精品解析：江西省抚州市金溪县第一中学2026-2027学年上学期高三第一次阶段性作业数学试题

金溪一中2026-2027学年上学期高三第一次阶段性作业 数学学科 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据含量词命题否定的改写规则求解． 【详解】含量词命题否定的改写规则为：改量词，否结论． 所以命题“”的否定是“”． 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，分别将三个数与0、1比较大小即可得解. 【详解】因为指数函数在上单调递减，，所以，即； 因为指数函数在上单调递增，，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，，所以，即. 综上可得. 4. 已知函数，则 （ ） A. B. 8 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求导，计算，再结合导数的定义求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以． 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 6. 如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增， 要让整体在上单调，只需保证在上单调即可， 令，则函数开口向上，对称轴为， 单调递减区间是，单调递增区间是， 在上单调，只需满足对称轴不在内部， 即：或，解得或， 故的取值范围. 7. 已知，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定时函数的零点个数，再转化为三角函数在上有个零点，从而求解的取值范围. 【详解】当时，单调递增， 又，， 故函数在上有一个零点， 则当时，有两个零点， 当时，， 则有，解得， 故的取值范围为. 8. 若正实数满足，则下列大小关系中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，通过分析函数的单调性，结合已知条件判断的大小关系. 【详解】设，定义函数，， 由于对正实数恒成立，因此是单调递增函数， 其中对应 的参数分别为， 当时， 代入得， 因此，故选项D成立； 当时，此时所有，， 对相同的，参数越大，越小，需要更大的 才能让 ， 因此越大对应越大，由 ，得 ，故选项B成立， 当时， 此时所有 ，，对相同的，参数越大，越大， 需要更小的才能让，因此越大对应越小，由， 得 ，故选项A成立，综上，只有 不可能成立. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有(　　) A. 若，则 B. 若，则 C. 对任意实数，都有 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，由两边同除以，即得，即，故A正确； 对于B，当时，若取满足条件，但，故B错误； 对于C，因，当时，有，即，故C错误； 对于D，由可得，将不等式两边同除以，可得，故D正确. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式和二次函数的性质对选项逐个判断即可. 【详解】对于A选项，因为，所以，即， 解得，当且仅当，时等号成立； 对于B选项，因为，所以， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故B错误； 对于C选项，， 由二次函数的性质可得，当时，上式取得最小值为，故C正确； 对于D选项，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，故D错误. 11. 已知函数有4个不同的零点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先构造函数，通过求导分析其单调性与最值，结合绝对值函数的零点情况确定的取值范围，再针对每个选项逐一推导验证. 【详解】设，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，故. 当时，；当时，.图象如下图所示， 函数有4个不同零点等价于有个实根，等价于与各有个解. 选项A：当时有2个解， 要想有个解，需且，即，故选项A正确. 选项B：由得，即. 要证，即证，整理得. 将代入，只需证，化简得. 观察图象可得，，所以，故，不等式成立，故B正确. 选项C： 满足 ， 满足 .要判断 ， 等价于 ， 因为 在 单调递减，只需判断 . 计算得：， 由 得 ，代入上式：， ∵， ∴ 当 时，，此时，即 ，得 ，即 . 因此选项C错误. 选项D：由和，可得，， 两式相减得，即. 因，故，因此，即，故D正确. 【点睛】方法归纳：本题通过构造函数，利用导数研究函数的单调性与最值，结合绝对值方程的零点情况分析参数范围，再通过代数推导或特殊值验证选项正误，核心是转化与化归思想以及数形结合思想的应用. 易错归纳：1. 对绝对值函数的零点分析错误，混淆和的解的区间； 2. 未注意的范围，导致证明失误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先对曲线对应的函数求导得到切线斜率，再结合切点坐标用点斜式写出切线方程并化简. 【详解】对函数 求导可得， 将 代入导函数，得到切线的斜率 ； 已知切线过切点 ，由直线的点斜式方程得， 整理后即得切线方程为 . 13. 若函数对任意的都有，是偶函数，且当时，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】先利用已知条件推导函数周期，再利用函数奇偶性结合已知条件，求出，进而利用周期性求解． 【详解】 ，， 即函数的周期为， 是偶函数， ， 令，则， ． 14. 若正实数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意同构可得，再构造函数，根据单调性得，即，根据导数运算即可求得最小值. 【详解】由，因为，等式两边同乘得， ，故． 由得，． 设，，则， 在上单调递增， ，， ，即，，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，取极小值也是最小值，最小值为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于同构得，构造函数，根据导数得其单调性，进而可得，再将题干条件化简得，根据导数计算求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或，， （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 代入求出集合，先求在全集下的补集，再与集合取交集得到结果； (2) 由转化为，分和两类讨论，列出对应不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 或 或或（也可写为） 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得； 当时，或解得或 所以实数的范围是. 16. 已知函数，（且）. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） 是偶函数，理由如下： 根据题意，要使有意义，则有，， 的定义域为，关于原点对称，， 是偶函数； （2） 【解析】 【分析】(1)利用函数奇偶性的定义即可判断； (2)将利用对数运算性质进行化简，再利用对数函数的单调性解对数不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 当时，，，； 当时，，； 综上所述，实数的取值范围是. 17. 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步．根据国际半导体产业协会（）的数据，在截至年的4年里，中国计划建设家大型半导体工厂．某公司打算在年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为万元，若该型芯片生产线在年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚元的价格售出． （1）已知年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 【答案】（1） （2）芯片产量为万枚时利润最大，最大利润为240万元 【解析】 【分析】（1）利用已知函数模型，结合已知条件分段讨论得出的解析式； （2）利用的解析式，分段讨论不同产量范围的利润最大值，从而得出最大利润． 【小问1详解】 建设成本为万元，售价为每枚元，物料及人工等成本与产量（万枚）关系为：， 当时，， 当时，， 当时，， 的函数解析式为． 【小问2详解】 ， 当时，单调递增，当时取得最大值，最大值为（万元）； 当时，，抛物线开口向下，对称轴为， 故在上单调递增， 在处取得最大值，最大值为（万元）； 当时，，，当且仅当， 即时取等号，即（万元）， 当年该型芯片产量为万枚时利润最大，最大利润为万元． 18. 已知函数． （1）若在处取得极值，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）设，若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用“函数在极值点处一阶导数为零”的必要条件，代入建立关于参数m的方程并直接求解； （2）对原函数求导后，以为分界点进行分类讨论，通过判定导函数的正负，从而确定原函数的单调递增与递减区间； （3）将“双变量恒成立”问题转化为“最值比较”问题，并通过构造以求得右侧最值，再结合左侧的最大值即可解出参数m的取值范围． 【小问1详解】 由题意得，且，解得． 当时, 函数在左右导数符号异号，极值点成立． 综上． 【小问2详解】 由上知， ①当时， 对任意，都有，因此恒成立， 此时，在上单调递增， ②当时， 令，解得，因为，所以， 当时，，此时，单调递增， 当时，，此时，单调递减． 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问3详解】 由题意得， 由上知若，单调递增至，无最大值，不符合题意，因此必须有， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以， 设，则，令，解得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即恒成立， 即恒成立，当且仅当时等号成立， 令，则有，其中， 所以有，整理得， 因为，所以有， 当且仅当时等号成立, 因为在上严格单调递增，且当时, 当时，且， 故必然存在唯一的使得,即等号可以取得， 即恒成立，即， 则，解得． 综上， 实数的取值范围是． 19. 已知函数 （1）若在内单调递增，求a取值范围； （2）记 （i）设，对任意实数和正整数，，求； （ii）若，且互不相等，集合集合M，N为A的子集，它们各有n个元素，且．设且证明： 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性得出即可得解； （2）（i）利用导数求函数的最小值，结合可得，即可得解； （ii）结合函数的单调性及集合的性质，根据新定义化简证明. 【小问1详解】 函数，则， 由于在内单调递增，有． 故取值范围为． 【小问2详解】 （i），为上的增函数，且， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增． 的最小值为.又， 设，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， ，又，，当且仅当时取等号， 所以，且，， 所以． （ii）由（i）可得在上单调递减，在上单调递增． 且的最小值为， 而时，，时，， 由零点存在定理存在两个不同的零点，且两个零点异号， 设这两个零点为，且，下证：. 证明：设，， 则， 故在上为增函数，故， 故，故，所以， 由在上单调递减可得即. 因，由单调性可得相异， 故诸零点相异，故中恰有个不同的元素， 其中正数有个，负数有个， 又，为的子集，它们各有个元素，且， 设包含个负数，个正数，则包含个负数，个正数， ，，，. ，， 从而． 由 ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金溪一中2026-2027学年上学期高三第一次阶段性作业 数学学科 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则 （ ） A. B. 8 C. D. 4 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 已知，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若正实数满足，则下列大小关系中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有(　　) A. 若，则 B. 若，则 C. 对任意实数，都有 D. 若，则 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知函数有4个不同的零点，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为__________． 13. 若函数对任意的都有，是偶函数，且当时，，则______． 14. 若正实数满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或，， （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数，（且）. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，求实数的取值范围. 17. 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步．根据国际半导体产业协会（）的数据，在截至年的4年里，中国计划建设家大型半导体工厂．某公司打算在年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为万元，若该型芯片生产线在年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚元的价格售出． （1）已知年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 18. 已知函数． （1）若在处取得极值，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）设，若，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数 （1）若在内单调递增，求a取值范围； （2）记 （i）设，对任意实数和正整数，，求； （ii）若，且互不相等，集合集合M，N为A的子集，它们各有n个元素，且．设且证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $