精品解析：陕西咸阳市高新学校2026-2027学年八年级上学期数学限时训练（一）

2025-2026学年第一学期八年级数学限时训练（一） （时长90分钟，分值100分） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 在，，中，无理数有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 下列说法正确的是（　　） A. 的平方根是 B. 无限小数是无理数 C. 数轴上的点对应的数不是整数就是分数 D. 若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数 3. 在平面直角坐标系中，已知点，将点向左平移4个单位长度得到点，点关于轴对称的点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（   ） A. 的值随着值的增大而增大 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 当时， D. 函数图象经过第二、三、四象限 5. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，如果，则阴影部分的面积是（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 6. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的大致图象不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直角坐标系中，直角三角形的顶点在轴上，顶点在轴上，，点的坐标为，点和点关于成轴对称，且交轴于点．那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为______． 10. 将一次函数（是常数）的图象向上平移3个单位后，该一次函数图象经过，则______． 11. 如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 12. 若点，在一次函数的图像上，且，则，，m的大小关系是_________． 13. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为______． 14. 在平面直角坐标系中，点在y轴上，点在轴正半轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点在x轴上运动时，连接，则的最小值为______． 三、解答题（共8小题，共58分） 15. 计算； 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）将先向右平移5个单位，再关于轴对称，得到，请画出； （2）直接写出，，三点的坐标分别为________，________，________； （3）的面积为________． 17. 在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值． （1）的整数部分为_________，小数部分为__________________． （2）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 18. 爱知中学体育组为方便学生使用体育器材，丰富课余生活，增强身体素质，计划要在道路上建立一个体育器材放置点，同时向，两栋教学楼提供器材．已知：到道路的距离，到道路的距离，，两地距离．现要求放置点到、两栋教学楼距离相等． （1）请利用圆规与直尺在直线上作出点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）计算器材放置点到处的距离． 19. 在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题． （1）列表： ______ ______ ①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格； ②请在平面直角坐标系中作出函数的图象； （2）观察函数图象，写出关于这个函数的一条性质； （3）进一步探究函数图象发现； ①方程有_____个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是_____． 20. 剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ （2）设购进甲种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，求与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），过作轴交直线于点，使，设点的横坐标为． （1）当时，求的值； （2）若点在直线上，且满足，求点的坐标． 22. （1）问题发现：如图1，将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．将纸片沿AB翻折，得到点O的对应点为，则点的坐标是______． （2）问题探究：如图2，直线与x轴、y轴的交点分别为A，B，若的平分线与y轴交于点C，求的长． （3）问题解决：设计师常常借助角平分线设计精美的作品．现有一块形状为四边形ABDC的设计图纸，如图3所示，已知四边形各顶点的坐标分别是，，，．为了设计出图案，计划在这个四边形的边上找一点E，沿着画出两条分割线，使得平分请问是否存在点E符合要求?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级数学限时训练（一） （时长90分钟，分值100分） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 在，，中，无理数有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数就是无限不循环小数成为解题的关键． 根据无理数是无限不循环小数逐个判断即可． 【详解】解：， 在、、中，无理数有、，共2个． 故选：C． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 的平方根是 B. 无限小数是无理数 C. 数轴上的点对应的数不是整数就是分数 D. 若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根、无理数定义、实数与数轴、勾股数的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A．的平方根是，故选项错误，不符合题意； B．无限不循环小数是无理数，故选项错误，不符合题意； C．数轴上的点与实数一一对应，故选项错误，不符合题意； D．若a，b，c为一组勾股数，则仍是一组勾股数，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了平方根、无理数定义、实数与数轴、勾股数的定义，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，已知点，将点向左平移4个单位长度得到点，点关于轴对称的点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换，根据点的平移规则：左减右加，关于轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴点向左平移4个单位长度得到点，即：； ∴点关于轴对称的点的坐标为：； 故选A． 4. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（   ） A. 的值随着值的增大而增大 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 当时， D. 函数图象经过第二、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，根据一次函数的增减性可判断；令解方程可判断；根据一次函数的增减性和与轴的交点可判断和，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴当值增大时，的值随着增大而减小，故选项不正确，不符合题意； 、∵当时，， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故选项不正确，不符合题意； 、∵的值随着增大而减小，函数图象与轴的交点坐标为， ∴当时，，故选项不正确，不符合题意； 、∵的值随着增大而减小，函数图象与轴的交点坐标为， ∴图象经过第二、三、四象限，故选项正确，符合题意； 故选：． 5. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，如果，则阴影部分的面积是（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理，将已知等式转化为关于的方程，求出的值，再根据三角形面积公式计算阴影部分面积． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， ， ， ，即， 观察图形可知，阴影部分是以的上边为底，点到该边所在直线的距离为高的三角形，底边长为，高为， ． 6. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的大致图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出正比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A、一次函数图象过第一、三、四象限， ，，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过一、三象限，故本选项符合题意； B、一次函数图象过第一、二、四象限， ，，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过一、三象限，故本选项符合题意； C、一次函数图象过第一、二、三象限， ，，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过二、四象限，故本选项符合题意； D、一次函数图象过第一、三、四象限， ，，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过一、三象限，故本选项不符合题意； 故选：D． 7. 如图，在直角坐标系中，直角三角形的顶点在轴上，顶点在轴上，，点的坐标为，点和点关于成轴对称，且交轴于点．那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠，和矩形性质证明，然后根据全等三角形的性质，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由矩形和折叠可知， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的概念，矩形和全等三角形的性质，以及勾股定理的应用；根据相关性质将已知条件进行合理转化是解题的关键． 8. 《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，观察分析所得数据并找出数据之间的规律是解题的关键． 根据题意求出点坐标，得长即值，求出点、坐标，得长即得出，进而得出，把代入求值即可判断． 【详解】解：把代入：得， ∴， ∴，即， ∵过点A作x轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴， ∵过点作轴的平行线交直线于点，把代入得， ∴， ∴，即， 同理可得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时得到：， 故选：． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为，， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 10. 将一次函数（是常数）的图象向上平移3个单位后，该一次函数图象经过，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，平移的性质．根据函数图象平移的法则，向上平移3个单位后，函数表达式中的常数项增加3，得到平移后的函数表达式，再将点代入平移后的表达式，解方程即可求出b的值，即可作答． 【详解】解：依题意，一次函数的图象向上平移3个单位后，得到的新函数表达式为， ∵平移后的图象经过点， ∴得， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 【答案】##度 【解析】 【分析】取格点F，连接，利用勾股定理，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，证明四边形是平行四边形，得， ，求解即可； 【详解】解：取格点F，连接， 根据勾股定理，得，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ． 12. 若点，在一次函数的图像上，且，则，，m的大小关系是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特征，此类题目只需要根据k的符号确定函数y随x的变化情况，进而求解．由一次函数判断函数值y随自变量x的值增加而增加，即可求解． 【详解】解：由题意可知一次函数解析式为： ， 斜率， 函数的增减性为：函数值y随自变量x的值增加而增加， 令，代入函数解析式得， 点在一次函数上， ，也在一次函数上，且， 由一次函数增减性可知，． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为______． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离．根据点到坐标轴的距离公式，点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，由条件建立方程进行求解，即可作答． 【详解】解：∵点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 故答案为：或1 14. 在平面直角坐标系中，点在y轴上，点在轴正半轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点在x轴上运动时，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明得，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，所以，则的最小值为的长． 【详解】解：∵， ∴， 过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、，交轴于点，如图， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 点在直线上运动，作点关于直线的对称点，如图， ∴， ∴， ∴， 当，，三点在一条直线上时，的值最小，最小值为的长， 此时， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识点．通过作辅助线构造全等三角形找到点的运动路径是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共58分） 15. 计算； 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算零指数幂，立方根和二次根式，再按从左到右顺序计算除法，最后将结果分母有理化得到最简结果． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）将先向右平移5个单位，再关于轴对称，得到，请画出； （2）直接写出，，三点的坐标分别为________，________，________； （3）的面积为________． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2），， （3）4 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称和平移，熟练掌握轴对称的性质，平移规则，是解题的关键： （1）根据平移规则和轴对称的性质画出即可； （2）根据图形，写出点的坐标即可； （3）分割法求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的面积． 17. 在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值． （1）的整数部分为_________，小数部分为__________________． （2）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先估算出在哪两个相邻的整数之间，这样可得的整数部分为，最后用表示小数部分． （2）先根据题意列出关于，的方程，进一步求出，的值，再根据区间估计法得出的值，最后代入式子求其平方根． 【小问1详解】 解：∵， 即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为． 【小问2详解】 解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，． ∵， 即， ∴的整数部分为， ∴， ∴， ∴的平方根是． 18. 爱知中学体育组为方便学生使用体育器材，丰富课余生活，增强身体素质，计划要在道路上建立一个体育器材放置点，同时向，两栋教学楼提供器材．已知：到道路的距离，到道路的距离，，两地距离．现要求放置点到、两栋教学楼距离相等． （1）请利用圆规与直尺在直线上作出点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）计算器材放置点到处的距离． 【答案】（1） 如图，点E即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）连接，作线段的垂直平分线交于点连接，点E即为所求； （2）设,根据，利用勾股定理构建方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， ， ， ， ， ， 点到处的距离． 19. 在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题． （1）列表： ______ ______ ①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格； ②请在平面直角坐标系中作出函数的图象； （2）观察函数图象，写出关于这个函数的一条性质； （3）进一步探究函数图象发现； ①方程有_____个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是_____． 【答案】（1）①，； ②函数图象如图， （2）函数的最小值是，函数图象最低点的坐标是，函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小等； （3）①2；② 【解析】 【分析】（1）①将x的值代入对应的解析式即可求得； ②根据描点法画出函数图象即可； （2）根据函数图象可以写出该函数图象的一条性质 （3）①根据图象即可得出结论； ②根据关于x的方程无解，得出函数的图象与无交点，然后观察图象即可得出结论． 【小问1详解】 ①解：①∵， ∴当时，； 当时，； ②略 【小问2详解】 函数的最小值是，函数图象最低点的坐标是，函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小等； 【小问3详解】 解：①观察图形可知， 方程有1个解； ②关于x的方程无解， 则函数的图象与无交点， 观察图形可知，此时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质．画出函数的图象，利用数形结合法是解题的关键． 20. 剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ （2）设购进甲种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，求与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】（1）甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元 （2） （3）购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． （1）设则甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元，根据购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元，列方程组，解方程组即可； （2）购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套，总费用y元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则，即，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设则甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元． 【小问2详解】 解：由题可知，购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套， 根据题意，得， 即， ∴与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得 ，即， ∵， ∴随的增大而增大， ∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元， ∴，即， 解得， ∴， ∵为非负整数， ∴当时，取最大值，（元）， 此时套， 答：购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），过作轴交直线于点，使，设点的横坐标为． （1）当时，求的值； （2）若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，面积问题，理解题意，作出辅助线，综合运用一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出，再由题意确定，得出方程求解即可； （2）设，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵点C的横坐标为t， ∴， 当时，， ∴． ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：； 【小问2详解】 解：∵点F在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴点F的坐标为或． 22. （1）问题发现：如图1，将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．将纸片沿AB翻折，得到点O的对应点为，则点的坐标是______． （2）问题探究：如图2，直线与x轴、y轴的交点分别为A，B，若的平分线与y轴交于点C，求的长． （3）问题解决：设计师常常借助角平分线设计精美的作品．现有一块形状为四边形ABDC的设计图纸，如图3所示，已知四边形各顶点的坐标分别是，，，．为了设计出图案，计划在这个四边形的边上找一点E，沿着画出两条分割线，使得平分请问是否存在点E符合要求?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）的长（3）点坐标是或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称性质得出点的坐标即可； （2）作垂足为H，求出三边长，设，在中根据勾股定理列方程并解方程即可； （3）分两种情况，作于点T，根据四边形是正方形，利用正方形性质结合三角形全等的判定与性质分别求出即可 【详解】解：（1），，， ， 由翻折得：，， ， ， 故答案为：； （2）作垂足为H， 直线与x轴、y轴的交点分别为A，B， 当时，， ，即， 当时，， ，即， ， 设， 平分，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 解得：， 的长； （3）①如图，作于点T， ，，，， ，， 四边形是正方形， 连接，则， 重合时，有， 点坐标是； ②如图，作于点H， ， ， ， ， ， 由（1）知四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，， 解得：， ， ， ， 综上所述，点坐标是或． 【点睛】本题考查一次函数应用、轴对称、正方形判定与性质、三角形全等的判定与性质及勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $