第02讲 利用向量法解决夹角及距离问题期中复习讲义（2大知识点+8大题型归纳+测试）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第02讲 利用向量法解决夹角及距离问题 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：空间角公式． 3 知识点二：空间中的距离 3 03 题型精讲 5 题型一：点线距离 5 题型二：异面直线所成角 5 题型三：异面直线的距离 6 题型四：二面角 7 题型五：线面角 8 题型六：点面距、线面距与面面距 10 题型七：夹角与距离的综合应用 12 题型八：新定义问题 13 04 过关测试 16 知识点一：空间角公式． （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点二：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 题型一：点线距离 【典例1】（26-27高二上·福建·期中）已知直线的方向向量为，点在直线l上，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一下·四川成都·期中）四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·河南南阳·期末）在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 题型二：异面直线所成角 【典例2】（26-27高二上·宁夏陕西·期中）在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27高二上·安徽·期中）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 题型三：异面直线的距离 【典例3】（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 【变式3-2】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ 【变式3-3】（24-25高二上·广东广州·期中）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是__________ 题型四：二面角 【典例4】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）如图，在四棱锥中，侧棱平面，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式4-1】（25-26高二下·陕西汉中·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式4-2】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. (1)证明：平面BCD； (2)求二面角的余弦值. 【变式4-3】（25-26高二下·广东汕头·期中）如图，在矩形中，，、分别为线段、的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 题型五：线面角 【典例5】（26-27高二上·河北保定·期中）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设点是棱上的一点． (1)若，证明：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式5-1】（24-25高二下·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的大小. 【变式5-3】（25-26高二下·福建厦门·期中）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 题型六：点面距、线面距与面面距 【典例6】（25-26高二下·贵州遵义·期中）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． (1)证明：、、、四点共面； (2)若，求点到平面的距离． 【变式6-1】（24-25高二上·四川自贡·阶段检测）在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 【变式6-2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【变式6-3】（23-24高二上·山东淄博·阶段检测）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 题型七：夹角与距离的综合应用 【典例7】（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【变式7-1】（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，四棱锥底面为矩形，平面平面，是边长为的等边三角形，，点为中点，点为线段上一点（与点，不重合）. (1)当为何值时，直线与平面所成的角为. (2)在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式7-2】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形，D为的中点. (1)证明：. (2)求平面与平面所成角的余弦值. (3)若点A，B，，D均在球M的球面上，求球M的体积. 【变式7-3】（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，，，且平面.    (1)求的长. (2)当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. (3)当时，已知动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍.若动点M的轨迹、平面和平面三者相交于两点P，Q，求. 题型八：新定义问题 【典例8】（25-26高二下·江苏徐州·期中）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为将其整理为一般式方程为，其中. (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式8-1】（25-26高二上·四川成都·期中）（1）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义集合，点，对任意的点，求的取值范围； （2）在空间直角坐标系中，定义集合，，点是集合内任意一点． ①求的最小值； ②求点的轨迹形成图形的全面积． 注：若平面的法向量为，点是平面上一定点，则对于平面上任一点，点满足方程：． 【变式8-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线方向式方程为；过点，且法向量为的平面法向式方程为，将其整理成一般式方程为，其中.已知直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为. (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求与所成角的正弦值； (3)若，不在平面内，证明：. 【变式8-3】（24-25高二上·四川成都·期中）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作，.定义与的“外积”为，且是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为线段上一点，. (1)求AB的长； (2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上一点，且满足，求. 1．（26-27高二上·河南·期中）已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则的长等于（    ） A．4 B． C．6 D． 3．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知平面的一个法向量为，点为平面上一点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·期中）下列命题中真命题的是（   ） A．直线的倾斜角不存在； B．若直线的方向向量，平面的法向量，则； C．已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D．如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 10．（多选题）（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知三棱锥P－ABC的顶点分别为则（    ） A． B．向量与的夹角的余弦值为 C．平面ABC的一个法向量为 D．直线PA与平面ABC所成角的正弦值为 11．（多选题）（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最小值为 12．（26-27高二上·辽宁·期中）正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面的夹角为______． 13．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，点为对角线的三等分点，点到正方体的各顶点的距离的不同取值的个数为______（个）. 14．（25-26高二下·湖南长沙·期中）在四棱锥中，是边长为1的等边三角形，，，，，则四棱锥的外接球表面积为____． 15．（26-27高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 16．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）如图，在三棱柱中，平面平面为中点，，，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，请求出四面体FABC的体积；若不存在，请说明理由. 17．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，已知四边形是正方形，四边形是矩形，，，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)若平面平面，求二面角的大小； (3)若平面平面，平面平面，试分析直线与的位置关系，并证明你的结论. 18．（25-26高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且三棱锥的体积为，点在线段上，若平面与平面所成的二面角的正弦值为，求的长. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 利用向量法解决夹角及距离问题 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：空间角公式． 3 知识点二：空间中的距离 3 03 题型精讲 5 题型一：点线距离 5 题型二：异面直线所成角 7 题型三：异面直线的距离 10 题型四：二面角 14 题型五：线面角 19 题型六：点面距、线面距与面面距 24 题型七：夹角与距离的综合应用 30 题型八：新定义问题 36 04 过关测试 43 知识点一：空间角公式． （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点二：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 题型一：点线距离 【典例1】（26-27高二上·福建·期中）已知直线的方向向量为，点在直线l上，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得，则， 因为直线的方向向量为， 则，， 所以点到直线的距离为： . 【变式1-1】（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，因为平面，且满足， 故 ，解得； 以为坐标原点，建立如下空间直角坐标系： 故， 则， 则在上的投影为，又， 故点到直线的距离. 【变式1-2】（25-26高一下·四川成都·期中）四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则，所以， 所以点到直线的距离为. 【变式1-3】（25-26高二上·河南南阳·期末）在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 【答案】D 【解析】如图，取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，交AB于点，交BC于点，连接BD. 因为三棱锥是正三棱锥， 所以平面，又为等边三角形，所以，所以， 则HB，HF，HP两两垂直， 故以为坐标原点，HB，HF，HP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是边长为的等边三角形，所以，． 因为，所以， 所以，，，，所以， 所以，， 则，， ， 所以点到直线BC的距离． 故选：D 题型二：异面直线所成角 【典例2】（26-27高二上·宁夏陕西·期中）在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点O，中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以由正三棱柱性质可得两两相互垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为 则 【变式2-1】（26-27高二上·安徽·期中）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为由题意知两两垂直， 故分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【变式2-2】（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设，则， ， ． 设与的夹角为， 由 ， ． 【变式2-3】（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 题型三：异面直线的距离 【典例3】（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 【变式3-1】（25-26高二上·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 【答案】 【解析】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面， 又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式3-2】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【解析】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高二上·广东广州·期中）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是__________ 【答案】/0.5 【解析】连接，如下图， 由题意，，，正方形中， 正方形中，平面，平面， 平面平面， ∴就是二面角的平面角，则， ∴向量与向量夹角为，且，， 设，，，则， 且由题意， ∴， ， ∴， 令，，图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，取得最小值， 即最小值为， ∴的最小值是. 故答案为：. 题型四：二面角 【典例4】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）如图，在四棱锥中，侧棱平面，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）证明：取中点，连接. 分别为中点，，且. ，且，. 四边形为平行四边形，. 平面平面， 平面. （2），，. 又平面，，. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 依题意，是平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为，则. 则取，则， 平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则 ， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【变式4-1】（25-26高二下·陕西汉中·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）由题意得平面，平面，则， 由正方形性质得，而，平面， 所以平面， 而平面，故平面平面. （2）由平面，平面， 得到，，所以建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则， 令，解得，，得到， 而为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为θ， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 【变式4-2】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. (1)证明：平面BCD； (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）在中，，，， 由余弦定理可得，即， 所以，即， 且，，BD，平面BCD，所以平面BCD， 又因为，，则，即， 以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，， 则，可得， 因为平面BCD，可知为平面BCD的一个法向量， 因为，则， 且平面BCD，所以平面BCD. （2）由（1）可知：，，， 设平面APC的法向量为，则， 令，则，，可得； 设平面PCM的法向量为，则， 令，则，，可得； 设二面角的平面角为θ，由题意可知θ为锐角， 则. 所以二面角的余弦值为. 【变式4-3】（25-26高二下·广东汕头·期中）如图，在矩形中，，、分别为线段、的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【解析】（1）在矩形中，且， 因为、分别为线段、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，从而， 又因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 连接，因为四边形为矩形，所以，，且， 因为、分别为、的中点，所以，， 又因为，所以，且， 故四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. （3）因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取得， 易知平面的一个法向量为，， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 题型五：线面角 【典例5】（26-27高二上·河北保定·期中）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设点是棱上的一点． (1)若，证明：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）解法1：折叠前，因为，， 所以，所以，， 折叠后，，仍然成立， 又因为二面角为直二面角，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知条件可知，，，，，   则，，，   因为，所以，，   设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为，   可得，   又因为平面，所以平面． 解法2：如图所示，连接交于点，连接， 因为，，所以，   由题意可知，，所以，所以，   又因为平面，平面，所以平面． （2）因为为的中点，所以，，   设平面的法向量为， 则令，得，，所以，   设直线与平面所成角为， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值是． 【变式5-1】（24-25高二下·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 【解析】（1）取BC中点，连接OA、OD，又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 为BC中点，，      如图，以分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 设异面直线AC与BD所成的角为， 则，       所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为. （2）设， 由（1）知，， 则，得，故． 设平面的法向量， 则， 令，得，即，      由直线AD与平面所成角大小为， 得．            ， 所以线段DF的长度为1． 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的大小. 【解析】（1）因为平面，，，所以， 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得 ，，，， 过点作于点，则四边形为矩形，所以，， 在中，，所以，因为，所以， 所以 。 则 ，， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 取，得，所以 ， 又 ，所以点到平面的距离. （2）由（1）可知，平面的一个法向量 ， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为 . 【变式5-3】（25-26高二下·福建厦门·期中）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【解析】（1）连接，交于点，连接. 因为四边形为矩形，所以为的中点. 又点为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面，，平面，所以，. 因为四边形为矩形，所以，则，，两两垂直. 以为原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则. 设直线与平面所成角为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值. 题型六：点面距、线面距与面面距 【典例6】（25-26高二下·贵州遵义·期中）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． (1)证明：、、、四点共面； (2)若，求点到平面的距离． 【解析】（1）因为为非零向量且不共线， 所以可以作为空间内一组基底， 因为在侧棱上，， 所以， 同理可得， 因为为的中点，所以， 因为, 所以共面，即、、、四点共面； （2）以点为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 【变式6-1】（24-25高二上·四川自贡·阶段检测）在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 【解析】（1） 建立如图所示，以为坐标原点， 、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 根据题意有：，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则有， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有，又因为， 所以 （2） 连接、、、、、， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面；同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面； 因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，， 令，可得， 则为平面的一个法向量， 所以平面与平面的距离. （3）根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 【变式6-2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【解析】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 【变式6-3】（23-24高二上·山东淄博·阶段检测）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【解析】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 题型七：夹角与距离的综合应用 【典例7】（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解析】（1）取的中点，连接、. 由为中点，得且； 由为中点，得且，故且， 所以四边形为平行四边形，因此. 又平面，平面，故平面. （2）连接，设，连接，则平面， 以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系. 由为二面角的平面角，得、， 而是的中点，所以，所以是等边三角形， 因为，所以，高， ，，，，， ，，， ，设平面的法向量为， 则，故可设平面的法向量， 由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， ，所以直线到平面的距离为. （3）设为线段上的动点，令()， 则 ， 则，向量. 设直线与平面所成角为， 则, ， 当时，取得最小值， 此时取得最大值为：. 【变式7-1】（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，四棱锥底面为矩形，平面平面，是边长为的等边三角形，，点为中点，点为线段上一点（与点，不重合）. (1)当为何值时，直线与平面所成的角为. (2)在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）因为是边长为2的等边三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由四边形为矩形，取中点，连接，则、、两两垂直， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可得， 则， 整理得，故，则（负值舍去）， 则， 即当时，直线与平面所成的角为； （2），， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可得， 又平面的法向量， 故， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【变式7-2】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形，D为的中点. (1)证明：. (2)求平面与平面所成角的余弦值. (3)若点A，B，，D均在球M的球面上，求球M的体积. 【解析】（1）在斜三棱柱中，取的中点，连接， 由等腰，，得，由正，得， 由侧面⊥底面，侧面底面，侧面， 得⊥平面，而平面，则，由为的中点， 得四边形为平行四边形，则，，又， 平面，因此平面，又平面， 所以. （2）由（1）知直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则 ，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的一个法向量为，因此， 所以平面与平面所成角的余弦值为. （3）由，得，设球心，球半径为， 则,解得， 所以球的体积为. 【变式7-3】（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，，，且平面.    (1)求的长. (2)当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. (3)当时，已知动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍.若动点M的轨迹、平面和平面三者相交于两点P，Q，求. 【解析】（1）在平行六面体中，令，令， 由四边形是菱形，得，由， 得，又， 平面，则， 整理得，而，解得， 所以的长为1. （2）当时，由（1）得， ，则，， ，而为平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值 ， 而，即，则， ，因此， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. （3）当时，（1）得平行六面体为正方体，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，平面方程为，平面方程为， 设平面内任意一点，， 则，即，于是平面方程为， 设动点，由动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍， 得，整理得点M的轨迹方程为， 由，整理得，设， 则，因此 ， 所以长为. 题型八：新定义问题 【典例8】（25-26高二下·江苏徐州·期中）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为将其整理为一般式方程为，其中. (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）由直线的点方向式方程为， 可知直线的一个方向向量坐标为. 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以有； （2）由于不全为0， 不妨设，在平面内取一点， 则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为： ． 同理可证和时，． （3）因平面经过三点，， 可得，， 设侧面所在平面的法向量为 则，令，解得，，可得， 由平面的一般式方程， 可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，，可得， 侧面所在平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为， 由，，则，， 解得，即， 故平面与平面夹角的余弦值为： ． 【变式8-1】（25-26高二上·四川成都·期中）（1）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义集合，点，对任意的点，求的取值范围； （2）在空间直角坐标系中，定义集合，，点是集合内任意一点． ①求的最小值； ②求点的轨迹形成图形的全面积． 注：若平面的法向量为，点是平面上一定点，则对于平面上任一点，点满足方程：． 【解析】（1）将替换成，原方程不变，于是点M形成的轨迹关于y轴对称， 不妨令，， 若，则，即，点M的轨迹是一条线段； 若，则，即，点M的轨迹是另一条线段； 再利用图象关于y轴对称，最终点M形成的轨迹图形如下： 由得，即, 则点M形成的轨迹图形关于点成中心对称图形且该图形为菱形， 由图及对称性可知，最短距离是点Q到直线的距离； 而最大距离是点Q到的距离，， 所以的取值范围为； （2）①先证明柯西不等式： 设，，由于， 于是，当且仅当时，等号成立， 于是令，，则， 所以，当且仅当取等号，所以的最小值为； ②将x替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称， 将y替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称， 将z替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称， 于是点N形成的轨迹关于点成中心对称图形， 去绝对值后可以得到8个平面的方程， 当时，为, 与三个平面围城三角形，顶点为， 则为正三角形，边长，其面积为 ， 则最终点的轨迹形成图形的全面积为. 【变式8-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线方向式方程为；过点，且法向量为的平面法向式方程为，将其整理成一般式方程为，其中.已知直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为. (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求与所成角的正弦值； (3)若，不在平面内，证明：. 【解析】（1）设直线与平面所成角为， 因为直线的方向式方程为，平面的一般式方程为 所以直线的一个方向向量为 平面的一个法向量为. 所以. 所以. （2）设平面和所成角为， 因为平面的一般式方程为， 平面的一般式方程为， 所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量为. 所以， 所以， （3）设直线的一个方向向量为，则，所以， 令，则，所以直线的一个方向向量为. 因为平面的一般式方程为， 所以平面的一个法向量为. 所以， 所以，又因为不在平面内所以. 【变式8-3】（24-25高二上·四川成都·期中）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作，.定义与的“外积”为，且是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为线段上一点，. (1)求AB的长； (2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上一点，且满足，求. 【解析】（1）（1）平面，底面为矩形， ， 由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，由已知， 则， 则， 则， 故 由题意知， 所以有， 则，解得舍去）， 故的长为. （2）由（1）知，， 又因为为的中点，则， 设平面的法向量为， 则， 令，则. 故平面的一个法向量为， 平面， 为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为 则 （3）由（1）可得 由题意，设， 则 则， 由可知，， 且，由， 则，解得; 则， 则解得， 则， 又，解得. 1．（26-27高二上·河南·期中）已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B 2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则的长等于（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【解析】因为二面角等于，又 所以可得， 又， 所以 ， 所以. 3．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正方体边长为2，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则,,,, 设,则,, 设平面的法向量为,则由得 取，则, 所以为平面的一个法向量， 所以直线与平面所成的角的正弦值 又由，所以, 所以， 又因,所以,所以最小值为 故选：A 4．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知平面的一个法向量为，点为平面上一点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】平面的法向量为，是平面内任意一点， 则平面外点到平面的距离为， 已知，，则， ， ，； ， 代入公式得：. 5．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，如图， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为， ， ， 所以， 又异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 6．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，为的中点，所以， 因为， 所以二面角的平面角就是向量与的夹角，为， 因为向量与方向相反， 所以与的夹角为 ， 因为，， 所以 7．（25-26高二下·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，又， 则点到平面的距离为. 8．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设和所成角为，，即和所成角的余弦值为. 9．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·期中）下列命题中真命题的是（   ） A．直线的倾斜角不存在； B．若直线的方向向量，平面的法向量，则； C．已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D．如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 【答案】CD 【解析】对于A，直线的倾斜角为，A错误； 对于B，因为，故，则或，B错误； 对于C，由题意可知，则与同方向的单位向量为， 则点到直线OA的距离是，C正确； 对于D，如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一个基底， 则向量，与任何向量均共面，那么，一定共线，D正确． 10．（多选题）（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知三棱锥P－ABC的顶点分别为则（    ） A． B．向量与的夹角的余弦值为 C．平面ABC的一个法向量为 D．直线PA与平面ABC所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】由已知得，则，所以，A正确； 因为，所以，B错误； 设平面ABC的法向量为，所以，令，则，可得，C正确； 直线PA与平面ABC所成角的正弦值为，D错误. 故选：AC 11．（多选题）（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最小值为 【答案】ABC 【解析】对于A，，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，，∴， 此时，与所成的角为， 异面直线与所成角的取值范围是，故B正确； 对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，， 则，，设平面的法向量， 设平面的法向量， ， 则，即， 令，则，则得， 面与平面所成夹角为， 所以， 因为，，所以，， 所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C正确； 对于D，则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 当或1时，直线与平面所成角的正弦值的最小值为，D错误 12．（26-27高二上·辽宁·期中）正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面的夹角为______． 【答案】 【解析】如图过作于，连接， 因为面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 则． 又，所以， 13．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，点为对角线的三等分点，点到正方体的各顶点的距离的不同取值的个数为______（个）. 【答案】 【解析】 不妨设正方体的棱长为， 如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，，，， 因为点为对角线的三等分点，由正方体的对称性可知，无论靠近还是靠近，其到各顶点距离的取值集合相同，不妨设， 因为，所以， 设，则，解得， 所以，， ，， ，， ，， 综上点到各顶点的距离的不同取值有，共个不同的值． 14．（25-26高二下·湖南长沙·期中）在四棱锥中，是边长为1的等边三角形，，，，，则四棱锥的外接球表面积为____． 【答案】 【解析】在等腰梯形中，，，则， 在底面中连接， 则， 即，， 以为原点，，分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 可得：，，，， 因为，则底面外接圆，也即是的外接圆， 即的中点即为底面外接圆圆心，坐标为， 设，由，，， ，，； 可得， 解得，，，即， 由四棱锥外接球的性质，外接球的球心在过垂直于底面的直线上， 故设球心，半径为， 则，，， 由得：，解得， 因此外接球半径平方：， 外接球表面积：． 15．（26-27高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【解析】（1）设的中点为，连接、，因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． （2） 记的中点为，连接，因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、，则，，， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． （3） 依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 16．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）如图，在三棱柱中，平面平面为中点，，，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，请求出四面体FABC的体积；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）取中点，连接，如图： ，. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. 又与相交，且平面， 平面. （2）（法一）线段上存在点，使点到平面的距离为. 取中点，连接. 由（1）知，平面平面. 又分别为中点，. 平面，.. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. ，，，，,, ，，. 设. 设平面的一个法向量为，则. 则，取，则， . 设点到平面的距离， ，又. 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. .点到平面的距离为， 点到平面的距离为. 四面体的体积为. （法二）平面，而平面，， 取的中点，中点. 又易知，四边形是平行四边形，. 又由（1）知，平面，则平面. 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，如图建系. 则，，，， ，，， ，，. 设， . 设平面的一个法向量为，则. 则，取，则. 设点到平面的距离， 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. 四面体的体积为. （法三）设点到平面的距离为， ， 利用等积法可得故， 又，则，， 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. .点到平面的距离为， 点到平面的距离为. 四面体的体积为. 17．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，已知四边形是正方形，四边形是矩形，，，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)若平面平面，求二面角的大小； (3)若平面平面，平面平面，试分析直线与的位置关系，并证明你的结论. 【解析】（1）记正方形对角线与交于点，则为中点，. 因为四边形是矩形，是中点，所以，且， 因此且，四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 由线面平行判定定理得平面. （2）因为平面平面，交线为，是矩形，故， 得平面，又因为，所以平面， 因此两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系： 则，则平面的一个法向量为， ，设平面的法向量为， 由​，得，取，得. 设平面与平面的夹角为： ， ，得，即二面角的大小为. （3），证明如下： 由（1）已证平面， 又平面，平面平面，根据线面平行的性质定理，得. 同理，平面，平面平面， 再由线面平行的性质定理，得. 由平行公理，可得. 18．（25-26高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且三棱锥的体积为，点在线段上，若平面与平面所成的二面角的正弦值为，求的长. 【解析】（1）由题意知为等边三角形，则，所以， 又四边形为梯形，，则， 在中，，， 由， 得，解得， 所以，即， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）取的中点为， 因为，且为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面， 连接，则，且平面，故， 综上，，，两两垂直， 以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系. 所以，，，， 由 ， 即，解得， 则， 设 ，所以 所以 ，，，， 若是平面的一个法向量， 则， 取，则，则 . 若是平面的一个法向量， 则， 取，则，，则， 所以， 因为，解得，故， 所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $