第9讲 有理数的乘法 讲义（7大题型共58题+解题技巧） 2026-2027人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘法这一核心知识点，系统梳理有理数乘法法则（含符号确定与绝对值运算）、倒数的意义及求法、乘法运算律（交换律、结合律、分配律）、多个有理数相乘的符号规律，以及实际应用，构建从基础运算到规律应用的学习支架，衔接有理数加减法，为后续整式乘除奠定基础。 该资料通过分层设计（基础练习、变式练习、综合检测）与多样题型（辨析、运算、实际应用、新定义问题），强化运算能力培养，如明确乘法步骤、指导简便运算方法。结合温度变化、盈利亏损等实例，渗透应用意识，助力学生用数学思维解决实际问题。课中辅助教师高效授课，课后学生可通过练习与中考真题衔接，查漏补缺，巩固知识。

第9讲 有理数的乘法 学习目标 1、掌握有理数乘法法则，会进行有理数乘法运算。 2、理解倒数的意义，会求一个有理数的倒数。 3、理解并灵活应用有理数乘法运算律进行简化运算. 4、会进行多个有理数相乘的运算. 5、应用有理数乘法运算解决实际问题. 核心素养： 运算能力 应用意识 知识结构 知识点一 有理数的乘法 1、 有理数乘法法则 2、有理数乘法的运算步骤 第一步：确定积的符号；第二步：绝对值相乘. 同号得正 异号得负 例如： 绝对值相乘 绝对值相乘 注意：(1)在乘法算式中，若第一个数是负数，则该数可以不加括号；若负数不在首位，则该负数必须加括号. 有理数相乘过程中的注意点 (2)在乘法运算中，带分数一般要化为假分数，以便于约分． (3)乘法运算的最终结果一定是最简分数或整数. 【基础练习1-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）_______（______________）_______； （2）_______（______________）_______； （3）_______（______________）_______； （4）_______（______________）_______； （5）_______． 【基础练习1-2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 有理数的倒数 知识点二 有理数的倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数，如和 注意：(1)倒数是指两个数之间的关系，可以说一个数是另一个数的倒数，或两个数互为倒数，但不能说某一个数是倒数. (2)若，则的倒数为 (3)倒数与相反数的区别： 类型 意义 性质 判定 相反数 只有符号不同的两个数 若，互为相反数，则 若，则，互为相反数 倒数 乘积是1的两个数 若，互为相反数，则 若，则，互为相反数 提醒：(1)倒数等于它本身的数是1或. (2)互为倒数的两个数一定同号，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数， (3)0没有倒数. 【基础练习2-1】（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）若一个数的倒数是，则这个数是_______． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： 1，，，3.5． 有理数的乘法运算律 知识点三 有理数的乘法运算律 运算律 语言叙述 字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 注意：(1)利用乘法分配律时，必须把括号外的数和括号内的每一个数都相乘，切不可漏乘。 (2)利用乘法交换律时，只改变因数的位置，不能改变因数本身的符号。 拓展：乘法运算律可推广到三个或三个以上有理数的乘法中 【基础练习3-1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【基础练习3-2】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）简便计算： (1) (2) 多个有理数相乘 知识点四 多个有理数相乘的方法： 注意：多个非零有理数相乘，乘积的符号只与负因数的个数有关。 【基础练习4-1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）4个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 【基础练习4-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型1 利用有理数乘法法则辨析 【典例】(2026·天津河西·模拟预测）下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变式练习1-1】（25-26七年级上·北京昌平·阶段检测）、、为非零有理数，它们的积必为正数的是（    ） A．，、同号 B．，、异号 C．，、异号 D．、、同号 【变式练习1-2】（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）设，是正有理数，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 先数负因数的个数，奇负偶正；再检查是否有因数0，有0则积为0。 题型2 有理数乘法运算 【典例】（26-27七年级上·全国·课前预习）计算： (1) (2) 【变式练习2-1】（24-25七年级上·陕西延安·阶段检测）在，，0，1，3中任取两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b，求的值． 【变式练习2-2】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)． 在有理数乘法运算中，首先确定积的符号，然后转化为小学学过的乘法法则进行计算即可. 题型3 应用乘法交换律和乘法结合律计算 【典例】（25-26六年级上·黑龙江绥化·开学考试）要使计算简便，可运用（ ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法分配律 【变式练习3-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （_______）（_______）（利用乘法交换律） （_______）（_______）（利用乘法结合律） （_______）（_______）_______． 【变式练习3-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 乘法运算中经常把两个互为倒数或积为整百、整千的数先结合在一起；运用乘法交换律和结合律的目的是把容易计算的几个因数先进行计算. 题型4 应用乘法分配律或逆用乘法分配律计算 【典例】（25-26七年级上·全国·课堂例题）计算时，观察算式的特点，运用分配律可得： 原式_______________ ___=______________=_____________． 【变式练习4-1】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）简便计算 (1) (2) 【变式练习4-2】（25-26七年级上·广东茂名·期中）数学老师布置了一道思考题：，小明仔细思考了一番，用了一种不同方法解决了这个问题，小明解法如下：原式的倒数为，所以． (1)请你判断小明的解答是否正确 (2)请你运用小明的解法解答下面的问题 计算： (1)运用分配律时，要用括号外的因数乘括号内的每一个因数，不能有遗漏； 逆用：(2)有时可以把运算律“逆用”，简化运算 题型5 有理数乘法的实际应用 【典例】（25-26七年级上·山东德州·期中）某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低．若该地地面温度为，求距离地面5千米的高度气温是多少？ 【变式练习5-1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）老师在使用“助教批改作业”，设定规则如下：识别到选择题答对1题记为，答错1题记为．小明的10道选择题中，有4道被识别为答错，则4道错题应记为（   ） A． B． C． D． 【变式练习5-2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）某公司去年月平均每月亏损1.6万元，月平均每月盈利14.7万元，月平均每月盈利12.4万元，月平均每月亏损2.6万元（记盈利额为正，亏损额为负），请通过计算说明该公司去年总的盈亏情况． 题型6 倒数 【典例】（25-26七年级上·全国·课后作业）写出，，，，的倒数． 【变式练习6-1】（25-26七年级上·河南信阳·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，则的值为____________． 【变式练习6-2】（2026·山东德州·一模）的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 (1)真分数和假分数：交换它们的分子、分母就得到该数的倒数， (2)整数：先看成是分母为1的分数，再颠倒分子、分母的位置； (3)小数化为分数，带分数化为假分数，再求变形后的分数的倒数. (4) 求一个数的倒数，不改变这个数的符号. 题型7 有理数乘法运算中的新定义问题 【典例】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）规定新运算，，求： (1) (2) 【变式练习7-1】（24-25七年级上·云南楚雄·期末）定义一种新运算： ，则_____． 【变式练习7-2】（24-25七年级上·云南玉溪·期中）我们把符号“”读作“n的阶乘”， 规定：其中n为自然数， 当时，；当时，．例如：．又规定：在含有阶乘和加减乘除运算时，应先计算阶乘，再乘除，最后加减，有括号就先算括号里面的．按照上面的定义和运算顺序，计算： (1) (2) (3)用具体数试验一下， 看看等式是否恒成立？ 新定义题的本质是一种规定，规定某种运算方式，然后按照规定去计算、求值.解决此类问题，关键是理解新定义，将其转化为我们所熟知的加、减、乘等运算。 综合检测 一．选择题 1．（2025·天津·模拟预测）计算的结果是（    ） A．6 B． C．5 D． 2．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·重庆·期末）下列各数中，的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·课堂例题）几个不是0的有理数相乘，它们的积的符号（    ） A．由因数的个数决定 B．由正因数的个数决定 C．由负因数的个数决定 D．由负因数的大小决定 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）的原理是（   ） A．乘法对加法的分配律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法结合律和交换律 6．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）计算，用分配律计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·陕西安康·期末）高度每增加1千米，气温就下降．如果现在地面气温是，那么离地面高度为5千米的高空的气温是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）定义运算：，如．则：（    ） A．1 B． C．2 D． 9．（25-26七年级上·江苏南京·期中）若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（25-26九年级下·湖北十堰·自主招生）如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 二．填空题 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：=______． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）___________的倒数是，___________的倒数是． 13．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段检测）若个有理数相乘，积的符号是负号，则这个有理数中，负数有_______个． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （____）（____） （____）（____） ____． 15．（24-25七年级上·河南信阳·期中）计算：_______． 16．（25-26七年级上·河北衡水·期中）在抢答比赛中，规定答对一题记分，答错一题记分．如果甲队答对5个题，答错2个题，则最后得分为______分． 17．（24-25七年级上·山西临汾·期中）定义一种新运算，规定，则____________． 18．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）有一列数：，，，，，，，，，，这列数的前4755个数的积是_______． 三．解答题 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： (1)． (2)． (3)． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 22．（25-26七年级上·河南焦作·期中）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 23．（25-26七年级上·广东惠州·期中）惠州东江与西枝江 “两江四岸” 的滨水风光带，是城市生态与文脉的核心载体．随着 “两江” 高质量发展经济带建设推进，水上巴士作为 “水文旅” 融合的重要项目，承担着通勤接驳与景观巡查的双重功能．某艘水上巴士试航船从合江楼码头（A地，航线核心站点）出发，沿规划航线对沿岸设施、景观节点进行巡查，途经文笔塔、朝京门等多个地标，行驶路线记录如下（向东为正，向西为负，单位：千米）：，，，，，，． (1)最后结束停下的地方离A地 千米． (2)若该船每千米耗油升，求从出发到结束共耗油多少升？ (3)该船结束后要到惠州大桥北桥头（B地）再靠岸，在江面上逆流而行，已知该船静水速度为，水速为，用去半个小时到达B地，该船最后达B地行驶了多少千米？ 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值． (2)请你定义一种新运算“”，使其中含有乘法运算，且． 25．（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． (4)对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 26．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决． (1)计算： (2)由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程 解：原式的倒数为： ． 故原式 请你根据对小明的方法的理解，计算 中考真题 1．（2026·重庆·中考真题）3的倒数是（     ） A． B． C． D．3 2．（2025·江苏南通·中考真题）计算，正确的结果是（   ） A． B．5 C． D．6 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（  ） A． B． C．2 D．4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 有理数的乘法 学习目标 1、掌握有理数乘法法则，会进行有理数乘法运算。 2、理解倒数的意义，会求一个有理数的倒数。 3、理解并灵活应用有理数乘法运算律进行简化运算. 4、会进行多个有理数相乘的运算. 5、应用有理数乘法运算解决实际问题. 核心素养： 运算能力 应用意识 知识结构 知识点一 有理数的乘法 1、 有理数乘法法则 2、有理数乘法的运算步骤 第一步：确定积的符号；第二步：绝对值相乘. 同号得正 异号得负 例如： 绝对值相乘 绝对值相乘 注意：(1)在乘法算式中，若第一个数是负数，则该数可以不加括号；若负数不在首位，则该负数必须加括号. 有理数相乘过程中的注意点 (2)在乘法运算中，带分数一般要化为假分数，以便于约分． (3)乘法运算的最终结果一定是最简分数或整数. 【基础练习1-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）_______（______________）_______； （2）_______（______________）_______； （3）_______（______________）_______； （4）_______（______________）_______； （5）_______． 【答案】 3 6 12 2 24 0 【分析】本题考查了有理数的乘法， 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0．几个有理数相乘的符号法则∶当负因数的个数为偶数时，积为正；当负因数的个数为奇数时，积为负，再把所有因数的绝对值相乘， （1）（2）（3）（4）（5）根据有理数的乘法法则求解即可． 【详解】解∶（1）， 故答案为：，3，6，； （2）， 故答案为：，12，2，24； （3）， 故答案为：，，，； （4）， 故答案为：，，，； （5）， 故答案为：0． 【基础练习1-2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 有理数的倒数 知识点二 有理数的倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数，如和 注意：(1)倒数是指两个数之间的关系，可以说一个数是另一个数的倒数，或两个数互为倒数，但不能说某一个数是倒数. (2)若，则的倒数为 (3)倒数与相反数的区别： 类型 意义 性质 判定 相反数 只有符号不同的两个数 若，互为相反数，则 若，则，互为相反数 倒数 乘积是1的两个数 若，互为相反数，则 若，则，互为相反数 提醒：(1)倒数等于它本身的数是1或. (2)互为倒数的两个数一定同号，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数， (3)0没有倒数. 【基础练习2-1】（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）若一个数的倒数是，则这个数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数． 先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义作答即可． 【详解】， ∵， ∴若一个数的倒数是，则这个数是． 故答案为：． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： 1，，，3.5． 【答案】1；；； 【分析】本题主要考查倒数的概念，根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，整数可视为分母为1的分数，小数需先化成分数，再求倒数． 【详解】解：因为，所以1的倒数是1； 因为，所以的倒数是； 因为，所以的倒数是； 化成分数为，因为，所以3.5的倒数为． 有理数的乘法运算律 知识点三 有理数的乘法运算律 运算律 语言叙述 字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 注意：(1)利用乘法分配律时，必须把括号外的数和括号内的每一个数都相乘，切不可漏乘。 (2)利用乘法交换律时，只改变因数的位置，不能改变因数本身的符号。 拓展：乘法运算律可推广到三个或三个以上有理数的乘法中 【基础练习3-1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】． 【分析】此题主要考查有理数的乘法运算，熟知有理数乘法运算的法则是解题的关键． 直接利用有理数乘法运算法则进行计算即可. 【详解】解：原式 ． 【基础练习3-2】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）简便计算： (1) (2) 【答案】 (1) (2) 【分析】（1）根据，再根据乘法分配律计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式， ， =， ； （2）解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法分配律，熟练运用运算法则，准确计算是本题的关键． 多个有理数相乘 知识点四 多个有理数相乘的方法： 注意：多个非零有理数相乘，乘积的符号只与负因数的个数有关。 【基础练习4-1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）4个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 【答案】D 【分析】利用几个非零有理数相乘，积的符号是负数的个数决定，当负数的个数为奇数个时，积为负，当负数的个数为偶数个数时，积为正，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ∵4个有理数相乘，积的符号是负号， ∴这4个有理数中，负数的个数为1个或3个， ∴正数有3个或1个， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的乘法的应用，熟练掌握有理数乘法中负数的个数决定积的符号是解题的关键． 【基础练习4-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】 (1) (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键． （1）根据有理数乘法运算法则直接求解即可得到答案． （2）根据因数有0，则相乘的结果为0，即可作答． （3）奇数个负数相乘的结果是负数，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型1 利用有理数乘法法则辨析 【典例】(2026·天津河西·模拟预测）下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：①两数之积为正，这两数同为正或同为负，原说法错误； ②三数相乘，积为负，这三个数都是负数或一个数是负数，两个数是正数，原说法错误； ③两数之积为负，这两数为异号，原说法正确； ④几个数相乘，若因数中没有0，则积的符号由负因数的个数决定，若因数中有0，则积为0，原说法错误； ∴说法正确的只有③，共1个． 【变式练习1-1】（25-26七年级上·北京昌平·阶段检测）、、为非零有理数，它们的积必为正数的是（    ） A．，、同号 B．，、异号 C．，、异号 D．、、同号 【答案】A 【详解】异号， 故选A. 点睛：两数相乘，同号为正，异号为负. 【变式练习1-2】（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）设，是正有理数，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法．熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法，有理数的加法对各选项判断作答即可． 【详解】解：，正确，故A不符合要求； ，正确，故B不符合要求； ，错误，故C符合要求； ，正确，故D不符合要求； 故选：C． 先数负因数的个数，奇负偶正；再检查是否有因数0，有0则积为0。 题型2 有理数乘法运算 【典例】（26-27七年级上·全国·课前预习）计算： (1) (2) 【答案】 (1)35 (2)6 【分析】（1）先确定积的符号，再计算积的绝对值； （2）先确定积的符号，再计算积的绝对值． 【详解】（1） （2） 【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法运算法则． 【变式练习2-1】（24-25七年级上·陕西延安·阶段检测）在，，0，1，3中任取两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的乘法运算，任取其中两个数相乘，所得积最小，故这两个数异号．故任取其中两个数相乘，最小的数，同理求得最大的数为，即可求解． 【详解】解：依题意得， ， ∴． 【变式练习2-2】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】 (1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）先把带分数化为假分数，然后进行乘法计算，再计算减法，即可求解； （2）先计算乘法再计算减法，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 在有理数乘法运算中，首先确定积的符号，然后转化为小学学过的乘法法则进行计算即可. 题型3 应用乘法交换律和乘法结合律计算 【典例】（25-26六年级上·黑龙江绥化·开学考试）要使计算简便，可运用（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查的是运算定律应用，解答这道题的关键是明确各种运算律的特点，以及能正确分析算式的特点． 根据分数分母特点，以及乘法交换律和结合律的特点，即可解题． 【详解】解：， 则要使计算简便，可运用乘法交换律和结合律； 故选：C． 【变式练习3-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （_______）（_______）（利用乘法交换律） （_______）（_______）（利用乘法结合律） （_______）（_______）_______． 【答案】 8 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用乘法交换律进行交换，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：；；；；；8； 【变式练习3-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】 (1) (2)35 【分析】本题主要考查了有理数乘法，熟记乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法交换律和结合律计算即可； （2）根据有理数的乘法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 乘法运算中经常把两个互为倒数或积为整百、整千的数先结合在一起；运用乘法交换律和结合律的目的是把容易计算的几个因数先进行计算. 题型4 应用乘法分配律或逆用乘法分配律计算 【典例】（25-26七年级上·全国·课堂例题）计算时，观察算式的特点，运用分配律可得： 原式_______________ ___=______________=_____________． 【答案】 1 【分析】根据乘法分配律计算即可； 【详解】解：原式= = = 故答案为：1；；；；； 【点睛】本题主要考查运用乘法分配律进行有理数乘法运算，正确计算是解题的关键． 【变式练习4-1】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）简便计算 (1) (2) 【答案】 (1) (2) 【分析】（1）利用乘法的分配律计算即可． （2）逆用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】本题考查了乘法的分配律的应用，熟练掌握分配律的顺向应用和逆向应用是解题的关键． 【变式练习4-2】（25-26七年级上·广东茂名·期中）数学老师布置了一道思考题：，小明仔细思考了一番，用了一种不同方法解决了这个问题，小明解法如下：原式的倒数为，所以． (1)请你判断小明的解答是否正确 (2)请你运用小明的解法解答下面的问题 计算： 【答案】 (1)小明的解答正确 (2) 【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可； （2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】（1）解：小明的解答正确， 理由为：一个数的倒数的倒数等于原数； （2）解： ， ∴． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法和除法计算，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． (1)运用分配律时，要用括号外的因数乘括号内的每一个因数，不能有遗漏； 逆用：(2)有时可以把运算律“逆用”，简化运算 题型5 有理数乘法的实际应用 【典例】（25-26七年级上·山东德州·期中）某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低．若该地地面温度为，求距离地面5千米的高度气温是多少？ 【答案】距离地面5千米的高度气温为 【分析】先计算5千米高度对应的气温总降低量，再用地面温度减去该降低量得到高空气温． 【详解】解：∵高度每增加1千米，气温大约降低， ∴距离地面5千米处的气温总降低量为， ∵该地地面温度为， ∴距离地面5千米的高度气温为， 答：距离地面5千米的高度气温是． 【变式练习5-1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）老师在使用“助教批改作业”，设定规则如下：识别到选择题答对1题记为，答错1题记为．小明的10道选择题中，有4道被识别为答错，则4道错题应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义和有理数乘法的应用，根据题目中对答对和答错的记分规定来判断答错4道题的记分. 【详解】解：∵答错1题记为， ∴4道错题记为． 故选：B． 【变式练习5-2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）某公司去年月平均每月亏损1.6万元，月平均每月盈利14.7万元，月平均每月盈利12.4万元，月平均每月亏损2.6万元（记盈利额为正，亏损额为负），请通过计算说明该公司去年总的盈亏情况． 【答案】 该公司去年总的盈利万元 【分析】根据亏损的为负数，盈利的为正数，列式计算即可． 【详解】解：由题得，， ， （万元）． 答：该公司去年总的盈利万元． 题型6 倒数 【典例】（25-26七年级上·全国·课后作业）写出，，，，的倒数． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握“乘积为的两个数互为倒数”是解题的关键. 【详解】解： 的倒数为， 的倒数为， 的倒数为， 的倒数为， ∴的倒数为； 故答案为：． 【变式练习6-1】（25-26七年级上·河南信阳·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，则的值为____________． 【答案】-2020． 【分析】根据互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1计算即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∵，互为倒数， ∴， ； 故答案为：-2020． 【点睛】本题考查了互为倒数的两个数的积和互为相反数的两个数的和，熟记相反数和倒数的意义是解题关键． 【变式练习6-2】（2026·山东德州·一模）的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】根据绝对值，相反数，倒数的定义，逐步计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴， 则的相反数为，的倒数为． 因此所求结果为． (1)真分数和假分数：交换它们的分子、分母就得到该数的倒数， (2)整数：先看成是分母为1的分数，再颠倒分子、分母的位置； (3)小数化为分数，带分数化为假分数，再求变形后的分数的倒数. (4) 求一个数的倒数，不改变这个数的符号. 题型7 有理数乘法运算中的新定义问题 【典例】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）规定新运算，，求： (1) (2) 【答案】 (1) (2) 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是正确理解新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式练习7-1】（24-25七年级上·云南楚雄·期末）定义一种新运算： ，则_____． 【答案】 【分析】根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可．本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式练习7-2】（24-25七年级上·云南玉溪·期中）我们把符号“”读作“n的阶乘”， 规定：其中n为自然数， 当时，；当时，．例如：．又规定：在含有阶乘和加减乘除运算时，应先计算阶乘，再乘除，最后加减，有括号就先算括号里面的．按照上面的定义和运算顺序，计算： (1) (2) (3)用具体数试验一下， 看看等式是否恒成立？ 【答案】 (1)120 (2) (3)不恒成立 【分析】本题考查了新定义下的有理数的乘法，理解新定义的运算法则是解题的关键； （1）根据新定义直接计算即可； （2）根据新定义运算法则计算即可； （3）当和时，根据新定义分别算，即可得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：不恒成立，理由： 当时， ， ，， 不成立， 当时， ， 成立， 综上所述，不恒成立． 新定义题的本质是一种规定，规定某种运算方式，然后按照规定去计算、求值.解决此类问题，关键是理解新定义，将其转化为我们所熟知的加、减、乘等运算。 综合检测 一．选择题 1．（2025·天津·模拟预测）计算的结果是（    ） A．6 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了两个有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键：1、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与相乘，都得；任何数同相乘仍得这个数，任何数同相乘得这个数的相反数；2、数与字母、字母与字母、数与括号之间可以省略乘号；3、有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值；4、在进行乘法运算时，带分数要化成假分数，以便于约分；分数与小数相乘时，要根据数的特点，统一化成分数或小数． 根据有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘；先确定积的符号，再确定积的绝对值”即可直接得出答案． 【详解】解：两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘；先确定积的符号，再确定积的绝对值： 异号得负， 积的符号为负， 把绝对值相乘， ， ， 故选：． 2．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两个有理数的乘法运算，多个有理数的乘法运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 按照有理数的乘法运算法则逐项计算并判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项符合题意； C. ，计算正确，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项不符合题意； 故选：． 3．（25-26七年级上·重庆·期末）下列各数中，的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的意义是解题的关键；因此此题可根据倒数的意义进行求解即可． 【详解】解：的倒数是2； 故选A． 4．（25-26七年级上·全国·课堂例题）几个不是0的有理数相乘，它们的积的符号（    ） A．由因数的个数决定 B．由正因数的个数决定 C．由负因数的个数决定 D．由负因数的大小决定 【答案】C 【分析】可根据有理数乘法运算的符号法则进行判断． 【详解】解：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）的原理是（   ） A．乘法对加法的分配律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法结合律和交换律 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握有理数的乘法结合律. 根据有理数的相关运算律求解即可. 【详解】解：运用的运算律是乘法结合律. 故选：B． 6．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）计算，用分配律计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数乘法的分配律求解即可． 【详解】解： ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的分配律，解题的关键在于能够熟练掌握有理数乘法的分配律． 7．（25-26七年级上·陕西安康·期末）高度每增加1千米，气温就下降．如果现在地面气温是，那么离地面高度为5千米的高空的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法与加法运算及实际问题中的数量关系分析，根据高度每增加1千米气温下降的规律，计算5千米高度气温下降量，再结合地面气温求解． 【详解】解：∵高度增加5千米， ∴气温下降， 又∵地面气温为， ∴高空气温为， 故选：B． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）定义运算：，如．则：（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据已知条件中的新定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 9．（25-26七年级上·江苏南京·期中）若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，由可知与异号；结合，可得：且；再由，结合、，可得：． 【详解】解：， 与异号， 又， ，， ，且、， ， ，，． 故选：A． 10．（25-26九年级下·湖北十堰·自主招生）如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 【答案】C 【分析】根据题意可知、、、是四个互不相等的整数，乘积为9，据此确定四个数的所有可能取值，再根据要让代数式最大，系数大的变量对应取更大的值，计算最大值即可． 【详解】解：m、n、p、q是互不相等的正整数，， 、、、是互不相等的整数， 只能分解为四个互不相等整数的乘积：， 、、、这四个数就是、1、、3， 解得对应的m、n、p、q为1，3，5，7， 要使取得最大值，需让系数最大的变量取最大的数，系数次大的变量取次大的数， 令、、、，代入得： ， 即所求式子最大值为50． 二．填空题 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：=______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． 根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）___________的倒数是，___________的倒数是． 【答案】 / 【分析】根本题主要考查了倒数，据倒数的定义，求一个数的倒数即为求与该数乘积为1的数求解即可． 【详解】解：对于第一个空，由于的倒数是，故的倒数是， 对于第二个空，，其倒数是，故的倒数是． 故答案为：； 13．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段检测）若个有理数相乘，积的符号是负号，则这个有理数中，负数有_______个． 【答案】3或1 【分析】本题考查了多个有理数相乘积的符号，根据多个有理数相乘积的符号由负因数的个数决定进行求解即可． 【详解】解：∵有个有理数相乘，积的符号是负号， ∴负因数的个数为个或个， 那么这个有理数中正数有个或个， 故答案为：或． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （____）（____） （____）（____） ____． 【答案】 8 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的交换律和结合律． 根据有理数乘法的交换律和结合律求解即可． 【详解】 ． 故答案为：，，，8，． 15．（24-25七年级上·河南信阳·期中）计算：_______． 【答案】9 【详解】本题目主要考查了利用乘法运算律计算，熟练掌握运算法则是解题关键． 利用乘法运算律计算即可． 【解答】解： 故答案为：9． 16．（25-26七年级上·河北衡水·期中）在抢答比赛中，规定答对一题记分，答错一题记分．如果甲队答对5个题，答错2个题，则最后得分为______分． 【答案】11 【分析】本题考查了有理数的乘法应用，理解题意，根据题意正确列式计算是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意，最后得分为（分）， 故答案为：11． 17．（24-25七年级上·山西临汾·期中）定义一种新运算，规定，则____________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新运算的法则，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，； 故答案为：． 18．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）有一列数：，，，，，，，，，，这列数的前4755个数的积是_______． 【答案】 4753 【分析】本题考查“有理数的乘法法则”，找到这列数的乘积的规律，发现每几个数之间的乘积为1,是解题关键． 通过观察这列数，发现第1个数是1，第2个数和第3个数的乘积为1，第4个数、第5个数和第6个数的乘积为1，从而找到这列数前几个数乘积的规律，再结合数的符号的规律和数本身的规律，将乘积为1的相邻的数进行分组，分析规律，再进行计算即可． 【详解】观察这列数，可发现 第1个数：； 第2个数和第3个数：； 第4个数、第5个数和第6个数：； 可发现，按照每n个数，n从1开始逐渐加1，其乘积为1，因此可按照这种规律分组观察规律， 时，数为； 时，数为，； 时，数为，，； 可发现，当n为奇数时，第n组数为正数，当n为偶数时，第n组数为负数，且每组数中每个数的绝对值，呈现分子从n开始，一直到1；分母从1开始，一直到n的规律排布， ∵， ∴这列数前4755个数的乘积等于97组乘积为1的数相乘，再乘第4754，4755个数， 由上文可知，第4754，4755个数对应第98组的第1个数和第2个数， 根据规律，当时，符号为负，第1个数为，第2个数为， 故乘积为， 故答案为：． 三．解答题 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： (1)． (2)． (3)． 【答案】 (1)2 (2) (3) 【分析】本题考查倒数，明确倒数的概念是解决问题的关键． （1）利用倒数的概念求解即可． （2）利用倒数的概念求解即可． （3）利用倒数的概念求解即可． 【详解】（1）解：的倒数是2； （2）解：的倒数是； （3）解：的倒数是． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】 (1) (2)0 (3)2 (4) (5)11 (6) 【分析】主要考查有理数的乘法，绝对值的定义，熟记有理数乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则，异号相乘得负，计算即可求解； （2）根据有理数的乘法法则，任何数与0相乘都得0，计算即可求解； （3）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，计算即可求解； （4）根据有理数的乘法法则，异号相乘得负，计算即可求解； （5）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，计算即可求解； （6）先去绝对值，再根据有理数的乘法法则计算即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则. （1）先将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行运算. （2）先将绝对值求出并将带分数化成假分数后进行运算. （3）先将绝对值求出并将小数化成分数，带分数化成假分数后进行运算. （4）先将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行运算. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 （4）解：原式 22．（25-26七年级上·河南焦作·期中）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】 (1)2 (2) (3)0 (4) 【分析】（1）利用乘法的交换律求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可； （3）利用乘法分配律的逆运算求解即可； （4）把原式变形为，然后利用乘法分配律求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键． 23．（25-26七年级上·广东惠州·期中）惠州东江与西枝江 “两江四岸” 的滨水风光带，是城市生态与文脉的核心载体．随着 “两江” 高质量发展经济带建设推进，水上巴士作为 “水文旅” 融合的重要项目，承担着通勤接驳与景观巡查的双重功能．某艘水上巴士试航船从合江楼码头（A地，航线核心站点）出发，沿规划航线对沿岸设施、景观节点进行巡查，途经文笔塔、朝京门等多个地标，行驶路线记录如下（向东为正，向西为负，单位：千米）：，，，，，，． (1)最后结束停下的地方离A地 千米． (2)若该船每千米耗油升，求从出发到结束共耗油多少升？ (3)该船结束后要到惠州大桥北桥头（B地）再靠岸，在江面上逆流而行，已知该船静水速度为，水速为，用去半个小时到达B地，该船最后达B地行驶了多少千米？ 【答案】 (1)7 (2)从出发到结束共耗油升 (3)该船最后达B地行驶了了千米 【分析】（1）计算这些有理数的和，即可知道结束停下的地方离地多远； （2）求出各个数的绝对值的和，进而求出用汽油的升数； （3）船速静水速水速，根据路程速度时间即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得：（千米）， 负号表示方向，距离为绝对值，， 即最后结束停下的地方离地 7 千米， 故答案为：7； （2）解：（升）， 答：从出发到结束共耗油升． （3）解：根据题意，得：（千米）， 答：该船最后达B地行驶了千米． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值． (2)请你定义一种新运算“”，使其中含有乘法运算，且． 【答案】 (1) (2) 示例：定义新运算， 则． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是理解新运算，熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据新定义运算进而代入求出即可． （2）根据题意确定出所求新运算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ． （2）略 25．（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． (4)对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 【答案】 (1)同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加；结果等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，反例看解析 (4) 【分析】本题考查定义新运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键： （1）由给出的算式，得到两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）根据新运算的法则，进行计算即可； （3）不适用，举出一个反例即可； （4）根据，定义一种新运算即可． 【详解】（1）解：两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）解：； （3）不适用，例如：，，， 故结合律在有理数的“”运算中不适用； （4）∵，， 故可以定义． 26．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决． (1)计算： (2)由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程 解：原式的倒数为： ． 故原式 请你根据对小明的方法的理解，计算 【答案】 (1)5 (2) 【分析】（1）直接利用乘法对加法的分配律计算即可； （2）先计算的倒数，把除法化为乘法，利用乘法分配律计算，最后把计算的结果求倒数即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式的倒数为： ， 故原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的灵活运用是解题的关键． 中考真题 1．（2026·重庆·中考真题）3的倒数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数， ， 的倒数是． 2．（2025·江苏南通·中考真题）计算，正确的结果是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】根据有理数乘法法则中“两数相乘，同号得正”来计算的结果．本题主要考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据互为倒数，则，把代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $