精品解析：广西浦北中学2026-2027学年上学期9月阶段性自主性评估作业（一） 九年级数学（R）

2026年秋季学期阶段性自主评估作业（一） 九年级数学（R） （时间：120分钟满分：120分） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程； B、方程是一元二次方程； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程； D、方程，即方程中未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程． 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标是即可得． 【详解】解：是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记抛物线的顶点式时顶点坐标是解本题的关键． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4. 若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 5. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过配方法将方程左边配成完全平方形式，即可求解． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∴配方得，即， 故选：D． 6. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得． 7. 二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 最大值为4 C. 与y轴交点为 D. 图像过点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，与坐标轴的交点，函数的最值问题． 先将化为顶点式，即可求解对称轴，最值，令可得图像与y轴的交点，把代入函数解析式计算值是否等于即可判断是否经过点． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，故A错误，不符合题意 ∵， ∴函数的最大值为，故B正确，符合题意； 对于，当， ∴与y轴交点为，故C错误，不符合题意； 当时，， 则图像不经过点，故D错误，不符合题意； 故选：B． 8. 把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的平移规律，熟练地掌握图象的平移规律是解决问题的关键．根据抛物线平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项进行整理即可． 【详解】解：把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位， 得． 故选：C． 9. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个实数根，则，求出与的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 10. 如图，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图像可得，二次函数的对称轴是直线，又图像与轴的一个交点坐标为，结合对称性可得图像与x轴的另一个交点坐标为，即，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，根据函数的图像可得，二次函数的对称轴是直线， 又图像与轴的一个交点坐标为， ∴图像与轴的另一个交点坐标为，即． ∴关于的一元二次方程的解为，． 11. 如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让以的速度向左运动，当点与点重合时停止运动，则重叠部分的面积与时间之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，需注意的值的求法． 根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解，即可作答． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积为． 故选：B． 12. 二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡上．） 13. 二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 14. 已知是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义，将代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解该方程即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， 整理得：， 解得：． 15. 某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设该小组有人，则每人需提条建议，根据该小组一共收到72条建议，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设这个小组有人，则每人需提条建议， 则由题意得：， 故答案为：． 16. 若抛物线上两点和，与原点点围成等腰直角三角形，且斜边轴，．则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，求二次函数的解析式．由题意得到两点关于轴对称的解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质，且斜边轴，即可得到两点关于轴对称，再由的长度即可求出点的坐标，最后利用待定系数法即可求出的值． 【详解】解：是等腰直角三角形，且斜边轴， 轴垂直平分线段， 两点关于轴对称， ， ， 把代入中，解得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴． 18. 已知二次函数． （1）列表如下，请完成表格中的填空并画出二次函数的图象； … … … … （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） 解：列表： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 描点、连线，如图抛物线为所求， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想答题． （1）根据函数解析式找出对应的x，y的值列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）根据图象可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图象可得：当时，． 19. 2024年7月，受台风影响，我市某地遭受特大暴雨，受灾严重．我市迅速启动救援，拟建一批临时安置房．如图所示，现有一面长为米的墙，欲利用该墙搭建一间矩形临时安置房．已知目前有可搭建总长为米围墙的建筑材料（损耗忽略不计）．设边长为x米． （1）用含x的代数式表示的长； （2）矩形安置房总占地面积可能为平方米吗？请说明理由． 【答案】（1）米 （2）矩形安置房总占地面积能为288平方米此时，的长为米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练运用矩形的面积公式建立方程是解题的关键． （1）利用BC边长可建围墙的总长边长，可用含的代数式表示的长； （2）根据矩形安置房总占地面积能为288平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合墙长为米，即可确定结论． 【小问1详解】 解：∵可建围墙的总长为米，且边长为米， ∴边长为：米； 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意． 答：矩形安置房总占地面积能为288平方米此时，的长为米． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造不等式，并求解即可； （2）设方程的两根为、，且，由根与系数的关系可得，解得，，代入求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的两根为、，且， ， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，即，符合． 21. 某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 22. 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． （1）商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ （2）商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）每个定价为元，应进货个 （2）每个定价增加元时可获得最大利润，可获得的最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设每个定价增加元，根据题意列一元二次方程，解方程求出的值，根据进货量较少，确定符合题意的的值，进而可得出答案； （2）设每个定价增加元，获得利润为元，可得，根据二次函数的性质求出的最大值即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每个定价增加元， ∵每个进价为元，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个，准备获得利润元， ∴， 解得：，， ∵要使进货量较少， ∴每个定价为（元），应进货（个）． 答：每个定价为元，应进货个． 【小问2详解】 解：设每个定价增加元，获得利润为元， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：每个定价增加元时，可获得最大利润，最大利润是元． 23. 如图，二次函数是初中数学的重要内容，它的图象是抛物线，具有许多独特的性质，下面围绕二次函数的性质展开学习． 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点． 【探究】（1）求的值及抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过点，求当取何值时，函数有最值，并写出此时的值； 【深入探究】（3）在（）的条件下，若抛物线交轴于，两点（点位于点左边），连接，过点作直线于点，交轴于点，交抛物线于点，求交点的坐标； 【拓广探索】（4）在（）的条件下，设直线对应的函数为，二次函数为，若，观察图象，请直接写出的取值范围__________． 【答案】（），对称轴；（）当时，有最小值，；（）；（）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次函数的性质即可求解； （）由（）得，，则二次函数解析式为，又抛物线经过点，则可求出二次函数解析式为，然后配方即可求解； （）由解析式求出，然后通过等腰三角形的判定得出，得出，求出直线解析式为，再联立，解得：或即可得出交点的坐标； （）由（）得，，即与的交点坐标为，，然后通过图象即可求解． 【详解】解：（）∵二次函数的图象与轴交于点， ∴，抛物线对称轴为直线； （）由（）得，， ∴二次函数解析式为， ∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，有最小值，； （）由（）得：二次函数解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得：或， ∴交点的坐标为； （）由（）得，， 即与的交点坐标为，， ∵， ∴观察图象可得出的取值范围是， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期阶段性自主评估作业（一） 九年级数学（R） （时间：120分钟满分：120分） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 4. 若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 最大值为4 C. 与y轴交点为 D. 图像过点 8. 把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 9. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 11. 如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让以的速度向左运动，当点与点重合时停止运动，则重叠部分的面积与时间之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡上．） 13. 二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 14. 已知是方程的一个根，则的值为______． 15. 某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为_______． 16. 若抛物线上两点和，与原点点围成等腰直角三角形，且斜边轴，．则_________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数． （1）列表如下，请完成表格中的填空并画出二次函数的图象； … … … … （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 19. 2024年7月，受台风影响，我市某地遭受特大暴雨，受灾严重．我市迅速启动救援，拟建一批临时安置房．如图所示，现有一面长为米的墙，欲利用该墙搭建一间矩形临时安置房．已知目前有可搭建总长为米围墙的建筑材料（损耗忽略不计）．设边长为x米． （1）用含x的代数式表示的长； （2）矩形安置房总占地面积可能为平方米吗？请说明理由． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 21. 某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 22. 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． （1）商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ （2）商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 23. 如图，二次函数是初中数学的重要内容，它的图象是抛物线，具有许多独特的性质，下面围绕二次函数的性质展开学习． 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点． 【探究】（1）求的值及抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过点，求当取何值时，函数有最值，并写出此时的值； 【深入探究】（3）在（）的条件下，若抛物线交轴于，两点（点位于点左边），连接，过点作直线于点，交轴于点，交抛物线于点，求交点的坐标； 【拓广探索】（4）在（）的条件下，设直线对应的函数为，二次函数为，若，观察图象，请直接写出的取值范围__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $