精品解析：江西南昌市第二中学2026-2027学年高三上学期月考(一)数学试题

南昌二中2026-2027学年度上学期高三数学月考（一） 命题人：谭佳 审题人：白田 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再写出其共轭复数. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标是，则，故. 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“”的否定是． 3. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】根据角的终边过点，可得， 则，则点位于第四象限. 4. 函数的单调递增区间是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定对数函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”的单调性法则，求解内层正弦函数的单调递增区间，与定义域取交集即可得到结果 【详解】由题知，函数的定义域需满足，即： ，解得：  ， 所以，函数的定义域为 因为外层函数在时单调递增， 所以，根据复合函数“同增异减”的单调性判定规则，要使单调递增，需内层函数在定义域内单调递增， 因为正弦函数在区间上单调递增， 所以，令 ，解得：， 所以，函数的单调递增区间为. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式可得，代入结合一元二次不等式解法计算求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 所以， 因为，所以，即， 令，得，解得或（舍去）， 所以的最小值为，当且仅当时等号成立. 6. 已知函数，若在上存在最小值，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令，，当时，则， 函数的最小值为， 要使得在存在最小值，即区间内必须包含， 于是，解得，所以的取值范围是. 7. 如图所示，已知点O是的外接圆圆心，且，.若存在非零实数x，y，使得，且，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件等式及外接圆圆心性质可得直线是线段的垂直平分线，进而求解. 【详解】设，连接交于，设， 则，因为三点共线，所以，又， 所以，即，所以为中点，又是外接圆圆心，所以， 在中，，，所以. 8. 已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将“函数图像绕原点逆时针旋转后仍为函数图像”的几何条件转化为代数条件：原函数与任意斜率为的直线至多有一个交点，进一步转化为构造的函数至多一个零点，即在上单调，由此得到导数恒成立的约束，再通过参变分离求函数最值即可求解的取值范围. 【详解】函数图象绕原点逆时针旋转后仍为函数图象，根据函数定义可知，旋转后任意垂直于轴的直线与曲线至多有1个交点. 将该条件等价转化为：原函数的图象上任意两点连线的倾斜角不能等于， 即对任意实数，直线与的图象至多有1个交点. 令，则上述条件等价于在上至多有1个零点. 若同时存在增区间和减区间，则必然存在极值， 当取值合适时会出现2个及以上零点，因此需在上单调. ， 若，则当时，，当时，，若能使恒成立，则满足要求； 若，则当时，，当时，，不可能单调. 综上，只能单调递增，即对任意恒成立. ，即恒成立. ∵ ，参变分离得 ，对任意恒成立，只需. 令，. ∵ 当时，，单调递增；当时，，单调递减. ∴ 在处取得最大值，. ∴ ，即的取值范围为，故选C. 【点睛】方法归纳：涉及函数图像旋转后仍为函数图像的问题，核心是利用函数的定义（一个自变量对应唯一函数值），将旋转条件转化为原函数切线斜率的取值范围约束，再通过导数、参变分离、函数最值求解参数范围. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知向量，，，则下列选项正确的是（    ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由题得，则，故A正确； 对于B，，，， 所以，故B错误； 对于C，根据投影向量的定义，在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，若，由向量平行的坐标条件得，解得，故D正确. 10. 已知复数、，下列说法正确的有（     ） A. B. 若，则 C. D. 若， 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：设，， 则，， ，，，，故A正确； 对于B：若，则， 举反例：，， ，此时、不全为，故B错误； 对于C： ， 所以，即， 当且仅当时，等号成立，故，故C正确 对于D：若，， 设辐角为，对应点在第一象限， ，， ，，所以，故D正确. 11. 已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 为的一个周期 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用已知条件进行转化可证明是偶函数即可；对于B，利用已知条件进行转化可证明是一个周期为的函数即可；对于C，利用周期可得，再利用已知条件进行赋值即可得；对于D，利用周期和赋值即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以， 由可得，， 所以，即，所以是偶函数， 的图象关于轴对称，故A正确； 对于选项B，由，可得， 所以，又，所以， 所以，所以，即的一个周期为， 所以是的一个周期，故B正确； 对于选项C，因为的周期为，所以. 令，则，得； 令，则，又， 所以，即，故C错误； 对于选项D，，，又由及， 可得. 又，所以. 因为周期为， 所以，故D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算： ________． 【答案】＃＃ 【解析】 【详解】原式 ． 13. 已知向量，，满足，，，，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知，求出，，由，得，再由，得，即可求得的最大值. 【详解】由已知，，，， 则， 又， 所以， 因为，则， 又，所以， 解得， 所以的最大值为. 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，点是边上靠近的三等分点．若，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，在和中利用余弦定理得，构造函数利用三角换元求最值即可. 【详解】设，因D是AB上靠近B的三等分点，故 记，已知，，则， 在中：由余弦定理， 得，则， 在中：由余弦定理， 得，则有， 由，得， 解得，则有， 求的最大值，由且可知，取， 设，令，， 满足且，则有， 所以， 当时，，， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； （2）若恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用在处斜率为0即可求解； （2）将问题转化成进行求解. 【小问1详解】 当时，，， 设点的坐标，由题意得：，解得：， 所以，因此点的坐标为. 【小问2详解】 ， 令，则， 因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 即：a的取值范围是. 16. 如图，在四边形中，，，为四边形外一点，于点，交于点，，，，. (1)若，求； (2)若为的中点，，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1)1；(2) 【解析】 【分析】 (1)本题首先可以根据以及得出，然后根据即可得出； (2)结合(1)可以得出、以及，然后根据为的中点即可得出和四边形的面积，再然后令，通过化简得出，最后根据二次函数性质即可得出结果。 【详解】(1)在中，，，则， 因为，所以. (2)在中，，，， 因为为的中点，所以， 四边形的面积： 设，，则，， 所以， 当时，，四边形的面积的最大值为． 【点睛】本题考查三角函数与二次函数的灵活应用，考查利用三角函数来表示各边长，考查根据二次函数性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题。 17. 已知椭圆：的右顶点为，离心率为． （1）求的焦距； （2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义中，，的关系从而求解焦距。（2）由题意可知点在的垂直平分线上，再联立椭圆方程，利用垂直平分线的性质列出等式，从而求解。 【小问1详解】 由题意可得，且， 解得，则， 因此焦距. 【小问2详解】 由于过点的直线与交于，两点，且，即在的垂直平分线上. 分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时：直线方程为，此时交点，. ， 满足，因此符合题意. 当直线斜率存在时：设直线的方程为， 联立方程 整理得：， 设，，中点为， 由韦达定理得，， 代入直线方程得中点纵坐标， 由得，即斜率乘积为-1，， ，代入得，解得， 即直线方程为，. 综上所述：直线的方程为或或. 18. 平面四边形满足，，现将沿着翻折得到，形成三棱锥，记二面角的大小为． （1）如图1，若， （i）证明：平面平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）如图2，点，，，均在球的球面上，二面角的大小为，二面角的大小为，是否存在锐角，使得？若存在，求的余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（i）由，得平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以，又因为， 平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． （ii）. （2）存在，且． 如图，分别取线段的中点，，，， 连接． 首先证明：平面． 因为点，，，在球的球面上，所以， 又因为为公共边， 所以与全等， 因此， 而，所以， 因此，又因为平面， 所以平面，同理平面． 再考虑各二面角的平面角． 由，分别为中点知，， 又因为，所以， 又因为平面，所以为在平面内的射影， 结合三垂线定理知，所以二面角的平面角为，记为， 同理，二面角的平面角为，记为， 由平面平面知，分别为平面，平面的法向量， 所以与的夹角或， 而为锐角，因此， 综上可知，， 且， 所以， 若，则，因此， 即，解得或（舍去）． 综上存在，且． 【解析】 【分析】（1）（i）利用面面垂直的性质定理得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明； （ii）在平面内作，垂足为，利用线面角的定义得到线面角的平面角，再求出其正弦值即可； （2）作出相关辅助线，首先证明平面，平面，再找到二面角的平面角，从而得到关于的方程，解出即可. 【小问1详解】 （i）略； （ii）如图在平面内作，垂足为，连接． 由（i）－知平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，因此为在平面内的射影， 故为与平面所成角的平面角，且， 由知，， 由（i）知平面平面，所以，结合，得， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． 【小问2详解】 略. 19. 设函数，． （1）令，，． （i）求的表达式； （ii）当时，恒成立，求的最大值； （2）求（令，结果用表示）． 【答案】（1）（i）；（ii）4． （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）先由题意求得，再根据，运用构造法，得到是等差数列，即可得解； （ii）先将该不等式化简为，再令，求导研究其单调性，求得其最小值的取值范围，再结合，即可得解； （2）利用以及差角的正弦公式，可得，再运用裂项相消法，即可得解. 【小问1详解】 （i）∵，， ∴， ∴， ∴是一个首项为，公差为1的等差数列， 故， ∴. （ii）当时，由条件得， ∴，∴， ∴. 令，则， 令，， 所以在单调递增，又， ， 所以存在唯一的，使得，即， 所以当时，，即，故在上单调递减； 当时，，即，故在上单调递增， 所以，即， 又∵，， 因为，所以n的最大值为4． 【小问2详解】 由（1）知，则， ， 则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2026-2027学年度上学期高三数学月考（一） 命题人：谭佳 审题人：白田 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 函数的单调递增区间是（    ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数，若在上存在最小值，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知点O是的外接圆圆心，且，.若存在非零实数x，y，使得，且，则（ ）. A. B. C. D. 8. 已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知向量，，，则下列选项正确的是（    ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则 10. 已知复数、，下列说法正确的有（     ） A. B. 若，则 C. D. 若， 11. 已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 为的一个周期 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算： ________． 13. 已知向量，，满足，，，，则的最大值为___________. 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，点是边上靠近的三等分点．若，，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； （2）若恒成立，求a的取值范围. 16. 如图，在四边形中，，，为四边形外一点，于点，交于点，，，，. (1)若，求； (2)若为的中点，，求四边形的面积的最大值． 17. 已知椭圆：的右顶点为，离心率为． （1）求的焦距； （2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 18. 平面四边形满足，，现将沿着翻折得到，形成三棱锥，记二面角的大小为． （1）如图1，若， （i）证明：平面平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）如图2，点，，，均在球的球面上，二面角的大小为，二面角的大小为，是否存在锐角，使得？若存在，求的余弦值；若不存在，请说明理由． 19. 设函数，． （1）令，，． （i）求的表达式； （ii）当时，恒成立，求的最大值； （2）求（令，结果用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $