精品解析：陕西咸阳彩虹学校2026-2027学年度第一学期第一阶段自测八年级数学试题

彩虹初中2026~2027学年度第一学期第一阶段 八年级数学试题 （考试时间：120分钟　总分：120分　卷面分：3分） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级、考场、座位号、考号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题　共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分；计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 4的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根是非负数的正的平方根求解即可． 【详解】解：∵． ∴4的算术平方根是． 2. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 选项中只有满足， 因此，实数的值可以是． 3. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 9，40，41 D. 2，2，3 【答案】C 【解析】 【详解】解：A中含、，B中含小数，均不全为正整数，不是勾股数； C中9，40，41均为正整数，且，是勾股数； D中，不是勾股数． 故答案为C． 4. 在中，，，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】确定最长边，比较最长边的平方与两短边平方和的大小关系即可判断三角形类型． 【详解】解：∵为最长边，，， ∴， ∴是直角三角形． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除法运算法则计算各选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，即，故该选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能直接合并，即，故该选项不符合题意； C、，计算正确，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意． 6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形较长的直角边长是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是（ ）     A. 4 B. 6 C. 9 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】设直角三角形的斜边长为c，较短的直角边长为b，较长的直角边长为a，根据题意，得，，小正方形的边长为，计算的值即可． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为c，较短的直角边长为b，较长的直角边长为a， 根据题意，得，，，小正方形的边长为， ∴， 解得或负值舍去； 故，即小正方形的面积是4． 7. 如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个紧贴（不重叠、无空隙）的小正方形，则剩下的部分（即阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 8. 如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先设,则分别在和中，利用勾股定理表示出的长，从而可得方程，解方程求解即可得答案． 【详解】解：设, 则, ∵， 在中：, 在中：, ∴， 解得：， ∴， ∴． 第二部分（非选择题　共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 给出下列一组数：，，，，，其中，无理数的个数是_______个． 【答案】 【解析】 【分析】先根据无理数的定义逐个判断，然后再统计无理数的个数即可． 【详解】解：是整数，属于有理数；是无限不循环小数，是无理数；是分数，属于有理数；开平方开不尽，是无限不循环小数，是无理数；，是整数，属于有理数； 故，无理数共有个． 10. 在中，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用勾股定理变形即可求解． 【详解】解： ， ， ， ． 11. 若最简二次根式，则的值可以是_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义确定的要求，结合不等式得到的取值范围，选取一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴是正整数，且不含能开得尽方的因数， ∵， ， 故满足条件的可以取， 这里取值为2． 12. 如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴以及勾股定理，熟练掌握上述基本知识是关键； 先利用勾股定理求出，进而可得答案． 【详解】解：因为点A表示的数是，点C表示的数是1， 所以, 因为且， 所以， 因为以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D， 所以， 所以点D表示的数是； 故答案为：． 13. 宽与长的比是的长方形称为“黄金矩形”．现有一块形状是“黄金矩形”的木板，若这块木板的长为米，则这块木板的周长为_______米． 【答案】 【解析】 【分析】已知黄金矩形宽与长的比值和长的长度，先根据比例求出宽，再利用长方形周长公式计算周长即可． 【详解】解：设这块木板的宽为米， ∵黄金矩形宽与长的比为，木板长为米， ∴， 解得， ∴． 14. 如图为一个长，宽，高的实心长方体，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对面顶点处，最短路线长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】长方体展开是长方形，根据题意可知，蚂蚁爬的路径有三种可能，根据两点之间线段最短，利用勾股定理计算解答． 【详解】解：蚂蚁由点沿长方体的表面爬行到点，有三种方式，分别展开成平面图形如下： 如图1，， 如图2，， 如图3，， ， 沿图2的方式爬行路线最短，最短路线长为 ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算各开方运算的结果，再进行有理数加减运算即可． 【详解】解： 16. 如图，四边形是用小木条搭建的长方形木框，木框的长，宽，在点、处用一根木条加固，求木条的长度（木条的宽度忽略不计）． 【答案】木条的长度为 【解析】 【分析】长方形中为直角，利用勾股定理即可计算对角线的长度． 【详解】解： 四边形是长方形，，，，是直角三角形． ， ， 答：木条的长度为． 17. 有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为，宽为，乙的长为，求乙的宽（结果保留根号）． 【答案】乙的宽为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据长方形面积计算公式求出甲的面积，即可得到乙的面积，再用乙的面积除以乙的长即可求出乙的宽． 【详解】解： ， ∴乙的宽为． 18. 如图，在等腰中，，是边上的高，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据三线合一定理和三角形高的定义得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，，是边上的高， ∴， ∴． 19. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，深受大众喜爱．在如图所示的象棋棋盘上，“炮”的坐标为，“帅”的坐标为． （1）请根据以上坐标，建立平面直角坐标系； （2）分别写出“兵”和“马”的坐标． 【答案】（1） （2）“兵”的坐标为，“马”的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据“炮”和“帅”的坐标确定原点和坐标轴的位置，进而建立平面直角坐标系即可； （2）根据（1）所求结合“兵”和“马”的位置可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得“兵”的坐标为，“马”的坐标为． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，，，求的长，并通过计算说明是否为直角三角形． 【答案】的长是，是直角三角形，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】根据勾股定理即可求得的长，根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形即可． 【详解】解：由图可得，， 略． 21. 已知正整数的两个相异的平方根分别为，． （1）求的值； （2）求的立方根． 【答案】（1） （2） 的立方根为 【解析】 【分析】（1）利用正整数的两个相异平方根互为相反数的性质列方程，求解的值； （2）先根据平方根的定义求的值，再计算的立方根． 【小问1详解】  解：∵正整数的两个相异平方根分别为，， ∴， 即， 解得 ； 【小问2详解】 解：将代入，得， ∵是的平方根， ∴， ∴， ∵， ∴的立方根为． 22. 如图，灯塔的正西方有一座小岛，且，灯塔的正北方有一座小岛，且小岛与小岛之间的距离，某轮船在小岛的正东方向的点处（即）出现故障，向灯塔发出求救信号，求此时灯塔与轮船之间的距离．（小岛、灯塔、轮船的大小均忽略不计，结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：由题意得， 在中，∵，， ∴， 在中，∵，， ∴， 答：此时灯塔与轮船之间的距离为． 23. 规定用符号表示一个实数的整数部分，一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，例如：，的小数部分为；，的小数部分为．按此规定解答下列问题： （1） ，的小数部分为 ； （2）若，分别是的整数部分和小数部分，求，的值． 【答案】（1）3， （2），． 【解析】 【分析】（1）估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分； （2）根据二次根式的混合运算化简，估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分为， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴， ∴，． 24. 如图1是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图2所示，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全，并说明理由． 【答案】解：小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，，， ∴， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 【解析】 【分析】由勾股定理可得，进而得到，再可得，再在中，利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】略 25. 根据以下材料，探索完成任务： 材料1 妈妈的生日快到了，小颖自制了一块圆柱形蛋糕准备送给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 材料2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用礼品盒来装这块蛋糕，现有两个礼品盒：一个是体积为的正方体礼品盒，另一个是长为，宽为，高为的长方体礼品盒．（礼品盒的厚度忽略不计） （1）任务1：根据材料1可知，这块圆柱形蛋糕的底面半径为 ； （2）任务2：哪个礼品盒能装下这块蛋糕？请说明理由． 【答案】（1） （2）解：长方体礼品盒能装下这块蛋糕．理由如下： ∵体积为的正方体礼品盒， ∴正方体礼品盒的棱长为， ∵这块圆柱形蛋糕的底面半径为，直径为，高为， 而， ∴正方体礼品盒放不下圆柱形蛋糕， ∵长方体礼品盒的长为，宽为，高为， 而，，， ∴长方体礼品盒可以放下圆柱形蛋糕． 【解析】 【分析】（1）利用等面积公式建立方程求解即可． （2）求解正方体礼品盒的棱长为，结合已知的长方体的长、宽、高，再进一步进行比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，， 解得：， ∴这块圆柱形蛋糕的底面半径为． 【小问2详解】 略 26. 【问题探究】 （1）如图，与均为直角三角形，，且，，若，求的长； 【问题解决】 （2）如图，四边形是某植物园的花卉区，其中，，对角线、是两条观景通道，、相交于点，且满足，，为方便游客赏花，园方计划取的中点，并沿、再修建两条观景通道，求点到观景通道的距离．（观景通道的宽度忽略不计） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）设，可得，再利用勾股定理解答即可求解； （）由勾股定理得，，，即得到，过点作于，可证，得到，得，即得，设点到观景通道的距离为，再根据三角形面积公式解答即可求解． 【小问1详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 【小问2详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为直角三角形， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点到观景通道的距离为，则， 解得， ∴点到观景通道的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彩虹初中2026~2027学年度第一学期第一阶段 八年级数学试题 （考试时间：120分钟　总分：120分　卷面分：3分） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级、考场、座位号、考号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题　共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分；计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 4的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. 9，40，41 D. 2，2，3 4. 在中，，，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形较长的直角边长是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是（ ）     A. 4 B. 6 C. 9 D. 16 7. 如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个紧贴（不重叠、无空隙）的小正方形，则剩下的部分（即阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题　共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 给出下列一组数：，，，，，其中，无理数的个数是_______个． 10. 在中，，，则_______． 11. 若最简二次根式，则的值可以是_______．（写出一个即可） 12. 如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是___________． 13. 宽与长的比是的长方形称为“黄金矩形”．现有一块形状是“黄金矩形”的木板，若这块木板的长为米，则这块木板的周长为_______米． 14. 如图为一个长，宽，高的实心长方体，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对面顶点处，最短路线长为___________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 如图，四边形是用小木条搭建的长方形木框，木框的长，宽，在点、处用一根木条加固，求木条的长度（木条的宽度忽略不计）． 17. 有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为，宽为，乙的长为，求乙的宽（结果保留根号）． 18. 如图，在等腰中，，是边上的高，若，，求的长． 19. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，深受大众喜爱．在如图所示的象棋棋盘上，“炮”的坐标为，“帅”的坐标为． （1）请根据以上坐标，建立平面直角坐标系； （2）分别写出“兵”和“马”的坐标． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，，，求的长，并通过计算说明是否为直角三角形． 21. 已知正整数的两个相异的平方根分别为，． （1）求的值； （2）求的立方根． 22. 如图，灯塔的正西方有一座小岛，且，灯塔的正北方有一座小岛，且小岛与小岛之间的距离，某轮船在小岛的正东方向的点处（即）出现故障，向灯塔发出求救信号，求此时灯塔与轮船之间的距离．（小岛、灯塔、轮船的大小均忽略不计，结果保留根号） 23. 规定用符号表示一个实数的整数部分，一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，例如：，的小数部分为；，的小数部分为．按此规定解答下列问题： （1） ，的小数部分为 ； （2）若，分别是的整数部分和小数部分，求，的值． 24. 如图1是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图2所示，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全，并说明理由． 25. 根据以下材料，探索完成任务： 材料1 妈妈的生日快到了，小颖自制了一块圆柱形蛋糕准备送给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 材料2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用礼品盒来装这块蛋糕，现有两个礼品盒：一个是体积为的正方体礼品盒，另一个是长为，宽为，高为的长方体礼品盒．（礼品盒的厚度忽略不计） （1）任务1：根据材料1可知，这块圆柱形蛋糕的底面半径为 ； （2）任务2：哪个礼品盒能装下这块蛋糕？请说明理由． 26. 【问题探究】 （1）如图，与均为直角三角形，，且，，若，求的长； 【问题解决】 （2）如图，四边形是某植物园的花卉区，其中，，对角线、是两条观景通道，、相交于点，且满足，，为方便游客赏花，园方计划取的中点，并沿、再修建两条观景通道，求点到观景通道的距离．（观景通道的宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $