重庆市南开中学校2026-2027学年九年级上学期第10月学情自测数学试题

数学（二） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列各数中是无理数的是（ ▲ ） A． B． C． D． 2．下列是中国传统文化图案，其中是中心对称图形的是（ ▲ ） A． B． C． D． 3．一粒大米的质量约为千克，用科学记数法表示为（ ▲ ）千克． A． B． C． D． 4．如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为．若的面积是，则的面积是（ ▲ ） A． B． C． D． 5．下列调查中，适合用普查方法的是（ ▲ ） A．了解一批科学计算器的使用寿命 B．调查某班学生每周课前预习的时间 C．了解某种奶制品中蛋白质的含量 D．调查全国中小学生课外阅读情况 6．用黑白两种颜色的正方形瓷砖按如图规律铺设，那么第个图案中白色瓷砖的块数为（ ▲ ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中盈不足章有如下记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？”译文：若干人合伙买一块美石，每人出钱，多出钱；每人出钱，还差钱．问人数和美石的价格各是多少？设有人，一块美石为钱，可列方程组（ ▲ ） A． B． C． D． 8．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ▲ ） A． B． C． D． 9．如图，边长为的正方形中，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，满足，连接，交于点，则的面积为（ ▲ ） A． B． C． D． 10．对于整式，把它的系数倒过来排列，得到新的整式，称为的“倒序式”．已知满足：，为正整数，，…，均为整数，且．下列说法： ①当，时，若为二项式，则满足条件的整式共有个； ②若是方程的一个非零实数根，则是方程的根； ③当，，且时，若函数与的图象在轴上有公共点，则满足条件的所有整式的和为． 其中正确的个数是（ ▲ ） A． B． C． D． 二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11．在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为 ▲ ． 12．如图，已知，，则 ▲ ． 13．如图，数轴上在点，点之间且表示整数的点有 ▲ 个． 14．若一个直角三角形的两条直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为 ▲ ． 15．已知四位数的各数位数字互不相同且均不为，删去百位数字得到，删去十位数字得到，若，那么称这个数为“允公”数．若四位数是“允公”数，则 ▲ ；若“允公”数还满足能被整除，则满足条件的的最大值为 ▲ ． 16．如图，在矩形中，．动点从出发，以每秒的速度沿运动，到达后停止，连接，与对角线交于点．设运动时间为秒，在不与、重合时，记，关于的函数图象如图所示，在函数图象上，且最高点为，则 ▲ ．过作交直线于点，连接，当时，的值为 ▲ ． 三．计算题：（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．解不等式组： 18．先化简，再求值：，其中． 四．解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．为了解学生使用绘画工具进行创意作图的情况，从七年级、八年级各随机抽取名学生，记录每位学生完成一幅完整创意作品的实际操作用时（时长不足一分钟按一分钟计）．整理数据分为四组（A组：分钟，B组：分钟，C组：分钟，D组：分钟），并将数据进行分析，下面是部分信息： 抽取的七年级名学生用时数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的八年级名学生用时在B组的数据：，，，，，，． 七．八年级所抽取的学生用时统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级所抽取的学生用时扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）结合表格中的统计量，比较七年级、八年级学生使用绘画的效率哪个更高（用时越短代表操作效率越高），请写出一条理由； （3）七年级共有人，八年级共有人，请估计七、八年级使用绘画用时不超过7分钟的学生共有多少人？ 20．综合与实践：在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，，连接．用尺规完成基本作图：作出线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，直线与相交于点． 【问题提出】 猜想：四边形是菱形． 【问题解决】 任务：（1）请按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 21．重庆作为山水之城，美丽之地，凭借独一无二的立体城市风貌、两江夜景、特色美食与巴渝文化，持续受到全国游客的青睐．今年国庆，重庆洪崖洞迎来了全国众多游客旅游打卡．洪崖洞一文创店重点推出洪崖洞“浮雕款”和“平面款”冰箱贴，“浮雕款”冰箱贴每个售价是“平面款”冰箱贴每个售价的倍．国庆第一天，“浮雕款”冰箱贴销售额为元，“平面款”冰箱贴销售额为元，且“平面款”冰箱贴比“浮雕款”冰箱贴售出的数量多个． （1）求国庆第一天“浮雕款”冰箱贴、“平面款”冰箱贴每个的售价分别是多少元？ （2）国庆第六天，“浮雕款”冰箱贴比国庆第一天每个售价降低了元，销售数量增加了个；“平面款”冰箱贴与国庆第一天每个售价相同，销量减少了个．已知国庆第六天两款冰箱贴的总销售额与国庆第一天两款冰箱贴的总销售额相等，求的值． 22．如图，在矩形中，，，是边的中点，点和点分别从点和点同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，连接，，过点作交于点．设运动时间为秒，记的面积为，与的周长之比为． （1）直接写出，关于的函数表达式，并分别写出的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系（图）中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时，的取值范围（近似值保留到小数点后一位，误差不超过）． 23．中秋佳节，某古城开展“中秋探月”定向打卡活动，以古城街巷为场地还原古时赏月寻踪路线．如图：四个打卡点，，，在同一平面内，其中位于的正北方向，位于的正东方向米处，位于的北偏西方向米处，位于的西南方向．（参考数据：，，） （1）求，两处打卡点之间的距离；（结果保留根号） （2）小叶从打卡点沿方向前往打卡点，小枫从打卡点沿方向前往打卡点，两人同时出发，小叶的速度与小枫的速度之比为，当小叶距离打卡点多少米时，小枫位于小叶的东北方向上？（结果精确到米） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是线段上一动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，当的面积最大时，是第一象限内抛物线上一点，连接，，若四边形的面积为的最大面积的倍，求点的坐标； （3）在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是平移后抛物线上一点，射线交直线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 25．在中，，，过点作直线，是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图，若，，，求线段的长； （2）如图，若点在射线上（不与点重合），过点作交直线于点，连接，为线段的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图，若，连接，为线段的中点，连接．点为直线上一点，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，点的对应点是点，连接．当与均取得最小值时，直接写出的值． 参考答案与解析 说明：本答案与解析附于原试卷之后。凡需要公式编辑器录入的内容（分数线、根号、上标、下标等）均已用 Word 公式（OMML）对象录入。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C B A A C B D 1．D 【解析】 是整数， 是有限小数， 是无限循环小数，三者都是有理数；而 是无限不循环小数，所以 是无理数。故选D。 2．D 【解析】把一个图形绕某一点旋转180°后能与原图形重合，这个图形就是中心对称图形。A（葫芦）、B（扇形）、C（月牙）都只是轴对称图形，旋转180°后不能与自身重合；只有D（圆形方孔钱）绕圆心旋转180°后能与原来的图形完全重合。故选D。 3．A 【解析】绝对值小于1的数用科学记数法表示为 （其中 ，n为正整数）。因为 中第一个非零数字2的前面一共有5个0，所以 。故选A。 4．C 【解析】位似图形一定是相似图形，面积比等于位似比的平方。由 △ABC 与 △A′B′C′ 的位似比为 2∶3，得 S△ABC∶S△A′B′C′ ，所以 △A′B′C′ 的面积为 。故选C。 5．B 【解析】普查适合个体数量少、易于实施且不具破坏性的调查。A调查计算器的使用寿命具有破坏性，C、D涉及面广、数量巨大，都不宜采用普查；只有B（调查某班学生每周课前预习的时间）人数少、易操作，适合普查。故选B。 6．A 【解析】观察图案可得白色瓷砖的块数：第1个图案8块，第2个图案10块，第3个图案12块，……每次增加2块，所以第 n 个图案中白色瓷砖为 块。当 时，（块）。故选A。 7．A 【解析】设共有 x 人，一块美石为 y 钱。"人出半，盈四"即每人出 钱时总钱数比石价多4，得 ；"人出少半，不足三"即每人出 钱时总钱数比石价少3，得 ，即 。故选A。 8．C 【解析】二次函数 的常数项为 ，所以它的图象与 y 轴的交点恒为 ，在 y 轴的负半轴上；一次函数 的 y 轴截距为 a、斜率为 b。 C中：抛物线开口向上，得 ；对称轴 在 y 轴右侧且 ，得 ；于是直线 应满足斜率小于0、与 y 轴交于正半轴，与C中的图象完全吻合，故C正确。 A中：抛物线对称轴在 y 轴左侧，与" 且 "矛盾；B中：抛物线开口向下得 ，但图中直线与 y 轴交于正半轴（即 ），矛盾；D中：开口向下得 、直线斜率大于0得 ，此时对称轴 应在 y 轴右侧，与图矛盾。故选C。 9．B 【解析】建立坐标系：、、、，设 （）。 由 DG＝3CG 且 CD＝2，得 ，即 。 将 EB 绕点 E 逆时针旋转90°得到 EF。向量 EB ，按逆时针旋转公式 得向量 EF ，所以 。 因为 B、G、F 三点共线，直线 BF 上横坐标为2的点，其纵坐标为 ，令它等于 ：，解得 。于是 、、。 直线 AG 为 ，直线 EB 为 ，联立解得 。 所以 △BGH 的面积 。故选B。 10．D 【解析】由"倒序式"的定义，当 时恒有 。 ① 、 时， 满足 ，其中 为正整数、 为整数，解得 为 、、、、。而 为二项式要求 ，故舍去 ，满足条件的 M 共有 4 个，①正确。 ② 若 是方程 的一个非零实数根，则 且 ，于是 ，即 是方程 的根，②正确。 ③ 、、 时，，即 ；此时 ，。两图象在 x 轴上有公共点，即存在实数 使 。两式相减得 。 逐一检验得 、、、，对应的四个 M 分别为 、、、，它们的和为 ，③正确。 三个说法都正确，正确的个数是3，故选D。 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11． 【解析】盒中共有 个球，每个球被摸到的机会均等，所以摸到红球的概率为 。 12．100 【解析】因为∠1＝∠2，而它们是直线 AB、CD 被左侧那条斜线所成的同位角，所以 AB∥CD。再看右侧那条斜线：∠3 与"该斜线和 AB 所成、位于 AB 上方偏右的角"是同位角，故二者相等；而这个角与∠4 组成邻补角，所以∠3＝180°－∠4＝180°－80°＝100°。 13．6 【解析】点 A 表示 ，点 B 表示 。介于两者之间的整数有 、0、1、2、3、4，共 6 个。 14． 【解析】设两条直角边长分别为 a、b，则 a、b 是方程 的两个实数根，由根与系数的关系得 、。所以斜边长 。 15．5；7425 【解析】（1），，。代入 并整理： ，得 。 因为 ，所以右边必须介于9与81之间。当 时右边为负，不成立；再分别讨论： 时 ，只有 能使 d 为整数，得 ； 时 ，只有 合适，得 ； 时 ，只有 合适，得 。三种情况都给出 ，所以 。 （2）此时 (b,c) 只能是 (2,1)、(4,2)、(8,3)，且 。又 要被7整除（注意 （mod 7））： 当 时 ，得 ，；当 时 ，得 ，；当 时 ，得 ，与 重复，舍去。所以满足条件的 M 的最大值为 7425。 16．12；4或25 【解析】（1）由 tan∠ADB ，设 、。以 B 为原点、BC 为 x 轴、BA 为 y 轴，则 、、、，全程 。 当 P 在 BC 上（）时，由 AD∥BC 得 △EBP∽△EAD，所以 ；当 P 在 CD 上（）时，由 AB∥CD 得 △EPD∽△EAB，所以 。最高点恰好是 P 与 C 重合时，此时 ，故 。 由 在上升段上得 ，所以 ，（此时 、、全程28秒）。 （2）此时 、、、。EO⊥AP 于点 E，点 O 在直线 BC（即 x 轴）上；∠APO＝AOP 等价于 。 ① 当 P 在 BC 上，设 ，可求得 ，进而点 O 的横坐标 。由 得 ； 无解， 得 ，即 ，所以 。 ② 当 P 在 CD 上，设 ，其中 （），同理可解得 ，即 。 综上，t 的值为 4 或 25。 三、计算题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 17．解不等式组 解不等式①：，两边同乘4得 ，即 ，，移项合并得 ，所以 。 解不等式②：，移项得 ，即 ，两边同除以 （不等号方向改变），得 。 所以原不等式组的解集为 。 18．先化简，再求值 原式 第一部分：。 括号内通分：。 做除法：。 所以原式 。 当 时，原式 。 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分） 19．统计应用 （1），，。 【解析】七年级20个数据中，8出现了4次，次数最多，所以众数 。 八年级扇形图中A组占35%，即 人；B组给出了7个数据（8,8,8,8,9,10,10），占 ；C组占20%即4人；所以D组有 人，占 ，故 。 把八年级20个数据从小到大排列，第8至第14位都是B组的数据（依次为8,8,8,8,9,10,10），第10、11位都是8，所以中位数 。 （2）八年级学生使用AI绘画的效率更高。理由：两个年级的平均数相同（都是9.2分钟），但八年级的中位数8小于七年级的中位数8.5，说明八年级有一半以上的学生用时不超过8分钟，中等水平学生用时更短；并且八年级A组（5—7分钟）占35%，高于七年级的 。用时越短代表效率越高，所以八年级效率更高。 （3）七年级抽取的20人中用时不超过7分钟的有6人，占30%；八年级占35%。 估计总人数为 （人）。 答：七、八年级使用AI绘画用时不超过7分钟的学生大约有 745 人。 20．综合与实践：证明四边形AFCE是菱形 （1）作图：分别以 A、C 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于两点，经过这两点作直线，即为线段 AC 的垂直平分线；该直线交 AD 于点 E、交 BC 于点 F，与 AC 交于点 O，连接 AF、CE（保留作图痕迹，不写作法）。 （2）证明：因为 EF 是线段 AC 的垂直平分线，所以 ，且 EF⊥AC。 在平行四边形 ABCD 中 AD∥BC，所以∠EAO＝∠FCO。 在 △AOE 与 △COF 中，∠EAO＝∠FCO、、∠AOE＝∠COF（对顶角相等），所以 △AOE≌△COF（ASA），得 。 因为 、，即四边形 AFCE 的两条对角线互相平分，所以四边形 AFCE 是平行四边形。 又因为 EF⊥AC，即对角线互相垂直，所以平行四边形 AFCE 是菱形。 21．分式方程与一元二次方程的应用 （1）设"平面款"冰箱贴每个售价 x 元，则"浮雕款"每个售价 元。 由"平面款"售出数量比"浮雕款"多10个，得 ，即 ，，解得 。经检验， 是原分式方程的解且符合题意。 所以"平面款"每个售价 25元，"浮雕款"每个售价 50元。 （2）由（1）知第一天"浮雕款"售出 个，"平面款"售出 个，第一天总销售额为 元。 第六天："浮雕款"售价 元、销量 个；"平面款"售价仍为25元、销量 个。 由两天总销售额相等列方程：。 展开整理：，即 ，得 ，，所以 或 。因为 ，所以 。 答：m 的值为 5。 22．动点与函数图象综合 （1）由 、 得 ，点 M 全程 。 当 时，M 在 AD 上，，点 M 到 AB 的距离等于 x；又 ，所以 。 当 时，M 在 DB 上，、，点 M 到 AB 的距离为 ，所以 。 即 关于 x 的函数表达式为：当 时 ；当 时 。 因为 NF⊥CD、BC⊥CD，所以 NF∥BC，得 △DNF∽△DCB，相似比为 ，所以周长之比 （）。 （2）图象： 是由 O（不含）上升到点 、再下降到 （不含）的折线； 是以 O（不含）为起点、以 为终点的线段。 的一条性质： 有最大值3（当 时取得）；或：当 时 随 x 的增大而增大，当 时 随 x 的增大而减小。 （3）当 时， 恒成立；当 时，由 得 ，即 ，。 所以 时，x 的取值范围为 。 23．解直角三角形的应用 （1）以 A 为原点、正东为 x 轴、正北为 y 轴，则 ，设 。 因为 C 在 D 的北偏西30°方向500米处，过 C 作 CH⊥AD 于 H，则在 Rt△CDH 中∠CDH＝30°，得 ，，所以 。 又 B 在 C 的西南方向（南偏西45°），过 B 作 BK⊥CH 于 K，则在 Rt△BCK 中∠BCK＝45°，得 。 所以 （米），即 A、B 两处打卡点之间的距离为 米。 （2）设此时小叶距离 D 点 u 米，则小叶走了 u 米；由小叶与小枫的速度比 知小枫走了 米。 小叶在 DA 上，位置为 ；小枫在 CD 上、距 C 为 ，位置为 。 "小枫位于小叶的东北方向"就是两点的横坐标之差等于纵坐标之差且为正：， 即 ，， 解得 （米）。 答：当小叶距离打卡点 D 约 224米 时，小枫位于小叶的东北方向上。 24．二次函数综合 （1）把 、 的坐标代入 ，得 与 ，解得 、。 所以抛物线的解析式为 ，且与 y 轴交于 。 （2）设 （）。直线 AB 为 ，因为 EF∥AB，所以直线 EF 为 ；直线 AC 为 。联立解得 。 由三点坐标求得 △AEF 的面积 。 所以当 时 △AEF 的面积最大，最大值为 ；此时 ，直线 EF 为 ，。 设 是第一象限内抛物线上一点。四边形 AOCG（顶点依次 A、O、C、G）的面积为 。 由 ，得 。又 ，代入整理得 ，即 ，解得 或 。 所以点 G 的坐标为 或 。 （3）符合条件的点 M 的横坐标为 或 。 【解析】射线 AB 的方向由 指向 ，向量为 ，其模为 ，所以沿射线 AB 平移 个单位长度对应的平移向量为 ，于是 。 又 tan∠BAO 、∠ACO＝45°，所以 ∠BAO＋∠ACO＝arctan3，由条件得 ∠BNE＝90°－arctan3＝arctan 。 直线 EF 的斜率为2，设射线 BM 的斜率为 k，由夹角条件 得 或 。 当 时，直线 与 联立得 ，；当 时，直线 与 联立得 ，。 再按"射线 BM 交直线 EF 于点 N"筛选：只有 与 时，交点 N 落在以 B 为端点、经过 M 的射线上，且 ∠BNE＝arctan ；其余两个值使 N 落在 BM 的反向延长线上，不合题意，舍去。 所以点 M 的横坐标为 或 。 25．几何变换综合（旋转、中点、翻折） 【结构引理】因为 ，所以∠BAC＝，恰好等于旋转角；又 。于是∠BAD＝BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC＝∠CAE。在 △ABD 与 △ACE 中，、∠BAD＝CAE、，所以 △ABD≌△ACE（SAS），从而 、∠ACE＝ABD＝90°，即 CE⊥AC 于点 C。 （1） 时 △ABC 是等边三角形，旋转角为 。由引理 。 因为 MN⊥AB 于 B、CD⊥MN 于 D，所以∠ABD＝∠BDC＝90°，且∠DBC＝∠ABD－∠ABC＝90°－60°＝30°。 在 Rt△BDC 中，，即 ，解得 。所以线段 AB 的长为 。 （2）。 证明：① 由引理 △ABD≌△ACE，得 、∠ACE＝90°。 ② 因为∠DBC＝，∠BCE＝∠BCA＋∠ACE＝，所以∠ECF＝＝＝∠DBC。 ③ 先证 ：分别过 D、E 作 DP⊥BC 于 P、EQ⊥BC 于 Q。在 Rt△BPD 与 Rt△CQE 中，∠DBP＝∠ECQ＝、斜边 ，所以 △BPD≌△CQE（AAS），得 。又 EF∥CD，以 BC 为截线得∠DCP＝∠EFQ，于是在 Rt△DPC 与 Rt△EQF 中 、∠DCP＝∠EFQ，所以 △DPC≌△EQF（AAS），得 。 ④ 再证 ：延长 CG 到 H，使 ，连接 BH、EH。因为 G 是 BE 的中点（）且 ，两条对角线互相平分，所以四边形 BCEH 是平行四边形，得 EH∥BC 且 。由 EH∥CF 得∠HEC＝∠ECF＝＝∠DBC；又 、，所以 △HEC≌△DBC（SAS），得 ，即 。 ⑤ 由③、④得 。 （3）。 【解析】设等边三角形的边长为 s。① 由引理 ∠ACE＝90° 且 ，所以当 D 在直线 MN 上运动时，点 E 在"过点 C 且垂直于 AC 的直线 m"上运动；G 是 BE 的中点，即以 B 为位似中心、比为 的位似变换，故点 G 在"过 BC 中点且垂直于 AC 的直线 ℓ"上运动。 ② 求 的最小值：A、B 在 ℓ 的同侧，作点 A 关于 ℓ 的对称点 ，可算得 A、C、 三点共线且 。在 △BCA′ 中∠BCA′＝120°，所以 ，即 的最小值为 ；此时可求得 、。 ③ 求 CT 的最小值：翻折保持长度不变，所以 是定值，即点 T 在以 A 为圆心、AG 长为半径的圆上，因此 。 ④ 所以 （其中 ）。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $