精品解析：贵州黔西南州兴仁市第一中学2026-2027学年度第一学期第一次月考高二数学试卷

兴仁一中2026～2027学年度第一学期第一次月考 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在三棱锥中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 3. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 则，， 所以在上的投影向量为. 4. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行得出，从而即可求解 【详解】若，则，从而， 即，解之得：. 故选：A 5. 已知直线：，直线：，则命题：是命题：的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件求解. 【详解】由可得：， 解得：或， 当时，两直线重合，不合题意， 当时，两直线平行. 故选：C. 6. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理列出关于的方程组，可求得答案. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B 7. 在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合已知条件，根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以. 故选：A 8. 如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系得到平面的法向量和平面外的点与平面内一点连线的方向向量，利用向量计算点到平面的距离． 【详解】平面，且，故以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系； ，，且，； 为的中点，，故，； 则，，； 设为平面的法向量，则 ，即，解得， 令，可得； 设点到平面的距离为， 则，故点到平面的距离为． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线（）必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过，两点的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线方程提出参数确定直线恒过定点坐标确定A选项；根据截距的定义判断B选项；根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角判断C选项；根据两点式方程所满足的条件判断D选项． 【详解】由可得，令可得，，， 故直线恒过定点，A正确； 由，令计算可得，故在轴上的截距为，B错误； 由可得，故， 由倾斜角的正切值为斜率可得，可得倾斜角为，故C正确； 过，两点的直线当时，直线方程为，故D错误． 10. 设为不同的直线，为不同的平面，下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据直线、平面间的位置关系判断． 【详解】对于A，若，可能有，A错误； 对于B，若，，与可能平行，可能相交也可能在内，B错误； 对于C，设，在直线上任取一点， 在平面内过作于点，在平面内过作于点， 因为，所以，同理， 而过空间一点作一个平面的垂线有且只有一条， 所以与重合，且重合为与的交线，即直线， 所以，C正确； 对于D，，说明直线的方向向量是平面的法向量， 直线的方向向量是平面的法向量，， 则平面的法向量与平面的法向量垂直，因此两平面垂直，D正确. 11. 如图，在直棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，点为的中点，点为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截四棱柱所得的截面是五边形 B. C. 平面与平面ABCD所成角的余弦值为 D. 若∥平面，则点轨迹的长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出截面判断A，由线面垂直的判定与性质定理判断B，用空间向量法求二面角判断C，确定出动点轨迹后判断D. 【详解】对A，取中点，连接PM，如图，则（都与平行），所以四点共面， 则平面截四棱柱所得的截面是四边形，A错误． 对B，连接，由题意可得，底面， 底面ABCD，所以，而平面， 所以平面，又平面，所以，B正确． 对C，设AC与BD交于点，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，易知平面ABCD的一个法向量为， 则，C正确． 对D，连接，由A项知四点共面，平面， 又平面平面，所以， 所以的轨迹为线段（不含点），，D正确． 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理的推论（若四点共面，则从同一点出发的三个向量系数之和为 1），代入已知系数建立方程求解. 【详解】因为点在平面内，且，所以，解得． 故答案为：. 13. 已知是直线l上一点，且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线的法向量可求得直线的斜率，再由点斜式方程可得解. 【详解】因为是直线的法向量， 所以直线的斜率， 又点是直线上点，所以直线的方程为， 整理得. 故答案为：. 14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量法计算直线与平面所成角的正弦值； 【详解】设直线的方向向量为， 由材料可知平面的一个法向量， 平面的一个法向量， 平面的一个法向量， 因为直线是两平面与的交线，则有， 即且，不妨取 所以，. 则直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以直线方程为：． 【小问2详解】 由题意知，，则线段的中点， 直线的斜率， 因为直线与直线垂直，则有，所以， 再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为：， 化为一般式为：． 16. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长. （1）这种“浮球”的体积是多少? （2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？ 【答案】（1） （2）克 【解析】 【分析】（1）利用球和圆柱体积公式即可求解得到结果； （2）结合球的表面积和圆柱侧面积公式可求得几何体的表面积，进而确定所需胶的质量. 【小问1详解】 该半球的直径，“浮球”的圆柱筒直径也是，， 两个半球的体积之和为， 又， 该“浮球”的体积是. 【小问2详解】 上下两个半球的表面积， “浮球”的圆柱筒侧面积为， 个“浮球”的表面积为， 个“浮球”的表面积的和为， 每平方厘米需要涂胶克，共需要胶的质量为（克）. 17. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． （1）求的长； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）以为基底，表示向量，用向量数量积的方法求向量的模. （2）利用空间向量基本定理，结合数量积的有关应用求向量夹角的余弦值. 【小问1详解】 以为基底，则，，，. ， 所以，即的长为. 【小问2详解】 ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，． 18. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）已知，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换求得. （2）利用正弦定理、三角恒等变换等知识求得周长的取值范围． 【小问1详解】 由正弦定理，得， 代入原式，化简得， 交叉整理，变形为. 若，化简得，与三角形内角范围矛盾，舍去； 若，则，结合，得，即. 【小问2详解】 由，，，得 . ，， ， ，则，所以， 所以. 周长，即. 19. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的大小； （3）若线段上总存在一点，使得，求的最大值. 【答案】（1）证明负了解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设与交于点，连接，结合平行四边形的判定性质，再利用线面平行的判定定理推理即得. （2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法求解即得. （3）由（2）的信息，利用空间向量垂直的坐标表示建立函数求解即可. 【小问1详解】 设，连结，，矩形中，是线段的中点，是线段的中点， 则，，于是为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由平面平面，，平面平面，平面， 得平面，又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立如空间直角坐标系，， 则， ，，设平面的法向量为， 则，令，得， 由，得平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则，解得， 所以平面与平面夹角的大小为. 【小问3详解】 由（2）知，， 则，，设， 则，，于是， 由，得，即，因此，又， 所以，即的最大值为. 【点睛】关键点睛：第三问，设，其中，根据向量的坐标表示得到，，再由垂直关系列方程得到参数关系为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴仁一中2026～2027学年度第一学期第一次月考 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在三棱锥中，（    ） A. B. C. D. 2. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：，直线：，则命题：是命题：的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且．若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线（）必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过，两点的直线方程为 10. 设为不同的直线，为不同的平面，下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在直棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，点为的中点，点为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截四棱柱所得的截面是五边形 B. C. 平面与平面ABCD所成角的余弦值为 D. 若∥平面，则点轨迹的长度为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则___________． 13. 已知是直线l上一点，且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为______． 14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知，，求线段的垂直平分线的方程． 16. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长. （1）这种“浮球”的体积是多少? （2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？ 17. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． （1）求的长； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 18. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）已知，求周长的取值范围． 19. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的大小； （3）若线段上总存在一点，使得，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $