． 1．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 3．如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 5．如果抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“量子三角形”．现有以下说法： ①抛物线不存在“量子三角形”； ②若抛物线的“量子三角形”是正三角形，则该正三角形的面积是； ③若抛物线中系数，，均为绝对值不大于1的整数，且该抛物线的“量子三角形”是等腰直角三角形，则符合条件的抛物线共有2条． 其中，正确的说法个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，在第一象限内作射线，与轴的夹角为，在射线上取一点，过点作轴于点，得到．在抛物线上取点，在轴上取点，使得以，O，为顶点的三角形与全等，则不符合条件的的面积是（   ） A． B． C．或 D． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 8．在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______． 10．如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 11．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 12．在平面直角坐标系中，点和是抛物线上的两点，过点B作x轴的垂线交x轴于点C．当的面积小于4时，a的值可以是______________．（写出一个值即可） 13．如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．点P在抛物线对称轴上，点Q在坐标平面内，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为______． 14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 15．如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 16．如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为． (1)若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 17．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 18．如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $